Figūros ploto apskaičiavimas Tai turbūt viena sunkiausių sričių teorijos problemų. Mokyklos geometrijoje jie mokomi rasti pagrindinių geometrinių figūrų, pavyzdžiui, trikampio, rombo, stačiakampio, trapecijos, apskritimo ir kt., sritis. Tačiau dažnai tenka susidurti su sudėtingesnių figūrų plotų skaičiavimu. Būtent sprendžiant tokias problemas labai patogu naudoti integralinį skaičiavimą.

Apibrėžimas.

Kreivinė trapecija vadinama kokia nors figūra G, ribojama tiesių y = f(x), y = 0, x = a ir x = b, o funkcija f(x) yra ištisinė atkarpoje [a; b] ir nekeičia jo ženklo (1 pav.). Kreivinės trapecijos plotas gali būti pažymėtas S(G).

Funkcijos f(x) apibrėžtasis integralas ʃ a b f(x)dx, kuris yra tolydis ir neneigiamas atkarpoje [a; b] ir yra atitinkamos kreivinės trapecijos plotas.

Tai yra, norint rasti paveikslo G plotą, apribotą tiesių y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a ir x \u003d b, reikia apskaičiuoti apibrėžtasis integralas ʃ a b f (x) dx.

Šiuo būdu, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Jei funkcija y = f(x) nėra teigiama [a; b], tada kreivinės trapecijos plotą galima rasti pagal formulę S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Sprendimas.

Duotos linijos sudaro figūrą ABC, kuri rodoma perbrėžiant ryžių. 2.

Norimas plotas lygus kreivinės trapecijos DACE ir kvadrato DABE plotų skirtumui.

Naudojant formulę S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), randame integravimo ribas. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame dviejų lygčių sistemą:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Taigi, mes turime x 1 \u003d 1 - apatinę ribą ir x \u003d 2 - viršutinę ribą.

Taigi, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (kvadratiniai vienetai).

Atsakymas: 11/4 kv. vienetų

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis y \u003d √x, plotą; y = 2; x = 9.

Sprendimas.

Duotos linijos sudaro figūrą ABC, kurią iš viršaus riboja funkcijos grafikas

y \u003d √x, o iš apačios – funkcijos y \u003d 2 grafikas. Gauta figūra rodoma perbrėžiant ryžių. 3.

Norimas plotas lygus S = ʃ a b (√x - 2). Raskime integravimo ribas: b = 9, norėdami rasti a, išsprendžiame dviejų lygčių sistemą:

(y = √x,
(y = 2.

Taigi, mes turime, kad x = 4 = a yra apatinė riba.

Taigi, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (kvadratiniai vienetai).

Atsakymas: S = 2 2/3 kv. vienetų

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Sprendimas.

Nubraižykime funkciją y \u003d x 3 - 4x, kai x ≥ 0. Norėdami tai padaryti, randame išvestinę y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0, kai х = ±2/√3 ≈ 1,1 yra kritiniai taškai.

Nubrėžę kritinius taškus realioje ašyje ir padėję išvestinės ženklus, gautume, kad funkcija mažėja nuo nulio iki 2/√3 ir didėja nuo 2/√3 iki plius begalybės. Tada x = 2/√3 yra mažiausias taškas, mažiausia funkcijos y reikšmė min = -16/(3√3) ≈ -3.

Nustatykime grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis:

jei x \u003d 0, tai y \u003d 0, o tai reiškia, kad A (0; 0) yra susikirtimo su Oy ašimi taškas;

jei y \u003d 0, tada x 3 - 4x \u003d 0 arba x (x 2 - 4) \u003d 0, arba x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, iš kur x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (netinka, nes x ≥ 0).

Taškai A(0; 0) ir B(2; 0) yra grafiko susikirtimo taškai su Ox ašimi.

Nurodytos linijos sudaro OAB figūrą, kuri rodoma brūkšniu ryžių. keturi.

Kadangi funkcija y \u003d x 3 - 4x įgauna (0; 2) neigiamą reikšmę, tada

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Turime: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 / 4 - 4x 2 / 2)| 0 2 \u003d -4, iš kur S \u003d 4 kvadratiniai metrai. vienetų

Atsakymas: S = 4 kv. vienetų

4 pavyzdys

Raskite figūros plotą, apribotą parabolės y \u003d 2x 2 - 2x + 1, tiesių x \u003d 0, y \u003d 0 ir šios parabolės liestinės taške, kurio abscisė x 0 \u003d 2.

Sprendimas.

Pirmiausia sudarome parabolės y \u003d 2x 2 - 2x + 1 liestinės lygtį taške, kurio abscisė x₀ \u003d 2.

Kadangi išvestinė y' = 4x - 2, tada x 0 = 2 gauname k = y'(2) = 6.

Raskite prisilietimo taško ordinatę: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Todėl liestinės lygtis turi tokią formą: y - 5 \u003d 6 (x - 2) arba y \u003d 6x - 7.

Sukurkime figūrą, apribotą linijomis:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x = 0, y = 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabolė. Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis: A(0; 1) - su Oy ašimi; su Jaučio ašimi - nėra susikirtimo taškų, nes lygtis 2x 2 - 2x + 1 = 0 neturi sprendinių (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, tai yra, parabolės taško B viršūnė turi koordinates B (1/2; 1/2).

Taigi, figūra, kurios plotas turi būti nustatytas, rodomas išbridus ryžių. 5.

Turime: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Raskite taško D koordinates iš sąlygos:

6x - 7 = 0, t.y. x \u003d 7/6, tada DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Trikampio DBC plotą randame pagal formulę S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Šiuo būdu,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 kv. vienetų

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (kvadratiniai vienetai).

Galiausiai gauname: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (kv. vnt.).

Atsakymas: S = 1 1/4 kv. vienetų

Mes peržiūrėjome pavyzdžius duotų linijų apribotų figūrų plotų radimas. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, reikia mokėti plokštumoje sudaryti tieses ir funkcijų grafikus, rasti tiesių susikirtimo taškus, taikyti formulę plotui rasti, o tai reiškia gebėjimą ir įgūdžius apskaičiuoti tam tikrus integralus.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Užduotis yra mokyklinė, tačiau, nepaisant to, beveik 100% bus įvykdyta jūsų aukštosios matematikos kurse. Štai kodėl visai rimtai nagrinėsime VISUS pavyzdžius, o pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra susipažinti su taikymas Funkcijų grafikai patobulinti elementariųjų grafikų sudarymo techniką. …Yra? Puiku! Tipiškas užduoties teiginys yra toks:

10 pavyzdys
.

Ir pirmas svarbus žingsnis sprendimus susideda tik į brėžinio kūrimas. Tai pasakius, rekomenduoju tokią tvarką: Pirmas geriau viską statyti tiesiai(jei yra) ir tik po to – parabolės, hiperbolė, kitų funkcijų grafikai.

Mūsų užduotyje: tiesiai apibrėžia ašį tiesiai lygiagrečiai ašiai ir parabolė yra simetriškas ašies atžvilgiu, todėl randame keletą atskaitos taškų:

Pageidautina išperinti norimą figūrą:

Antrasis etapas yra teisingai sudaryti ir teisingai apskaičiuoti apibrėžtasis integralas. Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, todėl reikalingas plotas yra:

Atsakymas:

Atlikus užduotį, naudinga pažvelgti į projektą
ir pažiūrėkite, ar atsakymas yra realus.

Ir mes „iš akies“ skaičiuojame nuspalvintų langelių skaičių – na, bus atspausdinta apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėjome, tarkime, 20 kvadratinių vienetų, tai, akivaizdu, kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į sukonstruotą figūrą, daugiausiai keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

11 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą ir ašis

Greitai sušildome (būtinai!) Ir atsižvelgiame į „veidrodinę“ situaciją - kai yra kreivinė trapecija po ašimi:

12 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: raskite kelis atskaitos taškus eksponentui sudaryti:

ir atlikite piešinį, gaudami figūrą, kurios plotas yra apie du langeliai:

Jeigu kreivinė trapecija išsidėsčiusi ne aukščiau ašis , tada jos plotą galima rasti pagal formulę: .
Tokiu atveju:

Atsakymas: - na, labai labai panašu į tiesą.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusės plokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklos problemų pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių:

13 pavyzdys
Raskite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas: pirmiausia turite užbaigti brėžinį, o mus ypač domina parabolės ir linijos susikirtimo taškai, nes ten bus integracijos ribos. Galite juos rasti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Sudarykime ir išspręskime lygtį:

taigi:

Orumas analizės metodas susideda iš jo tikslumu, a trūkumas- į trukmės(ir šiame pavyzdyje mums vis tiek pasisekė). Todėl daugelyje uždavinių labiau apsimoka tiesėti taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“.

Su tiesia linija viskas aišku, tačiau norint sukurti parabolę patogu rasti jos viršūnę, tam imame išvestinę ir prilygstame nuliui:
- tai taškas, kuriame bus viršus. Ir dėl parabolės simetrijos likusius atskaitos taškus rasime pagal principą „kairė-dešinė“:

Padarykime piešinį:

O dabar darbo formulė: jei ant intervalo kai tęstinis funkcija didesnis arba lygus tęstinis funkcijas, tada figūros plotą, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir linijos atkarpos, galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia galvoti, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet, grubiai tariant, svarbu, kuris iš dviejų grafikų yra AUKŠČIAU.

Mūsų pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Segmente: , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Reikėtų pažymėti, kad pastraipos pradžioje nurodytos paprastos formulės yra specialūs formulės atvejai . Kadangi ašis nurodoma lygtimi, tada viena iš funkcijų bus lygi nuliui ir priklausomai nuo to, ar kreivinė trapecija yra aukščiau ar žemiau, gauname formulę arba

O dabar keletas tipiškų užduočių savarankiškam sprendimui

14 pavyzdys
Raskite figūrų, apribotų linijomis, plotą:

Sprendimas su brėžiniais ir trumpais komentarais knygos pabaigoje

Sprendžiant nagrinėjamą problemą kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys padarytas teisingai, integralas išspręstas teisingai, bet dėl ​​neatidumo ... rado netinkamos figūros plotą, taip tavo paklusnus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:

15 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: nupieškime paprastą piešinį,

kurio gudrybė yra ta reikalingas plotas nuspalvintas žaliai(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai įvyksta „gedimas“, kad reikia rasti pilkai nuspalvintą figūros plotą! Ypatingas klastingumas yra tai, kad linija gali būti nubrėžta iki ašies, ir tada mes išvis nepamatysime norimos figūros.

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad jame figūros plotas apskaičiuojamas naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) atkarpoje virš ašies yra tiesios linijos grafikas;
2) atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai aišku, kad galima (ir turėtų) pridėti sritis:

Atsakymas:

Ir informatyvus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

16 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , ir koordinačių ašys.

Taigi, mes susisteminame svarbius šios užduoties punktus:

Pirmajame žingsnyje ATIDŽIAI išstudijuokite sąlygą – KOKIOS funkcijos mums suteiktos? Klaidų pasitaiko net ir čia, ypač lankas į Liestinė dažnai painiojama su lanko liestine. Beje, tai taikoma ir kitoms užduotims, kuriose atsiranda lanko liestinė.

Toliau piešinys turi būti atliktas TEISINGAI. Geriau pirmiausia pastatyti tiesiai(jei yra), tada kitų funkcijų grafikai (jei yra J). Pastaruosius statyti daugeliu atvejų yra pelningiau taškas po taško- suraskite kelis tvirtinimo taškus ir atsargiai sujunkite juos linija.

Tačiau čia gali laukti šie sunkumai. Pirma, tai ne visada aišku iš piešinio integracijos ribos- tai atsitinka, kai jie yra trupmeniniai. Mathprofi.ru adresu atitinkamas straipsnis Apsvarsčiau pavyzdį su parabole ir tiesia linija, kur vienas iš jų susikirtimo taškų brėžinyje nėra aiškus. Tokiais atvejais turėtumėte naudoti analizės metodą, sudarome lygtį:

ir rasti jo šaknis:
– apatinė integracijos riba, – viršutinis limitas.

Po to, kai brėžinys yra pastatytas, išanalizuokite gautą figūrą – dar kartą pažvelkite į siūlomas funkcijas ir dar kartą patikrinkite, ar TAI yra figūra. Tada analizuojame jo formą ir vietą, būna, kad plotas yra gana komplikuotas ir tuomet jį reikėtų padalinti į dvi ar net tris dalis.

Mes sudarome apibrėžtą integralą arba keli integralai pagal formulę , mes išanalizavome visus pagrindinius anksčiau pateiktus variantus.

Išsprendžiame apibrėžtąjį integralą(s). Tuo pačiu metu tai gali pasirodyti gana sudėtinga, o tada taikome fazinį algoritmą: 1) suraskite antidarinį ir patikrinkite jį diferencijuodami, 2) Mes naudojame Niutono-Leibnizo formulę.

Rezultatą naudinga patikrinti naudojant programinę įrangą / internetines paslaugas arba tiesiog „įvertinti“ pagal brėžinį pagal langelius. Tačiau abu ne visada įmanomi, todėl esame labai dėmesingi kiekvienam sprendimo etapui!



Pilna ir atnaujinta šio kurso versija pdf formatu,
taip pat galima rasti kursus kitomis temomis.

Taip pat galite - paprasta, prieinama, linksma ir nemokama!

Su geriausiais linkėjimais Aleksandras Emelinas

Šioje pamokoje išmoksime skaičiuoti plokščių figūrų plotai, kurie vadinami kreivinės trapecijos .

Tokių figūrų pavyzdžiai pateikti žemiau esančiame paveikslėlyje.

Viena vertus, labai paprasta rasti plokščios figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą. Mes kalbame apie figūros plotą, kurį iš viršaus riboja tam tikra kreivė, iš apačios - abscisių ašimi ( Jautis), o kairėje ir dešinėje yra kelios tiesios linijos. Paprastumas yra tas funkcijos, kuriai duota kreivė, apibrėžtasis integralas ir yra tokios figūros plotas(kreivinė trapecija).

Norėdami apskaičiuoti figūros plotą, mums reikia:

1. Kreivę apibrėžiančios funkcijos apibrėžtasis integralas , kuris riboja kreivinę trapeciją iš viršaus. Ir čia ateina pirmasis reikšmingas niuansas: kreivinė trapecija gali būti apribota kreive ne tik iš viršaus, bet ir iš apačios . Kaip elgtis tokiu atveju? Paprasta, bet svarbu atsiminti: integralas šiuo atveju imamas su minuso ženklu .
2. Integracijos ribos a ir b, kurią randame iš linijų, jungiančių figūrą kairėje ir dešinėje, lygčių: x = a , x = b, kur a ir b- skaičiai.

Atskirai dar keletas niuansų.

Kreivė, kuri riboja kreivinę trapeciją iš viršaus (arba apačios), turi būti tolydžios ir neneigiamos funkcijos grafikas y = f(x) .

X reikšmės turi priklausyti segmentui [a, b] . Tai yra, neatsižvelgiama į tokias, pavyzdžiui, linijas kaip grybo dalis, kurioje koja puikiai telpa į šį segmentą, o kepurė yra daug platesnė.

Šoniniai segmentai gali išsigimti į taškus . Jei brėžinyje pamatėte tokią figūrą, tai neturėtų jūsų suklaidinti, nes šis taškas visada turi savo reikšmę x ašyje. Taigi su integracijos ribomis viskas tvarkoje.

Dabar galite pereiti prie formulių ir skaičiavimų. Taigi sritis s kreivinę trapeciją galima apskaičiuoti pagal formulę

Jeigu f(x) ≤ 0 (funkcijos grafikas yra žemiau ašies Jautis), tada lenktos trapecijos plotas galima apskaičiuoti pagal formulę

Taip pat pasitaiko atvejų, kai ir viršutinė, ir apatinė figūros ribos yra atitinkamai funkcijos y = f(x) ir y = φ (x) , tada tokios figūros plotas apskaičiuojamas pagal formulę

. (3)

Problemas sprendžiame kartu

Pradėkime nuo atvejų, kai figūros plotą galima apskaičiuoti naudojant formulę (1).

1 pavyzdysJautis) ir tiesioginis x = 1 , x = 3 .

Sprendimas. Nes y = 1/x> 0 atkarpoje , tada kreivinės trapecijos plotas randamas pagal formulę (1):

.

2 pavyzdys Raskite figūros plotą, kurį riboja funkcijos grafikas, tiesė x= 1 ir x ašis ( Jautis ).

Sprendimas. (1) formulės taikymo rezultatas:

Jei tada s= 1/2; jei tada s= 1/3 ir kt.

3 pavyzdys Raskite figūros plotą, kurį riboja funkcijos grafikas, x ašis ( Jautis) ir tiesioginis x = 4 .

Sprendimas. Uždavinio sąlygą atitinkanti figūra yra kreivinė trapecija, kurioje kairioji atkarpa išsigimusi į tašką. Integravimo ribos yra 0 ir 4. Kadangi pagal (1) formulę randame kreivinės trapecijos plotą:

.

4 pavyzdys Raskite figūros plotą, apribotą linijomis , , ir esančią 1 ketvirtyje.

Sprendimas. Norėdami naudoti formulę (1), figūros plotą, nurodytą pavyzdžio sąlygomis, pavaizduojame kaip trikampio plotų sumą OAB ir kreivinė trapecija ABC. Skaičiuojant trikampio plotą OAB integracijos ribos yra taškų abscisės O ir A, ir figūrai ABC- taškų abscisės A ir C (A yra linijos susikirtimo taškas OA ir parabolės, ir C- parabolės susikirtimo su ašimi taškas Jautis). Kartu (kaip sistemą) išsprendę tiesės ir parabolės lygtis, gauname (taško abscisę A) ir (kito tiesės ir parabolės susikirtimo taško abscisė, kuri nereikalinga sprendiniui). Panašiai gauname , (taškų abscisės C ir D). Dabar turime viską, kad rastume figūros plotą. Mes randame:

5 pavyzdys Raskite kreivinės trapecijos plotą ACDB, jei kreivės lygtis CD ir abscisė A ir B atitinkamai 1 ir 2.

Sprendimas. Šią kreivės lygtį išreiškiame per Y: Kreivės trapecijos plotas randamas pagal formulę (1):

.

Pereikime prie atvejų, kai figūros plotą galima apskaičiuoti naudojant (2) formulę.

6 pavyzdys Raskite figūros plotą, kurį riboja parabolė ir x ašis ( Jautis ).

Sprendimas. Šis skaičius yra žemiau x ašies. Todėl jo plotui apskaičiuoti naudojame formulę (2). Integravimo ribos yra abscisės ir parabolės susikirtimo su ašimi taškai Jautis. Vadinasi,

7 pavyzdys Raskite plotą tarp x ašies ( Jautis) ir dvi gretimos sinusinės bangos.

Sprendimas. Šios figūros plotą galima rasti pagal formulę (2):

.

Raskime kiekvieną terminą atskirai:

.

.

Galiausiai randame sritį:

.

8 pavyzdys Raskite figūros, esančios tarp parabolės ir kreivės, plotą.

Sprendimas. Išreikškime linijų lygtis Y:

Plotas pagal (2) formulę bus gautas kaip

,

kur a ir b- taškų abscisės A ir B. Juos randame kartu spręsdami lygtis:

Galiausiai randame sritį:

Ir, galiausiai, yra atvejų, kai figūros plotą galima apskaičiuoti naudojant (3) formulę.

9 pavyzdys Raskite figūros, esančios tarp parabolių, plotą ir .

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas.

Randame duotųjų tiesių susikirtimo taškus. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą:

Norėdami rasti pateiktų tiesių susikirtimo taškų abscises, išsprendžiame lygtį:

Mes randame: x 1 = -2, x 2 = 4.

Taigi šios linijos, kurios yra parabolė ir tiesė, susikerta taškuose A(-2; 0), B(4; 6).

Šios linijos sudaro uždarą figūrą, kurios plotas apskaičiuojamas pagal aukščiau pateiktą formulę:

Pagal Niutono-Leibnizo formulę randame:

Raskite elipsės apribotos srities plotą.

Sprendimas.

Iš elipsės lygties I kvadrantui turime . Iš čia pagal formulę gauname

Taikykime pakaitalą x = a nuodėmė t, dx = a cos t dt. Naujos integracijos ribos t = α ir t = β nustatomi iš lygčių 0 = a nuodėmė t, a = a nuodėmė t. Galima įdėti α = 0 ir β = π /2.

Randame ketvirtadalį reikalingo ploto

Iš čia S = pab.

Raskite figūros, apribotos linijomis, plotąy = - x 2 + x + 4 iry = - x + 1.

Sprendimas.

Raskite tiesių susikirtimo taškus y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, prilyginant eilučių ordinates: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 arba x 2 - 2x- 3 = 0. Raskite šaknis x 1 = -1, x 2 = 3 ir jas atitinkančios ordinatės y 1 = 2, y 2 = -2.

Naudodami figūros ploto formulę gauname

Raskite plotą, kurį uždaro parabolėy = x 2 + 1 ir tiesioginisx + y = 3.

Sprendimas.

Lygčių sistemos sprendimas

rasti susikirtimo taškų abscises x 1 = -2 ir x 2 = 1.

Darant prielaidą y 2 = 3 - x ir y 1 = x 2 + 1, remiantis gauta formule

Apskaičiuokite Bernulio lemniskato plotąr 2 = a 2 cos 2 φ .

Sprendimas.

Poliarinėje koordinačių sistemoje figūros plotas, apribotas kreivės lanko r = f(φ ) ir du poliariniai spinduliai φ 1 = ʅ ir φ 2 = ʆ , išreiškiamas integralu

Dėl kreivės simetrijos pirmiausia nustatome ketvirtadalį norimo ploto

Todėl bendras plotas yra S = a 2 .

Apskaičiuokite astroido lanko ilgįx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Sprendimas.

Formoje užrašome astroido lygtį

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Padėkime x 1/3 = a 1/3 kaš t, y 1/3 = a 1/3 nuodėmės t.

Iš čia gauname astroido parametrines lygtis

x = a cos 3 t, y = a nuodėmė 3 t, (*)

kur 0 ≤ t ≤ 2π .

Atsižvelgiant į kreivės (*) simetriją, pakanka rasti ketvirtadalį lanko ilgio L atitinkantį parametro pasikeitimą t nuo 0 iki π /2.

Mes gauname

dx = -3a cos 2 t nuodėmė t dt, dy = 3a nuodėmė 2 t cos t dt.

Iš čia randame

Gautos išraiškos integravimas diapazone nuo 0 iki π /2, gauname

Iš čia L = 6a.

Raskite sritį, kurią riboja Archimedo spiralėr = aφ ir du spindulio vektoriai, atitinkantys poliarinius kampusφ 1 irφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Sprendimas.

Plotas, apribotas kreive r = f(φ ) apskaičiuojamas pagal formulę , kur α ir β - poliarinio kampo kitimo ribos.

Taigi, mes gauname

(*)

Iš (*) matyti, kad sritis, kurią riboja poliarinė ašis ir pirmasis Archimedo spiralės posūkis ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Panašiai randame plotą, kurį riboja poliarinė ašis ir antrasis Archimedo spiralės posūkis ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Reikalingas plotas lygus šių plotų skirtumui

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukantis aplink ašįJautis figūra, apribota parabolėmisy = x 2 irx = y 2 .

Sprendimas.

Išspręskime lygčių sistemą

ir gauti x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, iš kur kreivių susikirtimo taškai O(0; 0), B(vienuolika). Kaip matyti paveikslėlyje, norimas sukimosi kūno tūris yra lygus skirtumui tarp dviejų tūrių, susidarančių sukantis aplink ašį Jautis kreivinės trapecijos OCBA ir ODBA:

Apskaičiuokite plotą, kurį riboja ašisJautis ir sinusoidinisy = nuodėmėx segmentuose: a); b) .

Sprendimas.

a) Atkarpoje funkcija sin x išsaugo ženklą, taigi pagal formulę , darant prielaidą y= nuodėmė x, mes randame

b) Atkarpoje funkcija sin x keičia ženklą. Norint teisingai išspręsti problemą, segmentą reikia padalyti į dvi dalis ir [ π , 2π ], kurių kiekvienoje funkcija išlaiko savo ženklą.

Pagal ženklų taisyklę, atkarpoje [ π , 2π ] plotas paimtas su minuso ženklu.

Dėl to norimas plotas lygus

Nustatykite kūno tūrį, kurį riboja paviršius, gautas sukantis elipseiaplink pagrindinę ašįa .

Sprendimas.

Atsižvelgiant į tai, kad elipsė yra simetriška koordinačių ašims, pakanka rasti tūrį, susidarantį sukantis aplink ašį Jautis plotas OAB, lygus ketvirtadaliui elipsės ploto, ir padvigubinti rezultatą.

Pažymime besisukančio kūno tūrį V x; tada, remiantis formule, turime , kur 0 ir a- taškų abscisės B ir A. Iš elipsės lygties randame . Iš čia

Taigi reikalingas tūris yra lygus . (Kai elipsė sukasi aplink mažąją ašį b, kūno tūris yra )

Raskite plotą, kurį riboja parabolėsy 2 = 2 px irx 2 = 2 py .

Sprendimas.

Pirmiausia randame parabolių susikirtimo taškų koordinates, kad galėtume nustatyti integravimo intervalą. Transformuodami pradines lygtis, gauname ir . Sulyginę šias reikšmes, gauname arba x 4 - 8p 3 x = 0.

x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Mes randame lygčių šaknis:

Atsižvelgiant į tai, kad taškas A parabolių sankirta yra pirmame ketvirtyje, tada integracijos ribos x= 0 ir x = 2p.

Norimas plotas randamas pagal formulę

Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Dabar kreipiamės į integralinio skaičiavimo taikymą. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. Kaip naudoti apibrėžtąjį integralą plokštumos figūros plotui apskaičiuoti. Galiausiai tie, kurie ieško prasmės aukštojoje matematikoje – tegul jie ją randa. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai įvertinti vasarnamį su pagrindinėmis funkcijomis ir rasti jo plotą naudodami tam tikrą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai.

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio konstravimą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai bus daug aktualesnis klausimas. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikų atmintį ir bent jau turėti galimybę sukurti tiesę, parabolę ir hiperbolę. Tai galima padaryti (daug kam to reikia) pasitelkus metodinę medžiagą ir straipsnį apie geometrines grafų transformacijas.

Tiesą sakant, visi yra susipažinę su problema rasti sritį naudojant apibrėžtą integralą nuo mokyklos laikų, todėl mes eisime šiek tiek į priekį nuo mokyklos mokymo programos. Šio straipsnio gali ir nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentą kankina nekenčiamas bokštas su entuziazmu, įsisavindamas aukštosios matematikos kursą.

Šio seminaro medžiaga pateikiama paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.

Pradėkime nuo kreivinės trapecijos.

Kreivinė trapecija vadinama plokščia figūra, apribota ašies , tiesių linijų ir atkarpos, kuri nekeičia ženklo šiame intervale, ištisinės funkcijos grafiku. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau abscisė:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaitiniu požiūriu lygus tam tikram integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą . Integrandas apibrėžia kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali užbaigti brėžinį), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas užduoties teiginys. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas – brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.

Kuriant projektą rekomenduoju tokią tvarką: Pirmas geriau konstruoti visas eilutes (jei yra) ir tik po to- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Funkcijų grafikus kurti pelningiau taškas po taško, su taškinės konstrukcijos technika galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti medžiagos, kuri yra labai naudinga mūsų pamokai - kaip greitai sukurti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Padarykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Kreivinės trapecijos neperėsiu, akivaizdu, apie kokią sritį čia kalbama. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Kam sunku apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ir pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus įvestos apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai, akivaizdu, kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , ir ašis

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu kreivinė trapecija išsidėsčiusi po ašimi(arba bent jau ne aukščiau duota ašis), tada jos plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:

Dėmesio! Nepainiokite dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių problemų pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, apatinė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Įvairių diagramų taškinio kūrimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžtame prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia statyti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Kartoju, kad naudojant taškinę konstravimą, integracijos ribos dažniausiai nustatomos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė: Jei intervale yra kokia nors nepertraukiama funkcija didesnis arba lygus tam tikrą ištisinę funkciją, tada figūros plotą, kurį riboja šių funkcijų grafikai ir tiesės, galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAU(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė iš viršaus ir tiesia linija iš apačios.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis. . Kadangi ašis nurodoma lygtimi , o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada kirvius

O dabar pora pavyzdžių savarankiškam sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, kurį sudaro linijos , .

Sprendžiant ploto skaičiavimo uždavinius naudojant tam tikrą integralą, kartais nutinka juokingas incidentas. Brėžinys padarytas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl ​​neatidumo ... rado netinkamos figūros plotą, taip tavo paklusnus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

…Eh, piešinys išėjo kvailas, bet atrodo, kad viskas įskaitoma.

Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva.(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai įvyksta „gedimas“, kad reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad jame figūros plotas apskaičiuojamas naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesių linijų grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

Pereikime prie dar vienos prasmingos užduoties.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokyklinėje“ formoje ir nubrėžkime tašką po taško:

Iš brėžinio matyti, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba? Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti. Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką iš viso nesupratome?

Tokiais atvejais tenka skirti daugiau laiko ir analitiškai išgryninti integracijos ribas.

Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:


,

Tikrai,.

Tolesnis sprendimas yra nereikšmingas, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys lengviausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje apsvarstysime dvi užduotis sunkesnėmis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,

Sprendimas: pieškite šią figūrą brėžinyje.

Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį ir perdariau paveikslėlį, atsiprašau, ne karšta. Ne piešinys, trumpai tariant, šiandien diena =)

Konstruojant tašką po taško, būtina žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) leidžiama sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame grafikai ir integravimo ribos turi būti atvaizduojamos iš esmės teisingai.

Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: - "x" keičiasi iš nulio į "pi". Priimame tolesnį sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl: