Ivanova. Funkcijos grafikas
„Išvestinės problemos“ – ?f(x) = f(x) – f(x0). x0 x0+?x. Kaip įsivaizduojate momentinį greitį? Momentinio greičio problema. y. Kaip įsivaizduojate momentinį greitį? ?X=x-x0. Tai, kas pasakyta, užrašoma formoje. Pirmiausia apibrėžėme savo tyrimo „teritoriją“. A l g o r i t m Greitis v palaipsniui didėja.
„Išvestinės funkcijos tyrimas“ – patranka šaudo kampu į horizontą. 1 variantas A B D 2 variantas G B B. Savivaldybės švietimo įstaiga Meshkovskaya vidurinė mokykla Matematikos mokytoja Kovaleva T.V. Funkcija apibrėžiama atkarpoje [-4;4] . Kaip išvestinė ir funkcija yra susijusios? Atsakymai: IŠVEDINĖS TAIKYMAS FUNKCIJOS TYRIMAI: didėjančios ir mažėjančios funkcijos. UŽDUOTIS Prisimeni istoriją apie baroną Miunhauzeną?
„Sudėtingos funkcijos darinys“ – sudėtinga funkcija. Taisyklė, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę. Paprastos funkcijos išvestinė. Sudėtingos funkcijos išvestinė. Sudėtinga funkcija: pavyzdžiai:
„Išvestinės taikymas funkcijų tyrimui“ - 6. -1. 8. Naudodami funkcijos išvestinės grafiką, nustatykite funkcijos kritinius taškus. 1. =. 1646 07 01 – 1716 11 14, Apšilimas. Didėjančių ir mažėjančių funkcijų požymis. Nustatykite funkcijos išvestinės intervaluose ženklą.
„Pamoka apie sudėtingos funkcijos išvestinę“ – sudėtingos funkcijos išvestinė. Apskaičiuokite taško greitį: a) momentu t; b) šiuo metu t=2 s. Raskite funkcijų išvestines: , If. Brooke Taylor. Raskite funkcijos diferencialą: Kuriose x reikšmėse galioja lygybė. Taškas juda tiesia linija pagal dėsnį s(t) = s(t) = (s – kelias metrais, t – laikas sekundėmis).
“Išvestinės apibrėžimas” - 1. Įrodymas: f(x+ ?x). Tegu u(x), v(x) ir w(x) yra diferencijuojamos funkcijos tam tikrame intervale (a; b), C yra konstanta. f(x). Tiesios linijos su kampiniu koeficientu lygtis: Naudodami Niutono binominę formulę turime: teorema. Tada: sudėtingos funkcijos išvestinė.
Iš viso yra 31 pristatymas
Šioje pamokoje apžvelgsime funkcijos grafiko eskizo sudarymo techniką ir pateiksime aiškinamųjų pavyzdžių.
Tema: kartojimas
Pamoka: funkcijos grafiko eskizas (naudojant trupmeninės kvadratinės funkcijos pavyzdį)
Mūsų tikslas yra nubrėžti trupmeninės kvadratinės funkcijos grafiką. Pavyzdžiui, paimkime mums jau pažįstamą funkciją:
Pateikiama trupmeninė funkcija, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra kvadratinės funkcijos.
Eskizų kūrimo technika yra tokia:
1. Pasirinkite pastovaus ženklo intervalus ir kiekviename nustatykite funkcijos ženklą (1 pav.)
Išsamiai išnagrinėjome ir išsiaiškinome, kad funkcija, kuri yra ištisinė ODZ, gali pakeisti ženklą tik tada, kai argumentas eina per ODZ šaknis ir lūžio taškus.
Duota funkcija y yra ištisinė savo ODZ, nurodykime ODZ:
Raskime šaknis:
Pabrėžkime ženklo pastovumo intervalus. Mes radome funkcijos šaknis ir apibrėžimo srities lūžio taškus – vardiklio šaknis. Svarbu pažymėti, kad kiekviename intervale funkcija išsaugo savo ženklą.
Ryžiai. 1. Funkcijos pastovaus ženklo intervalai
Norėdami nustatyti funkcijos ženklą kiekviename intervale, galite paimti bet kurį intervalui priklausantį tašką, pakeisti jį į funkciją ir nustatyti jo ženklą. Pavyzdžiui:
Ant intervalo funkcija turi pliuso ženklą
Intervale funkcija turi minuso ženklą.
Tai yra intervalo metodo pranašumas: ženklą nustatome viename bandymo taške ir darome išvadą, kad funkcija turės tą patį ženklą per visą pasirinktą intervalą.
Tačiau galite nustatyti ženklus automatiškai, neskaičiuodami funkcijos reikšmių, kad tai padarytumėte, nustatydami ženklą kraštutiniu intervalu ir tada keisdami ženklus.
1. Sukurkime grafiką kiekvienos šaknies apylinkėse. Prisiminkite, kad šios funkcijos šaknys ir:
Ryžiai. 2. Grafikas šalia šaknų
Kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, kreivė pirmiausia yra virš ašies, tada eina per nulį ir tada yra po x ašimi. Taške yra atvirkščiai.
2. Sukonstruokime grafiką kiekvieno ODZ netolydumo apylinkėse. Prisiminkite, kad šios funkcijos vardiklio šaknys ir :
Ryžiai. 3. Funkcijos, esančios šalia ODZ nutrūkimo taškų, grafikas
Kai trupmenos vardiklis praktiškai lygus nuliui, tai reiškia, kad kai argumento reikšmė yra linkusi į šiuos skaičius, trupmenos reikšmė linkusi į begalybę. Šiuo atveju, kai argumentas artėja prie trigubo kairėje, funkcija yra teigiama ir linkusi į plius begalybę, dešinėje funkcija yra neigiama ir viršija minus begalybę. Maždaug keturi, atvirkščiai, kairėje funkcija linkusi į minus begalybę, o dešinėje palieka plius begalybę.
Pagal sukonstruotą eskizą galime atspėti funkcijos elgsenos pobūdį kai kuriais intervalais.
Ryžiai. 4. Funkcijos grafiko eskizas
Apsvarstykime tokią svarbią užduotį – sukonstruoti funkcijos grafiko eskizą taškų begalybėje, t.y. kai argumentas linkęs į pliuso ar minuso begalybę. Šiuo atveju pastovių terminų galima nepaisyti. Mes turime:
Kartais galite rasti šį šio fakto įrašą:
Ryžiai. 5. Funkcijos, esančios taškuose begalybėje, grafiko eskizas
Gavome apytikslę funkcijos elgseną visoje jos apibrėžimo srityje, tada turime patobulinti konstrukciją naudojant išvestinę.
1 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:
Turime tris taškus, per kuriuos funkcija gali pakeisti ženklą, kai argumentas praeina.
Kiekviename intervale nustatome funkcijos požymius. Mes turime pliusą kraštutiniame dešiniajame intervale, tada ženklai pakaitomis, nes visos šaknys turi pirmąjį laipsnį.
Sukuriame grafiko eskizą šalia ODZ šaknų ir lūžio taškų. Turime: kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, kreivė pirmiausia yra virš ašies, tada eina per nulį ir tada yra po x ašimi. Kai trupmenos vardiklis praktiškai lygus nuliui, tai reiškia, kad kai argumento reikšmė yra linkusi į šiuos skaičius, trupmenos reikšmė linkusi į begalybę. Šiuo atveju, kai argumentas artėja prie minus dviejų kairėje, funkcija yra neigiama ir linkusi į minus begalybę, dešinėje funkcija yra teigiama ir palieka plius begalybę. Maždaug du yra tas pats.
Raskime funkcijos išvestinę:
Akivaizdu, kad išvestinė visada yra mažesnė už nulį, todėl funkcija mažėja visose atkarpose. Taigi atkarpoje nuo minus begalybės iki minus dviejų funkcija sumažėja nuo nulio iki minus begalybės; atkarpoje nuo minus dviejų iki nulio funkcija mažėja nuo pliuso begalybės iki nulio; atkarpoje nuo nulio iki dviejų funkcija sumažėja nuo nulio iki minus begalybės; atkarpoje nuo dviejų iki plius begalybės funkcija mažėja nuo pliusinės begalybės iki nulio.
Iliustruojame:
Ryžiai. 6. Pavyzdžio 1 funkcijos grafiko eskizas
2 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:
Sukuriame funkcijos grafiko eskizą nenaudodami išvestinės.
Pirmiausia panagrinėkime pateiktą funkciją:
Turime vieną tašką, per kurį funkcija gali pakeisti ženklą, kai argumentas praeina.
Atkreipkite dėmesį, kad nurodyta funkcija yra nelyginė.
Kiekviename intervale nustatome funkcijos požymius. Mes turime pliusą kraštutiniame dešiniajame intervale, tada ženklas pasikeičia, nes šaknis turi pirmąjį laipsnį.
Sukonstruojame grafiko eskizą šalia šaknies. Turime: kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, kreivė pirmiausia yra po ašimi, tada eina per nulį ir tada yra virš x ašies.
Dabar sukonstruojame funkcijos grafiko eskizą taškų apylinkėse begalybėje, t.y. kai argumentas linkęs į pliuso ar minuso begalybę. Šiuo atveju pastovių terminų galima nepaisyti. Mes turime:
Atlikę aukščiau nurodytus veiksmus, jau įsivaizduojame funkcijos grafiką, tačiau jį reikia patikslinti naudojant išvestinę.
Raskime funkcijos išvestinę:
Parenkame išvestinės pastovaus ženklo intervalus: ties . ODZ čia. Taigi, turime tris išvestinės pastovaus ženklo intervalus ir tris pradinės funkcijos monotoniškumo dalis. Nustatykime kiekvieno intervalo išvestinės ženklus. Kada išvestinė yra teigiama, funkcija didėja; kai išvestinė yra neigiama, funkcija mažėja. Šiuo atveju – minimalus taškas, nes išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą; priešingai, maksimalus taškas.
Šioje pamokoje apžvelgsime funkcijos grafiko eskizo sudarymo techniką ir pateiksime aiškinamųjų pavyzdžių.
Tema: kartojimas
Pamoka: funkcijos grafiko eskizas (naudojant trupmeninės kvadratinės funkcijos pavyzdį)
Mūsų tikslas yra nubrėžti trupmeninės kvadratinės funkcijos grafiką. Pavyzdžiui, paimkime mums jau pažįstamą funkciją:
Pateikiama trupmeninė funkcija, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra kvadratinės funkcijos.
Eskizų kūrimo technika yra tokia:
1. Pasirinkite pastovaus ženklo intervalus ir kiekviename nustatykite funkcijos ženklą (1 pav.)
Išsamiai išnagrinėjome ir išsiaiškinome, kad funkcija, kuri yra ištisinė ODZ, gali pakeisti ženklą tik tada, kai argumentas eina per ODZ šaknis ir lūžio taškus.
Duota funkcija y yra ištisinė savo ODZ, nurodykime ODZ:
Raskime šaknis:
Pabrėžkime ženklo pastovumo intervalus. Mes radome funkcijos šaknis ir apibrėžimo srities lūžio taškus – vardiklio šaknis. Svarbu pažymėti, kad kiekviename intervale funkcija išsaugo savo ženklą.
Ryžiai. 1. Funkcijos pastovaus ženklo intervalai
Norėdami nustatyti funkcijos ženklą kiekviename intervale, galite paimti bet kurį intervalui priklausantį tašką, pakeisti jį į funkciją ir nustatyti jo ženklą. Pavyzdžiui:
Ant intervalo funkcija turi pliuso ženklą
Intervale funkcija turi minuso ženklą.
Tai yra intervalo metodo pranašumas: ženklą nustatome viename bandymo taške ir darome išvadą, kad funkcija turės tą patį ženklą per visą pasirinktą intervalą.
Tačiau galite nustatyti ženklus automatiškai, neskaičiuodami funkcijos reikšmių, kad tai padarytumėte, nustatydami ženklą kraštutiniu intervalu ir tada keisdami ženklus.
1. Sukurkime grafiką kiekvienos šaknies apylinkėse. Prisiminkite, kad šios funkcijos šaknys ir:
Ryžiai. 2. Grafikas šalia šaknų
Kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, kreivė pirmiausia yra virš ašies, tada eina per nulį ir tada yra po x ašimi. Taške yra atvirkščiai.
2. Sukonstruokime grafiką kiekvieno ODZ netolydumo apylinkėse. Prisiminkite, kad šios funkcijos vardiklio šaknys ir :
Ryžiai. 3. Funkcijos, esančios šalia ODZ nutrūkimo taškų, grafikas
Kai trupmenos vardiklis praktiškai lygus nuliui, tai reiškia, kad kai argumento reikšmė yra linkusi į šiuos skaičius, trupmenos reikšmė linkusi į begalybę. Šiuo atveju, kai argumentas artėja prie trigubo kairėje, funkcija yra teigiama ir linkusi į plius begalybę, dešinėje funkcija yra neigiama ir viršija minus begalybę. Maždaug keturi, atvirkščiai, kairėje funkcija linkusi į minus begalybę, o dešinėje palieka plius begalybę.
Pagal sukonstruotą eskizą galime atspėti funkcijos elgsenos pobūdį kai kuriais intervalais.
Ryžiai. 4. Funkcijos grafiko eskizas
Apsvarstykime tokią svarbią užduotį – sukonstruoti funkcijos grafiko eskizą taškų begalybėje, t.y. kai argumentas linkęs į pliuso ar minuso begalybę. Šiuo atveju pastovių terminų galima nepaisyti. Mes turime:
Kartais galite rasti šį šio fakto įrašą:
Ryžiai. 5. Funkcijos, esančios taškuose begalybėje, grafiko eskizas
Gavome apytikslę funkcijos elgseną visoje jos apibrėžimo srityje, tada turime patobulinti konstrukciją naudojant išvestinę.
1 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:
Turime tris taškus, per kuriuos funkcija gali pakeisti ženklą, kai argumentas praeina.
Kiekviename intervale nustatome funkcijos požymius. Mes turime pliusą kraštutiniame dešiniajame intervale, tada ženklai pakaitomis, nes visos šaknys turi pirmąjį laipsnį.
Sukuriame grafiko eskizą šalia ODZ šaknų ir lūžio taškų. Turime: kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, kreivė pirmiausia yra virš ašies, tada eina per nulį ir tada yra po x ašimi. Kai trupmenos vardiklis praktiškai lygus nuliui, tai reiškia, kad kai argumento reikšmė yra linkusi į šiuos skaičius, trupmenos reikšmė linkusi į begalybę. Šiuo atveju, kai argumentas artėja prie minus dviejų kairėje, funkcija yra neigiama ir linkusi į minus begalybę, dešinėje funkcija yra teigiama ir palieka plius begalybę. Maždaug du yra tas pats.
Raskime funkcijos išvestinę:
Akivaizdu, kad išvestinė visada yra mažesnė už nulį, todėl funkcija mažėja visose atkarpose. Taigi atkarpoje nuo minus begalybės iki minus dviejų funkcija sumažėja nuo nulio iki minus begalybės; atkarpoje nuo minus dviejų iki nulio funkcija mažėja nuo pliuso begalybės iki nulio; atkarpoje nuo nulio iki dviejų funkcija sumažėja nuo nulio iki minus begalybės; atkarpoje nuo dviejų iki plius begalybės funkcija mažėja nuo pliusinės begalybės iki nulio.
Iliustruojame:
Ryžiai. 6. Pavyzdžio 1 funkcijos grafiko eskizas
2 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:
Sukuriame funkcijos grafiko eskizą nenaudodami išvestinės.
Pirmiausia panagrinėkime pateiktą funkciją:
Turime vieną tašką, per kurį funkcija gali pakeisti ženklą, kai argumentas praeina.
Atkreipkite dėmesį, kad nurodyta funkcija yra nelyginė.
Kiekviename intervale nustatome funkcijos požymius. Mes turime pliusą kraštutiniame dešiniajame intervale, tada ženklas pasikeičia, nes šaknis turi pirmąjį laipsnį.
Sukonstruojame grafiko eskizą šalia šaknies. Turime: kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, kreivė pirmiausia yra po ašimi, tada eina per nulį ir tada yra virš x ašies.
Dabar sukonstruojame funkcijos grafiko eskizą taškų apylinkėse begalybėje, t.y. kai argumentas linkęs į pliuso ar minuso begalybę. Šiuo atveju pastovių terminų galima nepaisyti. Mes turime:
Atlikę aukščiau nurodytus veiksmus, jau įsivaizduojame funkcijos grafiką, tačiau jį reikia patikslinti naudojant išvestinę.
Raskime funkcijos išvestinę:
Parenkame išvestinės pastovaus ženklo intervalus: ties . ODZ čia. Taigi, turime tris išvestinės pastovaus ženklo intervalus ir tris pradinės funkcijos monotoniškumo dalis. Nustatykime kiekvieno intervalo išvestinės ženklus. Kada išvestinė yra teigiama, funkcija didėja; kai išvestinė yra neigiama, funkcija mažėja. Šiuo atveju – minimalus taškas, nes išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą; priešingai, maksimalus taškas.