А постройте график функции y 2х 2. Формулы сокращенного умножения
«Квадратичная функция» - Квадратичные функции используются уже много лет. Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: Неравенства: Определение: Свойства: Вывод: График: Квадратичная функция. -Промежутки монотонности при а > 0 при а < 0. 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод.
«Степенная функция 9 класс» - Гипербола. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. 1. У = х3. Нам знакомы функции. У = х. Кубическая парабола. Область определения функции – значения, которые может принимать переменная х. Показатель – четное натуральное число (2n).
«Натуральный логарифм» - «Логарифмический дартс». 4. 121. 7. 0,1. Натуральные логарифмы. 0,04.
«Квадратичная функция и её график» - 4.ли графику функции y=4x точка: А(0,5:1) В(-1:-4)С(-2:16)D(0,1:0,4)? Автор: Гранов Илья. При а=1 формула у=аx принимает вид. Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. Решение задач:
«8 класс квадратичная функция» - Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. x. 2) Построить ось симметрии x=-1. -7. Построение графика квадратичной функции. План построения. -1. Построить график функции. 1) Построить вершину параболы. y.
«График функции Y X» - Из выше сказанного следует, что графиком функции y=(x - m)2 + п является парабола с вершиной в точке (m; п). Постройте самостоятельно графики функций: у = х2 + 2; у = х2 – 3; у = (х – 1)2; у = (х + 2)2; у = (х + 1)2 – 2; у = (х – 2)2 + 1; у = (х + 3)*(х – 3); у = х2 + 4х – 4; у = х2 – 6х + 11. График функции y=(x - m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).
Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.
И так вот они:
Первая х 2 - у 2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.
Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Третья (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Пятая (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
Седьмая х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).
О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.
Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .
Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.
Вида у = kx + m с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели) считались неравноправными: х - независимая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые значения, независимо ни от чего; у - зависимая переменная, поскольку ее значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли математические модели
такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + m, а каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, х - сторона квадрата, а у - его
площадь, то у - х 2 . Если х - сторона куба, а у - его объем, то у - х 3 . Если х - одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см 2 , а у - другая его сторона, то . Поэтому, естественно, что в математике не ограничиваются изучением модели y-kx + m, приходится изучать и модель у = х 2 , и модель у = х 3 , и модель , и многие другие модели, имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой - какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная».
В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = х 2 и построим ее график
.
Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x 2):
если х = 0, то у = О 2 = 0;
если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = 2, то у = 2 2 = 4;
если х = 3, то у = З 2 = 9;
если х = - 1, то у = (- I 2) - 1;
если х = - 2, то у = (- 2) 2 = 4;
если х = - 3, то у = (- З) 2 = 9;
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | -1 | -2 | -3 |
У | 0 | 1 | 4 | 9 | 1 | 4 | 9 |
Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а).
Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.
Конечно, в идеале надо было бы дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (х; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на координатной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчетливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 28), то эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо все глубже и глубже изучать математику, чтобы были средства избегать ошибок.
Попробуем, глядя на рисунок 54, описать геометрические свойства параболы.
Во-первых , отмечаем, что парабола выглядит довольно красиво, поскольку обладает симметрией. В самом деле, если провести выше оси х любую прямую, параллельную оси х, то эта прямая пересечет параболу в двух точках, расположенных на равных расстояниях от оси у, но по разные стороны от нее (рис. 55). Кстати, то же можно сказать и о точках, отмеченных на рисунке 54, а:
(1; 1} и (- 1; 1); (2; 4) и (-2; 4); C; 9) и (-3; 9).
Говорят, что ось у является осью симметрии параболы у=х 2 или что парабола симметрична относительно оси у.
Во-вторых
, замечаем, что ось симметрии как бы разрезает параболу на две части, которые обычно называют ветвями параболы.
В-третьих
, отмечаем, что у параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы - точка (0; 0). Учитывая ее особенность, ей присвоили специальное название - вершина параболы.
В-четвертых
, когда одна ветвь параболы соединяется в вершине с другой ветвью, это происходит плавно, без излома; парабола как бы «прижимается» к оси абсцисс. Обычно говорят: парабола касается оси абсцисс.
Теперь попробуем, глядя на рисунок 54, описать некоторые свойства функции у = х 2.
Во-первых
, замечаем, что у - 0 при х = 0, у > 0 при х > 0 и при х < 0.
Во-вторых,
отмечаем, что y наим. = 0, а у наиб не существует.
В-третьих
, замечаем, что функция у = х 2 убывает на луче (-°°, 0] - при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «спускаемся с горки» (см. рис. 55). Функция у = х 2 возрастает на луче ;
б) на отрезке [- 3, - 1,5];
в) на отрезке [- 3, 2].
Решение,
а) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка (рис. 56). Для выделенной части графика находим у наим. = 1 (при х = 1), у наиб. = 9 (при х = 3).
б) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, -1,5] (рис. 57). Для выделенной части графика находим y наим. = 2,25 (при х = - 1,5), у наиб. = 9 (при х = - 3).
в) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, 2] (рис. 58). Для выделенной части графика находим у наим = 0 (при х = 0), у наиб. = 9 (при х = - 3).
Совет. Чтобы каждый раз не строить график функции у - х 2 по точкам, вырежьте из плотной бумаги шаблон параболы. С его помощью вы будете очень быстро чертить параболу.
Замечание. Предлагая вам заготовить шаблон параболы, мы как бы уравниваем в правах функцию у = х 2 и линейную функцию у = кх + m. Ведь графиком линейной функции является прямая, а для изображения прямой используется обычная линейка - это и есть шаблон графика функции у = кх + m. Так пусть у вас будет и шаблон графика функции у = х 2 .
Пример 2.
Найти точки пересечения параболы у = х 2 и прямой у - х + 2.
Решение. Построим в одной системе координат параболу у = х 2 прямую у = х + 2 (рис. 59). Они пересекаются в точках А и В, причем по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: для точки А имеем: x = - 1, y = 1, а для точки В имеем: х - 2, у = 4.
Ответ: парабола у = х 2 и прямая у = х + 2 пересекаются в двух точках: А (-1; 1) и В(2;4).
Важное замечание. До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа. Однако математики не слишком доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 59 две точки пересечения параболы и прямой и определив с помощью рисунка координаты этих точек, математик обычно проверяет себя: на самом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой, так и на параболе; действительно ли точка (2; 4) лежит и на прямой, и на параболе?
Для этого нужно подставить координаты точек А и В в уравнение прямой и в уравнение параболы, а затем убедиться, что и в том, и в другом случае получится верное равенство. В примере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто производят такую проверку, когда сомневаются в точности чертежа.
В заключение отметим одно любопытное свойство параболы, открытое и доказанное совместно физиками и математиками.
Если рассматривать параболу у = х 2 как экран, как отражающую поверхность, а в точке поместить источник света, то лучи, отражаясь от параболы экрана, образуют параллельный пучок света (рис. 60). Точку называют фокусом параболы. Эта идея используется в автомобилях: отражающая поверхность фары имеет параболическую форму, а лампочку помещают в фокусе - тогда свет от фары распространяется достаточно далеко.
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиУчебник:
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Р. Математика. 7 класс
Цели:
I. Опрос учащихся
- Что называется функцией?
- Что называется областью определения функции?
- Что называется областью значений функции?
- С какими функциями мы с вами познакомились?
- Что представляет из себя график линейной функции? (прямая ). Сколько точек необходимо для построения данного графика?
(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной )
(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)
(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)
а) с линейной функцией вида у = кх + b ,
прямой пропорциональностью вида у = кх
б) с функциями вида у = х 2 , у = х 3
Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций, заданных следующими формулами:
а) у = Зх + 2; у = 1,2х + 5;
b) y = 1,5х + 4; у = -0,2х + 4; у = х + 4;
с) у = 2х + 5; у = 2х - 7; у = 2х
Рисунок 1
На рисунке изображены графики линейных функций (каждому ученику на парту выдается листок с построенными графиками ). Напишите формулу для каждого графика
С графиками каких функций мы с вами ещё знакомы? (у = х 2 ; у = х 3 )
- Что является графиком функции у = х 2 (парабола ).
- Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы ).
Давайте построим параболу, заданную формулой у = х 2
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
у = х 2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
у = х 2 + 2 | 11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | 11 |
Рисунок 2
Какими свойствами обладает график функции у = х 3 ?
- Если х = 0 , то у = 0 - вершина параболы (0;0)
- Область определения: х - любое число, Д(у) = (- ?; ?) Д(у) = R
- Область значений у ? 0
- E(y) =
- Функция возрастает на промежутке
Функция возрастает на промежутке }