Скорость и ускорение при криволинейном движении. Движение тела по криволинейной траектории
Рассмотрим движение тела по произвольной криволинейной траектории. Выше мы уже отмечали, что при движении тела по криволинейной траектории вектор его скорости в любой точке направлен по касательной к траектории. На рисунке показано, почему это так. Средняя скорость равна . Это значит, что направление вектора средней скорости всегда совпадает с направлением перемещения Δr . Но если мы будем приближать конечную точку к начальной, делая промежуток времени Δt все меньше, то, как видно из рисунка, направление вектора Δr будет приближаться к направлению касательной к траектории в начальной точке и в пределе сольется с ней. Но в этом пределе средняя скорость перейдет в мгновенную скорость.
В отличие от скорости, ускорение при движении тела по криволинейной траектории почти никогда не бывает направлено по касательной к траектории. Так как , то направление вектора ускорения всегда совпадает с направлением вектора изменения скорости. Как видно из рисунка, вектор изменения скорости, а, значит, и ускорение направлены внутрь кривизны траектории. В общем случае угол между векторами скорости и ускорения может изменяться от 0 до 180°.
Очень часто ускорение тела при движении по криволинейной траектории раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие: на направление касательной к траектории и на направление перпендикулярное касательной. Составляющая вектора полного ускорения на направление касательной к траектории называется тангенциальным или касательным ускорением (а τ ). Составляющая вектора полного ускорения на направление перпендикулярное касательной называется центростремительным или нормальным ускорением (а ц ).
Если α – угол между направлениями ускорения и скорости, то можно написать:
Кроме того:
Разделение ускорения на две составляющие связано с тем, что каждая составляющая полного ускорения характеризует изменение скорости по одному из двух параметров. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Тангенциальное ускорение совпадает по направлению с вектором скорости, если скорость по величине возрастает и направлено противоположно скорости, если она убывает. При движении с постоянной по величине скоростью тангенциальное ускорение равно нулю. Модуль тангенциального ускорения равен:
Центростремительное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. При движении по прямолинейной траектории центростремительное ускорение равно нулю.
Важным частным случаем движения по криволинейной траектории является движение по окружности. Дело в том, что любую плавную кривую линию можно заменить совокупностью сопряженных дуг окружностей разного радиуса. Пусть имеется некоторая кривая линия. В каждой точке кривой можно провести множество окружностей, касающихся ее в этой точке. Но среди всех этих окружностей имеется одна, которая лучше других описывает кривизну кривой в данной точке. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны линии в этой точке. Таким образом, движение тела по произвольной криволинейной траектории можно представить как последовательное движение по окружностям разного радиуса.
Пусть тело движется по криволинейной траектории. Рассмотрим две очень близкие точки траектории А и В. Так как точки очень близки друг к другу, то можно считать, что они лежат на дуге окружности с радиусом равным радиусу кривизны траектории в данной части траектории - R. Предположим, что скорость тела по величине постоянна. В этом случае тангенциальное ускорение равно нулю и полное ускорение тела равно центростремительному. Треугольник, построенный на векторах v A , v B и Δv равнобедренный и подобен треугольнику АОВ. Значит можно написать:
Пусть Δt – время, за которое тело перешло из точки А в точку В. Так как точки А и В расположены очень близко друг к другу (на рисунке для наглядности они расположены далеко друг от друга), то хорда АВ практически совпадает с дугой АВ. Поэтому можно написать: . А значит получаем:
Так как тангенциальное ускорение равно нулю, то представляет собой центростремительное ускорение. Таким образом получаем формулу для центростремительного ускорения при движении тела по криволинейной траектории:
Здесь v – мгновенная скорость тела, а R – радиус кривизны траектории в данной точке.
Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.
Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v x и v y ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам
Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением где r – радиус окружности.
Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.
При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:
Нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:
v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.
Тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.
Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:
Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характеристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.
Период обращения - это время, за которое тело совершается один оборот.
Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:
где t - время обращения, п - число оборотов, совершенных за это время.
Частота обращения - это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.
Обозначается частота греческой буквой (ню) и находится по формуле:
Измеряется частота в 1/с.
Период и частота - величины взаимно обратные:
Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив скорость v на время одного оборота:
l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr . Поэтому
vT = 2πr,
где w (с -1) - угловая скорость.
При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.
Угловая скорость (w ) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:
.
Связь между линейной и угловой скоростями:
Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.
Кинематика - это просто!
Описание движения тела считается полным тогда, когда известно, как движется каждая его точка.
В общем случае любое сложное движение твердого (недеформированного) тела можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного.
Поступательное движение
- если любая прямая, проведенная внутри тела, движется параллельно самой себе.
При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковые скорости, ускорения, перемещения и траектории.
Поступательное движение может быть и криволинейным.
Для описания поступательного движения тела достаточно составить уравнение движения одной из его точек, тогда расчеты упрощаются.
При криволинейном движении тело движется по криволинейной траектории.
В общем случае криволинейная траектория
- это совокупность участков дуг окружностей разного диаметра.
При криволинейном движении векторы скорости и ускорения не направлены
вдоль одной прямой.
Частным случаем криволинейного движения является равномерное движение по окружности.
Равномерное движение точки по окружности
Движение по окружности является простейшим видом криволинейного движения.
При равномерном движении точки по окружности:
Скорость движения V по окружности называется линейной скоростью
,
Движущаяся точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.
Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной
к ней.
В каждой точке траектории вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности.
Такое ускорение называется центростремительным ускорением
.
Модуль центростремительного ускорения равен:
где
а ц - центростремительное ускорение, [м/с2];
υ - линейная скорость, [м/с];
R - радиус окружности, [м].
Путь, пройденный точкой, равномерно движущейся по окружности, за какой-либо отрезок времени t равен:
За один полный оборот по окружности, т.е. за время, равное периоду Т, точка проходит путь, равный длине окружности
При этом линейная скорость точки равна:
Вектор скорости и вектор центростремительного ускорения всегда взаимно перпендикулярны
.
Скорость и ускорение остаются постоянными по модулю, но меняют свое направление.
Равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением , так как ускорение непрерывно изменяется по направлению.
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
При вращательном движении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности с центром на оси вращения тела.
Каждая точка имеет свою скорость, ускорение и перемещение.
Характеистики вращательного движения
1. Угловая скорость
- это отношение угла поворота ко времени, за который он совершается.
Буквенное обозначение угловой скорости - омега.
где единицы измерения
Если тело движется равномерно, то любая точка этого тела за один и тот же отрезок времени поворачивается на один и тот же угол.
2. Частота вращения - это число оборотов в единицу времени.
3. Период вращения - это время одного полного оборота.
4. При вращении полный оборот составляет
тогда
5. Линейная скорость
- это скорость точки, движущейся по окружности.
Каждая точка вращающегося тела имеет свою линейную скорость.
Равноускоренное криволинейное движение
Криволинейные движения - движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.
Криволинейное движение - это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам
Неравномерное движение. Скорость при неравномерном движении
Ни одно тело не движется все время с постоянной скоростью. Начиная движение, автомобиль движется быстрее и быстрее. Некоторое время он может двигаться равномерно, но потом он тормозит и останавливается. При этом автомобиль проходит разные расстояния за один и то же время.
Движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит неодинаковые отрезки пути, называется неравномерным. При таком движении величина скорости не остается неизменной. В таком случае можно говорить лишь о средней скорости.
Средняя скорость показывает, чему равно перемещение, которое тело проходит за единицу времени. Она равна отношению перемещения тела до времени движения. Средняя скорость, как и скорость тела при равномерном движении, измеряется в метрах, разделенных на секунду. Для того, чтобы характеризовать движение точнее, в физике применяют мгновенную скорость.
Скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость является векторной величиной и направлена так же, как вектор перемещения. Измерить мгновенную скорость можно с помощью спидометра. В Системе Интернациональной мгновенная скорость измеряется в метрах, разделенных на секунду.
точка движение скорость неравномерный
Движение тела по окружности
В природе и технике очень часто встречается криволинейное движение. Оно сложнее прямолинейного, так как существует множество криволинейных траекторий; это движение всегда ускоренное, даже когда модуль скорости не меняется.
Но движение по любой криволинейной траектории можно приблизительно представить как движение по дугам круга.
При движении тела по окружности направление вектора скорости меняется от точки к точке. Поэтому когда говорят о скорости такого движения, подразумевают мгновенную скорость. Вектор скорости направлен по касательной к окружности, а вектор перемещения - по хордам.
Равномерное движение по окружности - это движение, во время которого модуль скорости движения не изменяется, изменяется только ее направление. Ускорение такого движения всегда направлено к центру окружности и называется центростремительным. Для того чтобы найти ускорение тела, которое движется по кругу, необходимо квадрат скорости разделить на радиус окружности.
Помимо ускорения, движение тела по кругу характеризуют следующие величины:
Период вращения тела - это время, за которое тело совершает один полный оборот. Период вращения обозначается буквой Т и измеряется в секундах.
Частота вращения тела - это число оборотов в единицу времени. Частота вращения обозначается буквой? и измеряется в герцах. Для того чтобы найти частоту, надо единицу разделить на период.
Линейная скорость - отношение перемещения тела до времени. Для того чтобы найти линейную скорость тела по окружности, необходимо длину окружности разделить на период (длина окружности равна 2? умножить на радиус).
Угловая скорость - физическая величина, равная отношению угла поворота радиуса окружности, по которой движется тело, до времени движения. Угловая скорость обозначается буквой? и измеряется в радианах, разделенных на секунду. Найти угловую скорость можно, разделив 2? на период. Угловая скорость и линейная между собой. Для того чтобы найти линейную скорость, необходимо угловую скорость умножить на радиус окружности.
Рисунок 6. Движение по окружности, формулы.
В зависимости от формы траектории, движение делится на прямолинейное и криволинейное. В реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.
Рисунок 1. Траектория и перемещение при криволинейном движении
Определение
Криволинейное движение -- это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). При движении по криволинейной траектории вектор перемещения $\overrightarrow{s}$ направлен по хорде (рис. 1), а l -- длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 2).
Рисунок 2. Мгновенная скорость при криволинейном движении
Однако более удобным является следующий подход. Можно представить это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. рис. 4.). Таких разбиений получится меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности само является криволинейным.
Рисунок 4. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей
Вывод
Для того, чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.
Задачей исследования криволинейного движения материальной точки является составление кинематического уравнения, описывающего это движение и позволяющего по заданным начальным условиям определить все характеристики этого движения.