Co dzieje się z obszarem prostokątnej kartki papieru. „Zastosowanie pochodnej do rozwiązywania problemów
Strona 6 z 8
Rozdział piąty.
ZNIKANIE FIGUR. SEKCJA I
W tym i następnym rozdziale będziemy śledzić rozwój wielu niezwykłych paradoksów geometrycznych. Wszystkie zaczynają się od pocięcia figury na kawałki, a kończą na złożeniu tych kawałków nowej figury. Jednocześnie wydaje się, że część oryginalnej figury (może to być część obszaru figury lub jeden z kilku przedstawionych na niej rysunków) zniknęła bez śladu. Kiedy kawałki wracają na swoje pierwotne miejsca, znikająca część obszaru lub rysunek w tajemniczy sposób pojawia się ponownie.
Geometryczny charakter tych dziwnych zniknięć i pojawiania się uzasadnia włączenie tych paradoksów do kategorii zagadek matematycznych.
Paradoks z liniami
Wszystkie liczne paradoksy, które tutaj rozważymy, opierają się na tej samej zasadzie, którą nazwiemy „zasadą ukrytej redystrybucji”. Oto jeden bardzo stary i bardzo elementarny paradoks, który od razu wyjaśnia istotę tej zasady.
Narysuj dziesięć pionowych linii tej samej długości na prostokątnej kartce papieru i narysuj przekątną linią kropkowaną, jak pokazano na ryc. 50.
Przyjrzyjmy się segmentom tych linii powyżej i poniżej przekątnej; łatwo zauważyć, że długość pierwszego maleje, a drugi odpowiednio się zwiększa.
Przetnijmy prostokąt wzdłuż przerywanej linii i przesuńmy dolną część w lewo w dół, jak pokazano na ryc. 51.
Licząc liczbę pionowych linii, przekonasz się, że jest ich teraz dziewięć. Która linia zniknęła i gdzie? Przesuń lewą stronę z powrotem do pierwotnej pozycji, a linia, która zniknęła, pojawi się ponownie.
Ale która linia wpadła na swoje miejsce i skąd się wzięła?
Na pierwszy rzut oka pytania te wydają się zagadkowe, ale po krótkim zastanowieniu staje się jasne, że żadna pojedyncza linia nie znika ani nie pojawia się. Dzieje się tak, że te osiem przyrostów jest dokładnie równych długości każdej z oryginalnych linii.
Być może istota paradoksu wyjdzie jeszcze wyraźniej, jeśli zostanie zilustrowana na kamyczkach.
Weź pięć stosów kamyków, cztery kamyki w stosie. Przenieśmy jeden kamyczek z drugiego stosu na pierwszy, dwa kamyki z trzeciego na drugi, trzy z czwartego na trzeci i wreszcie wszystkie cztery kamyki z piątego na czwarty. Ryż. 52 wyjaśnia nasze działania.
Po takim przesunięciu okazuje się, że stosy były tylko cztery. Nie można odpowiedzieć na pytanie, który stos zniknął, ponieważ kamyki zostały rozłożone tak, że każdy z czterech stosów miał dodany kamyk. Dokładnie to samo dzieje się w paradoksie linii. Kiedy części arkusza są przesuwane po przekątnej, segmenty linii cięcia są redystrybuowane, a każda wynikowa linia staje się nieco dłuższa niż oryginalna.
Zniknięcie twarzy
Przejdźmy do opisu sposobów, dzięki którym paradoks z liniami może być ciekawszy i zabawniejszy. Można to osiągnąć na przykład poprzez zastąpienie znikania i pojawiania się linii tym samym znikaniem i pojawianiem się płaskich figur. Szczególnie odpowiednie są tutaj obrazy ołówków, papierosów, cegieł, kapeluszy z wysokimi koronami, szklanek z wodą i innych pionowo rozciągniętych przedmiotów, których charakter obrazu pozostaje taki sam przed i po zmianie. Przy odrobinie pomysłowości artystycznej możesz wziąć bardziej złożone przedmioty. Spójrz na przykład na znikającą twarz na ryc. 53.
Przesuwając dolny pasek na górze obrazu w lewo, wszystkie kapelusze pozostają nienaruszone, ale jedna twarz znika całkowicie! (patrz dół zdjęcia). Nie ma sensu pytać, jaka twarz, ponieważ podczas przesuwania cztery twarze dzielą się na dwie części. Części te są następnie redystrybuowane, a każda twarz otrzymuje kilka dodatkowych cech: jedna, na przykład dłuższy nos, druga bardziej wydłużony podbródek itp. Jednak te małe redystrybucje są pomysłowo ukryte, a zniknięcie całej twarzy jest oczywiście o wiele bardziej uderzające niż zniknięcie fragmentu linii.
„Znikający wojownik”
W tej układance paradoksowi z liniami nadano okrągły kształt, a odcinki linii prostych zastąpiono figurami 13 wojowników (ryc. 54).
W tym samym czasie duża strzałka wskazuje północny wschód od S.V. strzałka będzie wskazywać północny zachód NW, na figurze będzie 12 wojowników (ryc. 55).
Kiedy okrąg zostanie obrócony w kierunku przeciwnym do pozycji, w której duża strzała ponownie znajdzie się na NE, zaginiony wojownik pojawi się ponownie.
Jeśli rys. 54 przyjrzyj się bliżej, zobaczysz, że dwaj wojownicy w lewej dolnej części obrazu są ulokowani w szczególny sposób: stoją naprzeciw siebie, podczas gdy cała reszta jest ustawiona w łańcuchu. Te dwie liczby odpowiadają skrajnym liniom w paradoksie odcinka linii. Zgodnie z wymaganiami rysunku, każdej z tych figur powinien brakować fragmentu nogi i aby ta wada była mniej widoczna w skręconym kole, lepiej byłoby przedstawić je obok siebie.
Zauważamy również, że wojownicy są przedstawieni na rysunku z dużo większą pomysłowością, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Na przykład, aby figury pozostały w pozycji pionowej we wszystkich miejscach globu, konieczne jest, aby w jednym przypadku mieć prawą nogę zamiast lewej, aw drugim wręcz przeciwnie, zamiast prawa noga, lewa.
Zagubiony króliczek
Paradoks linii pionowych można oczywiście pokazać na bardziej złożonych obiektach, takich jak ludzkie twarze, postacie zwierząt itp. Na ryc. 56 pokazuje jeden wariant.
Kiedy po przecięciu grubej linii zamienimy miejscami prostokąty A i B, jeden królik znika, a na jego miejscu zostaje pisanka. Jeśli zamiast zamieniać miejscami prostokąty A i B, wyciąć prawą połowę rysunku wzdłuż przerywanej linii i zamienić miejscami prawe części, liczba królików wzrośnie do 12, ale jeden królik straci uszy i pojawią się inne zabawne szczegóły.
Rozdział szósty.
ZNIKANIE FIGUR. SEKCJA I I
Paradoks szachownicy
Ściśle związana z paradoksami omówionymi w poprzednim rozdziale jest inna klasa paradoksów, w których „zasada ukrytej redystrybucji” wyjaśnia tajemnicze znikanie lub pojawianie się kwadratów. Jeden z najstarszych i najbardziej proste przykłady paradoksy tego rodzaju pokazano na ryc. 57.
Szachownica jest cięta ukośnie, jak pokazano na lewej połowie figury, a następnie część B jest przesunięta w lewo, jak pokazano na prawej połowie figury. Jeśli trójkąt wystający w prawym górnym rogu zostanie odcięty nożyczkami i umieszczony w pustym miejscu, które wygląda jak trójkąt w lewym dolnym rogu obrazu, otrzymamy prostokąt o wymiarach 7x9 jednostek kwadratowych.
Pierwotnie pole wynosiło 64 jednostki kwadratowe, ale teraz jest to 63. Gdzie podziała się jedna brakująca jednostka kwadratowa?
Odpowiedź jest taka, że nasza przekątna przebiega nieco poniżej lewego dolnego rogu kwadratu znajdującego się w prawym górnym rogu planszy.
Z tego powodu odcięty trójkąt ma wysokość równą nie 1, ale 1 1/7. A zatem wysokość nie wynosi 9, ale 9 1/7 jednostek. Wzrost wysokości o 1/7 jednostki jest prawie niezauważalny, ale biorąc pod uwagę, daje wymaganą powierzchnię prostokąta 64 jednostki kwadratowe.
Paradoks staje się jeszcze bardziej uderzający, jeśli zamiast szachownicy weźmiemy po prostu kwadratową kartkę papieru bez komórek, ponieważ w naszym przypadku dokładne zbadanie ujawnia niedokładne zamknięcie komórek wzdłuż linii cięcia.
Związek naszego paradoksu z paradoksem linii pionowych, omówionym w poprzednim rozdziale, stanie się jasny, jeśli prześledzimy komórki wzdłuż linii cięcia. Podczas przesuwania w górę wzdłuż linii cięcia okazuje się, że części wyciętych komórek powyżej linii (są one zaciemnione na rysunku) stopniowo zmniejszają się i stopniowo rosną poniżej linii. Na szachownicy znajdowało się piętnaście zacienionych pól, ale na prostokącie uzyskanym po przestawieniu figur było ich tylko czternaście. Pozorne zniknięcie jednej ciemnej komórki jest po prostu inną formą paradoksu omówionego powyżej. Kiedy przecinamy, a następnie tasujemy mały trójkąt, w rzeczywistości przecinamy kawałek A szachownicy na dwie części, które są następnie zamieniane wzdłuż przekątnej.
Dla układanki ważne są tylko komórki sąsiadujące z linią cięcia, reszta nie ma znaczenia, pełniąc rolę dekoracji. Jednak ich obecność zmienia charakter paradoksu. Zamiast znikania jednej z kilku małych komórek (lub nieco bardziej złożonej figury, na przykład karty do gry, ludzkiej twarzy itp., którą można narysować w każdej komórce), mamy tu do czynienia ze zmianą obszaru dużej figury geometrycznej.
Kwadratowy paradoks
Oto kolejny paradoks z tym obszarem. Zmieniając położenie części A i C, jak pokazano na rys. 58 możliwe jest przekształcenie prostokąta o powierzchni 30 jednostek kwadratowych w dwa mniejsze prostokąty o łącznej powierzchni 32 jednostek kwadratowych, uzyskując w ten sposób „zysk” dwóch jednostek kwadratowych. Podobnie jak w poprzednim paradoksie, tutaj rolę odgrywają tylko komórki sąsiadujące z linią cięcia. Reszta to tylko dekoracja.
W tym paradoksie istnieją dwa zasadniczo różne sposoby pocięcia figury na kawałki.
Możesz zacząć od dużego prostokąta 3x10 jednostek (górna część ryc. 58), ostrożnie rysując w nim przekątną, następnie dwa mniejsze prostokąty (dolna część ryc. 58) będą o 1/5 jednostki krótsze niż ich pozorne wymiary.
Ale możesz też zacząć od figury złożonej z dwóch starannie narysowanych mniejszych prostokątów o wymiarach 2x6 i 4x5 jednostek; wtedy odcinki łączące punkt X z punktem Y oraz punkt Y z punktem Z nie utworzą linii prostej. I tylko dlatego, że utworzony przez nich kąt rozwarty z wierzchołkiem w punkcie Y jest bardzo zbliżony do rozwiniętego, linia łamana XYZ wydaje się być linią prostą. Dlatego figura złożona z części małych prostokątów w rzeczywistości nie będzie prostokątem, ponieważ części te będą się nieznacznie nakładać na przekątną. Paradoks szachownicy, tak po prostu większość inne paradoksy, które rozważymy w tym rozdziale, również można przedstawić na dwa sposoby. W jednej z nich paradoks uzyskuje się dzięki nieznacznemu zmniejszeniu lub zwiększeniu wysokości (lub szerokości) figur, w drugiej – dzięki zwiększeniu lub ubytkowi pola wzdłuż przekątnej, spowodowanemu albo nakładaniem się figurami, jak w omawianym właśnie przypadku, czy też pojawieniem się pustych przestrzeni, z którymi wkrótce się spotkamy.
Zmieniając rozmiar figur i nachylenie przekątnej, paradoksowi można nadać zupełnie inny wygląd. Możesz osiągnąć stratę lub zysk w obszarze 1 jednostki kwadratowej lub 2, 3, 4, 5 jednostek itd.
Wariant kwadratowy
W jednej eleganckiej wersji oryginalne prostokąty jednostek 3x8 i 5x8 ustawione obok siebie tworzą zwykłą szachownicę 8x8. Prostokąty te są cięte na kawałki, które po redystrybucji tworzą nowy duży prostokąt o pozornym wzroście powierzchni o jedną jednostkę kwadratową (ryc. 59).
Istota paradoksu jest następująca. Przy starannej konstrukcji rysunku kwadratu ścisła przekątna dużego prostokąta nie działa. Zamiast tego pojawia się postać w kształcie rombu, tak wydłużona, że jej boki wydają się niemal łączyć. Z drugiej strony, jeśli ostrożnie narysujesz przekątną dużego prostokąta; wysokość górnej części dwóch prostokątów tworzących kwadrat będzie nieco większa niż powinna, a dolny prostokąt będzie nieco szerszy. Należy zauważyć, że niedokładne zamknięcie części figury w drugiej metodzie cięcia jest bardziej uderzające niż niedokładności wzdłuż przekątnej w pierwszej; więc preferowany jest pierwszy sposób. Podobnie jak w poprzednich przykładach, wewnątrz komórek rozciętych po przekątnej można narysować koła, fizjonomie lub jakieś figury; przy przestawianiu części składowe prostokąty tych figur staną się mniej więcej o jeden.
Liczby Fibonacciego
Okazuje się, że długości boków czterech części tworzących figury (ryc. 59 i 60) należą do ciągu Fibonacciego, czyli ciągu liczb rozpoczynającego się od dwóch jednostek: 1, 1, każda z która, począwszy od trzeciej, jest sumą dwóch poprzednich. Nasza seria wygląda jak 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Układ części, z których wycięto kwadrat, w kształcie prostokąta ilustruje jedną z własności ciągu Fibonacciego, a mianowicie następującą: przy podnoszeniu do kwadratu dowolnego elementu tego szeregu iloczyn dwóch sąsiednich elementów tego szeregu uzyskuje się plus lub minus jeden. W naszym przykładzie bok kwadratu wynosi 8, a pole 64. 8 w ciągu Fibonacciego znajduje się między 5 a 13. Ponieważ liczby 5 i 13 stają się długościami boków prostokąta, jego pole powinno być równy 65, co daje wzrost pola o jedną jednostkę.
Dzięki tej właściwości szeregu można skonstruować kwadrat, którego bok ma dowolną liczbę Fibonacciego większą od jedności, a następnie przeciąć go zgodnie z dwiema poprzednimi liczbami tego ciągu.
Jeśli na przykład weźmiemy kwadrat o wymiarach 13x13 jednostek, to jego trzy boki należy podzielić na odcinki o długości 5 i 8 jednostek, a następnie wyciąć, jak pokazano na ryc. 60. Pole tego kwadratu wynosi 169 jednostek kwadratowych. Boki prostokąta utworzonego przez części kwadratów będą wynosić 21 i 8, co daje powierzchnię 168 jednostek kwadratowych. Tutaj, ze względu na nakładanie się części wzdłuż przekątnej, jedna kwadratowa jednostka nie jest dodawana, ale tracona.
Jeśli weźmiemy kwadrat o boku 5, to również nastąpi utrata jednej jednostki kwadratowej. Można też sformułować ogólną zasadę: biorąc za bok kwadratu pewną liczbę z „pierwszego” podciągu liczb Fibonacciego (3, 8…) przechodzących przez jedynkę i tworzących prostokąt z części tego kwadratu, otrzymamy prześwit wzdłuż jego przekątnej, a co za tym idzie pozorne zwiększenie powierzchni o jednostkę. Biorąc pewną liczbę z „drugiego” podciągu (2, 5, 13…) jako bok kwadratu, otrzymujemy zachodzące na siebie obszary wzdłuż przekątnej prostokąta i utratę jednej kwadratowej jednostki powierzchni.
Możesz zbudować paradoks nawet na kwadracie o boku dwóch jednostek. Ale wtedy w prostokącie 3x1 jest tak oczywiste nakładanie się, że efekt paradoksu jest całkowicie utracony.
Używając innych szeregów Fibonacciego dla paradoksu, możesz uzyskać niezliczone możliwości. Na przykład kwadraty oparte na rzędzie 2, 4, 6, 10, 16, 26 itd. dają stratę lub zysk w wysokości 4 jednostek kwadratowych. Wielkość tych strat lub zysków można znaleźć, obliczając dla danego szeregu różnicę między kwadratem któregokolwiek z jego wyrazów a iloczynem dwóch sąsiednich wyrazów po lewej i prawej stronie. Rząd 3, 4, 7, 11, 18, 29 itd. daje wzrost lub utratę pięciu jednostek kwadratowych. T. de Moulidar podał rysunek kwadratu oparty na szeregu 1, 4, 5, 9, 14 itd. Przyjmuje się, że bok tego kwadratu jest równy 9, a po przekształceniu go w prostokąt traci się 11 jednostek kwadratowych . Rząd 2, 5, 7, 12, 19 ... również daje stratę lub zysk 11 jednostek kwadratowych. W obu przypadkach zakładki (lub przerwy) wzdłuż przekątnej są tak duże, że można je natychmiast zobaczyć.
Oznaczając dowolne trzy kolejne liczby Fibonacciego przez A, B i C oraz przez X - stratę lub zysk w obszarze, otrzymujemy dwa wzory:
A + B = C
B 2 \u003d AC ± X
Jeśli podstawimy zamiast X żądany zysk lub stratę, a zamiast B liczbę, która jest długością boku kwadratu, możemy skonstruować równanie kwadratowe, z których wychodzą jeszcze dwie inne liczby Fibonacciego, choć te oczywiście niekoniecznie będą liczby wymierne. Okazuje się na przykład, że dzieląc kwadrat na figury o wymiernych długościach boków, nie można uzyskać wzrostu lub utraty dwóch lub trzech jednostek kwadratowych. Używając liczby niewymierne można to oczywiście osiągnąć. Zatem ciąg Fibonacciego 2 1/2 , 2 2 1/2 , 3 2 1/2 , 5 2 1/2 daje wzrost lub spadek o dwie jednostki kwadratowe, a szereg 3 1/2 , 2 3 1/2 , 3 3 1/2 , 5 3 1/2 daje zysk lub stratę trzech jednostek kwadratowych.
Wariant prostokątny
Istnieje wiele sposobów na pocięcie prostokąta na niewielką liczbę części, a następnie złożenie go w inny prostokąt o większej lub mniejszej powierzchni. na ryc. 61 pokazuje paradoks, również oparty na szeregu Fibonacciego.
Podobnie jak w omawianym właśnie przypadku kwadratu, wybranie pewnej liczby Fibonacciego z „drugiego” podciągu jako szerokości pierwszego prostokąta (w tym przypadku 13) skutkuje zwiększeniem pola drugiego prostokąta o jedną jednostkę kwadratową.
Jeśli jako szerokość pierwszego prostokąta weźmiemy pewną liczbę Fibonacciego z „dodatkowego” podciągu, to pole drugiego prostokąta zmniejszy się o jedną jednostkę. Straty i zyski w obszarze są wyjaśnione przez małe nakładanie się lub przerwy wzdłuż przekątnej drugiego prostokąta. Inna wersja takiego prostokąta, pokazana na ryc. 62 przy konstruowaniu drugiego prostokąta powoduje zwiększenie pola o dwie jednostki kwadratowe.
Jeśli zacieniona część obszaru drugiego prostokąta zostanie umieszczona nad niezacienioną częścią, dwa ukośne cięcia łączą się w jedną dużą przekątną. Teraz przestawiając części A i B (jak na ryc. 61), otrzymujemy drugi prostokąt o większym obszarze.
Inna wersja paradoksu
Sumując obszary części, permutacja trójkątów B i C w górnej części ryc. 63 skutkuje pozorną utratą jednej jednostki kwadratowej.
Jak czytelnik zauważy, jest to spowodowane obszarami zacieniowanych części: na górze figury znajduje się 15 zacienionych kwadratów, na dole - 16. dojść do nowej, uderzającej formy paradoksu. Teraz mamy przed sobą prostokąt, który można podzielić na 5 części, a następnie, zamieniając je, utworzyć nowy prostokąt i pomimo tego, że jego wymiary liniowe pozostają takie same, otwór o powierzchni w środku pojawia się jedna kwadratowa jednostka (ryc. 64).
Możliwość przekształcenia jednej figury w inną, o tych samych wymiarach zewnętrznych, ale z otworem w obwodzie, polega na tym, że. Jeśli weźmiesz punkt X dokładnie trzy jednostki od podstawy i pięć jednostek od boku prostokąta, to przekątna nie przejdzie przez niego. Jednak polilinia łącząca punkt X z przeciwległymi wierzchołkami prostokąta będzie tak mało odchylać się od przekątnej, że będzie prawie niezauważalna.
Po zamianie trójkątów B i C w dolnej połowie rysunku części figury będą się lekko nachodzić na siebie wzdłuż przekątnej.
Z drugiej strony, jeśli w górnej części figury uznamy linię łączącą przeciwległe wierzchołki prostokąta za dokładnie narysowaną przekątną, to linia XW będzie nieco dłuższa niż trzy jednostki. W rezultacie drugi prostokąt będzie nieco wyższy, niż się wydaje. W pierwszym przypadku brakującą jednostkę powierzchni można uznać za rozłożoną od rogu do rogu i tworzącą nakładanie się wzdłuż przekątnych. W drugim przypadku brakujący kwadrat jest rozłożony na całej szerokości prostokąta. Jak już wiemy z poprzedniego, wszystkie tego rodzaju paradoksy można przypisać jednej z tych dwóch opcji konstrukcyjnych. W obu przypadkach niedokładności figur są tak niewielkie, że zupełnie ich nie widać.
Najbardziej elegancką formą tego paradoksu są kwadraty, które po redystrybucji części i utworzeniu dziury pozostają kwadratami.
Takie kwadraty znane są w niezliczonych wariantach iz otworami o dowolnej liczbie jednostek kwadratowych. Niektóre z najciekawszych z nich pokazano na ryc. 65 i 66.
Można wskazać prosta formuła, odnosząc rozmiar otworu do proporcji dużego trójkąta. Trzy rozmiary, które zostaną omówione, oznaczymy przez A, B do C (ryc. 67).
Powierzchnia otworu w jednostkach kwadratowych jest równa różnicy między iloczynem A i C a najbliższą wielokrotnością rozmiaru B. Tak więc w ostatnim przykładzie iloczyn A i C wynosi 25. Najbliższa wielokrotność rozmiar B do 25 to 24, więc otwór to jedna jednostka kwadratowa. Zasada ta obowiązuje niezależnie od tego, czy rysowana jest przekątna rzeczywista, czy punkt X na ryc. 67 nakłada się starannie na przecięciu linii kwadratowej siatki.
Jeśli przekątna, tak jak powinna być, zostanie narysowana jako linia ściśle prosta lub jeśli punkt X zostanie wzięty dokładnie w jednym z wierzchołków kwadratowej siatki, to nie uzyskamy żadnego paradoksu. W takich przypadkach wzór daje dziurę o zerowych jednostkach kwadratowych, co oczywiście oznacza, że w ogóle nie ma dziury.
Wariant trójkąta
Wróćmy do pierwszego przykładu paradoksu (patrz ryc. 64). Zauważ, że duży trójkąt A nie zmienia swojego położenia, podczas gdy inne części się poruszają. Ponieważ ten trójkąt nie gra znacząca rola paradoksalnie można go całkowicie odrzucić, pozostawiając tylko trójkąt prostokątny podzielony na cztery części. Części te można następnie redystrybuować, uzyskując w ten sposób trójkąt prostokątny z otworem (ryc. 68), jakby równy oryginałowi.
Składając dwa takie trójkąty prostokątne z nogami, można zbudować wiele wariantów trójkątów równoramiennych, podobnych do pokazanego na ryc. 69.
Podobnie jak w paradoksach omówionych wcześniej, trójkąty te można zbudować na dwa sposoby: albo narysować ich boki ściśle prostoliniowo, wtedy punkt X nie wypadnie na przecięcie prostych siatki kwadratów, albo umieścić punkt X dokładnie na przecięciu , wtedy boki będą lekko wypukłe lub wklęsłe. Ta druga metoda wydaje się lepiej maskować nieścisłości w rysunku. Paradoks będzie jeszcze bardziej zaskakujący, jeśli na części tworzące trójkąt nałożymy linie kwadratowej siatki, podkreślając w ten sposób, że części zostały wykonane z niezbędną dokładnością.
Nadając naszym trójkątom równoramiennym różne rozmiary, możemy zyskać lub stracić dowolną parzystą liczbę jednostek kwadratowych.
Niektóre typowe przykłady podano na ryc. 70, 71 i 72.
Wykonanie dwóch baz Trójkąt równoramienny dowolny z tych typów, możesz zbudować różne opcje widoku rombowego; jednakże nie dodają one zasadniczo nic nowego do naszego paradoksu.
Kwadraty czteroczęściowe
Wszystkie typy paradoksów ze zmianą obszaru, które rozważaliśmy do tej pory, są ze sobą ściśle powiązane pod względem metody budowy. Istnieją jednak paradoksy uzyskiwane zupełnie innymi metodami. Możesz na przykład pociąć kwadrat na cztery części o tym samym kształcie i rozmiarze (ryc. 73), a następnie złożyć je w nowy sposób, jak pokazano na ryc. 74. W rezultacie powstaje kwadrat, którego wymiary wydają się niezmienione, a jednocześnie z otworem pośrodku.
Podobnie możesz wyciąć prostokąt o dowolnym stosunku długości boków. Ciekawe, że punkt A, w którym przecinają się te dwa punkty, wydaje się niezmieniony i jednocześnie z dziurą pośrodku.
Podobnie możesz wyciąć prostokąt o dowolnym stosunku długości boków. Co ciekawe, punkt A, w którym przecinają się dwie wzajemnie prostopadłe linie cięcia, może znajdować się w dowolnym miejscu wewnątrz prostokąta. W każdym przypadku przy redystrybucji części pojawia się dziura, której wielkość zależy od kąta, jaki tworzą linie cięcia z bokami prostokąta.
Ten paradoks jest stosunkowo prosty, ale wiele traci, ponieważ nawet powierzchowne badanie pokazuje, że boki drugiego prostokąta powinny być nieco większe niż boki pierwszego.
Bardziej skomplikowany sposób cięcia kwadratu na cztery części, w wyniku którego powstaje wewnętrzny otwór, pokazano na ryc. 75.
Opiera się na paradoksie szachownicy, który otwiera ten rozdział. Zwróć uwagę, że podczas redystrybucji części dwie z nich należy odwrócić Odwrotna strona w górę. Zauważ też, że po odrzuceniu części A otrzymamy trójkąt prostokątny składający się z trzech części, w których można uformować dziurę.
Trzyczęściowe kwadraty
Czy istnieje sposób na pocięcie kwadratu na trzy części, które można ponownie ułożyć, aby utworzyć kwadrat z otworem w środku? Odpowiedź będzie pozytywna. Jedno eleganckie rozwiązanie opiera się na zastosowaniu paradoksu omówionego w poprzednim rozdziale.
Zamiast umieszczać zdjęcia w specjalny sposób w półkach i wykonywać cięcie prosto (w poziomie), obrazy układa się w jednej linii prostej, a cięcie wykonuje się w półkach. Rezultat jest niesamowity: nie tylko obraz znika, ale w miejscu jego zniknięcia pojawia się dziura.
Dwuczęściowe kwadraty
Czy można zrobić to samo z dwoma częściami?
Nie sądzę, aby w tym przypadku jakąkolwiek metodą można było uzyskać wewnętrzny otwór w kwadracie, niezauważalnie zwiększając jego wysokość lub szerokość. Wykazano jednak, że paradoks dziury w kwadracie można zbudować na tej samej zasadzie, co paradoks znikającego wojownika. W tym przypadku zamiast umieszczać figury w spirali lub schodku, umieszcza się je ściśle w okręgu, podczas gdy cięcie jest spiralne lub schodkowe; w tym drugim przypadku ma postać koła zębatego o zębach różnej wielkości. Kiedy obraca się to koło, jedna figura znika, a na jej miejscu pojawia się dziura.
Części stałe i obrotowe są starannie dopasowane do siebie tylko w miejscu, w którym pojawia się otwór. W pozycji początkowej widoczne są małe szczeliny przy każdym zębie, jeśli nacięcie było stopniowane, lub jedna ciągła okrągła szczelina przy nacięciu spiralnym.
Jeśli oryginalny prostokąt nie jest kwadratem, można go podzielić na dwie części, a następnie uzyskać otwór w środku z bardzo niewielką zauważalną zmianą jego wymiarów zewnętrznych. na ryc. 76 pokazuje jedną opcję.
Obie części są identyczne zarówno pod względem kształtu, jak i wielkości. Najłatwiejszy sposób zademonstrowania tego paradoksu jest następujący: wytnij kawałki tektury, złóż je w prostokąt bez dziury, połóż na kartce papieru i obrysuj ołówkiem obwód. Teraz składając części w inny sposób, możesz zobaczyć, że nadal nie wychodzą poza narysowaną linię, chociaż w środku prostokąta utworzył się otwór.
Do naszych dwóch części możemy oczywiście dodać trzecią, wykonaną w formie paska, który przyłożony do jednego z boków prostokąta zamienia go w kwadrat; w ten sposób otrzymujemy inny sposób cięcia kwadratu na trzy części, dając wewnętrzny otwór.
Warianty krzywoliniowe i 3D
Podane przez nas przykłady wyraźnie pokazują, że pole paradoksów ze zmianą obszaru dopiero zaczyna się rozwijać. Czy są jakieś krzywoliniowe kształty, takie jak koła czy elipsy, które można pociąć na kawałki, a następnie ponownie złożyć w taki sposób, aby bez zauważalnego zniekształcenia figury uzyskać wewnętrzne otwory?
Czy istnieją figury trójwymiarowe, które są charakterystyczne dla trzech wymiarów, tj. nie są trywialną konsekwencją figur dwuwymiarowych? Wiadomo przecież, że każdej płaskiej figurze, którą poznaliśmy w tym rozdziale, można „dodać wymiar”, po prostu wycinając ją z dość grubej tektury, której wysokość jest równa „długości trzeciego wymiaru”) .
Czy można wyciąć kostkę lub, powiedzmy, piramidę niezbyt w skomplikowany sposób na części, aby komponując je w nowy sposób, uzyskać zauważalne puste przestrzenie w środku?
Odpowiedź będzie następująca: jeśli nie ograniczysz liczby części, to wcale nie jest trudno wskazać takie figury przestrzenne. Jest to wystarczająco jasne w przypadku sześcianu.
Tutaj można uzyskać wewnętrzną pustkę, jednak kwestia najmniejsza liczba części, za pomocą których można to osiągnąć, jest bardziej złożony. Z pewnością można go zrobić z sześciu części; możliwe, że można to osiągnąć za pomocą mniejszej liczby.
Taki sześcian można skutecznie zademonstrować w następujący sposób: wyjąć go z pudełka wykonanego dokładnie według sześcianu, rozłożyć na części, odsłaniając kulę w środku, włożyć części z powrotem do bryły sześcianu i pokazać, że to (bez kuli) nadal gęsto wypełnia pudełko. Domyślamy się, że takich figur, zarówno płaskich, jak i przestrzennych, a także wyróżniających się prostotą i elegancją formy, musi być wiele. Przyszli odkrywcy tej ciekawej dziedziny będą mieli przyjemność ich odkrywania.
Przykład 1 . Z drutu o długości 20 cm konieczne jest wykonanie prostokąta o największym obszarze. Znajdź jego wymiary.
Rozwiązanie: Oznaczmy jeden bok prostokąta przez x cm, wtedy drugi będzie (10-x) cm, obszar S (x) \u003d (10-x) * x \u003d 10x-x 2;
S/(x)=10-2x; S/(x)=0; x=5;
Zgodnie ze stanem problemu x (0; 10)
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;5) i na przedziale (5;10). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd: x \u003d 5 punktów maksymalnych, S (5) \u003d 25 cm 2 - najwyższa wartość. Zatem jeden bok prostokąta ma 5 cm, a drugi 10x=10-5=5 cm;
Przykład 2 Działkę o powierzchni 2400m 2 należy podzielić na dwa prostokątne odcinki tak aby długość ogrodzenia była jak najmniejsza. Znajdź rozmiary działek.
Rozwiązanie: Oznaczmy jedną stronę terenu przez x m, wtedy drugą będzie m, długość ogrodzenia P (x) \u003d 3x +;
P / (x) \u003d 3-; P / (x) \u003d 0; 3x 2 \u003d 4800; x 2 \u003d 1600; x=40. Przyjmujemy tylko wartość dodatnią w zależności od stanu problemu.
Ze względu na stan problemu x (0; )
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;40) i na przedziale (40; ?). Pochodna zmienia znak z „-” na „+”. Stąd x=40 jest punktem minimalnym, stąd P(40)=240m najmniejsza wartość, więc jeden bok ma 40 m, a drugi = 60 m.
Przykład 3 Prostokątny obszar z jednej strony przylegający do budynku. Przy zadanym obwodzie 1 m konieczne jest ogrodzenie działki tak, aby powierzchnia była jak największa.
Rozwiązanie:
Oznaczmy jeden bok prostokątnego przekroju przez x m, wtedy drugi będzie (-2x) m, obszar S (x) \u003d (-2x) x \u003d x -2x 2;
S / (x) \u003d -4x; S/(x)=0; -4x; x = ;
Ze względu na stan problemu x (0; )
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0; ) i na przedziale ( ; ). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd x = punkt maksymalny. Dlatego jedna strona witryny \u003d m, druga -2x \u003d m;
Przykład 4 Z prostokątnego arkusza tektury o bokach 80 cm i 50 cm musisz zrobić prostokątne pudełko, wycinając kwadraty wzdłuż krawędzi i wyginając powstałe krawędzie. Jak wysokie powinno być pudełko, aby zmaksymalizować jego objętość?
Rozwiązanie: Oznaczamy wysokość pudełka (jest to bok wyciętego kwadratu) przez x m, wtedy jedna strona podstawy będzie miała (80-2x) cm, druga (50-2x) cm, objętość V (x) \u003d x (80-2x) (50-2x) \u003d 4x 3 -260x 2 + 4000x;
V / (x) \u003d 12x 2 -520x + 4000; V / (x)=0; 12x 2 -520x+4000=0; x 1 = 10; x 2 =
Zgodnie z warunkiem problemu x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25)
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0; 10) i na przedziale (10; 25). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd x = 10 jest punktem maksymalnym. Zatem wysokość pudełka = 10 cm.
Przykład 5 Prostokątny obszar z jednej strony przylegający do budynku. Przy zadanym obwodzie 20 m konieczne jest ogrodzenie terenu tak, aby obszar był jak największy.
Rozwiązanie:
Oznaczmy jeden bok prostokąta przez x m, wtedy drugi będzie wynosił (20 -2x) m, obszar S (x) \u003d (20-2x) x \u003d 20x -2x 2;
S / (x) \u003d 20 -4x; S/(x)=0; 20-4x = 0; x = =5;
Zgodnie ze stanem problemu x (0; 10)
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0; 5) i na przedziale (5; 10). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd x = 5 jest punktem maksymalnym. Dlatego jedna strona witryny \u003d 5 m, druga 20 -2x \u003d 10 m;
Przykład 6 . Aby zmniejszyć tarcie cieczy o ściany i dno kanału, obszar przez nią zwilżany musi być jak najmniejszy. Wymagane jest znalezienie wymiarów otwartego prostokątnego kanału o powierzchni przekroju 4,5 m2, przy których powierzchnia zwilżana będzie najmniejsza.
Rozwiązanie:
Oznaczamy głębokość rowu przez x m, wtedy szerokość będzie wynosić m, P (x) \u003d 2x +;
P/(x)=2-; P / (x) \u003d 0;2x 2 \u003d 4,5; x=1,5. Przyjmujemy tylko wartość dodatnią w zależności od stanu problemu.
Ze względu na stan problemu x (0; )
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0; 1,5) i na przedziale (1,5; ?). Pochodna zmienia znak z „-” na „+”. Stąd x=1,5 jest punktem minimalnym, zatem P(1,5)=6m jest najmniejszą wartością, co oznacza, że jeden bok rowu ma 1,5m, a drugi = 3m.
Przykład 7 Prostokątny obszar z jednej strony przylegający do budynku. Przy zadanym obwodzie 200m konieczne jest ogrodzenie terenu tak, aby obszar był jak największy.
Sekcje: Matematyka
Cel lekcji:
- Uogólnienie i systematyzacja zdobytej wiedzy.
- Rozwinięcie pomysłów uczniów na rozwiązywanie problemów znajdowania największych i najmniejszych wartości.
Podczas zajęć
1 etap lekcji
Wprowadzenie nauczyciela: każda osoba od czasu do czasu znajduje się w sytuacji, w której trzeba się odnaleźć Najlepszym sposobem rozwiązać każdy problem.
Na przykład: inżynierowie procesu starają się zorganizować produkcję w taki sposób, aby uzyskać jak najwięcej produktów, projektanci chcą zaplanować urządzenia w taki sposób, aby statek kosmiczny aby masa urządzenia była jak najmniejsza itp.
Można powiedzieć, że problemy ze znalezieniem największych i najmniejszych wartości mają praktyczne zastosowanie.
Na dowód moich słów chcę zacytować z historii L.N. Tołstoja „Ile ziemi potrzebuje człowiek” o chłopie Pakhomie, który kupił ziemię od Baszkirów.
- Jaka będzie cena? — mówi Pahom.
- Mamy jedną cenę: 1000 r. na dzień.
Pahom nie zrozumiał.
- Co to za miara - dzień? Ile będzie miał dziesięcin?
– Nie wiemy, jak to policzyć – mówi. I sprzedajemy w jeden dzień; ile zarabiasz dziennie, to jest twoje, a cena to 1000 rubli.
Pahom był zaskoczony.
„Ale to”, mówi, „będzie dużo okrążać ziemię w ciągu jednego dnia.
Brygadzista roześmiał się.
„Całe twoje” – mówi. - Tylko jedna umowa: jeśli nie wrócisz tego dnia do miejsca, z którego wyruszyłeś, twoje pieniądze przepadają.
- Ale jak - mówi Pahom - zaznaczyć, gdzie przejdę?
- A my staniemy w miejscu, które wybierzesz; staniemy, a ty idź, zrób krąg i weź ze sobą skrobak i, jeśli to konieczne, zauważ, w rogach dziury, umieść rój; potem pługiem pójdziemy od dołka do dołka. Wybierz dowolny krąg, tuż przed zachodem słońca, dojdź do miejsca, z którego zacząłeś. Wszystko, co masz wokół siebie, jest twoje.
Postać, którą okazał się Pakhom, jest pokazana na rysunku. Co to za postać? (Prostokątny trapez)
Pytanie: Jak myślisz, czy Pahom uzyskał największy obszar? (biorąc pod uwagę, że działki są zazwyczaj w formie czworoboku)? Dowiemy się na dzisiejszej lekcji.
Aby rozwiązać ten problem, musimy pamiętać, jakie kroki są zaangażowane w rozwiązywanie ekstremalnych problemów?
- Zadanie jest tłumaczone na język funkcji.
- Narzędzia analityczne szukają największej lub najmniejszej wartości.
- Dowiedz się, jakie praktyczne znaczenie ma wynik.
Zadanie 1 (decyduje cała klasa)
Obwód prostokąta wynosi 120 cm. Jaką długość powinny mieć boki prostokąta, aby jego pole było największe.
Wracamy do zadania, od którego rozpoczęliśmy lekcję. Czy Pakhom uzyskał największy obszar (biorąc pod uwagę, że działki są zwykle czworoboczne)? Omawiamy z uczniami, jaki największy obszar mógłby uzyskać Pahom.
2 etap lekcji
Z góry na tablicy znajduje się wyjaśnienie pisemnych zadań (są dwa).
Zadanie 1
Znajdź, w jakich warunkach zużycie cyny do produkcji cylindrycznych puszek o danej pojemności będzie najmniejsze.
Zwracam chłopakom uwagę, że w naszym kraju produkuje się setki milionów puszek i zaoszczędzone zużycie blachy o co najmniej 1% pozwoli na dodatkową produkcję milionów puszek.
Zadanie nr 2
Łodzie znajdują się w odległości 3 km od najbliższego punktu A brzegu. W punkcie B, położonym w odległości 5 km od punktu A, wybuchł pożar. Wioślarz chce pomóc, więc musi jak najszybciej dotrzeć na miejsce. Łódź płynie z prędkością 4 km/h, a pasażer z prędkością 5 km/h. W jakim punkcie wybrzeża powinien wylądować przewoźnik?
3 etap lekcji
Praca w grupach z późniejszym zabezpieczeniem zadań.
Zadanie 1
Jedna z twarzy prostopadłościan- kwadrat. Suma długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka równoległościanu wynosi 12. Znajdź jego największą możliwą objętość.
Zadanie nr 2
Do zamontowania sprzętu wymagana jest podstawa o objętości 240 dm 3 w formie prostokątnego równoległościanu. Podstawą stojaka do wbudowania w podłogę jest prostokąt. Długość prostokąta jest trzy razy większa od szerokości. Tylna dłuższa ściana stojaka zostanie wbudowana w ścianę warsztatu. Podczas instalowania stojaka jego ściany, które nie są wbudowane w podłogę ani w ścianę, są łączone ze sobą za pomocą spawania. Określ wymiary stojaka, który zapewni najkrótszą całkowitą długość spoiny.
Zadanie nr 3
Z okrągłej kłody wycina się belkę o przekroju prostokątnym o największym polu. Znajdź wymiary przekroju belki, jeśli promień przekroju bala wynosi 30 cm.
Zadanie nr 4
Z prostokątnego arkusza tektury o bokach 80 cm i 50 cm musisz zrobić prostokątne pudełko, wycinając kwadraty wzdłuż krawędzi i wyginając powstałe krawędzie. Jak wysokie powinno być pudełko, aby zmaksymalizować jego objętość. Znajdź ten wolumin.
4 Etap lekcji
Rozwiązywanie zadań do oceny z wyboru.
Zadanie 1
Z drutu o długości 80 cm konieczne jest wykonanie prostokąta o największym obszarze. Znajdź jego wymiary.
Zadanie nr 2
Suma długości krawędzi poprawnych trójkątny pryzmat równa się 18√3. Znajdź największą możliwą objętość takiego graniastosłupa.
Zadanie nr 3
Przekątna równoległościanu prostokątnego, którego jedną ze ścian jest kwadratem, jest równa 2√3. Znajdź największą możliwą objętość takiego równoległościanu.
Lekcja 5 etapu
Khrestina Nadieżda Michajłowna, nauczycielka pracy rozwojowej z dziećmi, NOU DOD „DRK„ Kraina czarów ”, Ryazan [e-mail chroniony]
Zastosowanie elementów TRIZ na lekcjach matematyki
Adnotacja. W artykule omówiono wykorzystanie elementów struktury lekcji twórczej w innowacyjności system pedagogiczny NFTMTRIZ. Autor proponuje metodyczny rozwój lekcja matematyki w klasie 5, która pokazała, jak rozwijać kreatywność uczniów w ramach program nauczania. Słowa kluczowe: uniwersalne działania edukacyjne, twórcze myślenie, podejście systemowo-aktywnościowe, kreatywna lekcja, refleksja.
Matematyka to nauka, która jest niezbędna dla każdego. Od najmłodszych lat dziecko jest otoczone światem liczb, kształtów itp. A jednocześnie świat ten jest bardzo złożony i różnorodny. Wiele dzieci, napotykając trudności w opanowaniu materiału, traci zainteresowanie tematem, a „niewiedza” narasta jak kula śnieżna. W związku z tym przed nauczycielem stoi problem: nie tylko uczyć, ale także zaszczepić zainteresowanie, czyli wyposażyć dziecko w narzędzia do samodzielnego uczenia się nowej wiedzy (zajęcia uniwersalne). Zadaniem nauczyciela jest uatrakcyjnienie lekcji ekscytujące, wykorzystujące różnorodne metody nauczania, aby systematycznie rozwijać kreatywne myślenie, umiejętność pracy z problemem i jego rozwiązywania, wyciągania wniosków, poszukiwania nowych, oryginalnych podejść, dostrzegania piękna rezultatów. Przesłaniem w tym zakresie jest Federalny Stanowy Standard Edukacyjny (FSES) głównego ogólne wykształcenie z dnia 17 grudnia 2010 r. Opiera się na systematycznym podejściu do działania, z walorem wolnej i odpowiedzialnej osobowości ucznia. Standard nakazuje odejście od systemu klasowego Jana Amosa Komeńskiego, w którym nauczyciel jest „narratorem”, a uczniowie „narratorami”. Nowe typy lekcji, takie jak: „ burza mózgów", spór, działalność projektowa, pomoże dziecku w ciągle zmieniającym się świecie.Jakie efekty powinien uzyskać nauczyciel w wyniku swojej pracy?kształcenie i wiedza, świadomy wybór zawodu; formularz kompetencja komunikatywna; umiejętność wyznaczania celów, szukania sposobów ich osiągania, opanowania podstaw samokontroli itp. Ponadto student musi posiadać wystarczającą wiedzę i kompetencje, umieć odpowiadać za swoje czyny i ich konsekwencje, szanować prawo, być wolnym i odpowiedzialnym, tolerancyjnym obywatelem.Postęp nauki i techniki prowadzi do wzrostu liczby wynalazków i nowych zawodów, student musi być przygotowany na stale zmieniające się wymagania rynku pracy.Powyższe pozwala stwierdzić, że aby osiągnąć wszystkie te wyniki, nauczyciel musi nie tylko przekazywać wiedzę, musi „nauczyć go się uczyć”. tworzą wyniki osobiste i meta-przedmiotowe. Zmieniła się sama treść wyników, ponieważ dziecko musi teraz opanować metody działania, tj. uniwersalne działania edukacyjne, które są wynikami metaprzedmiotowymi. Dopiero zestaw uniwersalnych działań pozwoli ukształtować systemową zdolność ucznia do uczenia się. Pozwala wizualnie prześledzić, w jaki sposób i na jakim etapie kształtują się określone uniwersalne działania edukacyjne. W osiągnięciu tych celów nauczycielowi może pomóc wykorzystanie elementów twórczego systemu pedagogicznego formacji ciągłej. kreatywne myslenie(NPTM), który dysponuje narzędziami teorii decyzji wynalazcze problemy(TRIZ) To pozwala uczniom się rozwijać twórcza wyobraźnia i fantasy, myślenie systemowe i dialektyczne.Wykorzystanie w szkole struktury lekcji kreatywnej pozwala uczynić lekcję jaśniejszą, mniej stresującą dla dziecka, utrzymać koncentrację dziecka przez całą lekcję, a co najważniejsze nie dostarczać mu gotowych -zrobił wiedzę, ale daj mu możliwość zdobycia jej samemu ważna kwestia jest częściowym przejściem od zadań typu zamkniętego do zadań typu otwartego Zadania typu otwartego, które mają wpływ na codzienne doświadczenia uczniów, zmuszają uczniów do myślenia już podczas czytania warunku, ponieważ jest on niewystarczający, „rozmyty” i może zawierać nadmiar Informacja. Różnorodność metod rozwiązywania prowadzi do zniszczenia inercji psychicznej – nawyku standardowych działań w znajomej sytuacji lub chęci myślenia i działania zgodnie z nagromadzonym doświadczeniem.Zestaw możliwych odpowiedzi pomaga nauczyć dziecko refleksji i poczucia własnej wartości Nie można mówić o całkowitym odrzuceniu zadań zamkniętych. Są dobre w małych ilościach, gdy potrzebujesz tylko określonej formuły lub właściwości. Ale wyjaśnienie nowego materiału nie może obejść się bez problemu. W końcu pierwsze pytanie po przeczytaniu tematu na lekcji w głowach dzieci brzmi: „Po co mi to?” lub „Gdzie będzie mi to potrzebne?” Wszystko to daje nam system NFTW – ciągła formacja twórczego myślenia i rozwoju kreatywność dzieci Przedstawiam lekcję z matematyki klasa 5, z elementami struktury lekcji twórczej w nowatorskim systemie pedagogicznym NFTMTRIZ. Jednostki powierzchni »Typ lekcji: Lekcja nauka nowego materiału Cele lekcji: 1. Temat: sformułować wyobrażenie uczniów o polu figury, ustalić powiązania między jednostkami miary pola, zaznajomić uczniów ze wzorami na pole prostokąta i kwadratu.2. Osobiste: kształtowanie umiejętności określania sposobów działania w ramach proponowanych warunków i wymagań, dostosowywania swoich działań do zmieniającej się sytuacji.3. Metasubject: kształtowanie zdolności widzenia problem matematyczny w kontekście sytuacja problemowa, w otaczającym życiu. Planowane rezultaty:
uczniowie zapoznają się z polem figur i jego właściwościami, nauczą się ustalać zależności między jednostkami miary pola, stosować wzory na pole prostokąta i do kwadratu; otrzymają niezdolność do analizowania, porównywania, uogólniania, wyciągania wniosków; uczniowie będą rozwijać zainteresowania poznawcze poprzez momenty gry „mały cud”; umiejętności komunikacyjne praca w grupie i parach Podręcznik: A.G. Merzlyak, V.B. Połoński, MS Yakir Matematyka klasa 5. Podręcznik dla studentów placówek oświatowych. 2014.
Etapy lekcji Zadania etapu Aktywność nauczyciela Aktywność uczniów lekcja, organizacja uwagi dzieci Fokus z zabawą w kości: najpierw w przezroczystym etui 1 duża kość, po uderzeniu w pokrywę etui pojawia się w nim 8 małych - Jak to się stało? - Co robiliśmy w ostatnia lekcja? - Dzisiaj będziemy kontynuować pracę z prostokątami.Wpisane w biznesowy rytm lekcji.
Chłopaki próbują rozwiązać zagadkę, aktywują wiedzę z ostatniej lekcji.
Osobowe: samostanowienie Regulacyjne: samoorganizacja Komunikatywne: planowanie współpracy edukacyjnej z nauczycielem i rówieśnikami Poznawcze: umiejętności badawcze Sąsiedzi są w konflikcie. Właściciel niebieskiego obszaru, aby dostać się do swojego ogrodu, musi przejść przez czerwony obszar sąsiada. Co robić Wejście do witryn
Rys. 1 Wiemy z doświadczenia, że równe działki mają równe powierzchnie – Jaki wniosek możemy wyciągnąć? Problem Mężczyzna postanowił pomalować podłogę w swoim wiejskim domu. Ale podłoga ma niezwykły kształt. Ale nie wie ile farby potrzeba, na puszce farby jest napisane 100g na 1m2. Powierzchnia mniejszej figury to 12m2, powierzchnia większej to 20m2.Co mam zrobić?
Przedstaw wersje rozstrzygnięcia sporu. Wspólnie z nauczycielem wybierają właściwą: niebieska musi wziąć kawałek czerwonej ziemi, aw zamian nadać jej równą wielkość.
Wnioskują: równe cyfry mają równe obszary. Chłopaki przedstawiają wersje, razem wybieramy właściwą: musisz dodać obszary dwóch liczb i znaleźć zużycie farby. Sami uczniowie wyprowadzają drugą właściwość: Pole figury jest równa sumie obszarów figur, z których się składa Osobisty: samostanowienie Regulacyjny: rozwój regulacji działania edukacyjne.Komunikacyjny: umiejętność pracy w zespole, słuchania i szanowania opinii innych, umiejętność obrony swojego stanowiska.Kognitywny: umiejętności badawcze.Rozwijanie kreatywnego myślenia.
Rys. 2 Rozmowa heurystyczna z elementami metody prób i błędów. Na stole nauczyciela jest linijka, kompas, kątomierz.Rozmawialiśmy o powierzchni, ale jak ją zmierzyć? Zmierzmy pole naszej planszy. - Co mamy do mierzenia odcinków? - Co mamy do mierzenia kątów? Wnioskujemy: jako jednostkę miary pola wybieramy kwadrat, którego bok jest równy Do pojedynczy segment. Jak nazywamy taki kwadrat? Aby zmierzyć powierzchnię, musisz obliczyć, ile mieści się w niej kwadratów jednostkowych?
Chłopaki przeglądają wszystkie możliwe narzędzia, dochodzą do wniosku, że to za mało.
– Linijka, jednostka segmentu – Kątomierz, jednostka kąta Temat lekcji: „Pole prostokąta” 3. Rozładowanie psychiczne Daj uczniom możliwość zmiany rodzaju aktywności. Zadania rozwijające zdolności twórcze Orientacja w przestrzeni 1. Para koni przebiegła 20 km. Ile kilometrów przebiegł każdy koń? (20 km) 2. W klatce były 4 króliki. Czterech facetów kupiło po jednym z tych królików, a jeden królik został w klatce. Jak to mogło się stać? (Kupiono jednego królika wraz z klatką) 3. W dwóch portfelach są dwie monety, ponadto w jednym portfelu jest dwa razy więcej monet niż w drugim. Jak to może być? (Jeden portfel leży w drugim) Klasa zostaje podzielona na grupy po 6 osób, w grupach kapitana wybiera nauczyciel, który po omówieniu problemu wybiera poprawną odpowiedź. Na dyskusję przewidziana jest 1 minuta.
Osobisty: samostanowienie Regulacyjny: rozwój regulacji działań edukacyjnych Komunikatywny: interakcja z partnerami we wspólnych działaniach Poznawczy: umiejętności badawcze Rozwój kreatywnego myślenia.
4. Dwóch synów i dwóch ojców zjadło 3 jajka. Ile jajek zjadł każdy z nich? (Po jednym jajku) Zabawka: „Dotknij łokciem lewej ręki prawego ucha sąsiada po lewej stronie” 4. Układanka.
Przedstaw system coraz bardziej złożonych łamigłówek wcielonych w rzeczywiste przedmioty Samodzielne rozwiązywanie zadań 1. Ile centymetrów to: 1 dm, 5 m 3 dm, 12 dm 5 cm 2. Ile metrów to: 1 km, 4 km 16 m, 800 cm. 40 km. W ciągu ilu godzin przejedzie 24 km z tą samą prędkością?
Właściwe odpowiedzi.
Ryc. 3 Tylko odpowiedzi są zapisywane w zeszytach, potem wymieniają się zeszytami z sąsiadem na swoim biurku i sprawdzają między sobą. Na koniec na ekranie pojawiają się poprawne odpowiedzi Osobowe: kształtowanie zmysłów Regulacyjne: samoregulacja stanów emocjonalnych i funkcjonalnych, samoorganizacja Komunikatywne: umiejętność pracy w parach. Rozwój twórczego myślenia.
5.Rozgrzewka intelektualna.Rozwój logiczne myślenie i kreatywność 1. Bok prostokątnej kartki papieru ma całkowitą długość (w centymetrach), a pole kartki wynosi 12 cm2. Ile kwadratów o powierzchni 4 cm2 można wyciąć z tego prostokąta 2. Poniższy rysunek jest wyświetlany na tablicy przez projektor. Jak podzielić otrzymaną figurę na dwie figury o równych polach jednym cięciem prostym Jeden uczeń przy tablicy, reszta pracuje ze swojego miejsca Osobiste: formacja znaczeniowa, umiejętność wykonania pracy Regulacyjne: samoorganizacja Działalność badawcza. 6. Treść.
Zawiera materiał programowy szkolenia i zapewnia kształtowanie myślenia systemowego oraz rozwój zdolności twórczych.Czy trudno było nam obliczyć powierzchnię za pomocą kwadratu?Jeśli musimy obliczyć powierzchnię stadionu, zróbmy to iść i spróbować? Jeśli jeden bok planszy ma 2 m, a drugi 1 m, plansza jest prostokątna, to można ją podzielić na kwadraty jednostkowe 2x1. Jakie jest zatem pole planszy?Jeśli a i b są sąsiednimi bokami prostokąta wyrażonymi w tych samych jednostkach. Jak znaleźć obszar takiego prostokąta?
Problem.-Jak znaleźć obszar regularnego czworoboku, w którym wszystkie boki i kąty są równe?
Wprowadzono nowe jednostki powierzchni: ar (splot), hektar.1 a = 10 m * 10 m = 100 m2
1 ha = 100 m* 100 m = 10000 m2
Jakie pomiary wymagają tak dużych jednostek powierzchni?
S= a b Zapisujemy formułę w zeszycie. Uczniowie omawiają problem w grupach utworzonych wcześniej na rozgrzewce psychologicznej, jedyna grupa staje się ekspertami (po wysłuchaniu przedstawionych wersji przetwarzają je i proponują taką, która ich zdaniem jest poprawna). Następuje omówienie rozwiązania zadania, następnie w zeszytach zapisujemy otrzymany wzór na pole kwadratu S = a 2
–Do pomiaru powierzchni działki, wsi, stadionów itp. Personalne: samostanowienie Regulacyjne: wypracowanie regulaminu działań edukacyjnych Komunikatywne: umiejętność pracy w zespole, słuchania i szanowania opinii innych, umiejętność obrony własnego stanowiska Poznawcze: umiejętności badawcze Rozwój twórczego myślenia.
7. Komputerowa rozgrzewka intelektualna Zapewnienie motywacji i rozwoju myślenia Ustalenie poprawności i świadomości studiowania tematu.
Test na komputerze Nauczyciel kontroluje liczbę błędów Ryc. 5 (liczba znajduje się pod tabelą)
Studenci pracują na komputerze w parach, zdają test Personalny: samostanowienie Regulacyjny: opracowanie regulacji działalności edukacyjnej. Podsumowanie Praca domowa Podsumowanie lekcji Przekazanie informacji zwrotnych na lekcji Nauczyciel oferuje klaskanie, kto lubił lekcję i tupanie, jeśli uzna tę lekcję za nudną – Czego nowego nauczyłeś się na lekcji?
Praca domowa Biorąc pod uwagę kwadrat o boku 8 cm, znajdź jego powierzchnię. Korzystając z wielokolorowych elementów, wyjaśnij, a następnie obal moją hipotezę: 8 * 8 = 65 Ryc. 6 Uczniowie oceniają lekcję, swoje działania na lekcji, działania swoich rówieśników.
-Wzór na pole prostokąta, kwadratu, jednostki powierzchni W domu uczniowie przeprowadzają eksperyment z częściami kwadratu.
Takie obliczenia uzyskuje się, ponieważ podczas składania prostokąta powstaje szczelina między częściami Osobisty: samorozwój świadomości moralnej i orientacji uczniów w dziedzinie relacji moralnych i etycznych Regulacyjny: rozwój regulacji działań edukacyjnych Komunikatywny: umiejętność wyrażania myśli z wystarczającą kompletnością i dokładnością.
Linki do źródeł 1. Kraj związkowy standard edukacyjny podstawowe wykształcenie ogólne. Ustawa federalna Federacji Rosyjskiej z dnia 17 grudnia 2010 r. Nr 1897FZ.2.M.M.Zinowkin. NFTMTRIZ: kreatywna edukacja XXI wieku. Moskwa, 2007. –313s.
„Zastosowanie pochodnej do rozwiązywania problemów”
(klasa 10)
System metodyczny pracy nauczyciela na ta lekcja polega na kształtowaniu umiejętności samodzielnego planowania i realizowania etapami Praca badawcza. Uczeń ma prawo do konsultacji z nauczycielem, przedyskutowania, otrzymania rady lub wskazówek od nauczyciela, aby pomóc dziecku zrozumieć różnorodność rozwiązań i wybrać właściwe.
Lekcja omawia materiał teoretyczny, klasa zostaje podzielona na grupy, aby zapewnić różnorodność proponowanych przez nie metod rozumowania, a następnie wybrać najwłaściwsze z nich.
Wraz z samodzielną aktywnością wskazane jest stosowanie na lekcji zróżnicowanych zadań o różnych poziomach i odpowiednie ich ocenianie.
Analiza wyników wykonywania tych zadań przez uczniów, oprócz informacji o ich asymilacji, daje nauczycielowi obraz głównych trudności uczniów, ich głównych luk, co pomaga zidentyfikować główne sposoby rozwiązywania problemów.
Cel lekcji: samodzielne opanowanie umiejętności w kompleksie w celu zastosowania wiedzy, umiejętności i zdolności, przeprowadzenia ich transferu do nowych warunków metodą badawczą.
Zadania:
Edukacyjne i poznawcze: utrwalenie, usystematyzowanie i uogólnienie wiedzy i umiejętności związanych z opanowaniem pojęcia „największej i najmniejszej wartości funkcji”; praktyczne zastosowanie ukształtowanych umiejętności i zdolności.
Rozwój: rozwijanie umiejętności samodzielnej pracy, jasnego wyrażania myśli, przeprowadzania samooceny działań edukacyjnych na zajęciach.
Rozmowny: umiejętność uczestniczenia w dyskusjach, słuchania i słyszenia.
Podczas zajęć
Organizowanie czasu
1. Każda osoba od czasu do czasu znajduje się w sytuacji, w której konieczne jest znalezienie najlepszego sposobu rozwiązania problemu, a matematyka staje się środkiem do rozwiązywania problemów organizacji produkcji, poszukiwania optymalnych rozwiązań. Ważnym warunkiem zwiększenia wydajności produkcji i poprawy jakości produktu jest jego powszechne wprowadzenie metody matematyczne w technologię.
Powtórzenie
Wśród zadań matematyki ważna rola przypisuj zadania do skrajności, tj. zadania, aby znaleźć największe i najmniejsze wartości, najlepsze, najbardziej opłacalne, najbardziej ekonomiczne. Z takimi problemami borykają się przedstawiciele różnych specjalności: inżynierowie procesu starają się zorganizować produkcję w taki sposób, aby uzyskać jak najwięcej produktów, projektanci chcą zaplanować urządzenie na statku kosmicznym w taki sposób, aby masa urządzenia najmniejszych, ekonomiści starają się zaplanować przyłączenie fabryk do źródeł surowców w taki sposób, aby ograniczyć koszty transportu do minimum. Można powiedzieć, że problemy znalezienia najmniejszych i największych wartości mają świetne praktyczne zastosowanie. Dzisiaj na lekcji zajmiemy się takimi problemami.
Konsolidacja badanego materiału
2. Dwóch „silnych” uczniów zostaje wezwanych do tablicy w celu rozwiązania zadań (10 min.).
pierwszy uczeń: Dany jest zbiornik bez pokrywy w kształcie równoległościanu prostokątnego, u którego podstawy leży kwadrat i którego objętość wynosi 108 cm 3 . Przy jakich wymiarach zbiornika zostanie zużyta najmniejsza ilość materiału do jego wykonania?
Rozwiązanie: Oznaczmy bok podstawy przez x cm, wyraźmy wysokość równoległościanu. Znajdź znak pochodnej na przedziałach. Pochodna zmienia znak z „-” na „+”. Zatem x=6 jest punktem minimalnym, zatem S(6)=108 cm 2 jest najmniejszą wartością. Tak więc bok podstawy ma 6 cm, a wysokość 12 cm.
drugi uczeń: Prostokąt o największym polu jest wpisany w okrąg o promieniu 30 cm. Znajdź jego wymiary.
Rozwiązanie: Oznaczmy jeden bok prostokąta jako x cm, wtedy wyrazimy pole prostokąta. Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;30) i na przedziale (30;60). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd x=30 jest punktem maksymalnym. Zatem jeden bok prostokąta ma 30, a drugi 30.
3.W tym czasie tyPrzeprowadzane jest wzajemne sprawdzenie na temat „Zastosowanie pochodnej” (za każdą poprawną odpowiedź przyznawany jest 1 punkt). Każdy uczeń odpowiada iw celu weryfikacji przekazuje swoją odpowiedź sąsiadowi w swoim biurku.
Pytania są zapisywane na przenośnej tablicy, podawana jest tylko odpowiedź:
Funkcję nazywamy rosnącą w danym przedziale, jeśli...
Mówimy, że funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeśli...
Punkt x 0 nazywamy punktem minimalnym, jeśli ...
Punkt x 0 nazywamy punktem maksymalnym, jeśli ...
Punkty stacjonarne funkcji nazywamy punktami...
Pisać forma ogólna równania styczne
Fizyczne znaczenie pochodnej
Wyciągać wnioski
4. Klasa zostaje podzielona na grupy. Grupy wykonują zadania, aby znaleźć minimum i maksimum funkcji.
5. Podano słowo „silni” studenci. Uczniowie w klasie sprawdzają swoje rozwiązania (10 min.).
6. Wydane zadania do wyboru dla każdej grupy (10 min.).
1 grupa.
Aby zaznaczyć „3”
Dla funkcji f (x) \u003d x 2 * (6-x) znajdź najmniejszą wartość w segmencie.
Rozwiązanie: f (x) \u003d x 2 * (6-x) \u003d 6x 2 + x 3; fa / (x) \u003d 12x-3x 2; fa / (x)=0; 12x-3x 2 \u003d 0; x 1 = 0; x2 =4;
f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-maks.
Aby zaznaczyć „4”
Z drutu o długości 20 cm konieczne jest wykonanie prostokąta o największym obszarze. Znajdź jego wymiary.
Rozwiązanie: Oznaczmy jeden bok prostokąta przez x cm, wtedy drugi będzie (10-x) cm, obszar S (x) \u003d (10-x) * x \u003d 10x-x 2; S/(x)=10-2x; S/(x)=0; x=5. Według warunku problemu x (0; 10). Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;5) i na przedziale (5;10). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd: x=5 - punkt maksymalny, S(5)=25 cm 2 - największa wartość. Zatem jeden bok prostokąta ma 5 cm, a drugi 10x=10-5=5 cm.
Aby zaznaczyć „5”
Działkę o powierzchni 2400 m 2 należy podzielić na dwie prostokątne części tak, aby długość ogrodzenia była jak najmniejsza. Znajdź rozmiary działek.
Rozwiązanie: Oznaczmy jeden bok terenu przez x m, zapiszmy długość ogrodzenia i znajdźmy pochodną P / (x) = 0; 3x 2 \u003d 4800; x 2 \u003d 1600; x=40. Przyjmujemy tylko wartość dodatnią w zależności od stanu problemu.
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;40) i na przedziale (40;?). Pochodna zmienia znak z „-” na „+”. Stąd x=40 jest punktem minimalnym, stąd P(40)=240 jest najmniejszą wartością, co oznacza, że jeden bok ma 40 m, a drugi 60 m.
2 grupa.
Aby zaznaczyć „3”
Dla funkcji f (x) \u003d x 2 + (16-x) 2 znajdź najmniejszą wartość w segmencie.
Rozwiązanie: f / (x)=2x-2(16-x)x=4x-32; fa / (x)=0; 4x-32=0; x=8; f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min.
Aby zaznaczyć „4”
Prostokątny obszar z jednej strony przylegający do budynku. Biorąc pod uwagę wymiary obwodu w m, konieczne jest zamknięcie terenu, aby obszar był jak największy.
Aby zaznaczyć „5”
Z prostokątnego arkusza tektury o bokach 80 cm i 50 cm musisz zrobić prostokątne pudełko, wycinając kwadraty wzdłuż krawędzi i wyginając powstałe krawędzie. Jak wysokie powinno być pudełko, aby zmaksymalizować jego objętość?
Oznaczamy wysokość pudełka (jest to bok wyciętego kwadratu) przez x m, wtedy jedna strona podstawy będzie miała (80-2x) cm, druga - (50-2x) cm, objętość V (x ) \u003d x (80-2x) (50-2x ) \u003d 4x 3, 260x 2 + 4000x; V / (x) \u003d 12x 2 -520x + 4000; V / (x)=0; 12x 2 -520x+4000=0.
Zgodnie z warunkiem problemu x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25).
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;10) i na przedziale (10;25). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd x=10 jest punktem maksymalnym. Zatem wysokość pudełka = 10 cm.
3. grupa.
Aby zaznaczyć „3”
Dla funkcji f (x) \u003d x * (60-x) znajdź największą wartość w segmencie.
Rozwiązanie: f (x) \u003d x * (60-x) \u003d 60x-x 2; f/(x)=60-2x; fa / (x)=0; 60-2x=0; x=30; f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-maks.
Aby zaznaczyć „4”
Prostokątny obszar z jednej strony przylegający do budynku. Przy zadanym obwodzie 20 m konieczne jest ogrodzenie terenu tak, aby obszar był jak największy.
Oznaczamy jeden bok prostokąta przez x m, następnie drugi będzie wynosił (20-2x) m, obszar S (x) \u003d (20-2x) x \u003d 20x-2x 2; S/(x)=20-4x; S/(x)=0; 20-4x=0; x=5. Według stanu problemu x € (0;10). Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;5) i na przedziale (5;10). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd x=5 jest punktem maksymalnym. Dlatego jedna strona witryny = 5 m, druga - 20-2 * 5 = 10 m.
Aby zaznaczyć „5”
Aby zmniejszyć tarcie cieczy o ściany i dno kanału, obszar przez nią zwilżany musi być jak najmniejszy. Wymagane jest znalezienie wymiarów otwartego prostokątnego kanału o powierzchni przekroju 4,5 m2, przy których powierzchnia zwilżana będzie najmniejsza.
Oznaczamy głębokość rowu przez x m, P / (x) = 0; 2x 2 \u003d 4,5; x=1,5. Przyjmujemy tylko wartość dodatnią w zależności od stanu problemu. Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;1,5) i na przedziale (1,5;?). Pochodna zmienia znak z „-” na „+”. Stąd x=1,5 to punkt minimalny, zatem P(1,5)=6 m to najmniejsza wartość, co oznacza, że jeden bok rowu ma 1,5 m, a drugi 3 m.
4 grupa.
Aby zaznaczyć „3”
Dla funkcji f (x) \u003d x 2 (18-x) znajdź największą wartość w segmencie.
fa (x) \u003d x 2 (18-x) \u003d 18x 2 -x 3; f / (x) \u003d (18x 2 -x 3) /; fa / (x)=0; 36x-3x 2 \u003d 0; x 1 = 0; x 2 = 12 f(0) = 0; f(18)=0; f(12)=864-maks.
Przy znaku „4”.
Prostokątny obszar z jednej strony przylegający do budynku. Przy danym obwodzie 200 m konieczne jest ogrodzenie terenu tak, aby obszar był jak największy.
Oznaczmy jeden bok prostokątnego przekroju przez x m, wtedy drugi będzie wynosił (200-2x) m, obszar S (x) \u003d (200-2x) x \u003d 200x-2x 2; S/(x)=200-4x; S/(x)=0; 200-4x=0; x=200/4=50. Według warunku problemu x (0; 100). Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;50) i na przedziale (50;100). Pochodna zmienia znak z „+” na „-”. Stąd x=50 jest punktem maksymalnym. Dlatego jedna strona witryny = 50 m, druga - 200-2x = 100 m.
Aby zaznaczyć „5”
Wymagane jest wykonanie otwartego pudełka w kształcie prostokątnego równoległościanu o kwadratowej podstawie, o najmniejszej objętości, jeśli na jego wytworzenie można wydać 300 cm 2.
Oznaczamy jedną stronę podstawy przez x cm i wyrażamy objętość, a następnie V / (x) \u003d 0,300-3x 2 \u003d 0; x2 =100; x=10. Przyjmujemy tylko wartość dodatnią w zależności od stanu problemu.
Znajdź znak pochodnej na przedziale (0;10) i na przedziale (10;0). Pochodna zmienia znak z „-” na „+”. Stąd x \u003d 10 - punkt minimalny, dlatego V (10) \u003d 500 cm 3 - najmniejsza wartość, co oznacza, że \u200b\u200bbok podstawy wynosi 10 cm, a wysokość 50 cm.
Pytania do klasy
7. Delegaci z grup wyjaśniają rozwiązanie wybranych problemów (10 min.).
8. Biorąc pod uwagę punkty z rozgrzewki i pracy w grupach, wystawiane są oceny z lekcji.
Podsumowanie lekcji
Praca domowa
Rozwiązanie problemu o jeden punkt wyżej; uczniowie, którzy wykonali zadanie na „5” są zwolnieni z prac domowych.
Analiza wyników realizacji tych zadań przez uczniów, oprócz informacji o ich asymilacji, daje nauczycielowi obraz głównych trudności uczniów, ich głównych braków, co pomaga nakreślić główne sposoby ich eliminacji.
FOMKINA TATYANA FIODOROWA |
|
WIZYTÓWKA |
|
Stanowisko | Nauczyciel języka i literatury rosyjskiej |
Miejsce pracy | Komunalny instytucja edukacyjna"Przeciętny Szkoła ogólnokształcąca Nr 9” miasta Orenburg |
Doświadczenie zawodowe na stanowisku | |
Wynik konkurencyjny | |
Temat doświadczenia pedagogicznego | Kształtowanie kompetencji językowych studentów w oparciu o podejście systemowo-działaniowe w nauczaniu języka rosyjskiego według EMC S.I. Lwowa |
Istota systemu metodologicznego nauczyciela, odzwierciedlająca wiodące idee doświadczenia | Istota systemu metodycznego nauczyciela polega na organizacji działalności edukacyjnej jako przejściu od zagadnienia o charakterze językowym (pozwalające uczniom zwrócić uwagę na sensowną istotę językową określonej pisowni) do metody działania (opartej na zasadzie , odwołując się do słownika), a następnie do rezultatu (swobodne zasady postępowania w trakcie pisania lub korzystania ze słownika ortograficznego). |
Praca nad upowszechnianiem własnych doświadczeń, prezentacja systemu metodologicznego na różnych poziomach (formy, produkty intelektualne) | Doświadczenie Fomkina T.F. podsumowane w 2009 r. na poziomie MO MOU „Liceum nr 9” i zatwierdzone przez radę metodyczną. W 2009 i 2010 r reprezentowana wśród nauczycieli miasta Orenburg na szczeblu gminnym. W okręgu przemawiała Tatiana Fiodorowna skojarzenia metodyczne na temat zagadnień: „Wykorzystanie technologii informacyjno-komunikacyjnych na lekcjach języka i literatury rosyjskiej jako środka kształtowania kompetencji językowych”, „Aktywnościowe podejście do budowy standardów edukacyjnych”. |
Skuteczność wdrażania systemu metodologicznego | Kształtowanie trwałej pozytywnej motywacji i zwiększanie zainteresowania uczniów przedmiotem; Pozytywna dynamika w stosunku uczniów do nauczyciela, lekcji języka i literatury rosyjskiej, rozwój zdolności uczniów do przewidywania działań i aktywizacja procesów poznawczych; Znaczący wzrost jakości prace twórcze, eseje, co potwierdzają wyniki Egzaminy Końcowe: w 2007 r., według wyników GIA, wyniki w nauce wyniosły 100%, liczba osób, które wykonały zadania na „4” i „5” - 87%; w 2008 roku wg WYKORZYSTANIE wyników wyniki w nauce – 100%, liczba osób, które wykonały zadania na „4” i „5” – 92%, najwyższa nota – 87; w 2009 r. według wyników Jednolitego Egzaminu Państwowego wyniki w nauce wyniosły 100%, liczba osób, które wykonały zadania na „4” i „5” wyniosła 58%, najwyższa nota wyniosła 96; Wzrost liczby studentów uczestniczących w konferencjach naukowych i praktycznych, konkursach, olimpiadach: X okręgowa konferencja naukowo-praktyczna studentów „Jesteś Orenburgerem” (III miejsce), XV Miejska Konferencja Studentów „Intelektualiści XXI wieku” (dyplom za „Urozmaicone badania nad rodziną”), Ogólnorosyjski Konkurs Korespondencyjny „Wiedza i Kreatywność”, 2010 (III miejsce, laureat), regionalny konkurs korespondencyjno-stacjonarny „Ojczyzna”, 2009 (III miejsce), VI Międzynarodowa Olimpiada w zakresie nauk podstawowych, 2010 (dyplomy I i II stopnia), Międzynarodowy konkurs gier „Russian Bear Cub”, 2010 (15. miejsce w regionie). Monitorowanie Działania edukacyjne przedstawia wysoki poziom poziom wykształcenia studentów Fomkina Tatyana Fedorovna: język rosyjski - 69% (2009), literatura - 77% (2009). |
MATERIAŁY Z DOŚWIADCZENIA ZAWODOWEGO
Lekcja uczenia się nowej wiedzy
z wielopoziomowym zróżnicowaniem treningu
„NIE z rzeczownikami”
(ocena 5)
Prezentowane podsumowanie lekcji zostało opracowane zgodnie z „Programem języka rosyjskiego dla klas 5-6” autorstwa S.I. Lwowa (M.; „Mnemosyne”, 2008). Lekcja ma na celu kształtowanie kompetencji językowych, językowych i mowy uczniów. Materiał zawarty w lekcji jest edukacyjny, rozwijający, kształcący.
Cele Lekcji:
1) rozwinąć umiejętności komunikacyjne: sformułować pytanie i udzielić odpowiedzi na zadany temat gramatyczny; przeprowadzać interakcję głosową w grupie mobilnej; tworzyć własne teksty na zadany temat;
2) kształtowanie kompetencji językowych i językowych: znać zasady pisowni NIE z rzeczownikiem umieć wykorzystać algorytm do zastosowania tej zasady w praktyce; powtórz pisownię « NIE z czasownikiem” , rzeczownik reguła;
3) pielęgnować ostrożny stosunek do słowa jako duchowej wartości ludu.
Sprzęt: sprzęt multimedialny, prezentacja wideo, karty referencyjne, testy, pliki zadań badawczych.
Podczas zajęć
Organizowanie czasu
Drodzy koledzy! Tak, tak, koledzy. Nie nazwałem was tak przez przypadek. Dziś zajmiemy się wspólną sprawą: rozwiązywaniem problemów językowych, odkrywaniem tajników pisowni wyrazów. W końcu, według Lwa Tołstoja, „Słowo to wielka rzecz… Słowem można służyć miłości, ale słowem można służyć wrogości i nienawiści” (motto do lekcji).
Rozgrzewka językowa „Tak – nie”
Oto umiejętność słowna, która pomoże ci poradzić sobie z rozgrzewką językową, która nazywa się „Tak - nie”. Zasady tej rozgrzewki są następujące: Ja odgadłem regułę, a Wy spróbujecie ją odgadnąć zadając pytania naprowadzające, które należy sformułować tak, abym mógł odpowiedzieć słowami „tak” lub „nie” . Wasze odpowiedzi ocenię dzisiaj żetonami. Zadawaj mi pytania.
Uczniowie zadają nauczycielowi pytania. Na przykład:
1. Czy nauczyliśmy się tej zasady w 5 klasie? (Tak)
2. Czy to jest reguła pisowni? (NIE)
3. Czy jest to reguła dotycząca części mowy? (Tak)
4. Czy jest to reguła rzeczownika? (Tak)
- Dobrze zrobiony! Zgadłem!
Aktualizacja wiedzy
Teraz przypomnijmy sobie, czym jest rzeczownik. Ale powiemy o tym w łańcuchu, przekazując sobie pałeczkę, jak sportowcy na zawodach. Każdy, kto chce, może skorzystać z odpowiedzi karty pomocników. Twoje odpowiedzi ocenię za pomocą tokenów ( odpowiedzi uczniów).
Wykonałem świetną robotę! Potrzebujemy znajomości reguły dotyczącej rzeczownika, aby móc odróżnić rzeczowniki od innych części mowy.
Przetestujemy tę umiejętność wykonując ustne dyktando dystrybucyjne.
Przeczytaj uważnie słowa (Po kliknięciu myszką na ekranie projektora obraz zanika).
Ale co to jest? Co się stało z obrazem? Panowie, zaszła pomyłka!
Złap ją! (Recepcja „Złap błąd”)
„Oburzony” należy pisać razem. Dlaczego?
To jest czasownik, który nie jest używany bez NIE.
(kliknięcie myszką)
Ćwiczenia: podziel wyrazy na dwie grupy ze względu na części mowy. (Uczniowie wykonują zadanie)
1. Z jakimi częściami mowy się spotkałeś? (rzeczowniki i czasowniki)
2. Nazwij rzeczowniki.
3. Nazwij czasowniki.
4. Jak przeliterować NIE za pomocą czasownika?
ustalanie celów
Znajomość zasady dotyczącej rzeczowników i pisowni NIE z czasownikiem pomoże nam sobie z tym poradzić nowy temat który brzmi tak: „NIE z rzeczownikami”.Zapisz to w zeszycie.
Przebieg naszych myśli zapisałem w "Myślącyarkusz", która składa się z trzech kolumn: „Wiem”, „Chcę wiedzieć”, „Nauczyłem się (a)”.
Na wykresie "Ja wiem" biorąc pod uwagę regułę, na której będziemy się dzisiaj opierać. Ta zasada dotyczy pisania NIE z czasownikiem .
Na wykresie "Chcę wiedzieć" sformułowano pytanie dnia: „Dowiedz się, kiedy NOT jest pisane razem z rzeczownikiem, a kiedy - osobno”.
Na wykresie "Dowiedziałem się" zapiszemy odpowiedź na to pytanie.
Ale najpierw zróbmy praca ze słownictwem.
Chłopaki, kim oni są? nieuk I nieświadomy? Jakimi ludźmi to nazywamy? (Odpowiedzi uczniów)
Zapisz te słowa w zeszycie i znaczenia leksykalne. Teraz ułóż z nimi wyrażenia lub zdania (opcjonalnie).
Nauka nowego materiału
Jak myślisz, dlaczego słowa „ignorant” i „ignorant” są pisane razem? (Ponieważ nie są używane bez NOT)Raport
Zwycięzcy priorytetkrajowyprojekt « Edukacja". Doświadczenie zdobyte w autoanalizie, porównywanie własnych osiągnięć z osiągnięciami wniesionych kolegów nowypedagogiczny ...
Doświadczenie w tworzeniu zasobów internetowych przez nauczycieli regionu Orenburg
Streszczenie rozprawySystemy Edukacja V instytucja edukacyjna; określenie zakresu zaawansowanypedagogicznydoświadczenie... ogólne wykształcenie szkoła" został zwycięzcą selekcji konkursowej w ramach im Priorytetkrajowyprojekt « Edukacja". W...