Výška z pravého úhlu rozděluje přeponu. Pravoúhlý trojuhelník
Vlastnost: 1. V každém pravoúhlém trojúhelníku výška klesla z pravý úhel(podle přepony) rozděluje pravoúhlý trojúhelník na tři podobné trojúhelníky.
Vlastnost: 2. Výška pravoúhlého trojúhelníku, sníženého k přeponě, se rovná geometrickému průměru průmětů nohou na přeponu (nebo geometrickému průměru těch segmentů, na které výška rozděluje přeponu).
Vlastnost: 3. Noha se rovná geometrickému průměru přepony a průmětu této přepony na přeponu.
Vlastnost: 4. Noha proti úhlu 30 stupňů se rovná polovině přepony.
Formule 1.
Formule 2. kde je přepona; , brusle.
Vlastnost: 5. V pravoúhlém trojúhelníku je medián nakreslený k přeponě roven jeho polovině a roven poloměru kružnice opsané.
Vlastnost: 6. Závislost mezi stranami a úhly pravoúhlého trojúhelníku:
44. Kosinová věta. Důsledky: spojení mezi úhlopříčkami a stranami rovnoběžníku; určení typu trojúhelníku; vzorec pro výpočet délky mediánu trojúhelníku; výpočet kosinusu úhlu trojúhelníku.
Konec práce -
Toto téma patří:
Třída. Program kolokvia Základy planimetrie
Vlastnost sousedních úhlů.. definice dvou úhlů jsou sousedící, pokud jedna strana, kterou mají s ostatními dvěma společná, tvoří přímku..
Pokud potřebuješ doplňkový materiál na toto téma, nebo jste nenašli, co jste hledali, doporučujeme použít vyhledávání v naší databázi prací:
Co uděláme s přijatým materiálem:
Pokud se tento materiál ukázal být pro vás užitečný, můžete jej uložit na svou stránku na sociálních sítích:
Trojúhelníky.
Základní pojmy.
Trojúhelník- jedná se o obrazec skládající se ze tří segmentů a tří bodů, které neleží na jedné přímce.
Segmenty se nazývají strany a body vrcholy.
Součet úhlů trojúhelník je roven 180 º.
Výška trojúhelníku.
Výška trojúhelníku je kolmice vedená z vrcholu na opačnou stranu.
V ostroúhlém trojúhelníku je výška obsažena uvnitř trojúhelníku (obr. 1).
V pravoúhlém trojúhelníku jsou nohy výškami trojúhelníku (obr. 2).
V tupoúhlém trojúhelníku výška přechází mimo trojúhelník (obr. 3).
Vlastnosti výšky trojúhelníku:
Osa trojúhelníku.
Osa trojúhelníku- jedná se o segment, který půlí roh vrcholu a spojuje vrchol s bodem na opačné straně (obr. 5).
Vlastnosti osy:
Medián trojúhelníku.
Medián trojúhelníku- jedná se o segment spojující vrchol se středem protější strany (obr. 9a).
Délku mediánu lze vypočítat pomocí vzorce: 2b 2 + 2C 2 - A 2 kde m a- medián tažený do strany A. V pravoúhlém trojúhelníku je medián k přeponě poloviční: C kde mc je medián tažený k přeponě C(obr. 9c) Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě (v těžišti trojúhelníku) a jsou tímto bodem rozděleny v poměru 2:1, počítáno od vrcholu. To znamená, že úsek od vrcholu ke středu je dvakrát větší než úsek od středu ke straně trojúhelníku (obr. 9c). Tři mediány trojúhelníku jej rozdělují na šest trojúhelníků o stejné ploše. |
Střední čára trojúhelníku.
Střední čára trojúhelníku- jedná se o segment spojující středy jeho dvou stran (obr. 10).
Středová čára trojúhelníku je rovnoběžná se třetí stranou a rovná se její polovině.
Vnější roh trojúhelníku.
vnější roh trojúhelník se rovná součtu dvou nesousedících vnitřní rohy(obr. 11).
Vnější úhel trojúhelníku je větší než jakýkoli nesousední úhel.
Pravoúhlý trojuhelník- jedná se o trojúhelník, který má pravý úhel (obr. 12).
Strana pravoúhlého trojúhelníku protilehlá pravému úhlu se nazývá přepona.
Další dvě strany jsou tzv nohy.
Proporcionální úsečky v pravoúhlém trojúhelníku.
1) V pravoúhlém trojúhelníku tvoří výška nakreslená z pravého úhlu tři podobné trojúhelníky: ABC, ACH a HCB (obr. 14a). V souladu s tím jsou úhly tvořené výškou rovné úhlům A a B.
Obr.14a
Rovnoramenný trojúhelník- jedná se o trojúhelník, ve kterém jsou dvě strany stejné (obr. 13).
Tyto rovné strany se nazývají strany a třetí základ trojúhelník.
V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly na základně stejné. (V našem trojúhelníku je úhel A roven úhlu C).
V rovnoramenném trojúhelníku je medián nakreslený k základně osou i výškou trojúhelníku.
Rovnostranný trojúhelník.
Rovnostranný trojúhelník je trojúhelník, ve kterém jsou všechny strany stejné (obr. 14).
Vlastnosti rovnostranného trojúhelníku:
Pozoruhodné vlastnosti trojúhelníků.
Trojúhelníky mají originální vlastnosti, které vám pomohou úspěšně řešit problémy spojené s těmito tvary. Některé z těchto vlastností jsou popsány výše. Ale opakujeme je znovu a přidáváme k nim několik dalších skvělých funkcí:
1) V pravoúhlém trojúhelníku s úhly 90º, 30º a 60º je noha b, ležící proti úhlu 30º, se rovná polovina přepony. NohaA více nohab√3krát (obr. 15 A). Pokud je například větev b 5, pak přepona C nutně rovný 10, a noha A rovná se 5√3. 2) V pravoúhlém rovnoramenném trojúhelníku s úhly 90º, 45º a 45º je přepona √2násobkem nohy (obr. 15 b). Například, pokud jsou nohy 5, pak přepona je 5√2. 3) Prostřední čára trojúhelníku se rovná polovině rovnoběžné strany (obr. 15 S). Pokud je například strana trojúhelníku 10, pak středová čára rovnoběžná s ním je 5. 4) V pravoúhlém trojúhelníku je medián nakreslený k přeponě roven polovině přepony (obr. 9c): mc= c/2. 5) Mediány trojúhelníku, protínajícího se v jednom bodě, jsou tímto bodem děleny v poměru 2:1. To znamená, že úsek od vrcholu k průsečíku mediánů je dvojnásobkem úseku od průsečíku mediánů ke straně trojúhelníku (obr. 9c) 6) V pravoúhlém trojúhelníku je středem přepony střed kružnice opsané (obr. 15 d). |
Značky rovnosti trojúhelníků.
První známka rovnosti: Jsou-li dvě strany a úhel mezi nimi jednoho trojúhelníku roven dvěma stranám a úhel mezi nimi jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné.
Druhý znak rovnosti: jestliže se strana a úhly přilehlé k ní jednoho trojúhelníku rovnají straně a úhlům přilehlým k ní jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné.
Třetí znak rovnosti: Pokud se tři strany jednoho trojúhelníku rovnají třem stranám jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné.
Trojúhelníková nerovnost.
V každém trojúhelníku je každá strana menší než součet ostatních dvou stran.
Pythagorova věta.
V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec přepony rovná součtu čtverců nohou:
C 2 = A 2 + b 2 .
Oblast trojúhelníku.
1) Plocha trojúhelníku se rovná polovině součinu jeho strany a výšky nakreslené na tuto stranu:
Ah
S = ——
2
2) Plocha trojúhelníku se rovná polovině součinu libovolných dvou jeho stran a sinusu úhlu mezi nimi:
1
S = —
AB ·
AC ·
hřích A
2
Trojúhelník opsaný kolem kruhu.
Kruh se nazývá vepsaný do trojúhelníku, pokud se dotýká všech jeho stran (obr. 16 A).
Trojúhelník vepsaný do kruhu.
Trojúhelník se nazývá vepsaný do kruhu, pokud se ho dotýká všemi vrcholy (obr. 17 A).
Sinus, kosinus, tečna, kotangens ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku (obr. 18).
Sinus ostrý úhel X naproti katétru do přepony.
Označeno takto: hříchX.
Kosinus ostrý úhel X pravoúhlý trojúhelník je poměr přilehlý katétru do přepony.
Označuje se takto: cos X.
Tečna ostrý úhel X je poměr protilehlé nohy k sousední noze.
Označeno takto: tgX.
Kotangens ostrý úhel X je poměr sousední nohy k protější noze.
Označeno takto: ctgX.
Pravidla:
Noha protilehlý roh X, se rovná součinu přepony a hříchu X:
b=c hřích X
Noha přiléhající k rohu X, se rovná součinu přepony a cos X:
a = c cos X
Noha protilehlý roh X, se rovná součinu druhé větve a tg X:
b = a tg X
Noha přiléhající k rohu X, se rovná součinu druhé větve a ctg X:
a = b ctg X.
Pro jakýkoli ostrý úhel X:
hřích (90° - X) = cos X
cos (90° - X) = hřích X
Pravoúhlý trojuhelník je trojúhelník, ve kterém je jeden z úhlů pravý, tedy rovný 90 stupňům.
- Strana protilehlá pravému úhlu se nazývá přepona. C nebo AB)
- Strana přiléhající k pravému úhlu se nazývá noha. Každý pravoúhlý trojúhelník má dvě nohy (označené jako A a b nebo AC a BC)
Vzorce a vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku
Označení formule:(viz obrázek výše)
a, b- nohy pravoúhlého trojúhelníku
C- přepona
α, β - ostré úhly trojúhelníku
S- náměstí
h- výška klesla od vrcholu pravého úhlu k přeponě
m a A z opačného rohu ( α )
m b- medián tažený do strany b z opačného rohu ( β )
mc- medián tažený do strany C z opačného rohu ( γ )
V pravoúhlý trojuhelník kterákoli noha je menší než přepona(Formule 1 a 2). Tato vlastnost je důsledkem Pythagorovy věty.
Kosinus kteréhokoli z ostrých úhlů méně než jedna (vzorce 3 a 4). Tato vlastnost navazuje na předchozí. Protože kterákoli z větví je menší než přepona, poměr větve k přeponě je vždy menší než jedna.
Druhá mocnina přepony se rovná součtu čtverců nohou (Pythagorova věta). (Formule 5). Tato vlastnost je neustále využívána při řešení problémů.
Oblast pravoúhlého trojúhelníku rovná se polovině produktu nohou (Formule 6)
Součet druhých mocnin mediánů k nohám se rovná pěti čtvercům mediánu k přeponě a pěti čtvercům přepony děleno čtyřmi (vzorec 7). Kromě výše uvedeného tam 5 dalších vzorců, proto se doporučuje seznámit se také s lekcí " Medián pravoúhlého trojúhelníku ", která blíže popisuje vlastnosti mediánu.
Výška pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu noh dělených přeponou (vzorec 8)
Čtverce nohou jsou nepřímo úměrné druhé mocnině výšky pokleslé k přeponě (vzorec 9). Tato identita je také jedním z důsledků Pythagorovy věty.
Délka přepony rovný průměru (dva poloměry) opsané kružnice (vzorec 10). Přepona pravoúhlého trojúhelníku je průměr kružnice opsané. Tato vlastnost se často používá při řešení problémů.
Vepsaný poloměr v pravoúhlý trojuhelník kruhy lze nalézt jako polovinu výrazu, který zahrnuje součet ramen tohoto trojúhelníku mínus délku přepony. Nebo jako součin nohou dělený součtem všech stran (obvodu) daného trojúhelníku. (Formule 11)
Sinus úhlu naproti tento roh noha do přepony(podle definice sinus). (Formule 12). Tato vlastnost se používá při řešení problémů. Když znáte rozměry stran, můžete najít úhel, který tvoří.
Kosinus úhlu A (α, alfa) v pravoúhlém trojúhelníku bude roven vztah přilehlý tento roh noha do přepony(podle definice sinus). (Formule 13)
Ve skutečnosti všechno není vůbec tak děsivé. Samozřejmě je třeba se v článku podívat na "skutečnou" definici sinus, kosinus, tangens a kotangens. Ale to opravdu nechceš, že? Můžeme se radovat: k vyřešení problémů o pravoúhlém trojúhelníku stačí vyplnit následující jednoduché věci:
A co úhel? Existuje noha, která je naproti rohu, tedy protilehlá noha (pro roh)? Samozřejmě že ano! Tohle je katetr!
Ale co úhel? Podívej se blíže. Která noha sousedí s rohem? Samozřejmě, kočka. Takže pro úhel je noha přilehlá a
A teď pozor! Podívejte se, co jsme dostali:
Podívejte se, jak je to skvělé:
Nyní přejdeme k tečně a kotangensě.
Jak to nyní vyjádřit slovy? Jaká je noha ve vztahu k rohu? Samozřejmě naproti – „leží“ naproti rohu. A katetr? Přiléhající k rohu. Tak co jsme dostali?
Vidíte, jak jsou čitatel a jmenovatel obráceny?
A teď zase rohy a provedli výměnu:
souhrn
Stručně sepišme, co jsme se naučili.
Pythagorova věta: |
Hlavní věta o pravoúhlém trojúhelníku je Pythagorova věta.
Pythagorova věta
Mimochodem, pamatujete si dobře, co jsou nohy a přepona? Pokud ne, podívejte se na obrázek - osvěžte si své znalosti
Je možné, že jste Pythagorovu větu použili již mnohokrát, ale napadlo vás někdy, proč je taková věta pravdivá. Jak byste to dokázal? Dělejme to jako staří Řekové. Nakreslíme čtverec se stranou.
Vidíte, jak lstivě jsme rozdělili jeho strany na segmenty délek a!
Nyní spojíme označené body
Zde jsme však zaznamenali něco jiného, ale vy sami se podívejte na obrázek a přemýšlejte proč.
Jaká je plocha většího náměstí?
Správně, .
A co menší plocha?
Samozřejmě, .
Celková plocha čtyř rohů zůstává. Představte si, že jsme vzali dva z nich a opřeli se o sebe s přeponami.
Co se stalo? Dva obdélníky. Oblast „řízků“ je tedy stejná.
Pojďme to teď dát dohromady.
Pojďme se transformovat:
Navštívili jsme tedy Pythagora - starověkým způsobem jsme dokázali jeho větu.
Pravoúhlý trojúhelník a trigonometrie
Pro pravoúhlý trojúhelník platí následující vztahy:
Sinus ostrého úhlu se rovná poměru protější větve k přeponě
Kosinus ostrého úhlu se rovná poměru sousední větve k přeponě.
Tangenta ostrého úhlu se rovná poměru protilehlé větve k přilehlé větvi.
Kotangens ostrého úhlu se rovná poměru přilehlé větve k protější větvi.
A ještě jednou, to vše ve formě talíře:
Je to velmi pohodlné!
Značky rovnosti pravoúhlých trojúhelníků
I. Na dvou nohách
II. Nohou a přeponou
III. Podle přepony a ostrého úhlu
IV. Podél nohy a ostrý úhel
A)
b)
Pozornost! Zde je velmi důležité, aby nohy „odpovídaly“. Například pokud to dopadne takto:
PAK NEJSOU TROJÚHELNÍKY ROVNÉ, navzdory skutečnosti, že mají jeden shodný ostrý úhel.
Potřebovat v obou trojúhelnících byla noha přilehlá, nebo v obou - protilehlá.
Všimli jste si, jak se znaménka rovnosti pravoúhlých trojúhelníků liší od obvyklých znamének rovnosti trojúhelníků?
Podívejte se na téma „a věnujte pozornost tomu, že pro rovnost „obyčejných“ trojúhelníků potřebujete rovnost jejich tří prvků: dvou stran a úhlu mezi nimi, dvou úhlů a strany mezi nimi nebo tří stran.
Ale pro rovnost pravoúhlých trojúhelníků stačí pouze dva odpovídající prvky. Je to skvělé, že?
Přibližně stejná situace se znaky podobnosti pravoúhlých trojúhelníků.
Znaky podobnosti pravoúhlých trojúhelníků
I. Akutní koutek
II. Na dvou nohách
III. Nohou a přeponou
Medián v pravoúhlém trojúhelníku
Proč je to tak?
Uvažujme celý obdélník místo pravoúhlého trojúhelníku.
Nakreslíme úhlopříčku a uvažujme bod – průsečík úhlopříček. Co víte o úhlopříčkách obdélníku?
A co z toho plyne?
Tak se to stalo
- - medián:
Pamatujte na tuto skutečnost! Hodně pomáhá!
O to překvapivější je, že opak je pravdou.
Co dobrého lze získat ze skutečnosti, že medián k přeponě se rovná polovině přepony? Podívejme se na obrázek
Podívej se blíže. Máme: , to znamená, že vzdálenosti od bodu ke všem třem vrcholům trojúhelníku se ukázaly být stejné. Ale v trojúhelníku je jen jeden bod, vzdálenosti od kterých jsou přibližně všechny tři vrcholy trojúhelníku stejné, a to je STŘED popsaného OKRUHU. Tak, co se stalo?
Začněme tedy tímto „kromě...“.
Podívejme se na i.
Ale v podobných trojúhelníkech jsou všechny úhly stejné!
Totéž lze říci o a
Teď to nakreslíme společně:
Jaký užitek lze čerpat z této „trojité“ podobnosti.
No, například - dva vzorce pro výšku pravoúhlého trojúhelníku.
Zapisujeme vztahy odpovídajících stran:
Abychom našli výšku, vyřešíme poměr a dostaneme první vzorec "Výška v pravoúhlém trojúhelníku":
No, teď, když tyto znalosti použijete a spojíte s ostatními, vyřešíte jakýkoli problém pomocí pravoúhlého trojúhelníku!
Použijme tedy podobnost: .
co se teď stane?
Opět vyřešíme poměr a dostaneme druhý vzorec:
Oba tyto vzorce si musíte velmi dobře zapamatovat a ten, který je pohodlnější aplikovat.
Pojďme si je znovu zapsat.
Pythagorova věta:
V pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina přepony rovna součtu čtverců nohou:.
Značky rovnosti pravoúhlých trojúhelníků:
- na dvou nohách:
- podél nohy a přepony: nebo
- podél nohy a přilehlého ostrého úhlu: nebo
- podél nohy a protilehlý ostrý úhel: nebo
- podle přepony a ostrého úhlu: nebo.
Znaky podobnosti pravoúhlých trojúhelníků:
- jeden ostrý roh: nebo
- z proporcionality dvou nohou:
- z úměrnosti nohy a přepony: nebo.
Sinus, kosinus, tečna, kotangens v pravoúhlém trojúhelníku
- Sinus ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr protější větve k přeponě:
- Kosinus ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr přilehlé větve k přeponě:
- Tangenta ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr protilehlé větve k sousední větvi:
- Kotangens ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr sousedního ramene k opačnému:.
Výška pravoúhlého trojúhelníku: nebo.
V pravoúhlém trojúhelníku je medián vytažený z vrcholu pravého úhlu roven polovině přepony: .
Plocha pravoúhlého trojúhelníku:
- přes katetry:
(ABC) a jeho vlastnosti, což je znázorněno na obrázku. Pravoúhlý trojúhelník má přeponu, stranu protilehlou pravému úhlu.
Tip 1: Jak zjistit výšku v pravoúhlém trojúhelníku
Strany, které svírají pravý úhel, se nazývají nohy. Boční kresba AD, DC a BD, DC- nohy a boky AC a SW- přepona.
Věta 1. V pravoúhlém trojúhelníku s úhlem 30° se noha protilehlá tomuto úhlu roztrhne do poloviny přepony.
hC
AB- přepona;
INZERÁT a DB
Trojúhelník
Existuje věta:
systém komentářů CACKLE
Řešení: 1) Úhlopříčky libovolného obdélníku jsou stejné Pravda 2) Pokud je v trojúhelníku jeden ostrý úhel, pak je tento trojúhelník ostroúhlý. Není pravda. Typy trojúhelníků. Trojúhelník se nazývá ostroúhlý, jsou-li všechny tři jeho úhly ostré, tj. menší než 90° 3) Leží-li bod na.
Nebo v jiném záznamu,
Podle Pythagorovy věty
Jaká je výška ve vzorci pravoúhlého trojúhelníku
Výška pravoúhlého trojúhelníku
Výšku pravoúhlého trojúhelníku nakresleného k přeponě lze najít tak či onak v závislosti na údajích v zadání problému.
Nebo v jiném záznamu,
Kde BK a KC jsou projekce nohou na přeponu (segmenty, na které nadmořská výška rozděluje přeponu).
Nadmořskou výšku nakreslenou k přeponě lze nalézt v oblasti pravoúhlého trojúhelníku. Pokud použijeme vzorec pro nalezení oblasti trojúhelníku
(polovina součinu strany a výšky nakreslené na tuto stranu) k přeponě a výšky nakreslené k přeponě, dostaneme:
Odtud můžeme zjistit výšku jako poměr dvojnásobku plochy trojúhelníku k délce přepony:
Protože plocha pravoúhlého trojúhelníku je polovina součinu nohou:
To znamená, že délka výšky nakreslené k přeponě se rovná poměru součinu nohou k přeponě. Označíme-li délky ramen přes a a b, délku přepony až c, lze vzorec přepsat jako
Protože poloměr kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku je roven polovině přepony, lze délku výšky vyjádřit pomocí nohou a poloměru kružnice opsané:
Protože výška nakreslená k přeponě tvoří další dva pravoúhlé trojúhelníky, lze její délku zjistit poměry v pravoúhlém trojúhelníku.
Z pravoúhlého trojúhelníku ABK
Z pravoúhlého trojúhelníku ACK
Délku výšky pravoúhlého trojúhelníku lze vyjádřit délkou nohou. Protože
Podle Pythagorovy věty
Pokud odmocníme obě strany rovnice:
Můžete získat další vzorec pro vztah výšky pravoúhlého trojúhelníku k nohám:
Jaká je výška ve vzorci pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojuhelník. Průměrná úroveň.
Chcete si otestovat své síly a zjistit výsledek, jak jste připraveni na Jednotnou státní zkoušku nebo OGE?
Hlavní věta o pravoúhlém trojúhelníku je Pythagorova věta.
Pythagorova věta
Mimochodem, pamatujete si dobře, co jsou nohy a přepona? Pokud ne, podívejte se na obrázek - osvěžte si své znalosti
Je možné, že jste Pythagorovu větu použili již mnohokrát, ale napadlo vás někdy, proč je taková věta pravdivá. Jak byste to dokázal? Dělejme to jako staří Řekové. Nakreslíme čtverec se stranou.
Vidíte, jak lstivě jsme rozdělili jeho strany na segmenty délek a!
Nyní spojíme označené body
Zde jsme však zaznamenali něco jiného, ale vy sami se podívejte na obrázek a přemýšlejte proč.
Jaká je plocha většího náměstí? Správně, . A co menší plocha? Samozřejmě, . Celková plocha čtyř rohů zůstává. Představte si, že jsme vzali dva z nich a opřeli se o sebe s přeponami. Co se stalo? Dva obdélníky. Oblast „řízků“ je tedy stejná.
Pojďme to teď dát dohromady.
Navštívili jsme tedy Pythagora - starověkým způsobem jsme dokázali jeho větu.
Pravoúhlý trojúhelník a trigonometrie
Pro pravoúhlý trojúhelník platí následující vztahy:
Sinus ostrého úhlu se rovná poměru protější větve k přeponě
Kosinus ostrého úhlu se rovná poměru sousední větve k přeponě.
Tangenta ostrého úhlu se rovná poměru protilehlé větve k přilehlé větvi.
Kotangens ostrého úhlu se rovná poměru přilehlé větve k protější větvi.
A ještě jednou, to vše ve formě talíře:
Všimli jste si jedné velmi šikovné věci? Pozorně si prohlédněte talíř.
Je to velmi pohodlné!
Značky rovnosti pravoúhlých trojúhelníků
II. Nohou a přeponou
III. Podle přepony a ostrého úhlu
IV. Podél nohy a ostrý úhel
Pozornost! Zde je velmi důležité, aby nohy „odpovídaly“. Například pokud to dopadne takto:
PAK NEJSOU TROJÚHELNÍKY ROVNÉ, navzdory skutečnosti, že mají jeden shodný ostrý úhel.
Potřebovat V obou trojúhelníkech byla noha sousedící, nebo v obou - protilehlá.
Všimli jste si, jak se znaménka rovnosti pravoúhlých trojúhelníků liší od obvyklých znamének rovnosti trojúhelníků? Podívejte se na téma „Trojúhelník“ a věnujte pozornost tomu, že pro rovnost „obyčejných“ trojúhelníků potřebujete rovnost jejich tří prvků: dvě strany a úhel mezi nimi, dva úhly a strana mezi nimi, nebo tři strany. Ale pro rovnost pravoúhlých trojúhelníků stačí pouze dva odpovídající prvky. Je to skvělé, že?
Přibližně stejná situace se znaky podobnosti pravoúhlých trojúhelníků.
Znaky podobnosti pravoúhlých trojúhelníků
III. Nohou a přeponou
Medián v pravoúhlém trojúhelníku
Uvažujme celý obdélník místo pravoúhlého trojúhelníku.
Nakreslete úhlopříčku a zvažte bod, kde se úhlopříčky protínají. Co víte o úhlopříčkách obdélníku?
- Diagonální průsečík půlení Úhlopříčky jsou stejné
A co z toho plyne?
Tak se to stalo
Pamatujte na tuto skutečnost! Hodně pomáhá!
O to překvapivější je, že opak je pravdou.
Co dobrého lze získat ze skutečnosti, že medián k přeponě se rovná polovině přepony? Podívejme se na obrázek
Podívej se blíže. Máme: , to znamená, že vzdálenosti od bodu ke všem třem vrcholům trojúhelníku se ukázaly být stejné. Ale v trojúhelníku je jen jeden bod, vzdálenosti od kterých jsou přibližně všechny tři vrcholy trojúhelníku stejné, a to je STŘED popsaného OKRUHU. Tak, co se stalo?
Začněme tedy tímto „kromě toho. ".
Ale v podobných trojúhelníkech jsou všechny úhly stejné!
Totéž lze říci o a
Teď to nakreslíme společně:
Oba mají stejně ostré rohy!
Jaký užitek lze čerpat z této „trojité“ podobnosti.
No, například - Dva vzorce pro výšku pravoúhlého trojúhelníku.
Zapisujeme vztahy odpovídajících stran:
Abychom našli výšku, vyřešíme poměr a dostaneme První vzorec "Výška v pravoúhlém trojúhelníku":
Jak získat druhý?
A nyní použijeme podobnost trojúhelníků a.
Použijme tedy podobnost: .
co se teď stane?
Opět vyřešíme podíl a dostaneme druhý vzorec "Výška v pravoúhlém trojúhelníku":
Oba tyto vzorce si musíte velmi dobře zapamatovat a ten, který je pohodlnější aplikovat. Pojďme si je znovu zapsat.
No, teď, když tyto znalosti použijete a spojíte s ostatními, vyřešíte jakýkoli problém pomocí pravoúhlého trojúhelníku!
Komentáře
Distribuce materiálů bez schválení je povolena, pokud existuje odkaz dofollow na zdrojovou stránku.
Zásady ochrany osobních údajů
Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích. Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení. Můžeme také použít osobní údaje pro interní účely, jako je audit, analýza dat a různé studie ke zlepšení námi poskytovaných služeb a k poskytování doporučení týkajících se našich služeb.
Výšková vlastnost pravoúhlého trojúhelníku klesla na přeponu
Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
- V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu. V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.
Děkuji za zprávu!
Váš komentář byl přijat, po moderování bude zveřejněn na této stránce.
Chcete vědět, co se skrývá pod střihem a získat exkluzivní materiály o přípravě na OGE a USE? Zanechte e-mail
Vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku
Uvažujme pravoúhlý trojúhelník (ABC) a jeho vlastnosti, což je znázorněno na obrázku. Pravoúhlý trojúhelník má přeponu, stranu protilehlou pravému úhlu. Strany, které svírají pravý úhel, se nazývají nohy. Boční kresba AD, DC a BD, DC- nohy a boky AC a SW- přepona.
Znaky rovnosti pravoúhlého trojúhelníku:
Věta 1. Pokud jsou přepona a rameno pravoúhlého trojúhelníku podobné přeponě a rameni jiného trojúhelníku, pak jsou tyto trojúhelníky stejné.
Věta 2. Jestliže se dvě větve pravoúhlého trojúhelníku rovnají dvěma větvím jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné.
Věta 3. Jsou-li přepona a ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku podobné přeponě a ostrému úhlu jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné.
Věta 4. Jsou-li rameno a přilehlý (opačný) ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku rovny rameni a sousednímu (opačnému) ostrému úhlu jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné.
Vlastnosti nohy naproti úhlu 30°:
Věta 1.
Výška v pravoúhlém trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku s úhlem 30° se noha protilehlá tomuto úhlu roztrhne do poloviny přepony.
Věta 2. Je-li v pravoúhlém trojúhelníku noha rovna polovině přepony, pak je opačný úhel 30°.
Pokud je výška nakreslena od vrcholu pravého úhlu k přeponě, pak se takový trojúhelník rozdělí na dva menší, podobné vycházejícímu a podobné druhému. Z toho plynou následující závěry:
- Výška je geometrický průměr (průměrný průměr) dvou segmentů přepony.
- Každá větev trojúhelníku je střední hodnota úměrná přeponě a sousedním segmentům.
V pravoúhlém trojúhelníku fungují nohy jako výšky. Ortocentrum je bod, kde se protínají výšky trojúhelníku. Shoduje se s horní částí pravého úhlu obrázku.
hC- výška vycházející z pravého úhlu trojúhelníku;
AB- přepona;
INZERÁT a DB- segmenty, které vznikly při dělení přepony výškou.
Zpět na prohlížení referencí o disciplíně "Geometrie"
Trojúhelník- tohle je geometrický obrazec, skládající se ze tří bodů (vrcholů), které nejsou na stejné přímce, a tří segmentů spojujících tyto body. Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, který má jeden z úhlů 90° (pravý úhel).
Existuje věta: součet ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku je 90°.
systém komentářů CACKLE
Klíčová slova: trojúhelník, obdélník, noha, přepona, Pythagorova věta, kruh
Trojúhelník tzv obdélníkový pokud má pravý úhel.
Pravoúhlý trojúhelník má dvě vzájemně kolmé strany tzv nohy; třetí strana se nazývá přepona.
- Podle vlastností kolmé a šikmé přepony je každá z nohou delší (ale menší než jejich součet).
- Součet dvou ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku se rovná pravému úhlu.
- Dvě výšky pravoúhlého trojúhelníku se shodují s jeho nohami. Proto jeden ze čtyř pozoruhodných bodů připadá na vrcholy pravého úhlu trojúhelníku.
- Střed kružnice opsané pravoúhlého trojúhelníku leží ve středu přepony.
- Medián pravoúhlého trojúhelníku vedeného z vrcholu pravého úhlu k přeponě je poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku.
Uvažujme libovolný pravoúhlý trojúhelník ABC a z vrcholu C jeho pravého úhlu nakreslete výšku CD = hc.
Rozbije se daný trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky ACD a BCD; každý z těchto trojúhelníků má společný ostrý úhel s trojúhelníkem ABC a je tedy podobný trojúhelníku ABC.
Všechny tři trojúhelníky ABC, ACD a BCD jsou si navzájem podobné.
Z podobnosti trojúhelníků jsou určeny následující vztahy:
- $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
- c = ac + bc;
- $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
- $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.
Pythagorova věta jeden ze základních teorémů euklidovské geometrie, zakládající vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku.
Geometrické znění. V pravoúhlém trojúhelníku se plocha čtverce postaveného na přeponě rovná součtu ploch čtverců postavených na nohách.
Algebraická formulace. V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec přepony rovná součtu čtverců nohou.
To znamená, že označte délku přepony trojúhelníku přes c a délky ramen přes a a b:
a2 + b2 = c2
Inverzní Pythagorova věta.
Výška pravoúhlého trojúhelníku
Pro každou trojici kladná čísla a, b a c takové, že
a2 + b2 = c2,
existuje pravoúhlý trojúhelník s rameny a a b a přeponou c.
Značky rovnosti pravoúhlých trojúhelníků:
- podél nohy a přepony;
- na dvou nohách;
- podél nohy a ostrého úhlu;
- přepona a ostrý úhel.
Viz také:
Oblast trojúhelníku, rovnoramenný trojúhelník, rovnostranný trojúhelník
Geometrie. 8 Třída. Test 4. Volba 1 .
INZERÁT : CD = CD : B.D. Proto CD2 = AD ∙ B.D. Oni říkají:
INZERÁT : AC=AC : AB. Proto AC2 = AB ∙ INZERÁT. Oni říkají:
BD : BC = BC : AB. Proto BC2 = AB ∙ B.D.
Řešit problémy:
1.
A) 70 cm; b) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm
2. Výška pravoúhlého trojúhelníku nakresleného k přeponě rozděluje přeponu na segmenty 9 a 36.
Určete délku této výšky.
A) 22,5; b) 19; C) 9; D) 12; E) 18.
4.
A) 30,25; b) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.
5.
A) 25; b) 24; C) 27; D) 26; E) 21.
6.
A) 8; b) 7; C) 6; D) 5; E) 4.
7.
8. Rameno pravoúhlého trojúhelníku je 30.
Jak zjistit výšku v pravoúhlém trojúhelníku?
Najděte vzdálenost od vrcholu pravého úhlu k přeponě, jestliže poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku je 17.
A) 17; b) 16; C) 15; D) 14; E) 12.
10.
A) 15; b) 18; C) 20; D) 16; E) 12.
A) 80; b) 72; C) 64; D) 81; E) 75.
12.
A) 7,5; b) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.
Zkontrolujte odpovědi!
D8.04.1. Proporcionální úsečky v pravoúhlém trojúhelníku
Geometrie. 8 Třída. Test 4. Volba 1 .
V Δ ABC ∠ACV = 90°. Nohy AC a BC, přepona AB.
CD je výška trojúhelníku nakresleného k přeponě.
AD projekce AC nohy na přeponu,
BD projekce BC nohy na přeponu.
Altitude CD rozděluje trojúhelník ABC na dva jemu podobné trojúhelníky (a sobě navzájem): Δ ADC a Δ CDB.
Z proporcionality stran podobných Δ ADC a Δ CDB vyplývá:
INZERÁT : CD = CD : B.D.
Vlastnost výšky pravoúhlého trojúhelníku klesla na přeponu.
Proto CD2 = AD ∙ B.D. Oni říkají: výška pravoúhlého trojúhelníku nakresleného na přeponu,je průměrná proporcionální hodnota mezi projekcemi nohou na přeponu.
Z podobnosti Δ ADC a Δ ACB vyplývá:
INZERÁT : AC=AC : AB. Proto AC2 = AB ∙ INZERÁT. Oni říkají: každá větev je průměrná proporcionální hodnota mezi celou přeponou a projekcí této větve na přeponu.
Podobně z podobnosti Δ CDB a Δ ACB vyplývá:
BD : BC = BC : AB. Proto BC2 = AB ∙ B.D.
Řešit problémy:
1. Najděte výšku pravoúhlého trojúhelníku nakresleného k přeponě, pokud rozděluje přeponu na segmenty 25 cm a 81 cm.
A) 70 cm; b) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm
2. Výška pravoúhlého trojúhelníku nakresleného k přeponě rozděluje přeponu na segmenty 9 a 36. Určete délku této výšky.
A) 22,5; b) 19; C) 9; D) 12; E) 18.
4. Výška pravoúhlého trojúhelníku vtaženého do přepony je 22, průmět jedné nohy je 16. Najděte průmět druhé nohy.
A) 30,25; b) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.
5. Rameno pravoúhlého trojúhelníku je 18 a jeho průmět na přeponu je 12. Najděte přeponu.
A) 25; b) 24; C) 27; D) 26; E) 21.
6. Přepona je 32. Najděte nohu, jejíž průmět na přeponu je 2.
A) 8; b) 7; C) 6; D) 5; E) 4.
7. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je 45. Najděte nohu, jejíž průmět na přeponu je 9.
8. Rameno pravoúhlého trojúhelníku je 30. Najděte vzdálenost od vrcholu pravého úhlu k přeponě, je-li poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku 17.
A) 17; b) 16; C) 15; D) 14; E) 12.
10. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je 41 a průmět jedné z větví je 16. Najděte délku výšky nakreslené od vrcholu pravého úhlu k přeponě.
A) 15; b) 18; C) 20; D) 16; E) 12.
A) 80; b) 72; C) 64; D) 81; E) 75.
12. Rozdíl v průmětech nohou na přeponu je 15 a vzdálenost od vrcholu pravého úhlu k přeponě je 4. Najděte poloměr kružnice opsané.
A) 7,5; b) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.