291 sukonstruoti lygiašonį trikampį. Lygiašonių trikampių uždaviniai

Lygiašonis yra toks trikampis, kurio abiejų pusių ilgiai yra vienodi.

Sprendžiant problemas tema "Lygiašonis trikampis" būtina naudoti šiuos žinomus savybių:

1. Kampai, priešingi lygioms kraštinėms, yra lygūs.
2. Bisektoriai, medianos ir aukščiai, nubrėžti iš vienodų kampų, yra lygūs vienas kitam.
3. Bisektorius, mediana ir aukštis, nubrėžti į lygiašonio trikampio pagrindą, sutampa.
4. Įbrėžtųjų apskritimų centras ir apibrėžiamo apskritimo centras yra aukštyje, taigi ir vidurinėje bei pusiaukampinėje, nubrėžtoje į pagrindą.
5. Lygiašonio trikampio kampai visada yra smailieji.

Trikampis yra lygiašonis, jei jis turi šiuos dalykus ženklai:

1. Abu trikampio kampai yra lygūs.
2. Aukštis yra toks pat kaip mediana.
3. Bisektorius yra toks pat kaip mediana.
4. Aukštis sutampa su bisektoriumi.
5. Du trikampio aukščiai yra lygūs.
6. Dvi trikampio pusiausvyros yra lygios.
7. Dvi trikampio medianos yra lygios.

Apsvarstykite keletą užduočių šia tema "Lygiašonis trikampis" ir pateikti išsamų sprendimą.

1 užduotis.

Lygiašonio trikampio aukštis, nubrėžtas į pagrindą, yra 8, o pagrindas yra susietas su kraštine kaip 6: 5. Raskite, kiek toli nuo trikampio viršūnės yra jo bisektorių susikirtimo taškas.

Sprendimas.

Tegu pateiktas lygiašonis trikampis ABC (1 pav.).

1) Kadangi AC: BC = 6: 5, tada AC = 6x ir BC = 5x. BH yra aukštis, nubrėžtas iki trikampio ABC pagrindo AC.

Kadangi taškas H yra AC vidurio taškas (pagal lygiašonio trikampio savybę), tada HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x.

BC 2 \u003d VN 2 + HC 2;

(5x) 2 \u003d 8 2 + (3x) 2;

x = 2, tada

AC \u003d 6x \u003d 6 2 \u003d 12 ir

BC \u003d 5x \u003d 5 2 \u003d 10.

3) Kadangi trikampio bisektorių susikirtimo taškas yra į jį įrašyto apskritimo centras, tai
OH = r. Į trikampį ABC įbrėžto apskritimo spindulys randamas pagal formulę

4) S ABC = 1/2 (AC BH); S ABC = 1/2 (12 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16, tada OH = r = 48/16 = 3.

Taigi VO \u003d VN - OH; VO \u003d 8 - 3 \u003d 5.

Atsakymas: 5.

2 užduotis.

Bisektorius AD nubrėžtas lygiašoniu trikampiu ABC. Trikampių ABD ir ADC plotai lygūs 10 ir 12. Raskite kvadrato, pastatyto šio trikampio aukštyje, tris kartus nubrėžtą prie pagrindo AC, plotą.

Sprendimas.

Apsvarstykite trikampį ABC - lygiašonį, AD - kampo A pusiausvyrą (2 pav.).

1) Parašykime trikampių BAD ir DAC plotus:

S BLOGAS = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.

2) Raskite plotų santykį:

S BLOGAS /S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB/AC.

Kadangi S BAD = 10, S DAC = 12, tada 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6, tada tegul AB = 5x ir AC = 6x.

AN \u003d 1/2 kintamosios srovės \u003d 1/2 6x \u003d 3x.

3) Iš trikampio ABN - stačiakampis pagal Pitagoro teoremą AB 2 \u003d AN 2 + VN 2;

25x 2 \u003d VN 2 + 9x 2;

4) S A BC = 1/2 AC HV; S A B C \u003d 1/2 6x 4x \u003d 12x 2.

Kadangi S A BC \u003d S BAD + S DAC \u003d 10 + 12 \u003d 22, tada 22 \u003d 12x 2;

x 2 \u003d 11/6; VN 2 \u003d 16x 2 \u003d 16 11/6 \u003d 1/3 8 11 \u003d 88/3.

5) Kvadrato plotas lygus VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.

Atsakymas: 88.

3 užduotis.

Lygiašonio trikampio pagrindas lygus 4, o kraštinė – 8. Raskite į šoną nukritusio aukščio kvadratą.

Sprendimas.

Trikampyje ABC - lygiašoniai BC \u003d 8, AC \u003d 4 (3 pav.).

1) ВН - aukštis, nubrėžtas iki trikampio ABC pagrindo AC.

Kadangi taškas H yra AC vidurio taškas (pagal lygiašonio trikampio savybę), tada HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 4 \u003d 2.

2) Iš VNS trikampio - stačiakampis pagal Pitagoro teoremą VS 2 \u003d VN 2 + NS 2;

64 = HH2 + 4;

3) S ABC \u003d 1/2 (AC BH), taip pat S ABC \u003d 1/2 (AM BC), tada sulyginame teisingas formulių dalis, gauname

1/2 AC BH = 1/2 AM BC;

AM = (AC BH)/BC;

AM = (√60 4)/8 = (2√15 4)/8 = √15.

Atsakymas: 15.

4 užduotis.

Lygiašonio trikampio pagrindas ir ant jo nuleistas aukštis lygus 16. Raskite apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį.

Sprendimas.

Trikampyje ABC - lygiašonis pagrindas AC \u003d 16, BH \u003d 16 - aukštis, nubrėžtas iki pagrindo AC (4 pav.).

1) AN \u003d HC \u003d 8 (pagal lygiašonio trikampio savybę).

2) Iš VNS trikampio - stačiakampis pagal Pitagoro teoremą

BC 2 \u003d VN 2 + HC 2;

BC 2 \u003d 8 2 + 16 2 \u003d (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) Apsvarstykite trikampį ABC: pagal sinuso teoremą 2R = AB/sin C, kur R yra apskritimo aplink trikampį ABC spindulys.

sin C \u003d BH / BC (iš VNS trikampio pagal sinuso apibrėžimą).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, tada 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 √5)/2; R = 10.

Atsakymas: 10.

5 užduotis.

Aukščio, nubrėžto iki lygiašonio trikampio pagrindo, ilgis yra 36, ​​o įbrėžto apskritimo spindulys yra 10. Raskite trikampio plotą.

Sprendimas.

Tegu pateiktas lygiašonis trikampis ABC.

1) Kadangi į trikampį įbrėžto apskritimo centras yra jo pusiaukampių susikirtimo taškas, tai O ϵ VN ir AO yra kampo A pusiausvyra, o srovė yra OH \u003d r \u003d 10 (5 pav.).

2) VO \u003d VN - OH; VO \u003d 36 - 10 \u003d 26.

3) Apsvarstykite trikampį ABH. Pagal trikampio kampo bisektoriaus teoremą

AB/AN = BO/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5, tada tegul AB = 13x ir AH = 5x.

Pagal Pitagoro teoremą AB 2 \u003d AN 2 + VN 2;

(13x) 2 \u003d 36 2 + (5x) 2;

169x 2 \u003d 25x 2 + 36 2;

144x 2 \u003d (12 3) 2;

144 x 2 = 144 9;

x \u003d 3, tada AC = 2 AN \u003d 10x = 10 3 \u003d 30.

4) S ABC = 1/2 (AC BH); S ABC = 1/2 (36 30) = 540;

Atsakymas: 540.

6 užduotis.

Lygiašonio trikampio dvi kraštinės lygios 5 ir 20. Raskite trikampio pagrindo kampo pusiausvyrą.

Sprendimas.

1) Tarkime, kad trikampio kraštinės yra 5, o pagrindas yra 20.

Tada 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (6 pav.).

2) Tegu LC = x, tada BL = 20 – x. Pagal trikampio kampo bisektoriaus teoremą

AB/AC = BL/LC;

20/5 \u003d (20 - x) / x,

tada 4x \u003d 20 - x;

Taigi, LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.

3) Naudokime trikampio kampo pusiausvyros formulę:

AL 2 \u003d AB AC - BL LC,

tada AL 2 = 20 5 - 4 16 = 36;

Atsakymas: 6.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti geometrijos uždavinius?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

VIII . Kurti užduočių grupes.

Užduočių grupių sprendimas naudojant pagalbinį trikampį.

Metodo esmė – pagalbinių trikampių konstravimas ir jų savybių bei naujai gautų elementų panaudojimas galutiniam uždavinio sprendimui.

Statybos analizė susideda iš šių etapų:

Analizėje ieškokite pagalbinio trikampio.

Jeigu atsiranda naujų elementų, kurių pagalba jau galima sukonstruoti trikampį ABC, vadinasi, tikslas pasiektas.

Jei taip neatsitiks, galbūt galima sukonstruoti dar vieną pagalbinį trikampį, kuris suteiks trūkstamus elementus.

Išanalizuokime metodo esmę pavyzdžiais.

1 užduotis. Sukurkite lygiašonį trikampį ABC ( b= c) pagal a, h b .

Ieškome pagalbinio trikampio. Akivaizdu, kad tokiu trikampiu patogu laikyti trikampį CDB.

Tai suteiks kampą C, taigi ir ABC kampą. Taigi, yra a, kampas B, kampas C, todėl galite sukurti trikampį ABC. Schematiškai parašysime taip:

(a, h b) → Δ CDB →< C.

(a,< B, < C) → Δ ABC.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Remiantis panašiais samprotavimais, kaip pateikta, rekomenduojame sudaryti lygiašonį trikampį (b=c) pagal šiuos duomenis:

A)< А, h b ;

b)< В, h с;

G)< В, h b ;

e)< С, h b .

2 užduotis. Sukonstruokite trikampį išilgai įbrėžto apskritimo spindulio r, kampo A ir kampo B.

Tegu aš esu apskritimo, įbrėžto į trikampį ABC, centras.

(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

(|AD| + |ВD| = |AB|) → (s,< А, < В) → Δ ABC.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Sukurkite trikampį naudodami šiuos elementus:

a) a, h c , h b ; b) a, h a, h b; c) a, m a, m b;

G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

g) b, h b , m b (kur m – medianos, l – pusiausvyros, h – aukščiai).

Savarankiškai:

sukonstruoti rombą ABCD išilgai įstrižainės BD ir aukščio BM. (∆BHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

pastatyti trapeciją iš keturių pusių.

1. Problemų grupių sprendimas remiantis pagrindine.

   1. Pagrindinė užduotis:

Sukurkite trikampį, kurio dvi kraštinės ir kampas tarp jų.

Sukurkite stačiakampį trikampį ant dviejų kojų.

Sukurkite rombą išilgai dviejų įstrižainių.

Sukurkite stačiakampį su dviem nelygiomis kraštinėmis.

Sukurkite lygiagretainį, nurodytą dvi įstrižainės ir kampą tarp jų.

Sukurkite stačiakampį išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų.

1. Pagrindinė užduotis:

Sukurkite trikampį, kurio kraštinė ir du gretimi kampai.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Sukurkite lygiašonį trikampį su pagrindu ir įtrauktu kampu.

Sukurkite stačiakampį trikampį, turintį koją ir gretimą smailųjį kampą.

Sukonstruokite rombą, nurodytą kampe, ir įstrižainę, einančią per to kampo viršūnę.

Sukurkite lygiašonį trikampį pagal aukštį ir kampą viršūnėje.

Sukurkite kvadratą išilgai nurodytos įstrižainės.

1. Pagrindinė užduotis:

Sukurkite statųjį trikampį, atsižvelgiant į hipotenuzę ir smailųjį kampą.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Sukurkite lygiašonį trikampį išilgai kraštinės ir kampą prie pagrindo.

Sukurkite lygiašonį trikampį kraštinėje ir kampą ties viršūne.

1. Pagrindinė užduotis:

Sukurkite trikampį su trimis kraštinėmis.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Sukurkite lygiašonį trikampį su pagrindu ir kraštinėmis.

Sukurkite rombą išilgai šono ir įstrižainės.

Sukurkite lygiagretainį, kurio dvi nelygios kraštinės ir įstrižainė.

Sukurkite lygiagretainį, duotą kraštinę ir dvi įstrižaines.

1. Pagrindinė užduotis:

Sukurkite statųjį trikampį, atsižvelgiant į koją ir hipotenuzę.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Sukurkite lygiašonį trikampį pagal aukštį ir kraštinę.

Sukurkite lygiašonį trikampį, atsižvelgiant į pagrindą ir statmeną, nuleistą nuo pagrindo galo į šoną.

Sukurkite lygiagretainį pagal pagrindą, aukštį ir įstrižainę.

Sukurkite rombą pagal aukštį ir įstrižą.

Sukurkite lygiašonį trikampį, atsižvelgiant į šoninę kraštinę ir nuo jos nuleistą aukštį.

Sukurkite trikampį, atsižvelgiant į jo pagrindą, aukštį ir kraštinę.

Literatūra:

B. I. Argunovas, M. B. Balkas „Geometrinės konstrukcijos plokštumoje“, M, „Švietimas“, 1955 m.

Glazeris G.I. „Matematikos istorija mokykloje“ IV - VI kl., M, „Švietimas“, 1981 m.

I. Goldenblant „Geometrinių konstravimo uždavinių sprendimo patirtis“ „Matematika mokykloje“ Nr.3 1946 m.

I. A. Kushnir „Apie vieną statybos uždavinių sprendimo būdą“ „Matematika mokykloje“ Nr.2, 1984 m.

A. I. Mostovojus „Taikyti įvairius statybos uždavinių sprendimo būdus“ „Matematika mokykloje“ 1983 m., 5, Nr.

A. A. Popova „Matematikos vadovėlis“. „Čeliabinsko valstija Pedagoginis universitetas“, 2005 m

E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova „Geometrinės konstrukcijos I – V klasėse vidurinė mokykla Metodiniai patobulinimai. Sverdlovskas, 1974 m

Kaip sukurti lygiašonį trikampį? Tai lengva padaryti naudojant liniuotę, pieštuką ir bloknoto langelius.

Lygiašonį trikampį pradedame statyti nuo pagrindo. Kad piešinys būtų lygus, langelių skaičius prie pagrindo turi būti lyginis.

Atkarpą – trikampio pagrindą – padalijame per pusę.

Trikampio viršūnę galima pasirinkti bet kuriame aukštyje nuo pagrindo, bet visada tiksliai virš vidurio.

Kaip sukurti smailų lygiašonį trikampį?

Lygiašonio trikampio pagrindo kampai gali būti tik smailieji. Kad lygiašonis trikampis pasirodytų smailus, kampas viršūnėje taip pat turi būti smailusis.

Norėdami tai padaryti, pasirinkite trikampio viršų aukščiau, toliau nuo pagrindo.

Kuo aukštesnis viršus, tuo mažesnis kampas viršuje. Tuo pačiu metu atitinkamai padidėja kampai prie pagrindo.

Kaip sukurti bukąjį lygiašonį trikampį?

Kai lygiašonio trikampio viršūnė artėja prie pagrindo, kampo viršūnėje laipsnio matas didėja.

Taigi, norėdami sukurti lygiašonį bukojo kampo trikampį, pasirenkame viršūnę žemiau.

Kaip sukurti lygiašonį stačiakampį trikampį?

Norėdami sukurti lygiašonį stačiakampį trikampį, turite pasirinkti viršūnę atstumu, lygiu pusei pagrindo (tai yra dėl lygiašonio trikampio savybių taisyklingas trikampis).

Pavyzdžiui, jei pagrindo ilgis yra 6 langeliai, tada trikampio viršūnę pastatome 3 langelių aukštyje virš pagrindo vidurio. Atkreipkite dėmesį: šiuo atveju kiekviena ląstelė kampuose prie pagrindo yra padalinta įstrižai.

Lygiašonio stačiojo trikampio kūrimą galima pradėti nuo viršaus.

Mes pasirenkame viršutinę dalį, iš jos stačiu kampu atidedame vienodus segmentus į viršų ir į dešinę. Tai yra trikampio kraštinės.

Sujunkite juos ir gaukite lygiašonį stačiakampį trikampį.

Lygiašonio trikampio konstravimas naudojant kompasą ir liniuotę be padalų bus nagrinėjamas kitoje temoje.