Addition von Zahlen mit verschiedenen Exponenten. Aktionen mit Monomen
Wie multipliziert man Kräfte? Welche Kräfte können multipliziert werden und welche nicht? Wie multipliziert man eine Zahl mit einer Potenz?
In der Algebra kannst du das Potenzprodukt in zwei Fällen finden:
1) wenn die Abschlüsse die gleiche Grundlage haben;
2) wenn die Abschlüsse die gleichen Indikatoren haben.
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis muss die Basis gleich bleiben und die Exponenten addiert werden:
Bei der Multiplikation von Graden mit denselben Indikatoren kann der Gesamtindikator aus Klammern herausgenommen werden:
Überlegen Sie anhand konkreter Beispiele, wie Sie Potenzen multiplizieren können.
Die Einheit im Exponenten wird nicht geschrieben, aber beim Multiplizieren der Grade berücksichtigen sie:
Beim Multiplizieren kann die Gradzahl beliebig sein. Es ist zu beachten, dass Sie das Multiplikationszeichen nicht vor den Buchstaben schreiben können:
In Ausdrücken wird zuerst potenziert.
Wenn Sie eine Zahl mit einer Potenz multiplizieren müssen, müssen Sie zuerst eine Potenzierung durchführen und erst dann - Multiplikation:
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Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Potenzen
Addition und Subtraktion von Potenzen
Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.
Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 - b n und h 5 - d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.
Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.
Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .
Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.
Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.
Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .
Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.
Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen des Subtrahends entsprechend geändert werden müssen.
Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Potenzmultiplikation
Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.
Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.
Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y
Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .
Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.
Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.
Also, ein n .am = ein m+n .
Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;
Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;
Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.
Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten − sind Negativ.
1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. ein -n .am = ein m-n .
Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt
Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.
Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.
Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .
Gewaltenteilung
Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Divisor subtrahiert oder sie in Form eines Bruchs darstellt.
Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .
Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac $. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.
Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..
Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac = y$.
Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac = a^n$.
Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.
Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten
1. Exponenten in $\frac $ reduzieren Antwort: $\frac $.
2. Reduzieren Sie die Exponenten in $\frac$. Antwort: $\frac $ oder 2x.
3. Reduziere die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 und bringe auf gemeinsamer Nenner.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .
4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.
5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.
6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .
8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.
Grad Eigenschaften
Wir erinnern Sie daran, dass in diese Lektion verstehe Grad Eigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Abschlüsse mit rationale Indikatoren und ihre Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse besprochen.
Grad c natürlicher Indikator hat verschiedene wichtige Eigenschaften, die es Ihnen ermöglichen, Berechnungen in Beispielen mit Potenzen zu vereinfachen.
Eigentum Nr. 1
Produkt der Kräfte
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.
a m a n \u003d a m + n, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.
Diese Eigenschaft von Potenzen wirkt sich auch auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen aus.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Bitte beachten Sie, dass es bei der angegebenen Eigenschaft nur darum ging, Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren.. Sie gilt nicht für deren Hinzufügung.
Du kannst die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243
Eigentum Nr. 2
Private Abschlüsse
Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft von partiellen Graden.
3 8: t = 3 4
Antwort: t = 3 4 = 81
Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.
- Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Beispiel. Ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe von Gradeigenschaften.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft 2 sich nur mit der Gewaltenteilung mit gleichen Grundlagen befasste.
Du kannst die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn Sie (4 3 − 4 2) = (64 − 16) = 48 und 4 1 = 4 berechnen
Eigenschaft Nr. 3
Potenzierung
Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis der Potenz unverändert und die Exponenten werden multipliziert.
(a n) m \u003d a n m, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.
Bitte beachten Sie, dass die Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden, auch in verwendet wird umgekehrte Reihenfolge.
(a n b n) = (a b) n
Das heißt, um Grad mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren und den Exponenten unverändert lassen.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
In mehr schwierige Beispiele Es kann Fälle geben, in denen Multiplikation und Division mit Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.
Beispiel: 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Beispiel für die Potenzierung eines Dezimalbruchs.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = vier
Eigenschaften 5
Potenz des Quotienten (Brüche)
Um einen Quotienten zu potenzieren, kannst du den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.
(a: b) n \u003d a n: b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n eine beliebige natürliche Zahl ist.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs gehen wir daher auf der nächsten Seite näher ein.
Grade und Wurzeln
Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,
Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.
Operationen mit Grad.
1. Beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:
bin · ein n = ein m + n .
2. Bei der Teilung von Graden mit der gleichen Basis, ihre Indikatoren abgezogen .
3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.
4. Der Grad des Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden (Zähler) und des Divisors (Nenner):
(a/b) n = ein n / b n .
5. Wenn Sie einen Grad zu einer Potenz erheben, werden ihre Indikatoren multipliziert:
Alle obigen Formeln werden in beiden Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.
BEISPIEL (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Betriebe mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel(radikaler Ausdruck ist positiv).
1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:
2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis der Wurzeln des Dividenden und des Divisors:
3. Wenn eine Wurzel zu einer Potenz erhoben wird, reicht es aus, diese Potenz zu erheben Stammnummer:
4. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache erhöhen und gleichzeitig die Zahl der Wurzel auf den m-ten Grad erhöhen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
5. Wenn Sie den Grad der Wurzel um m-mal reduzieren und gleichzeitig die Wurzel des m-ten Grades aus der Wurzelzahl ziehen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
Erweiterung des Gradbegriffs. Bisher haben wir Abschlüsse nur mit einem natürlichen Indikator betrachtet; aber Operationen mit Kräften und Wurzeln können auch dazu führen Negativ, Null und Bruchteil Indikatoren. Alle diese Exponenten bedürfen einer zusätzlichen Definition.
Grad mit negativem Exponenten. Die Potenz einer Zahl mit einem negativen (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als Eins dividiert durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des negativen Exponenten ist:
Jetzt die Formel bin : ein = ein m-n kann nicht nur für verwendet werden m, mehr als n, sondern auch bei m, weniger als n .
BEISPIEL a 4: a 7 = ein 4 — 7 = ein — 3 .
Wenn wir die Formel wollen bin : ein = bin — n war fair bei m = n, brauchen wir eine Definition des Nullgrades.
Grad mit Exponent null. Der Grad jeder Zahl ungleich Null mit Exponent Null ist 1.
BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um aufzusteigen reelle Zahl und zur Potenz m / n müssen Sie die Wurzel des n-ten Grades aus der m-ten Potenz dieser Zahl a ziehen:
Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke.
wo a ≠ 0 , existiert nicht.
In der Tat, wenn wir davon ausgehen x eine bestimmte Zahl ist, dann gilt gemäß der Definition der Divisionsoperation: a = 0· x, d.h. a= 0, was der Bedingung widerspricht: a ≠ 0
— irgendeine Nummer.
In der Tat, wenn wir annehmen, dass dieser Ausdruck gleich einer Zahl ist x, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 x. Aber diese Gleichheit gilt für irgendeine Zahl x, was zu beweisen war.
0 0 — irgendeine Nummer.
Lösung: Betrachten Sie drei Hauptfälle:
1) x = 0 – dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht
2) wann x> 0 erhalten wir: x / x= 1, d.h. 1 = 1, woraus folgt,
was x- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen
unser Fall x> 0 ist die Antwort x > 0 ;
Regeln zum Multiplizieren von Potenzen mit unterschiedlichen Basen
GRAD MIT EINEM RATIONALEN INDIKATOR,
POWER-FUNKTION IV
§ 69. Multiplikation und Division von Potenzen mit denselben Grundlagen
Satz 1. Um Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren, reicht es aus, die Exponenten zu addieren und die Basis gleich zu lassen
Nachweisen. Per Definition von Grad
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Wir haben das Produkt zweier Potenzen betrachtet. Tatsächlich gilt die bewiesene Eigenschaft für eine beliebige Anzahl von Potenzen mit denselben Basen.
Satz 2. Um Potenzen mit denselben Basen zu teilen, reicht es aus, wenn der Indikator des Dividenden größer als der Indikator des Divisors ist, den Indikator des Divisors vom Indikator des Dividenden zu subtrahieren und die Basis gleich zu lassen, das heißt bei t > n
(a =/= 0)
Nachweisen. Erinnere dich daran, dass der Quotient der Division einer Zahl durch eine andere die Zahl ist, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, den Dividenden ergibt. Beweisen Sie daher die Formel , wo a =/= 0, das ist wie der Beweis der Formel
Wenn ein t > n , dann die Nummer t-p wird natürlich sein; daher nach Satz 1
Satz 2 ist bewiesen.
Beachten Sie, dass die Formel
von uns nur unter der Annahme bewiesen, dass t > n . Aus dem bisher Bewiesenen lassen sich daher z. B. folgende Schlüsse noch nicht ziehen:
Außerdem haben wir Grade mit negativen Exponenten noch nicht betrachtet, und wir wissen noch nicht, welche Bedeutung dem Ausdruck 3 gegeben werden kann - 2 .
Satz 3. Um eine Potenz zu potenzieren, genügt es, die Exponenten zu multiplizieren, wobei die Basis des Exponenten gleich bleibt, also
Nachweisen. Unter Verwendung der Definition von Grad und Satz 1 dieses Abschnitts erhalten wir:
Q.E.D.
Beispiel: (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (mündlich.) Bestimmen X aus den Gleichungen:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Angepasst) Vereinfachen:
520. (Angepasst) Vereinfachen:
521. Stellen Sie diese Ausdrücke als Grade mit denselben Basen dar:
1) 32 und 64; 3) 85 und 163; 5) 4 100 und 32 50;
2) -1000 und 100; 4) -27 und -243; 6) 81 75 8 200 und 3 600 4 150.
Bereits in der 7. Klasse wird in einer Algebra-Stunde das Konzept des Mathematikstudiums eingeführt. Und in Zukunft wird dieses Konzept im Laufe des Mathematikstudiums in seinen verschiedenen Formen aktiv genutzt. Abschlüsse sind ein ziemlich schwieriges Thema, das das Auswendiglernen von Werten und die Fähigkeit zum korrekten und schnellen Zählen erfordert. Um schneller und besser mit mathematischen Abschlüssen arbeiten zu können, haben sie sich die Eigenschaften eines Abschlusses ausgedacht. Sie helfen dabei, große Berechnungen zu reduzieren und ein riesiges Beispiel in gewissem Maße in eine einzelne Zahl umzuwandeln. Es gibt nicht so viele Eigenschaften, und alle sind leicht zu merken und in der Praxis anzuwenden. Daher diskutiert der Artikel die Haupteigenschaften des Abschlusses sowie wo sie angewendet werden.
Grad Eigenschaften
Wir betrachten 12 Eigenschaften eines Grades, einschließlich Eigenschaften von Potenzen mit derselben Basis, und geben für jede Eigenschaft ein Beispiel. Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen helfen, Probleme mit Graden schneller zu lösen, und Sie vor zahlreichen Rechenfehlern bewahren.
1. Eigentum.
Viele Menschen vergessen diese Eigenschaft sehr oft, machen Fehler und stellen eine Zahl auf Null Grad als Null dar.
2. Eigenschaft.
3. Eigentum.
Es muss beachtet werden, dass diese Eigenschaft nur beim Multiplizieren von Zahlen verwendet werden kann, sie funktioniert nicht mit der Summe! Und wir dürfen nicht vergessen, dass diese und die folgenden Eigenschaften nur für Potenzen mit derselben Basis gelten.
4. Eigenschaft.
Wird die Zahl im Nenner negativ potenziert, dann wird beim Subtrahieren der Grad des Nenners in Klammern gesetzt, um das Vorzeichen in weiteren Berechnungen korrekt zu ersetzen.
Die Eigenschaft funktioniert nur beim Dividieren, nicht beim Subtrahieren!
5. Eigenschaft.
6. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft kann auch angewendet werden Rückseite. Eine Einheit, die bis zu einem gewissen Grad durch eine Zahl geteilt wird, ist diese Zahl mit einer negativen Potenz.
7. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft lässt sich nicht auf Summe und Differenz anwenden! Beim Potenzieren einer Summe oder Differenz werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet, nicht die Eigenschaften der Potenz.
8. Eigenschaft.
9. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft funktioniert für alle Bruchgrad Bei einem Zähler gleich eins ist die Formel dieselbe, nur der Grad der Wurzel ändert sich abhängig vom Nenner des Grads.
Außerdem wird diese Eigenschaft oft in umgekehrter Reihenfolge verwendet. Die Wurzel jeder Potenz einer Zahl kann als die Zahl hoch Eins dividiert durch die Potenz der Wurzel dargestellt werden. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich, wenn die Wurzel der Zahl nicht extrahiert wird.
10. Eigenschaft.
Diese Eigenschaft funktioniert nicht nur mit Quadratwurzel und Zweitstudium. Wenn der Grad der Wurzel und der Grad, bis zu dem diese Wurzel angehoben wird, gleich sind, dann wird die Antwort ein radikaler Ausdruck sein.
11. Eigentum.
Sie müssen diese Eigenschaft beim Lösen rechtzeitig sehen können, um sich riesige Berechnungen zu ersparen.
12. Eigenschaft.
Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen mehr als einmal in Aufgaben begegnen, sie kann in ihrer reinen Form angegeben werden, oder sie kann einige Transformationen und die Verwendung anderer Formeln erfordern. Daher reicht es für die richtige Lösung nicht aus, nur die Eigenschaften zu kennen, Sie müssen den Rest des mathematischen Wissens üben und verbinden.
Anwendung von Abschlüssen und deren Eigenschaften
Sie werden aktiv in Algebra und Geometrie verwendet. Abschlüsse in Mathematik haben einen eigenen, wichtigen Platz. Mit ihrer Hilfe werden Exponentialgleichungen und Ungleichungen gelöst, sowie Potenzen erschweren oft Gleichungen und Beispiele aus anderen Bereichen der Mathematik. Exponenten helfen, große und lange Berechnungen zu vermeiden, es ist einfacher, die Exponenten zu reduzieren und zu berechnen. Aber um mit großen Potenzen oder mit Potenzen großer Zahlen zu arbeiten, müssen Sie nicht nur die Eigenschaften des Grades kennen, sondern auch kompetent mit den Basen arbeiten und sie zerlegen können, um Ihre Aufgabe zu erleichtern. Der Einfachheit halber sollten Sie auch die Bedeutung von potenzierten Zahlen kennen. Dies reduziert Ihre Zeit beim Lösen, da lange Berechnungen entfallen.
Bei Logarithmen spielt der Gradbegriff eine besondere Rolle. Da der Logarithmus im Wesentlichen die Potenz einer Zahl ist.
Abgekürzte Multiplikationsformeln sind ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Potenzen. Sie können die Eigenschaften von Graden nicht verwenden, sie werden nach speziellen Regeln zerlegt, aber in jeder abgekürzten Multiplikationsformel gibt es immer Grade.
Abschlüsse werden auch in Physik und Informatik aktiv genutzt. Alle Übersetzungen in das SI-System werden mit Graden durchgeführt, und in Zukunft werden beim Lösen von Problemen die Eigenschaften des Grads angewendet. In der Informatik werden Zweierpotenzen aktiv genutzt, um das Zählen zu erleichtern und die Wahrnehmung von Zahlen zu vereinfachen. Weiterführende Berechnungen zur Umrechnung von Maßeinheiten oder Problemstellungen, wie in der Physik, erfolgen über die Eigenschaften des Grades.
Grad sind auch in der Astronomie sehr nützlich, wo man selten die Eigenschaften eines Grads verwendet, aber die Grade selbst aktiv verwendet werden, um die Aufzeichnung verschiedener Größen und Entfernungen zu verkürzen.
Abschlüsse werden auch verwendet gewöhnliches Leben, bei der Berechnung von Flächen, Volumen, Entfernungen.
Mit Hilfe von Graden werden in jedem Wissenschaftsgebiet sehr große und sehr kleine Werte geschrieben.
Exponentialgleichungen und Ungleichungen
Spezieller Ort Grad Eigenschaften belegen genau in Exponentialgleichungen und Ungleichheiten. Diese Aufgaben sind sehr häufig, wie in Schulkurs sowie in Prüfungen. Alle werden durch Anwendung der Eigenschaften des Grades gelöst. Das Unbekannte liegt immer im Grad selbst, daher wird es bei Kenntnis aller Eigenschaften nicht schwierig sein, eine solche Gleichung oder Ungleichung zu lösen.
Eines der Hauptmerkmale in der Algebra und in der Tat in der gesamten Mathematik ist ein Abschluss. Natürlich können im 21. Jahrhundert alle Berechnungen auf einem Online-Rechner durchgeführt werden, aber für die Entwicklung des Gehirns ist es besser, zu lernen, wie man es selbst macht.
In diesem Artikel werden wir uns die meisten ansehen wichtige Fragen zu dieser Definition. Wir werden nämlich verstehen, was es im Allgemeinen ist und was seine Hauptfunktionen sind, welche Eigenschaften in der Mathematik existieren.
Schauen wir uns Beispiele an, wie die Berechnung aussieht, was die grundlegenden Formeln sind. Wir werden die Haupttypen von Größen analysieren und wie sie sich von anderen Funktionen unterscheiden.
Wir werden verstehen, wie verschiedene Probleme mit diesem Wert gelöst werden können. Wir zeigen anhand von Beispielen, wie man auf null Grad anhebt, irrational, negativ usw.
Online Potenzierungsrechner
Was ist der grad einer zahl
Was versteht man unter dem Ausdruck „eine Zahl potenzieren“?
Der Grad n einer Zahl a ist das Produkt von Größenfaktoren a n mal hintereinander.
Mathematisch sieht das so aus:
ein n = ein * ein * ein * …ein n .
Zum Beispiel:
- 2 3 = 2 im dritten Schritt. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 im Schritt. zwei = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 im Schritt. vier = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 in 5 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 in 4 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Unten ist eine Tabelle mit Quadraten und Würfeln von 1 bis 10.
Gradtabelle von 1 bis 10
Unten sind die Ergebnisse der Konstruktion natürliche Zahlen zu positiven Potenzen - "von 1 bis 100".
Ch-lo | 2. Klasse | 3. Klasse |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 |
3 | 9 | 27 |
4 | 16 | 64 |
5 | 25 | 125 |
6 | 36 | 216 |
7 | 49 | 343 |
8 | 64 | 512 |
9 | 81 | 279 |
10 | 100 | 1000 |
Grad Eigenschaften
Was ist charakteristisch für eine solche mathematische Funktion? Schauen wir uns die grundlegenden Eigenschaften an.
Wissenschaftler haben Folgendes festgestellt Zeichen, die für alle Grade charakteristisch sind:
- ein n * ein m = (a) (n+m) ;
- ein n: ein m = (a) (n-m) ;
- (a b) m = (a) (b*m) .
Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Andererseits 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Ähnlich: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Sonst 2 3-2 = 2 1 = 2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Was ist, wenn es anders ist? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Wie Sie sehen können, funktionieren die Regeln.
Aber wie zu sein mit Addition und Subtraktion? Alles ist einfach. Zuerst wird potenziert und erst dann addiert und subtrahiert.
Schauen wir uns Beispiele an:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Aber in diesem Fall müssen Sie zuerst die Addition berechnen, da Aktionen in Klammern stehen: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Wie man produziert mehr einrechnen schwierige Fälle ? Die Reihenfolge ist die gleiche:
- Wenn Klammern vorhanden sind, müssen Sie mit ihnen beginnen.
- dann Potenzierung;
- dann führen Sie Multiplikations- und Divisionsoperationen durch;
- nach Addition, Subtraktion.
Es gibt bestimmte Eigenschaften, die nicht für alle Abschlüsse charakteristisch sind:
- Die Wurzel des n-ten Grades von der Zahl a bis zum Grad m wird geschrieben als: a m / n .
- Bei der Potenzierung eines Bruchs: Sowohl der Zähler als auch sein Nenner unterliegen diesem Verfahren.
- Beim Aufbau einer Arbeit verschiedene Nummern zu einer Potenz, entspricht der Ausdruck dem Produkt dieser Zahlen mit einer gegebenen Potenz. Das heißt: (a * b) n = ein n * b n .
- Wenn Sie eine Zahl negativ potenzieren, müssen Sie im selben Schritt 1 durch eine Zahl teilen, jedoch mit einem „+“-Zeichen.
- Wenn der Nenner eines Bruchs in einer negativen Potenz steht, dann ist dieser Ausdruck gleich dem Produkt aus Zähler und Nenner in einer positiven Potenz.
- Jede Zahl hoch 0 = 1 und hochgerechnet auf den Schritt. 1 = für sich.
Diese Regeln sind im Einzelfall wichtig, wir gehen weiter unten näher darauf ein.
Grad mit negativem Exponenten
Was tun mit einem negativen Abschluss, dh wenn der Indikator negativ ist?
Basierend auf Eigenschaften 4 und 5(siehe Punkt oben) es stellt sich heraus:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Umgekehrt:
1 / A (- n) \u003d Ein n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Was ist, wenn es ein Bruchteil ist?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Grad mit einem natürlichen Indikator
Es wird als Grad mit Exponenten gleich ganzen Zahlen verstanden.
Dinge, an die Sie sich erinnern sollten:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 … usw.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 … usw.
Auch wenn (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… dann wird das Ergebnis mit einem „+“ Zeichen sein. Wenn ein eine negative Zahl zu einer ungeraden Potenz erhoben, umgekehrt.
Allgemeine Eigenschaften und alle oben beschriebenen spezifischen Merkmale sind auch für sie charakteristisch.
Bruchgrad
Diese Ansicht kann als Schema geschrieben werden: A m / n. Es wird gelesen als: die Wurzel des n-ten Grades der Zahl A hoch m.
Mit einem Bruchindikator können Sie alles tun: reduzieren, in Teile zerlegen, auf einen anderen Grad erhöhen usw.
Grad mit irrationalem Exponenten
Sei α irrationale Zahl, und À ˃ 0.
Um die Essenz des Abschlusses mit einem solchen Indikator zu verstehen, Schauen wir uns verschiedene mögliche Fälle an:
- A \u003d 1. Das Ergebnis ist gleich 1. Da es ein Axiom gibt, ist 1 in allen Potenzen gleich eins;
À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 sind rationale Zahlen;
- 0˂А˂1.
In diesem Fall umgekehrt: À r 2 ˂ À α ˂ À r 1 unter den gleichen Bedingungen wie im zweiten Absatz.
Der Exponent ist beispielsweise die Zahl π. Es ist vernünftig.
r 1 - in diesem Fall ist es gleich 3;
r 2 - wird gleich 4 sein.
Dann ist für A = 1 1 π = 1.
A = 2, dann 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, dann (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Solche Abschlüsse zeichnen sich durch alle oben beschriebenen mathematischen Operationen und spezifischen Eigenschaften aus.
Fazit
Fassen wir zusammen - wofür sind diese Werte, was sind die Vorteile solcher Funktionen? Natürlich vereinfachen sie in erster Linie das Leben von Mathematikern und Programmierern beim Lösen von Beispielen, da sie es ermöglichen, Berechnungen zu minimieren, Algorithmen zu reduzieren, Daten zu systematisieren und vieles mehr.
Wo kann dieses Wissen noch nützlich sein? In allen Arbeitsgebieten: Medizin, Pharmakologie, Zahnmedizin, Bauwesen, Technologie, Ingenieurwesen, Design usw.
Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.
Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .
Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.
Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .
Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.
Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.
Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .
Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.
Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen des Subtrahends entsprechend geändert werden müssen.
Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Potenzmultiplikation
Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.
Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.
Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y
Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .
Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.
Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.
Also, ein n .am = ein m+n .
Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;
Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;
Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.
Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.
1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. ein -n .am = ein m-n .
Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt
Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.
Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.
Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .
Gewaltenteilung
Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Divisor subtrahiert oder sie in Form eines Bruchs darstellt.
Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .
Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.
Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..
Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.
Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten
1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.
3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .
4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.
5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.
6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .
8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.
9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.
Wenn Sie eine bestimmte Zahl potenzieren müssen, können Sie . Wir schauen uns das jetzt genauer an Eigenschaften von Kräften.
Exponentialzahlen eröffnen große Möglichkeiten, sie erlauben uns, Multiplikation in Addition umzuwandeln, und Addition ist viel einfacher als Multiplikation.
Zum Beispiel müssen wir 16 mit 64 multiplizieren. Das Produkt der Multiplikation dieser beiden Zahlen ist 1024. Aber 16 ist 4x4 und 64 ist 4x4x4. Also 16 mal 64=4x4x4x4x4 was auch 1024 ist.
Die Zahl 16 lässt sich auch als 2x2x2x2 darstellen, und 64 als 2x2x2x2x2x2, und wenn wir multiplizieren, erhalten wir wieder 1024.
Nun wenden wir die Regel an. 16 = 4 2 oder 2 4 , 64 = 4 3 oder 2 6 , während 1024 = 6 4 = 4 5 oder 2 10 .
Daher kann unser Problem auch anders geschrieben werden: 4 2 x4 3 =4 5 oder 2 4 x2 6 =2 10, und jedes Mal erhalten wir 1024.
Wir können eine Reihe ähnlicher Beispiele lösen und sehen, dass sich die Multiplikation von Zahlen mit Potenzen auf reduziert Addition von Exponenten, oder natürlich ein Exponent, vorausgesetzt, dass die Basen der Faktoren gleich sind.
Daher können wir ohne Multiplikation sofort sagen, dass 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Diese Regel gilt auch beim Teilen von Zahlen mit Potenzen, aber in diesem Fall, z der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert. Somit ist 2 5:2 3 =2 2 , was in gewöhnlichen Zahlen gleich 32:8=4 ist, also 2 2 . Fassen wir zusammen:
ein m x ein n \u003d ein m + n, ein m: ein n \u003d ein m-n, wobei m und n ganze Zahlen sind.
Auf den ersten Blick mag es so aussehen Multiplikation und Division von Zahlen mit Potenzen nicht sehr praktisch, da Sie die Zahl zunächst in Exponentialform darstellen müssen. Es ist nicht schwierig, die Zahlen 8 und 16 in dieser Form darzustellen, also 2 3 und 2 4, aber wie macht man das mit den Zahlen 7 und 17? Oder was in den Fällen zu tun ist, wenn die Zahl in Exponentialform dargestellt werden kann, aber die Grundlagen der Exponentialausdrücke von Zahlen sehr unterschiedlich sind. Zum Beispiel ist 8×9 2 3 x 3 2 , in diesem Fall können wir die Exponenten nicht summieren. Weder 2 5 noch 3 5 ist die Antwort, noch ist die Antwort zwischen den beiden.
Lohnt es sich dann überhaupt, sich mit dieser Methode zu beschäftigen? Es lohnt sich auf jeden Fall. Gerade bei komplexen und zeitaufwändigen Berechnungen bietet es enorme Vorteile.