Множество всех точек координатной плоскости. Задание фигур на координатной плоскости уравнениями и неравенствами
Назовем (х, у) упорядоченной парой, а х и у – компонентами этой пары. При этом считают, что (х 1 у 1 ) = (х 2 .у 2 ), если х 1 = х 2 и у 1 = у 2 .
__________________________________________________________________
Определение 9. Декартовым произведением множеств А и В называют множество А В, элементами которого являются все пары(х,у), такие, что х А, у В, т.е. А В = {(х,у)/х А, у В}.
_____________________________________________________________________________________________
Найдем, например, декартово произведение множеств А = { 1,3} и В ={2,4,6}.
А В = {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.
Операцию, при помощи которой находят декартово произведение, называют декартовым умножением множеств.
Декартово умножение множеств не обладает ни свойством коммутативности, ни свойством ассоциативности, но связано с операциями объединения и вычитания множеств дистрибутивными свойствами:
для любых множеств А, В, С имеют место равенства:
(А В) С = (А С) (В С),
(А\В) С = (А С)\(В С).
Для наглядного представления декартова произведения числовых множеств часто используют прямоугольную систему координат.
Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В.
Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств А и В, если:
a) A = {2, 6}; B ={1,4}, б) А = {2, 6}; В = , в) А = ; B =.
В случае а) данные множества конечны и можно перечислить элементы декартова произведения.
А В = {(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Построим оси координат и на оси ОХ отметим элементы множества А , а на оси ОУ – элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел множества АВ точкам на координатной плоскости (рис.7). Полученная фигура из четыре точек и будет наглядно представлять декартово произведение данных множеств А и В.
В случае б) перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно, т.к. множество В – бесконечное, но можно представить процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая компонента либо 2 , либо 6 , а вторая компонента – действительное число из промежутка .
Все пары, первая компонента которых есть число 2 , а вторая пробегает значение от 1 до 4 включительно, изображаются точками отрезка СД, а пары, первая компонента которых есть число 6 , а вторая – любое действительное число из промежутка , – точками отрезка Р S (рис.8). Таким образом, в случае б) декартово произведение множеств А и В на координатной плоскости изображается в виде отрезка СД и Р S .
Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9
Случай в) отличается от случая б) тем, что здесь бесконечно не только множество В, но и множество А, поэтому, первой компонентой пар, принадлежащих множеству А В, является любое число из промежутка . Точки, изображающие элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квадрат СДЕ L (рис. 9). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются точками квадрата, его можно заштриховать.
Контрольные вопросы
Покажите, что решение следующих задач приводит к образованию декартова произведения множеств:
а) Запишите все дроби, числителем которых является число из множества А = {3, 4} , а знаменателем – число из множества В = {5, 6, 7}.
б) Запишите различные двузначные числа, используя числа 1, 2, 3, 4.
Докажите, что для любых множеств А, В, С справедливо равенство (А В )С = (А С) (В С). Проиллюстрируйте его выполнимость для множеств А = {2, 4, 6}, В= {1,3, 5}, С = {0, 1}.
Какую фигуру образуют точки на координатной плоскости, если их координаты являются элементами декартова произведения множеств А = {– 3, 3} и В = R
Определите, декартово произведение каких множеств А и В изображено на рисунке 10.
Рис. 10
Упражнения
112. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А = {1, 3, 5} , а цифры единиц – множеству В = {2,4,6}.
113. Напишите все дроби, числители которых выбираются из множества А= {3, 5, 7}, а знаменатель – из множества В= {4, 6, 8}.
114. Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А = {3, 5,7}, а знаменатель – из множества В= {4, 6,8}.
115. Даны множества Р = {1, 2, 3}, К= {а, b }. Найдите все декартова произведения множеств Р К и K Р.
116. Известно, что А В = {(1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6)}. Установите, из каких элементов состоят множества А и В.
117. Запишите множества (А В) С и А (В С) перечислением пар, если А ={а, b }, B = {3}, C ={4, 6}
118. Составьте множества А В, В А, если:
a)А = {а, b ,с},В={ d },
б) A = { a , b }, B = ,
в) А= {т, п, k }, В = А,
г) A = { x , y , z }, B = { k , n }
119. Известно, что А В = {(2,3), (2,5), (2,6), (3,3), (3,5), (3,6)}. Установите, из каких элементов состоят множества А и В .
120. Найдите декартово произведение множеств А = {5, 9, 4} и В = {7, 8, 6} и выделите из него подмножество пар, в которых:
а) первая компонента больше второй; б) первая компонента равна 5; в) вторая компонента равна 7.
121. Перечислите элементы, принадлежащие декартову произведению множеств А, В и С, если:
а) А = { 2, 3}, В = (7, 8, 9}, С = {1, 0};
б) А = В = С = {2, 3};
в) А = {2, 3}, B = {7, 8, 9}, С =
122. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова про изведения множеств А и В, если:
а) А = {х/х N, 2 < х < 4}, В = {х/х N, х < 3};
б) А = {х/х R , 2 < х < 4}, В = {х/х N, х < 3};
в) А = ; В = .
123. Все элементы декартова произведения двух множеств A и B изображены точками в прямоугольной системе координат. Запишите множества A и В (рис. 11).
Рис. 13
124. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств X и Y, если:
а) Х={–1,0, 1,2}, Y ={2, 3,4};
б) Х={–1,0, 1,2}, Y =;
в) Х = [–1;2], Y = {2, 3, 4};
г) Х = , Y = ;
д) X = [–3; 2], Y = ;
ж) Х = ]–3;2[, Y = R ;
з) Х={2}, Y = R ;
и) Х= R , Y = {–3}.
125. Фигуры, приведенные на рис. 14, являются результатом изображения на координатной плоскости декартова произведения множеств X и Y. Укажите для каждой фигуры эти множества.
Рис. 14
126. Выясните, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полуплоскости. Рассмотрите все случаи.
127. Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде прямого угла, который образуется при пересечении координатных осей.
128. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОХ и проходящую через точку Р (–2, 3).
129. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси О Y и проходящую через точку Р (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.
130. На координатной плоскости постройте полосу, ограниченную прямыми, проходящими через точки (–2, 0) и (2, 0) и параллельными оси О Y . Опишите множество точек, принадлежащих этой полосе.
131. На координатной плоскости постройте прямоугольник, вершинами которого служат точки А (–3, 5), В (–3, 8), С (7, 5), D (7, 8). Опишите множество точек этого прямоугольника.
132. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) х R , у = 5;
б) х = –3, у R ;
в) х R , |у| = 2;
г) | x | = 3, у R ;
д) х R , y ≥ 4;
е) x R , y 4;
ж) х R , |у| 4;
з) | x | 4, |у| 3 ;
и) |х| ≥1, |у| ≥ 4;
к)|х| ≥ 2, у R .
133. На координатной плоскости изобразите элементы декартова произведения множеств X и Y , если:
а) X = R , Y = {3}; б) X = R , Y = [–3; 3]; в) X = .
134. На координатной плоскости постройте фигуру F, если
а) F = {(х, у) | х = 2, у R }
б) F = {(х, у) | x R , у = –3};
в) F = {(х, у) | х 2, у R };
г) F = {(х, у) | х К, y ≥ – 3};
д) F = {(х, у) | |х| = 2, у R };
е) F ={(х,у) |х R , |у| = 3}.
135. Постройте прямоугольник с вершинами в точках (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Укажите характеристическое свойство точек, принадлежащих этому прямоугольнику.
136. На координатной плоскости постройте прямые, параллельные оси ОХ и проходящие через точки (2, 3) и (2, –1). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полосы, заключенной между построенными прямыми.
137. На координатной плоскости постройте прямые, параллельные оси ОY и проходящие через точки (2, 3) и (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полосы, заключенной между построенными прямыми.
138. Изобразите в прямоугольной системе координат множество X Y , если:
a) X = R ; Y ={ y у R , |у | < 3},
б) Х = {x / x R , |х | > 2}; Y = {у/у R , |у | > 4}.
По теме данной главы студент должен уметь:
Задавать множества разными способами;
Устанавливать отношения между множествами и изображать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна;
Доказывать равенство двух множеств;
Выполнять операции над множествами и геометрически их иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна;
Производить разбиение множества на классы с помощью одного или нескольких свойств; оценивать правильность выполненной классификации.
Часто приходится изображать на координатной плоскости мно-жество решений неравенства с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.
2у + Зх < 6.
Сначала построим прямую. Для этого запишем неравенство в виде уравнения 2у + Зх = 6 и выразим y. Таким образом, получим: y=(6-3 x)/2.
Эта прямая раз-бивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее.
Возь-мем из каждой области по контрольной точке , например А (1;1) и В (1; 3)
Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + Зх < 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.
Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2∙3 + 3∙1 < 6.
Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + Зх = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той об-ласти, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.
Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + Зх < 6.
Пример
Изобразим множество решений неравенства х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 > 0 на координатной плоскости.
Построим сначала график уравнения х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 = 0. Вы-делим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 2 2 .
Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.
Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность пунктирной линией.
Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 ме-няет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.
Пример
Изобразим на координатной плоскости множество решений нера-венства
(у - х 2)(у - х - 3) < 0.
Сначала построим график уравнения (у - х 2)(у - х - 3) = 0. Им яв-ляется парабола у = х 2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х 2)(у - х - 3) проис-ходит только на этих линиях. Для точки А (0; 5) определим знак это-го выражения: (5- 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для кото-рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).
Алгоритм решения неравенств с двумя переменными
1. Приведем неравенство к виду f (х; у) < 0 (f (х; у) > 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)
2. Записываем равенство f (х; у) = 0
3. Распознаем графики, записанные в левой части.
4. Строим эти графики. Если неравенство строгое (f (х; у) < 0 или f (х; у) > 0), то - штрихами, если неравенство нестрогое (f (х; у) ≤ 0 или f (х; у) ≥ 0), то - сплошной линией.
5. Определяем, на сколько частей графики разбили координатную плоскость
6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения f (х; у)
7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов)
8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку
Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y) . Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.
Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.
Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.
Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).
Пример 1.
Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.
Ответ: рисунок 1.
Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.
Первое уравнение равносильно системе
{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).
То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.
Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).
Пример 2.
Построить график уравнения |y| = 2 + x.
Решение.
Заданное уравнение равносильно системе
{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.
Строим множество точек.
Ответ: рисунок 2.
Пример 3.
Построить график уравнения |y – x| = 1.
Решение.
Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.
Ответ: рисунок 3.
При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей , основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.
Пример 4.
Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.
Решение.
В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.
1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:
2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.
2) Во второй четверти, где x < 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) В третьей четверти x < 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y < 0 получим, что x = 1.
График данного уравнения будем строить по четвертям.
Ответ: рисунок 4.
Пример 5.
Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.
Решение.
Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.
Область |
Знак подмодульного выражения |
Полученное уравнение после раскрытия модуля |
I | x ≥ 1 и y ≥ 1 | x + y = 3 |
II | x < 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
III | x < 1 и y < 1 | x + y = 1 |
IV | x ≥ 1 и y < 1 | x – y = 1 |
Ответ: рисунок 5.
На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами .
Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.
Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными :
- Записать уравнение, соответствующее неравенству.
- Построить график уравнения из пункта 1.
- Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
- Изобразить графически множество всех решений неравенства.
Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.
Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.
1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6 .
2)
|x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7
.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8 .
4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.
5) xy ≤ 1. Рисунок 10.
Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как зарегистрируетесь . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.
Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.