Výpočet plochy obrázku To je možná jeden z nejobtížnějších problémů v teorii oblastí. Ve školní geometrii se učí hledat plochy základních geometrických tvarů jako je např. trojúhelník, kosočtverec, obdélník, lichoběžník, kruh atd. Často se však člověk musí potýkat s výpočtem ploch složitějších obrazců. Právě při řešení takových problémů je velmi vhodné použít integrální počet.

Definice.

Křivočarý lichoběžník nazývá se nějaký obrazec G ohraničený přímkami y = f(x), y = 0, x = a a x = b a funkce f(x) je spojitá na úsečce [a; b] a nemění na něm své znaménko (Obr. 1). Oblast křivočarého lichoběžníku může být označena S(G).

Určitý integrál ʃ a b f(x)dx pro funkci f(x), která je spojitá a nezáporná na úsečce [a; b] a je to plocha odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

To znamená, že k nalezení oblasti obrázku G, ohraničeného čarami y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a a x \u003d b, je nutné vypočítat určitý integrál ʃ a b f (x) dx.

Tím pádem, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Pokud funkce y = f(x) není kladná na [a; b], pak lze pomocí vzorce najít oblast křivočarého lichoběžníku S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Příklad 1

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Řešení.

Uvedené čáry tvoří obrazec ABC, který je znázorněn šrafováním rýže. 2.

Požadovaná plocha je rovna rozdílu mezi plochami křivočarého lichoběžníku DACE a čtverce DABE.

Pomocí vzorce S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) najdeme meze integrace. K tomu řešíme soustavu dvou rovnic:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Máme tedy x 1 \u003d 1 - spodní mez a x \u003d 2 - horní mez.

Takže, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (čtvercové jednotky).

Odpověď: 11/4 čtverečních Jednotky

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Řešení.

Dané čáry tvoří obrazec ABC, který je shora ohraničený grafem funkce

y \u003d √x a zespodu graf funkce y \u003d 2. Výsledný obrázek je znázorněn šrafováním rýže. 3.

Požadovaná plocha je rovna S = ʃ a b (√x - 2). Najdeme meze integrace: b = 9, abychom našli a, vyřešíme soustavu dvou rovnic:

(y = √x,
(y = 2.

Máme tedy, že x = 4 = a je dolní mez.

Takže S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (čtvercové jednotky).

Odpověď: S = 2 2/3 čtverečních. Jednotky

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Řešení.

Nakreslete funkci y \u003d x 3 - 4x pro x ≥ 0. K tomu najdeme derivaci y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 při х = ±2/√3 ≈ 1,1 jsou kritické body.

Nakreslíme-li kritické body na reálnou osu a umístíme znaménka derivace, dostaneme, že funkce klesá z nuly na 2/√3 a roste z 2/√3 do plus nekonečna. Potom x = 2/√3 je minimální bod, minimální hodnota funkce y je min = -16/(3√3) ≈ -3.

Určíme průsečíky grafu se souřadnicovými osami:

pokud x \u003d 0, pak y \u003d 0, což znamená, že A (0; 0) je průsečík s osou Oy;

pokud y \u003d 0, pak x 3 - 4x \u003d 0 nebo x (x 2 - 4) \u003d 0, nebo x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, odkud x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nevhodné, protože x ≥ 0).

Body A(0; 0) a B(2; 0) jsou průsečíky grafu s osou Ox.

Uvedené čáry tvoří obrazec OAB, který je znázorněn šrafováním rýže. 4.

Protože funkce y \u003d x 3 - 4x nabývá (0; 2) záporné hodnoty, pak

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Máme: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, odkud S \u003d 4 metry čtvereční. Jednotky

Odpověď: S = 4 čtvereční. Jednotky

Příklad 4

Najděte plochu obrázku ohraničenou parabolou y \u003d 2x 2 - 2x + 1, přímkami x \u003d 0, y \u003d 0 a tečnou k této parabole v bodě s úsečkou x 0 \u003d 2.

Řešení.

Nejprve sestavíme rovnici tečny k parabole y \u003d 2x 2 - 2x + 1 v bodě s úsečkou x₀ \u003d 2.

Protože derivace y' = 4x - 2, pak pro x 0 = 2 dostaneme k = y'(2) = 6.

Najděte pořadnici bodu dotyku: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Proto má tečná rovnice tvar: y - 5 \u003d 6 (x - 2) nebo y \u003d 6x - 7.

Postavme obrazec ohraničený čarami:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Průsečíky se souřadnicovými osami: A(0; 1) - s osou Oy; s osou Ox - neexistují žádné průsečíky, protože rovnice 2x 2 - 2x + 1 = 0 nemá řešení (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, to znamená, že vrchol bodu paraboly B má souřadnice B (1/2; 1/2).

Takže obrazec, jehož plocha má být určena, je znázorněna šrafováním rýže. 5.

Máme: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Najděte souřadnice bodu D z podmínky:

6x - 7 = 0, tzn. x \u003d 7/6, poté DC \u003d 2 – 7/6 \u003d 5/6.

Zjistíme oblast trojúhelníku DBC pomocí vzorce S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. Tím pádem,

S ADBC ​​​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 čtverečních. Jednotky

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (čtvercové jednotky).

Nakonec dostaneme: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (čtverečních jednotek).

Odpověď: S = 1 1/4 čtvereční. Jednotky

Zkontrolovali jsme příklady nalezení oblastí obrazců ohraničených danými čarami. Chcete-li takové problémy úspěšně vyřešit, musíte být schopni sestavit čáry a grafy funkcí v rovině, najít průsečíky čar, použít vzorec k nalezení oblasti, což znamená schopnost a dovednosti vypočítat určité integrály.

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Úkol je to školní, ale přesto se téměř na 100 % splní ve vašem kurzu vyšší matematiky. Proto se vší vážností probereme VŠECHNY příklady a první věc, kterou musíte udělat, je seznámit se s nimi aplikace Funkční grafy oprášit techniku ​​konstruování elementárních grafů. …Jíst? Skvělý! Typický příkaz úkolu je následující:

Příklad 10
.

A první zásadní krok řešení spočívá právě v budování výkresu. Jak již bylo řečeno, doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší vše postavit rovný(pokud existuje) a pouze Pak – paraboly, nadsázka, grafy dalších funkcí.

V našem úkolu: rovný definuje osu rovný rovnoběžně s osou a parabola je symetrický podle osy, najdeme pro něj několik referenčních bodů:

Je žádoucí vylíhnout požadovaný obrázek:

Druhá fáze je k skládat správně A vypočítat správně určitý integrál. Na segmentu je umístěn graf funkce přes osu, takže požadovaná oblast je:

Odpovědět:

Po dokončení úkolu je užitečné podívat se na plán
a uvidíme, zda je odpověď reálná.

A "od oka" spočítáme počet zastíněných buněk - no, asi 9 bude napsáno, zdá se, že je to pravda. Je celkem jasné, že kdybychom měli řekněme 20 čtverečních jednotek, tak se evidentně někde stala chyba - 20 buněk se do sestrojeného obrazce evidentně nevejde, maximálně tucet. Pokud se ukázalo, že odpověď byla záporná, byla úloha také vyřešena špatně.

Příklad 11
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a osa

Rychle se zahřejeme (nutně!) A zvážíme „zrcadlovou“ situaci - když je umístěn křivočarý lichoběžník pod nápravou:

Příklad 12
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: najít několik referenčních bodů pro konstrukci exponentu:

a proveďte kresbu a získejte postavu o ploše asi dvou buněk:

Pokud je umístěn křivočarý lichoběžník ne vyšší osa , pak její obsah lze zjistit vzorcem: .
V tomto případě:

Odpovědět: - no, velmi, velmi podobné pravdě.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto přecházíme od nejjednodušších školních úloh k smysluplnějším příkladům:

Příklad 13
Najděte oblast ploché postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: nejprve musíte dokreslit výkres, zatímco nás zajímají zejména průsečíky paraboly a přímky, protože tam budou integrační limity. Můžete je najít dvěma způsoby. První způsob je analytický. Pojďme vytvořit a vyřešit rovnici:

Tím pádem:

Důstojnost analytická metoda spočívá v jeho přesnost, A vada- V doba trvání(a v tomto příkladu máme stále štěstí). Proto je v mnoha problémech výhodnější konstruovat čáry bod po bodu, přičemž hranice integrace se zjišťují jakoby „sami“.

S přímkou ​​je vše jasné, ale pro sestavení paraboly je vhodné najít její vrchol, proto vezmeme derivaci a přirovnáme ji k nule:
- toto je bod, kde bude umístěn vrchol. A díky symetrii paraboly najdeme zbývající referenční body podle principu „zleva doprava“:

Udělejme nákres:

A nyní pracovní vzorec: pokud na intervalu nějaké kontinuální funkce větší nebo rovno kontinuální funkcí, pak oblast obrázku ohraničenou grafy těchto funkcí a úsečkami lze nalézt podle vzorce:

Zde již není nutné přemýšlet, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, ale zhruba řečeno, záleží, který z těch dvou grafů je NAHOŘE.

V našem příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Dokončení řešení může vypadat takto:

Na segmentu: podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Je třeba poznamenat, že jednoduché vzorce zvažované na začátku odstavce jsou speciální případy vzorce . Protože je osa dána rovnicí, pak jedna z funkcí bude nulová a podle toho, zda křivočarý lichoběžník leží nad nebo pod, dostaneme vzorec buď

A nyní pár typických úkolů pro samostatné řešení

Příklad 14
Najděte oblast obrazců ohraničenou čarami:

Řešení s kresbami a stručnými komentáři na konci knihy

V průběhu řešení zvažovaného problému se občas stane vtipná příhoda. Výkres byl proveden správně, integrál byl vyřešen správně, ale kvůli nepozornosti ... našel oblast špatného obrázku, takhle se váš poslušný sluha několikrát spletl. Zde je případ ze skutečného života:

Příklad 15
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami

Řešení: uděláme jednoduchý nákres,

trik je v tom požadovaná plocha je vystínována zeleně(pozorně se podívejte na stav - jak je postava omezená!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte najít oblast obrázku, která je zastíněna šedou barvou! Zvláštní záludností je, že čáru lze podkreslit k ose a kýžený obrazec pak vůbec neuvidíme.

Tento příklad je také užitečný v tom, že v něm je plocha obrázku vypočítána pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) na segmentu nad osou je přímkový graf;
2) na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela jasné, že oblasti mohou (a měly by být) přidány:

Odpovědět:

A informativní příklad pro nezávislé řešení:

Příklad 16
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , a souřadnicovými osami.

Systematizujeme tedy důležité body tohoto úkolu:

Na prvním kroku POZORNĚ si prostudujte stav – JAKÉ funkce jsou nám dány? Chyby se stávají i zde, zejména oblouk na Tečna je často zaměňována za arkus tangens. To mimochodem platí i pro další úlohy, kde se vyskytuje arkus tangens.

Dále kresba musí být provedena SPRÁVNĚ. Je lepší nejprve postavit rovný(pokud existují), pak grafy dalších funkcí (pokud existují J). Ty druhé jsou v mnoha případech výhodnější stavět bod po bodu- najděte několik kotevních bodů a pečlivě je spojte čárou.

Zde však mohou číhat následující potíže. Za prvé, z výkresu to není vždy jasné integrační limity- to se stane, když jsou zlomkové. Na mathprofi.ru at relevantní článek Uvažoval jsem příklad s parabolou a přímkou, kde jeden z jejich průsečíků není z výkresu jasný. V takových případech byste měli použít analytickou metodu, sestavíme rovnici:

a najít jeho kořeny:
– spodní hranice integrace, – horní limit.

Po sestavení výkresu, analyzujte výsledný obrázek - ještě jednou se podívejte na navržené funkce a znovu zkontrolujte, zda TOHLE je obrázek. Poté analyzujeme jeho tvar a umístění, stane se, že oblast je poměrně komplikovaná a pak by měla být rozdělena na dvě nebo dokonce tři části.

Tvoříme určitý integrál nebo několik integrálů podle vzorce , analyzovali jsme všechny hlavní varianty výše.

Řešíme určitý integrál(s). Zároveň se to může ukázat jako docela komplikované a pak použijeme fázový algoritmus: 1) najít primitivní prvek a zkontrolovat jej derivací, 2) Používáme Newtonův-Leibnizův vzorec.

Výsledek je užitečné zkontrolovat pomocí softwaru / online služeb, nebo jednoduše „odhadnout“ podle kresby po buňkách. Obojí ale není vždy proveditelné, proto věnujeme maximální pozornost každé fázi řešení!



Kompletní a aktuální verze tohoto kurzu ve formátu pdf,
stejně jako kurzy na jiná témata najdete.

Můžete také - jednoduché, cenově dostupné, zábavné a zdarma!

S přáním všeho nejlepšího, Alexander Emelin

V této lekci se naučíme, jak počítat plochy plochých postav, které se nazývají křivočaré lichoběžníky .

Příklady takových obrázků jsou na obrázku níže.

Na jedné straně je nalezení oblasti ploché postavy pomocí určitého integrálu extrémně jednoduché. Mluvíme o oblasti obrázku, která je shora omezena určitou křivkou, zespodu - osou vodorovné ( Vůl), a vlevo a vpravo jsou nějaké rovné čáry. Jednoduchost je v tom určitý integrál funkce, které je křivka dána, a existuje plocha takového obrázku(křivočarý lichoběžník).

K výpočtu plochy obrázku potřebujeme:

1. Určitý integrál funkce definující křivku , která shora omezuje křivočarý lichoběžník. A zde přichází první významná nuance: křivočarý lichoběžník může být omezen křivkou nejen shora, ale i zdola . Jak v tomto případě postupovat? Jednoduché, ale důležité k zapamatování: integrál se v tomto případě bere se znaménkem mínus .
2. Hranice integrace A A b, kterou zjistíme z rovnic přímek, které spojují obrazec vlevo a vpravo: X = A , X = b, Kde A A b- čísla.

Samostatně, některé další nuance.

Křivka, která omezuje křivočarý lichoběžník shora (nebo zdola), musí být graf spojité a nezáporné funkce y = F(X) .

Hodnoty X musí patřit do segmentu [A, b]. To znamená, že se neberou v úvahu například linie jako úsek houby, u kterých noha dokonale zapadá do tohoto segmentu a čepice je mnohem širší.

Boční segmenty mohou degenerovat do bodů . Pokud jste na výkresu viděli takový obrázek, nemělo by vás to zmást, protože tento bod má vždy svou vlastní hodnotu na ose x. Takže vše je v pořádku s limity integrace.

Nyní můžete přejít k vzorcům a výpočtům. Takže oblast s křivočarý lichoběžník lze vypočítat podle vzorce

Li F(X) ≤ 0 (graf funkce je umístěn pod osou Vůl), Že oblast zakřiveného lichoběžníku lze vypočítat podle vzorce

Existují také případy, kdy jak horní, tak dolní hranice obrázku jsou funkcemi, resp y = F(X) A y = φ (X) , pak se plocha takového čísla vypočítá podle vzorce

. (3)

Problémy řešíme společně

Začněme případy, kdy lze plochu obrázku vypočítat pomocí vzorce (1).

Příklad 1Vůl) a přímo X = 1 , X = 3 .

Řešení. Protože y = 1/X> 0 na segmentu , pak se oblast křivočarého lichoběžníku najde podle vzorce (1):

.

Příklad 2 Najděte oblast obrázku ohraničenou grafem funkce, přímka X= 1 a osa x ( Vůl ).

Řešení. Výsledek použití vzorce (1):

Pokud pak s= 1/2; pokud pak s= 1/3 atd.

Příklad 3 Najděte oblast obrázku ohraničenou grafem funkce, osa x ( Vůl) a přímo X = 4 .

Řešení. Obrazec odpovídající stavu problému je křivočarý lichoběžník, ve kterém levý segment degeneroval do bodu. Integrační limity jsou 0 a 4. Protože podle vzorce (1) najdeme plochu křivočarého lichoběžníku:

.

Příklad 4 Najděte plochu obrázku ohraničenou čarami , , a umístěnou v 1. čtvrtině.

Řešení. Abychom použili vzorec (1), reprezentujeme plochu obrázku danou podmínkami příkladu jako součet ploch trojúhelníku OAB a křivočarý lichoběžník ABC. Při výpočtu plochy trojúhelníku OAB hranice integrace jsou úsečky bodů Ó A A a pro postavu ABC- úsečky bodů A A C (A je průsečík přímky OA a paraboly a C- průsečík paraboly s osou Vůl). Společným řešením (jako systému) rovnic přímky a paraboly dostaneme (úsečka bodu A) a (úsečka dalšího průsečíku přímky a paraboly, který není pro řešení potřeba). Podobně získáme , (úsečka bodů C A D). Nyní máme vše, abychom našli oblast obrázku. Shledáváme:

Příklad 5 Najděte oblast křivočarého lichoběžníku ACDB, je-li rovnice křivky CD a úsečka A A B respektive 1 a 2.

Řešení. Tuto rovnici křivky vyjádříme pomocí Y: Oblast křivočarého lichoběžníku se nalézá podle vzorce (1):

.

Pojďme k případům, kdy lze plochu obrázku vypočítat pomocí vzorce (2).

Příklad 6 Najděte oblast obrazce ohraničenou parabolou a osou x ( Vůl ).

Řešení. Tento obrázek je umístěn pod osou x. Pro výpočet jeho plochy proto použijeme vzorec (2). Hranicemi integrace jsou úsečky a průsečíky paraboly s osou Vůl. Proto,

Příklad 7 Najděte oblast mezi osou x ( Vůl) a dvě sousední sinusovky.

Řešení. Oblast tohoto obrázku lze nalézt podle vzorce (2):

.

Pojďme najít každý termín zvlášť:

.

.

Nakonec najdeme oblast:

.

Příklad 8 Najděte oblast obrázku uzavřenou mezi parabolou a křivkou.

Řešení. Vyjádřeme rovnice přímek pomocí Y:

Plochu podle vzorce (2) získáme jako

,

Kde A A b- úsečky bodů A A B. Najdeme je společným řešením rovnic:

Nakonec najdeme oblast:

A konečně existují případy, kdy lze plochu obrázku vypočítat pomocí vzorce (3).

Příklad 9 Najděte oblast obrázku uzavřenou mezi parabolami A .

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami.

Řešení.

Najdeme průsečíky daných čar. K tomu řešíme soustavu rovnic:

Abychom našli úsečky průsečíků daných přímek, vyřešíme rovnici:

Shledáváme: X 1 = -2, X 2 = 4.

Tyto přímky, které jsou parabolou a přímkou, se tedy protínají v bodech A(-2; 0), B(4; 6).

Tyto čáry tvoří uzavřený obrazec, jehož plocha se vypočítá podle výše uvedeného vzorce:

Podle Newton-Leibnizova vzorce zjistíme:

Najděte oblast oblasti ohraničené elipsou.

Řešení.

Z rovnice elipsy pro I kvadrant máme . Odtud podle vzorce získáme

Aplikujme substituci X = A hřích t, dx = A cos t dt. Nové limity integrace t = α A t = β jsou určeny z rovnic 0 = A hřích t, A = A hřích t. Lze položit α = 0 a β = π /2.

Najdeme čtvrtinu požadované plochy

Odtud S = pab.

Najděte oblast obrázku ohraničenou čaramiy = - X 2 + X + 4 ay = - X + 1.

Řešení.

Najděte průsečíky čar y = -X 2 + X + 4, y = -X+ 1, dává rovnítko mezi pořadnice čar: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 nebo X 2 - 2X- 3 = 0. Najděte kořeny X 1 = -1, X 2 = 3 a jim odpovídající pořadnice y 1 = 2, y 2 = -2.

Pomocí vzorce pro plochu obrázku dostaneme

Najděte oblast ohraničenou parabolouy = X 2 + 1 a přímýX + y = 3.

Řešení.

Řešení soustavy rovnic

najděte úsečky průsečíků X 1 = -2 a X 2 = 1.

Za předpokladu y 2 = 3 - X A y 1 = X 2 + 1, na základě vzorce, který dostaneme

Vypočítejte plochu obsaženou v Bernoulliho lemniskátur 2 = A 2 cos 2 φ .

Řešení.

V polárním souřadnicovém systému je plocha obrázku ohraničená obloukem křivky r = F(φ ) a dva polární poloměry φ 1 = ʅ A φ 2 = ʆ , je vyjádřen integrálem

Vzhledem k symetrii křivky nejprve určíme čtvrtinu požadované plochy

Celková plocha je tedy S = A 2 .

Vypočítejte délku oblouku astroiduX 2/3 + y 2/3 = A 2/3 .

Řešení.

Rovnici astroidu zapíšeme do tvaru

(X 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (A 1/3) 2 .

Položme X 1/3 = A 1/3 cos t, y 1/3 = A 1/3 hříchu t.

Odtud získáváme parametrické rovnice astroidu

X = A protože 3 t, y = A hřích 3 t, (*)

kde 0 ≤ t ≤ 2π .

Vzhledem k symetrii křivky (*) stačí najít čtvrtinu délky oblouku L odpovídající změně parametru t od 0 do π /2.

Dostaneme

dx = -3A protože 2 t hřích t dt, dy = 3A hřích 2 t cos t dt.

Odtud najdeme

Integrace výsledného výrazu v rozsahu od 0 do π /2, dostáváme

Odtud L = 6A.

Najděte oblast ohraničenou Archimedovou spirálour = aφ a dva poloměrové vektory, které odpovídají polárním úhlůmφ 1 Aφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Řešení.

Oblast ohraničená křivkou r = F(φ ) se vypočítá podle vzorce , kde α A β - meze změny polárního úhlu.

Tak dostáváme

(*)

Z (*) vyplývá, že oblast ohraničená polární osou a první otáčkou Archimedovy spirály ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Podobně najdeme oblast ohraničenou polární osou a druhou otáčkou Archimedovy spirály ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Požadovaná plocha se rovná rozdílu těchto ploch

Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osyVůl postava ohraničená parabolamiy = X 2 AX = y 2 .

Řešení.

Pojďme řešit soustavu rovnic

a dostat X 1 = 0, X 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, odkud jsou průsečíky křivek Ó(0; 0), B(jedenáct). Jak je vidět na obrázku, požadovaný objem rotačního tělesa je roven rozdílu mezi dvěma objemy vytvořenými rotací kolem osy Vůl křivočaré lichoběžníky OCBA A ODBA:

Vypočítejte plochu ohraničenou osouVůl a sinusoiday = hříchX na segmentech: a); b) .

Řešení.

a) Na segmentu funkce sin X zachovává znaménko, a tedy podle vzorce , za předpokladu y= hřích X, shledáváme

b) Na segmentu , funkce sin X změny znamení. Pro správné řešení úlohy je nutné segment rozdělit na dva a [ π , 2π ], v každém z nich si funkce zachovává své znaménko.

Podle pravidla znaků na segmentu [ π , 2π ] oblast je označena znaménkem mínus.

V důsledku toho se požadovaná plocha rovná

Určete objem tělesa ohraničeného plochou získanou z rotace elipsykolem hlavní osyA .

Řešení.

Vzhledem k tomu, že elipsa je symetrická podle souřadnicových os, stačí najít objem vytvořený rotací kolem osy Vůl plocha OAB, rovnající se jedné čtvrtině plochy elipsy a dvojnásobek výsledku.

Označme objem rotačního tělesa skrz PROTI X; pak na základě vzorce máme , kde 0 a A- úsečky bodů B A A. Z rovnice elipsy najdeme . Odtud

Požadovaný objem je tedy roven . (Když se elipsa otáčí kolem vedlejší osy b, objem těla je )

Najděte oblast ohraničenou parabolamiy 2 = 2 px AX 2 = 2 py .

Řešení.

Nejprve najdeme souřadnice průsečíků parabol, abychom určili integrační interval. Transformací původních rovnic získáme a . Porovnáním těchto hodnot dostaneme nebo X 4 - 8p 3 X = 0.

X 4 - 8p 3 X = X(X 3 - 8p 3) = X(X - 2p)(X 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Najdeme kořeny rovnic:

Vzhledem k tomu, že bod A průsečík parabol je v první čtvrtině, pak hranice integrace X= 0 a X = 2p.

Požadovaná oblast se najde podle vzorce

Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku

Nyní přejdeme k úvahám o aplikacích integrálního počtu. V této lekci analyzujeme typický a nejběžnější úkol. Jak použít určitý integrál k výpočtu plochy rovinného obrazce. Konečně ti, kteří hledají smysl ve vyšší matematice – ať ho najdou. Nikdy nevíš. V reálném životě budete muset přiblížit letní chatu s elementárními funkcemi a najít její oblast pomocí určitého integrálu.

Pro úspěšné zvládnutí materiálu musíte:

1) Porozumět neurčitému integrálu alespoň na středně pokročilé úrovni. Takže figuríny by si měly lekci nejprve přečíst Ne.

2) Umět použít Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. S určitými integrály na stránce můžete navázat vřelé přátelské vztahy Určitý integrál. Příklady řešení.

Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrázku, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úloha "vypočítat plochu pomocí určitého integrálu" vždy zahrnuje konstrukci výkresu, takže vaše znalosti a dovednosti v kreslení budou mnohem relevantnější záležitostí. V tomto ohledu je užitečné osvěžit si paměť grafů hlavních elementárních funkcí a minimálně umět sestavit přímku, parabolu a hyperbolu. To lze provést (mnozí to potřebují) pomocí metodického materiálu a článku o geometrických transformacích grafů.

Problém hledání oblasti pomocí určitého integrálu zná vlastně každý už od školy a trochu předběhneme školní osnovy. Tento článek by možná vůbec neexistoval, ale faktem je, že problém nastává v 99 případech ze 100, kdy studenta trápí nenáviděná věž s nadšením zvládajícím kurz vyšší matematiky.

Materiály tohoto workshopu jsou prezentovány jednoduše, podrobně as minimem teorie.

Začněme křivočarým lichoběžníkem.

Křivočarý lichoběžník nazývá se plochý obrazec ohraničený osou , přímkami a grafem funkce spojité na segmentu, který na tomto intervalu nemění znaménko. Nechte toto číslo lokalizovat ne méněúsečka:

Pak plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Na lekci Určitý integrál. Příklady řešeníŘekl jsem, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést další užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem OBLAST.

to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše nějakého obrazce. Uvažujme například určitý integrál . Integrand definuje křivku v rovině, která je umístěna nad osou (kdo si přeje, může dokreslit výkres) a samotný určitý integrál je číselně roven ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

Toto je typický úkolový příkaz. Prvním a nejdůležitějším momentem rozhodnutí je konstrukce výkresu. Kromě toho musí být výkres vytvořen ŽE JO.

Při sestavování plánu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší konstruovat všechny čáry (pokud existují) a pouze Pak- paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Vytváření funkčních grafů je výhodnější bod po bodu, s technikou bodové konstrukce lze nalézt v referenčním materiálu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít materiál, který je velmi užitečný ve vztahu k naší lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Udělejme nákres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Nebudu líhnout křivočarý lichoběžník, je zřejmé, o jaké oblasti se zde bavíme. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu je umístěn graf funkce přes osu, Proto:

Odpovědět:

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newtonova-Leibnizova vzorce , viz přednáška Určitý integrál. Příklady řešení.

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na výkres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ spočítáme počet buněk na výkresu - dobře, bude napsáno asi 9, zdá se, že je to pravda. Je zcela jasné, že pokud bychom měli odpověď řekněme: 20 čtverečních jednotek, pak se evidentně někde stala chyba - 20 buněk se do dotyčného čísla evidentně nevejde, maximálně tucet. Pokud se ukázalo, že odpověď byla záporná, byla úloha také vyřešena špatně.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , a osou

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se nachází křivočarý lichoběžník pod nápravou?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Uděláme kresbu:

Pokud je umístěn křivočarý lichoběžník pod nápravou(nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak jeho obsah lze najít podle vzorce:
V tomto případě:

Pozornost! Nepleťte si dva typy úkolů:

1) Pokud jste požádáni, abyste vyřešili pouze určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě uvažovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte oblast ploché postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První způsob je analytický. Řešíme rovnici:

Tedy spodní hranice integrace, horní hranice integrace.
Pokud je to možné, je nejlepší tuto metodu nepoužívat..

Mnohem výhodnější a rychlejší je stavět linky bod po bodu, přičemž hranice integrace se zjišťují jakoby „sami“. Technika konstrukce bod po bodu pro různé grafy je podrobně popsána v nápovědě Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo závitová konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A budeme také uvažovat o takovém příkladu.

Vracíme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Opakuji, že u bodové konstrukce se hranice integrace nejčastěji zjišťují „automaticky“.

A nyní pracovní vzorec: Pokud je na intervalu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějakou spojitou funkci, pak oblast obrázku ohraničenou grafy těchto funkcí a přímkami, lze nalézt podle vzorce:

Zde již není nutné přemýšlet o tom, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno, záleží, který graf je NAHOŘE(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Dokončení řešení může vypadat takto:

Požadovaný údaj je omezen parabolou shora a přímkou ​​zespodu.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz jednoduchý příklad č. 3) je ve skutečnosti speciálním případem vzorce . Protože osa je dána rovnicí , a graf funkce je umístěn ne vyšší osy tedy

A nyní pár příkladů pro nezávislé řešení

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami , .

V průběhu řešení úloh pro výpočet plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Výkres byl proveden správně, výpočty byly správné, ale kvůli nepozornosti ... našel oblast špatného obrázku, tak to tvůj poslušný sluha několikrát podělal. Zde je případ ze skutečného života:

Příklad 7

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Řešení: Nejprve si uděláme kresbu:

…Eh, kresba vypadla, ale vše se zdá být čitelné.

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře.(pozorně se podívejte na stav - jak je postava omezená!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte najít oblast obrázku, která je vystínovaná zeleně!

Tento příklad je také užitečný v tom, že v něm je plocha obrázku vypočítána pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu nad osou je přímkový graf;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpovědět:

Přejděme k ještě jednomu smysluplnému úkolu.

Příklad 8

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami,
Představme rovnice ve „školní“ podobě a proveďte bodové kreslení:

Z nákresu je vidět, že naše horní hranice je „dobrá“: .
Jaká je ale spodní hranice? Je jasné, že to není celé číslo, ale co? Možná ? Ale kde je záruka, že kresba je provedena s dokonalou přesností, to se může dobře ukázat. Nebo root. Co kdybychom ten graf vůbec nepochopili?

V takových případech je třeba věnovat více času a analyticky upřesňovat limity integrace.

Najdeme průsečíky přímky a paraboly.
Za tímto účelem vyřešíme rovnici:


,

Opravdu, .

Další řešení je triviální, hlavní je nenechat se zmást v substitucích a znaménkách, výpočty zde nejsou nejjednodušší.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

No, na závěr lekce budeme považovat dva úkoly za obtížnější.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , ,

Řešení: Nakreslete tento obrázek do výkresu.

Sakra, zapomněl jsem podepsat rozvrh a předělat obrázek, promiň, ne hotz. Žádná kresba, zkrátka dnes je den =)

Pro konstrukci bodu po bodu je nutné znát vzhled sinusoidy (a obecně je užitečné znát grafy všech elementárních funkcí), stejně jako některé sinusové hodnoty, lze je nalézt v trigonometrická tabulka. V některých případech (jako v tomto případě) je dovoleno sestrojit schematický výkres, na kterém musí být grafy a integrační limity zobrazeny v zásadě správně.

S integračními limity zde nejsou žádné problémy, vyplývají přímo z podmínky: - "x" se změní z nuly na "pi". Učiníme další rozhodnutí:

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto: