Intensywność rozpraszania promieniowania rentgenowskiego. Rozpraszanie promieniowania rentgenowskiego pod małym kątem

Kompozytorzy - 15.11.2020

Dyfrakcja promienie rentgenowskie- rozpraszanie promieni rentgenowskich, w którym wtórne odchylone wiązki o tej samej długości fali powstają z początkowej wiązki promieni, która pojawiła się w wyniku oddziaływania pierwotnych promieni rentgenowskich z elektronami substancji. Kierunek i intensywność wiązek wtórnych zależą od struktury (struktury) obiektu rozpraszającego.

2.2.1 Rozpraszanie promieni rentgenowskich przez elektron

Promienie rentgenowskie, które są falą elektromagnetyczną skierowaną na badany obiekt, działają na dowolny elektron słabo związany z jądrem i wprawiają go w ruch oscylacyjny. Kiedy naładowana cząstka wibruje, emitowane są fale elektromagnetyczne. Ich częstotliwość jest równa częstotliwości oscylacji ładunku, a w konsekwencji częstotliwości oscylacji pola w wiązce „pierwotnych” promieni rentgenowskich. To jest promieniowanie koherentne. Odgrywa główną rolę w badaniu struktury, ponieważ to ona bierze udział w tworzeniu wzoru interferencji. Tak więc pod wpływem promieni rentgenowskich oscylujący elektron emituje promieniowanie elektromagnetyczne, „rozpraszając” w ten sposób promienie rentgenowskie. To jest dyfrakcja promieni rentgenowskich. W tym przypadku elektron pochłania część energii otrzymanej z promieni rentgenowskich i oddaje część w postaci rozproszonej wiązki. Promienie te, rozproszone przez różne elektrony, przeszkadzają sobie nawzajem, to znaczy oddziałują, sumują się i mogą nie tylko wzmacniać, ale także osłabiać się nawzajem, a także gasić (grają prawa wygaszania ważna rola w analizie rentgenowskiej). Należy pamiętać, że promienie tworzące obraz interferencyjny oraz promienie X są spójne, tj. Rozpraszanie promieniowania rentgenowskiego zachodzi bez zmiany długości fali.

2.2.2 Rozpraszanie promieni rentgenowskich przez atomy

Rozpraszanie promieni rentgenowskich przez atomy różni się od rozpraszania przez swobodny elektron tym, że na zewnętrznej powłoce atomu mogą znajdować się elektrony Z, z których każdy, podobnie jak wolny elektron, emituje wtórne promieniowanie spójne. Promieniowanie rozpraszane przez elektrony atomów określa się jako superpozycję tych fal, tj. występuje interferencja wewnątrzatomowa. Amplituda promieni rentgenowskich rozproszonych przez jeden atom A a, mający Z-elektrony, jest równa

A a \u003d A e F (5)

gdzie F jest współczynnikiem struktury.

Kwadrat amplitudy strukturalnej wskazuje, ile razy natężenie promieniowania rozproszonego przez atom jest większe niż natężenie promieniowania rozproszonego przez jeden elektron:

Amplituda atomowa Ia jest określona przez rozkład elektronów w atomie substancji, analizując wielkość amplitudy atomowej można obliczyć rozkład elektronów w atomie.

2.2.3 Rozpraszanie promieni rentgenowskich przez sieć krystaliczną

Jest to najbardziej interesujące dla praktycznej pracy. Teoria interferencji promieniowania rentgenowskiego została po raz pierwszy potwierdzona przez Laue. Umożliwiło to teoretyczne obliczenie pozycji maksimów interferencyjnych na obrazach rentgenowskich.

Jednak szerokie praktyczne zastosowanie efektu interferencyjnego stało się możliwe dopiero po angielskich fizykach (ojciec i syn Braggiego) i jednocześnie rosyjskim krystalografie G.V. Wulff stworzył niezwykle prostą teorię, odkrywając prostszy związek między położeniem maksimów interferencji na obrazie rentgenowskim a strukturą sieci przestrzennej. Jednocześnie uważali kryształ nie za układ atomów, ale za układ płaszczyzn atomowych, zakładając, że promienie X doświadczają lustrzanego odbicia od płaszczyzn atomowych.

Rysunek 11 przedstawia wiązkę padającą S0 i wiązkę odchyloną od płaszczyzny (HKL) S HKL.

Zgodnie z prawem odbicia płaszczyzna ta musi być prostopadła do płaszczyzny, w której leżą promienie S0 i SHKL, a kąt między nimi podzielić na pół, tj. kąt między kontynuacją wiązki padającej a wiązką odchyloną wynosi 2q.

Krata przestrzenna zbudowana jest z kilku płaszczyzn P 1 , P 2 , P 3 ...

Rozważ interakcję takiego systemu równoległego; płaszczyzny z belką główną na przykładzie dwóch sąsiednich płaszczyzn P i P 1 (rys. 12):

Ryż. 12. Do wyprowadzenia wzoru Wolfa-Bragga

Belki równoległe SO i S 1 O 1 padają w punktach O i O 1 pod kątem q do płaszczyzn P i P 1. Ponadto fala uderza w punkt O 1 z opóźnieniem równym różnicy ścieżki fal, która jest równa AO 1 \u003d d sinq, Promienie te zostaną odbite od płaszczyzn P i P 1 pod tym samym kątem q, Różnica ścieżki odbitych fal wynosi O 1 B \u003d d sinq . Skumulowana różnica ścieżki Dl=2d sinq. Promienie odbite od obu płaszczyzn, rozchodzące się w postaci fali płaskiej, muszą się wzajemnie zakłócać.

Różnica faz obu oscylacji jest równa:

(7)

Z równania (7) wynika, że gdy różnica drogi promieni jest wielokrotnością całkowitej liczby fal, Dl=nl=2d sinq, to różnica faz będzie wielokrotnością 2p, czyli oscylacje będą w jednej fazie, „garb” jednej fali pokrywa się z „garbem” drugiej, a oscylacje wzmacniają się nawzajem. W takim przypadku na radiogramie zostanie zaobserwowany pik interferencyjny. Otrzymujemy więc, że równość 2d sinq = nl (8) (gdzie n jest liczbą całkowitą, zwaną rzędem odbicia i określoną różnicą drogi promieni odbitych przez sąsiednie płaszczyzny)

jest warunkiem uzyskania maksimum interferencji. Równanie (8) nazywa się wzorem Wulfa-Bragga. Ten wzór jest podstawą analizy dyfrakcji rentgenowskiej. Należy pamiętać, że wprowadzony termin „odbicie od płaszczyzny atomowej” jest arbitralny.

Ze wzoru Wulfa-Bragga wynika, że jeśli wiązka promieniowania rentgenowskiego o długości fali l pada na rodzinę płaszczyzn równoległych, między którymi odległość jest równa d, to nie będzie odbicia (maksimum interferencji) aż do kąt między kierunkiem promieni a powierzchnią odpowiada temu równaniu.

EX = EX0 cos(wt – k0 z + j0) EY = EY0 cos(wt – k0 z + j0)

BX = BX0 cos(wt – k0 z + j0) BY = BY0 cos(wt – k0 z + j0)

gdzie t to czas, w to częstotliwość promieniowania elektromagnetycznego, k0 to liczba falowa, j0 to faza początkowa. Liczba falowa jest modułem wektora falowego i jest odwrotnie proporcjonalna do długości fali k0 = 2π/l. Wartość liczbowa fazy początkowej zależy od wyboru czasu początkowego t0=0. Wielkości EX0, EY0, BX0, BY0 są amplitudami odpowiednich składowych (3.16) pola elektrycznego i magnetycznego fali.

Zatem wszystkie składowe (3.16) płaskiej fali elektromagnetycznej są opisane przez elementarne funkcje harmoniczne postaci:

Y = A0 cos(wt – kz+j0) (3.17)

Rozważmy rozpraszanie płaskiej monochromatycznej fali rentgenowskiej na zestawie atomów badanej próbki (na cząsteczce, krysztale o skończonej wielkości itp.). Oddziaływanie fali elektromagnetycznej z elektronami atomów prowadzi do powstania wtórnych (rozproszonych) fal elektromagnetycznych. Zgodnie z klasyczną elektrodynamiką rozpraszanie przez pojedynczy elektron zachodzi pod kątem bryłowym 4p i ma znaczną anizotropię. Jeżeli pierwotne promieniowanie rentgenowskie nie jest spolaryzowane, to gęstość strumienia promieniowania fal rozproszonych jest opisana następującą funkcją

(3.18)

gdzie I0 jest gęstością strumienia promieniowania pierwotnego, R jest odległością od punktu rozproszenia do miejsca detekcji promieniowania rozproszonego, q jest biegunowym kątem rozpraszania, mierzonym od kierunku wektora fali płaskiej fali pierwotnej k0 (patrz rys. 3.6). Parametr

» 2,818×10-6 nm(3.19)

historycznie nazywany klasycznym promieniem elektronu.

Rys.3.6. Kąt rozproszenia biegunowego q płaskiej fali pierwotnej na małej badanej próbce Cr.

Pewien kąt q określa powierzchnię stożkową w przestrzeni. Skorelowany ruch elektronów wewnątrz atomu komplikuje anizotropię promieniowania rozproszonego. Amplituda fali rentgenowskiej rozproszonej przez atom jest wyrażana jako funkcja długości fali i kąta biegunowego f(q,l), który nazywamy amplitudą atomową.

Zatem rozkład kątowy natężenia fali rentgenowskiej rozproszonej przez atom wyraża się wzorem

(3. 20)

i ma symetrię osiową względem kierunku wektora falowego fali pierwotnej k0. Kwadrat amplitudy atomowej f 2 nazywany jest współczynnikiem atomowym.

Z reguły w układach eksperymentalnych do dyfrakcji rentgenowskiej i badań spektralnych promieniowania rentgenowskiego detektor rozproszonych promieni rentgenowskich znajduje się w odległości R, która jest znacznie większa niż wymiary rozpraszanej próbki. W takich przypadkach okienko wejściowe detektora wycina element z powierzchni stałej fazy fali rozproszonej, którą z dużą dokładnością można przyjąć za płaską.

Rys.3.8. Schemat geometryczny rozpraszania promieniowania rentgenowskiego przez atomy próbki 1 w warunkach dyfrakcji Fraunhofera.

2 – detektor promieniowania rentgenowskiego, k0 – wektor fali pierwotnej fali rentgenowskiej, strzałki przerywane oznaczają pierwotne strumienie promieniowania rentgenowskiego, strzałki przerywano-kropkowane – rozproszone strumienie promieniowania rentgenowskiego. Kółka wskazują atomy badanej próbki.

Ponadto odległości pomiędzy sąsiednimi atomami napromieniowanej próbki są o kilka rzędów wielkości mniejsze niż średnica okienka wejściowego detektora.

W konsekwencji, w tej geometrii detekcji detektor odbiera strumień fal płaskich rozproszonych przez poszczególne atomy, a wektory fal wszystkich fal rozproszonych można z dużą dokładnością założyć, że są równoległe.

Powyższe cechy rozpraszania promieniowania rentgenowskiego i ich rejestracji historycznie nazywano dyfrakcją Fraunhofera. Ten przybliżony opis procesu rozpraszania promieniowania rentgenowskiego na strukturach atomowych pozwala z dużą dokładnością obliczyć obraz dyfrakcyjny (rozkład kątowy natężenia rozproszonego promieniowania). Dowodem jest to, że przybliżenie dyfrakcyjne Fraunhofera leży u podstaw metod dyfrakcji rentgenowskiej do badania substancji, które pozwalają określić parametry komórek elementarnych kryształów, obliczyć współrzędne atomów, ustalić obecność różnych faz w próbce, określić cechy defektów kryształów itp.

Rozważ małą próbkę krystaliczną zawierającą skończoną liczbę N atomów o określonej liczbie chemicznej.

Wprowadzamy prostokątny układ współrzędnych. Jego początek jest zgodny ze środkiem jednego z atomów. Pozycja każdego centrum atomowego (centrum rozproszenia) jest określona przez trzy współrzędne. xj, yj, zj, gdzie j jest liczbą atomową.

Niech badana próbka zostanie wystawiona na płaską pierwotną falę rentgenowską z wektorem falowym k0 skierowanym równolegle do osi Oz wybranego układu współrzędnych. W tym przypadku fala pierwotna jest reprezentowana przez funkcję postaci (3.17).

Rozpraszanie promieni rentgenowskich przez atomy może być zarówno nieelastyczne, jak i elastyczne. Rozpraszanie elastyczne zachodzi bez zmiany długości fali promieniowania rentgenowskiego. Przy rozpraszaniu nieelastycznym długość fali promieniowania wzrasta, a fale wtórne są niespójne. W dalszej części rozważane jest tylko elastyczne rozpraszanie promieni rentgenowskich przez atomy.

Niech L będzie odległością od początku współrzędnych do detektora. Załóżmy, że spełnione są warunki dyfrakcyjne Fraunhofera. W szczególności oznacza to, że maksymalna odległość między atomami napromieniowanej próbki jest o kilka rzędów wielkości mniejsza niż odległość L. W tym przypadku czuły element detektora jest narażony na fale płaskie o równoległych wektorach fal k. Moduły wszystkich wektorów są równe modułowi wektora falowego k0 = 2π/l.

Każda fala płaska powoduje oscylacje harmoniczne o częstotliwości

(3.21)

Jeśli fala pierwotna jest zadowalająco aproksymowana przez harmoniczną płaską, to wszystkie fale wtórne (rozproszone przez atomy) są spójne. Różnica faz fal rozproszonych zależy od różnicy między drogami tych fal.

Narysujmy oś pomocniczą Or od początku współrzędnych do punktu, w którym znajduje się okno wejściowe detektora. Wtedy każda propagacja wtórna w kierunku tej osi może być opisana funkcją

y = A1 fcos(wt– kr+ j0) (3.22)

gdzie amplituda A1 zależy od amplitudy fali pierwotnej A0, a faza początkowa j0 jest taka sama dla wszystkich fal wtórnych.

Fala wtórna emitowana przez atom znajdujący się w początku współrzędnych spowoduje oscylację czułego elementu detektora, opisaną funkcją

A1 f(q) cos(wt – kL+ j0) (3,23)

Inne fale wtórne będą wytwarzać oscylacje o tej samej częstotliwości (3.21), ale różniące się od funkcji (3.23) przesunięciem fazowym, które z kolei zależy od różnicy torów fal wtórnych.

W przypadku układu płaskich spójnych fal monochromatycznych poruszających się w określonym kierunku względne przesunięcie fazowe Dj jest wprost proporcjonalne do różnicy ścieżki DL

Dj = k×DL(3,24)

gdzie k jest liczbą falową

k = 2π/l. (3.25)

Aby obliczyć różnicę ścieżek fal wtórnych (3.23), najpierw zakładamy, że napromieniowana próbka jest jednowymiarowym łańcuchem atomów położonym wzdłuż osi współrzędnych Ox (patrz ryc. 3.9). Współrzędne atomowe są podane przez liczby xi, (j = 0, 1, …, N–1), gdzie x0 = 0. Powierzchnia stałej fazy fali pierwotnej jest równoległa do łańcucha atomów, a wektor falowy k0 jest do niego prostopadły.

Obliczymy płaski obraz dyfrakcyjny, tj. rozkład kątowy natężenia promieniowania rozproszonego w płaszczyźnie pokazanej na rys. 3.9. W tym przypadku orientacja położenia detektora (innymi słowy kierunek pomocniczej osi Or) jest określona przez kąt rozpraszania, który jest mierzony od osi Oz, tj. w kierunku wektora falowego k0 fali pierwotnej.

Rys.3.9. Schemat geometryczny dyfrakcji Fraunhofera w danej płaszczyźnie na prostoliniowym łańcuchu atomów

Bez utraty ogólności rozumowania możemy założyć, że wszystkie atomy znajdują się na prawej półosi Ox. (z wyjątkiem atomu znajdującego się w środku współrzędnych).

Ponieważ warunki dyfrakcji Fraunhofera są spełnione, wektory fal wszystkich fal rozproszonych przez atomy docierają do okna wejściowego detektora z równoległymi wektorami fal k.

Z rys.3.9 wynika, że fala emitowana przez atom o współrzędnej xi pokonuje odległość do detektora L – xisin(q). Dlatego oscylacja czułego elementu detektora, wywołana falą wtórną emitowaną przez atom o współrzędnej xi, jest opisana funkcją

A1 f(q) cos(wt – k(L– xj sin(q)) + j0) (3.26)

Podobną postać mają pozostałe rozproszone fale, które dostają się do okienka detektora, który znajduje się w danej pozycji.

Wartość fazy początkowej j0 jest w istocie określona przez moment początku odniesienia czasu. Nic nie stoi na przeszkodzie, aby wybrać j0 równe –kL. Wtedy ruch czułego elementu detektora będzie reprezentowany przez sumę

(3.27)

Oznacza to, że różnica drogi fal rozproszonych przez atomy o współrzędnych xi i x0 wynosi –xisin(q), a odpowiadająca jej różnica faz jest równa kxisin(q).

Częstotliwość w oscylacji fal elektromagnetycznych w zakresie promieniowania rentgenowskiego jest bardzo wysoka. W przypadku promieniowania rentgenowskiego o długości fali l = Å częstotliwość w wynosi ~1019 s-1 w zależności od wielkości. Nowoczesny sprzęt nie może mierzyć chwilowych wartości pól elektrycznych i magnetycznych (1) przy tak szybkich zmianach pola, dlatego wszystkie detektory rentgenowskie rejestrują średnią wartość kwadratu amplitudy oscylacji elektromagnetycznych.

Na praca przy wysokim napięciu, tak jak w przypadku promieniowania rentgenowskiego o normalnym napięciu, konieczne jest użycie wszystkich znane sposoby zwalczanie rozproszonych promieni rentgenowskich.

Ilość rozproszone promienie rentgenowskie zmniejsza się wraz ze spadkiem pola napromieniowania, co osiąga się poprzez ograniczenie średnicy roboczej wiązki rentgenowskiej. Wraz ze spadkiem pola napromieniowania poprawia się z kolei rozdzielczość obrazu rentgenowskiego, tj. zmniejsza się minimalna wielkość detalu określona przez oko. Wymienne membrany lub rurki są nadal niewystarczająco wykorzystywane, aby ograniczyć wiązkę roboczą promieni rentgenowskich na średnicę.

Aby zmniejszyć kwotę rozproszone promienie rentgenowskie kompresja powinna być stosowana tam, gdzie to możliwe. Wraz ze ściskaniem zmniejsza się grubość badanego obiektu i oczywiście mniej jest centrów powstawania rozproszonego promieniowania rentgenowskiego. Do kompresji stosuje się specjalne pasy kompresyjne, które znajdują się w zestawie urządzeń do diagnostyki rentgenowskiej, ale nie są często używane.

Ilość promieniowania rozproszonego zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości między lampą rentgenowską a błoną. Wraz ze wzrostem tej odległości i odpowiednim przesłonięciem uzyskuje się mniej rozbieżną wiązkę roboczą promieni rentgenowskich. Przy zwiększaniu odległości pomiędzy lampą rentgenowską a błoną konieczne jest zmniejszenie pola napromieniowania do możliwie najmniejszej wielkości. W takim przypadku badany obszar nie powinien być „odcinany”.

W tym celu w ostatnim czasie Struktury Urządzenia do diagnostyki rentgenowskiej są wyposażone w rurkę piramidalną z centralizatorem światła. Za jego pomocą można nie tylko ograniczyć filmowany obszar w celu poprawy jakości obrazu rentgenowskiego, ale także wykluczyć nadmierne naświetlenie tych części ciała ludzkiego, które nie są poddawane radiografii.

Aby zmniejszyć kwotę rozproszone promienie rentgenowskie część badanego obiektu powinna znajdować się jak najbliżej kliszy rentgenowskiej. Nie dotyczy to ekspozycji rentgenowskich z bezpośrednim powiększeniem obrazu rentgenowskiego. W radiografii z bezpośrednim powiększeniem rozproszone badanie prawie nie dociera do kliszy rentgenowskiej.

Worki z piaskiem używane do zobowiązuje się badanego obiektu powinna znajdować się dalej od kasety, ponieważ piasek jest dobrym medium do powstawania rozproszonych promieni rentgenowskich.

Kiedy radiografia wyprodukowana na stole bez użycia siatki przesiewającej, pod kasetę lub kopertę z folią należy umieścić możliwie jak największy arkusz gumy ołowianej.
Do absorpcji rozproszone promienie rentgenowskie stosuje się przesiewowe kratki rentgenowskie, które pochłaniają te promienie, gdy opuszczają one ludzkie ciało.

Opanowanie technologii produkcja promieni rentgenowskich przy podwyższonych napięciach na lampie rentgenowskiej jest dokładnie ścieżka, która przybliża nas do idealnego obrazu rentgenowskiego, tj. takiego obrazu, na którym zarówno kość, jak i tkanka miękka są wyraźnie widoczne w szczegółach.

MOU gimnazjum nr 21

Streszczenie fizyki

"ROZPROSZENIE PROMIENI RENTGENOWSKICH"

O CZĄSTECZKACH FULLERENU»

wykonałem pracę

uczeń 11 klasy „G”

Łykow Władimir Andriejewicz

Nauczyciel:

Charitonowa Olga Aleksandrowna

3.5. Dyfrakcja Fraunhofera promieni rentgenowskich na atomach kryształów38

Cele pracy

1. Komputerowa symulacja rozpraszania promieniowania rentgenowskiego przez cząsteczki fullerenów i fragmenty kryształów fulleritu.

2. Badanie rotacyjnej pseudosymetrii rozkładu kątowego natężenia promieniowania rentgenowskiego rozproszonego.

2. Część teoretyczna

2.1. wahania

2.1.1. Jednowymiarowe ruchy oscylacyjne

Rozważ jednowymiarowy okresowy ruch punktu materialnego. Okresowość ruchu oznacza, że współrzędna punktu x jest funkcją okresową czasu t:

Innymi słowy, w każdej chwili równość

f(t + T) = f(t), (1.2)

gdzie stała wartość T nazywana jest okresem oscylacji.

Istotne jest, aby współrzędna mogła być nie tylko kartezjańska, ale także kątowa itp.

Istnieje wiele rodzajów ruchu okresowego. Taki jest na przykład ruch jednostajny punktu materialnego po okręgu.

powierzchnia cieczy).

Rys.1.3. Kula zawieszona na nitce.

Rys.1.4. unosić się na powierzchni cieczy.

Rys.1.5. Rurka w kształcie litery U z płynem.

Rys.1.6. Obwód elektryczny zawierający kondensator o pojemności C i cewkę o indukcyjności L.

W przykładzie 1.3. kąt ugięcia zmienia się okresowo. Wreszcie w przykładzie 1.6. ładunek kondensatora i prąd w cewce zmieniają się okresowo. Jednak wszystkie te procesy fizyczne są opisane przez te same funkcje matematyczne.

2.1.2. drgania harmoniczne

Najprostszym rodzajem oscylacji są harmoniczne. Współrzędna punktu materialnego w czasie z oscylacjami harmonicznymi zmienia się zgodnie z prawem

x(t) =Acos(wt + j0) (1,3)

gdzie A jest amplitudą przemieszczenia (maksymalne przesunięcie punktu od położenia równowagi), w jest częstotliwością związaną z okresem przez zależność

w = 2p / T. (1,4)

Pozycja równowagi to położenie punktu materialnego, w którym suma działających na niego sił jest równa zeru.

Argument cosinus wt + j0 w funkcji (1.3) nazywa się fazą oscylacji. Widać, że faza jest wielkością bezwymiarową i liniową funkcją czasu. Stała j0 nazywana jest fazą początkową.

Oscylacje układów fizycznych pokazane na rys.1.1. – 1.6. wykonałby oscylacje ściśle harmoniczne pod następującymi dodatkowymi warunkami:

System 1.1. – w przypadku braku oporów powietrza system 1.2. - w przypadku braku kolców system 1.3. – przy małych kątach i braku oporów powietrza, systemy 1.4. oraz 1.5. – przy braku lepkości cieczy układ 1.6. - przy braku czynnej rezystancji cewki i przewodów.

Dla uproszczenia rozważmy najpierw jednowymiarowe oscylacje harmoniczne, gdy punkt materialny jest przemieszczany wzdłuż jednej linii prostej.

Obliczając pochodną funkcji (1.3) względem czasu, otrzymujemy prędkość punktu materialnego:

v(t) = -wAsin(wt+j0) (1,5)

Można zauważyć, że prędkość jest również funkcją okresową czasu.

Teraz bierzemy pochodną funkcji (1.5) po czasie i otrzymujemy przyspieszenie punktu materialnego.

a(t) = -w2 Acos(wt+j0) (1,6)

Porównując funkcje (1.3) i (1.6) otrzymujemy, że współrzędna i przyspieszenie są powiązane następującym wyrażeniem:

a(t) = -w2 x(t),(1.7)

który jest wykonywany w dowolnym momencie.

Innymi słowy, dla dowolnych jednowymiarowych oscylacji harmonicznych przyspieszenie cząstki jest wprost proporcjonalne do jej współrzędnej, a współczynnik proporcjonalności jest ujemny.

Rys.1.7. Zależności czasowe współrzędnych (koła), prędkości (kwadraty) i przyspieszenia (trójkąty) cząstki wykonującej jednowymiarowe oscylacje harmoniczne. Amplitudy A=2, okres T=5, faza początkowa j0=0.

Jak wiadomo, przyspieszenie cząstki (zgodnie z podstawowym prawem dynamiki) jest wprost proporcjonalne do siły działającej na cząstkę. Dlatego jeśli siła jest wprost proporcjonalna do współrzędnej o przeciwnym znaku, wówczas cząsteczka wykona oscylację harmoniczną. Takie siły nazywane są przywracaniem.

Ważnym przykładem siły przywracającej jest siła Hooke'a (siła sprężysta). Tak więc, jeśli siła Hooke'a działa na punkt materialny, to punkt ten powoduje drgania harmoniczne.

Ponieważ rozważamy oscylacje jednowymiarowe, aby przeanalizować problem, wystarczy rzutować wektor siły Hooke'a na oś równoległą do tej siły. Jeśli zero odniesienia współrzędnej x zostanie wybrane w punkcie, w którym siła przywracająca wynosi zero, wówczas rzut siły jest

gdzie współczynnik k nazywamy sztywnością.

Porównując równania (1.7) i (1.8) i korzystając z II prawa Newtona, otrzymujemy ważne wyrażenie na częstotliwość drgań:

Oznacza to, że częstotliwość drgań jest opisana parametrami układu fizycznego i nie zależy od warunków początkowych. W szczególności wyrażenie (1.9) określa częstotliwość drgań harmonicznych układów pokazanych na rys. 1.1. oraz 1.2.

Jako pouczający przykład rozważmy ruchy jednowymiarowe wykonywane przez ciężarki przymocowane do sprężyn (patrz rys. 1.8).

Rys.1.8. Ciężarki sprężynowe.

Niech masy sprężyn będą nieistotne w porównaniu z masami obciążników.

Obciążenia są traktowane jako punkty materialne.

Najpierw rozważ system przedstawiony na rys.18. a. Załóżmy, że obciążenie zostało początkowo przesunięte w lewo iw rezultacie sprężyna została rozciągnięta. Jednocześnie na obciążenie (punkt materialny) działają 3 siły: grawitacja mg, siła sprężystości F i siła normalnej reakcji podpory N. W tym zagadnieniu pomijamy tarcie (patrz rys. 1.9).

Rys.1.9. Siły działające na ładunek leżący na gładkiej podporze, gdy sprężyna jest naciągnięta.

Napiszmy drugie prawo Newtona dla ciała pokazanego na ryc. 1.9.

ma = mg + F + N(1.10)

Siła sprężystości przy małych odkształceniach sprężyn jest opisana prawem Hooke'a

F = –kd(1.11)

gdzie d jest wektorem odkształcenia sprężyny, k jest współczynnikiem sztywności sprężyny.

Zwróć uwagę, że gdy ładunek się porusza, napięcie sprężyny można zastąpić ściskaniem. W tym przypadku wektor odkształcenia d zmieni swój kierunek na przeciwny, a więc to samo stanie się z siłą Hooke'a (1.11). Z tego w szczególności wynika, że przy początkowym ściskaniu sprężyny wektorowe równanie ruchu (1.10) będzie miało tę samą postać:

ma = mg – kd + N(1.12)

Początek współrzędnych wybieramy w punkcie, w którym znajduje się obciążenie nieodkształconą sprężyną. Oś X kierujemy poziomo, oś Y pionowo, czyli prostopadle do podpory (patrz rys. 1.9).

Ponieważ ładunek porusza się poziomo wzdłuż podpory, rzut przyspieszenia na oś Y wynosi zero. Wtedy siła grawitacji jest w pełni kompensowana przez normalną reakcję podpory

N + mg = 0 (1,13)

Rzutując równanie ruchu (1.12) na oś X daje równanie skalarne:

ma = –kd,(1.14)

gdzie a jest rzutem poziomym przyspieszenia obciążenia, d jest rzutem wektora odkształcenia sprężyny.

Innymi słowy, przyspieszenie jest skierowane wzdłuż poziomej osi X i jest równe

a = – (k/m) d (1,15)

Ponownie zauważamy, że równanie (1.15) obowiązuje zarówno dla rozciągania, jak i ściskania sprężyny.

Ponieważ początek współrzędnych dobiera się tak, aby pokrywał się z końcem nieodkształconej sprężyny, rzut deformacji pokrywa się z wartością współrzędnej poziomej obciążenia x:

a = – (k/m) x (1,16)

Z definicji rzut przyspieszenia jest równy drugiej pochodnej odpowiedniej współrzędnej względem czasu. W konsekwencji jednowymiarowe równanie ruchu (1.16) można przepisać w postaci

Innymi słowy, rzut przyspieszenia jest wprost proporcjonalny do współrzędnej, a współczynnik proporcjonalności ma znak ujemny.

Równanie (1.17) jest różniczką drugiego rzędu, ogólna teoria rozwiązania takich równań są badane na kursie Analiza matematyczna. Łatwo jednak wykazać przez bezpośrednie podstawienie, że funkcja oscylacji harmonicznej (1.3) spełnia równanie (1.17). Jak już wcześniej wykazano, częstotliwość drgań wyraża się wzorem (1.9).

Amplituda A i początkowa faza j0 oscylacji są wyznaczane z warunków początkowych.

Niech ładunek zostanie początkowo przesunięty na prawo od położenia równowagi o odległość d0, a początkowa prędkość ładunku będzie równa zeru. Następnie korzystając z funkcji (1.3) i (1.5) zapisujemy następujące równania dla czasu t=0:

d0 =Acos(j0) (1,18)

0 = -wAsin(j0) (1.19)

Rozwiązaniem układu (1,18) – (1,19) są wartości A=d0 i j0=0.

Dla innych warunków początkowych wielkości A i j0 w naturalny sposób przyjmą inne wartości.

Rozważmy teraz system pokazany na rysunku 1.8. b. W tym przypadku na ładunek działają tylko dwie siły: siła grawitacji mg i siła sprężystości F (patrz rys. 1.10). Oczywiste jest, że w położeniu równowagi siły te kompensują się nawzajem, dlatego sprężyna jest rozciągnięta.

Niech ładunek przesunie się lekko w pionie. Wtedy wektorowe równanie ruchu będzie wyglądało tak: podobny do równania (1.12)

ma = mg - kd(1, 20)

i niezależnie od kierunku przemieszczenia pionowego (w górę lub w dół).

Wszystkie wektory w równaniu (1.20) są skierowane pionowo, dlatego wskazane jest rzutowanie tego równania na pionową oś współrzędnych. Skierujmy oś w dół i wybierzmy początek współrzędnych w punkcie, w którym ciało jest w równowadze (patrz rys. 1.10).

Rys.1.10. Siły działające na ładunek zawieszony na sprężynie.

Rzutując (1.18) na oś X otrzymujemy:

a = g - (k/m) d (1,21)

gdzie a jest rzutem przyspieszenia ciała, d jest rzutem odkształcenia sprężyny.

Aby rozwiązać równanie (1.21) warto powrócić do położenia równowagi obciążenia. Równanie Newtona dla tej pozycji to:

0 = g – (k/m) d0(1.22)

gdzie d0 to odkształcenia sprężyny w stanie równowagi obciążenia. Dlatego wektor d0 jest równy

Widać, że w równowagowym położeniu ciała sprężyna rzeczywiście jest rozciągnięta, ponieważ wektor d0 jest skierowany równolegle do wektora g, tj. droga w dół.

Teraz umieszczamy początek współrzędnych w punkcie równowagi obciążenia na sprężynie, a następnie równanie (1.21) przyjmie postać:

a = g – (k/m) (x + d0) (1,24)

gdzie d0 jest modułem wektora odkształcenia sprężyny d0.

Podstawiając do równania (1.24) wartość d0 otrzymaną z zależności (1.23) otrzymujemy:

a = g - (k/m) (x+ (m/k) g)

a = – (k/m) x (1,25)

Otrzymane równanie całkowicie pokrywa się z równaniem (1.16). Tak więc ciało przedstawione na ryc. 1.8. b, wykonuje również harmoniczny ruch oscylacyjny, opisany funkcją (1.3), a także obciążenie w układzie pokazanym na rys. 1.8. a. Częstotliwość oscylacji Jedyna różnica dotyczy kierunku oscylacji (w pionie zamiast w poziomie). Ale częstotliwość drgań jest nadal określana przez sztywność sprężyny i masę ładunku według wzoru (1.9).

Charakterystyczne jest początkowe odkształcenie sprężyny w układzie na rys. 1.8. b nie wpływa na częstotliwość drgań.

2.1.3. Dodanie wibracji

2.1.3.1. Dodanie dwóch oscylacji harmonicznych o tych samych amplitudach i częstotliwościach

Rozważmy przykład fal dźwiękowych, gdy dwa źródła tworzą fale o tych samych amplitudach A i częstotliwościach ω. Zainstaluj wrażliwą membranę w pewnej odległości od źródeł. Kiedy fala „przekroczy” odległość od źródła do membrany, membrana zacznie oscylować. Wpływ każdej z fal na błonę można opisać następującymi zależnościami, wykorzystując funkcje oscylacyjne:

x1(t) = Acos(ωt + φ1),

x2(t) = Acos(ωt + φ2).

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1,27)

Wyrażenie w nawiasach można zapisać inaczej, korzystając z funkcji trygonometrycznej sumy cosinusów:

W celu uproszczenia funkcji (1.28) wprowadzamy nowe wielkości A0 i φ0 spełniające warunek:

A0 = φ0 = (1,29)

Podstawiamy wyrażenia (1.29) do funkcji (1.28), otrzymujemy

Zatem suma drgań harmonicznych o tych samych częstotliwościach ω jest drganiami harmonicznymi o tej samej częstotliwości ω. W tym przypadku amplituda oscylacji całkowitej A0 i faza początkowa φ0 są określone zależnościami (1.29).

2.1.3.2. Dodanie dwóch harmonicznych o tej samej częstotliwości, ale różnej amplitudzie i fazie początkowej

Rozważmy teraz tę samą sytuację, zmieniając amplitudy oscylacji w funkcji (1.26). Dla funkcji x1 (t) zamieniamy amplitudę A na A1, a dla funkcji x2 (t) A na A2. Wtedy funkcje (1.26) można zapisać w postaci:

x1 (t) = A1 cos(ωt + φ1), x2 (t) = A2 cos (ωt + φ2); (1.31)

Znajdźmy sumę funkcji harmonicznych (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(ωt + φ1) + A2 cos (ωt + φ2) (1,32)

Wyrażenie (1.32) można zapisać inaczej, używając funkcji trygonometrycznej cosinusa sumy:

x(t) = (A1cos(φ1) + A2cos(φ2)) cos(ωt) – (A1sin(φ1) + A2sin(φ2)) sin(ωt) (1,33)

W celu uproszczenia funkcji (1.33) wprowadzamy nowe wielkości A0 i φ0 spełniające warunek:

Podnieśmy do kwadratu każde równanie układu (1.34) i dodajmy otrzymane równania. Wtedy otrzymujemy następującą zależność dla liczby A0:

Rozważ wyrażenie (1.35). Udowodnijmy, że wartość pod pierwiastkiem nie może być ujemna. Ponieważ cos(φ1 - φ2) ≥ -1, oznacza to, że jest to jedyna wartość, która może wpływać na znak liczby pod pierwiastkiem (A12 > 0, A22 > 0 i 2A1A2 > 0 (z definicji amplitudy)). Rozważmy przypadek krytyczny (cosinus jest równy minus jeden). Pod pierwiastkiem znajduje się wzór na kwadrat różnicy, który zawsze jest dodatni. Jeśli zaczniemy stopniowo zwiększać cosinus, to wyraz zawierający cosinus również zacznie rosnąć, wtedy wartość pod pierwiastkiem nie zmieni swojego znaku.

Teraz obliczamy stosunek dla wartości φ0 dzieląc drugie równanie układu (1,34) przez pierwsze i obliczając arcus tangens:

A teraz podstawmy do funkcji (1.33) wartości z systemu (1.34)

x = A0(cos(φ0) cosωt – sin(φ0) sinωt) (1,37)

Przekształcając wyrażenie w nawiasach według wzoru na sumę cosinusów otrzymujemy:

x(t) = A0 cos(ωt + φ0) (1,38)

I znowu okazało się, że suma dwóch funkcji harmonicznych postaci (1.31) jest również funkcją harmoniczną tego samego typu. Dokładniej, dodanie dwóch oscylacji harmonicznych o tej samej częstotliwości ω jest również oscylacją harmoniczną o tej samej częstotliwości ω. W tym przypadku amplituda oscylacji wynikowej jest określona zależnością (1,35), a faza początkowa zależnością (1,36).

2.2. Fale

2.2.1. Propagacja drgań w środowisku materialnym

Rozważ wahania w materialnym środowisku. Jednym z przykładów jest oscylacja pływaka na powierzchni wody. Jeśli ptak przelatujący nad pływakiem będzie pełnił rolę obserwatora, zauważy, że pływak tworzy wokół siebie kręgi, co, o dziwo, wraz z upływem czasu zwiększa promień. Ale jeśli rolą obserwatora jest osoba stojąca na brzegu, to zobaczy „garby” i „zagłębienia”, które na przemian zbliżają się do brzegu. Zjawisko to nazywa się falą wędrującą.

Aby zrozumieć właściwości fali, pomijamy opór powietrza, lepkość wody i powietrza, tj. siły rozpraszające. Wtedy energię mechaniczną kropelek wody można uznać za zachowaną. W tym przypadku ruch falowy można schematycznie przedstawić, jak pokazano na rysunku 1, zastępując kropelki wody ponumerowanymi kulkami. Oznaczmy kulę pływaka numer 1.

Ryż. 2.1. Schematyczne przedstawienie fali poprzecznej.

Widzimy, że przyczyną ruchu jest piłka nr 1, czyli platforma. Za pomocą interakcji, w grę wchodzi piłka nr 2 w ruchu, piłka nr 2 obejmuje piłkę nr 3 i tak dalej. Ale interakcja między cząsteczkami nie zachodzi natychmiast, więc kula numer 2 będzie opóźniona w czasie. Możesz też zauważyć, że kula #13 oscyluje w taki sam sposób jak #1. Następnie możemy wywnioskować, że piłka nr 2 pozostanie w tyle za nr 1 o 1/12 okresu.

Stąd okres fali (T) można nazwać okresem drgań kuli nr 1, amplituda fali (A) to maksymalne odchylenie kuli od osi poziomej, a długość fali (λ) to minimalna odległość między maksimami najbliższych garbów lub minimami najbliższych zagłębień.

W rozpatrywanym wcześniej przykładzie fala rozchodziła się prostopadle do drgań źródła, czyli brano pod uwagę falę poprzeczną.

Fale podłużne to fale, które rozchodzą się równolegle do ruchu źródła. Jeśli rozpatrzymy fale podłużne schematycznie (rys. 2.2), to możemy zauważyć, że z biegiem czasu źródło drgań (kula nr 1) oscyluje w lewo-prawo i angażuje inne cząstki w ten sam ruch oscylacyjny. Wówczas dla fali podłużnej definicja okresu fali opisana powyżej pozostanie niezmieniona, ale definicje długości fali i amplitudy będą wyglądać inaczej. Uogólnione koncepcje będą wyglądać tak: długość fali - minimalna odległość między kulkami poruszającymi się w tych samych fazach; amplituda fali to maksymalne odchylenie od położenia równowagi.

2.2.2. funkcja falowa

Rozważmy źródło, które wykonuje drgania harmoniczne w ośrodku materialnym o częstotliwości w. Wtedy jego ruch jest opisany funkcją formy. Niech początkowa faza j0 będzie równa zeru. Wtedy współrzędna źródłowa jest następną funkcją czasu.

x = Acos (masa) (2,1)

Z powodu interakcji cząstek środowisko biorą udział w ruchach, które również będą wibracjami harmonicznymi. Ale interakcja międzycząsteczkowa nie zachodzi natychmiast, więc drgania sąsiednich cząsteczek będą pojawiać się z przesunięciem w czasie. Ze względu na skończoną i stałą szybkość przenoszenia oddziaływania, to przesunięcie oscylacji w czasie jest wprost proporcjonalne do odległości następnej cząstki od źródła.

Z poprzednich przykładów wynika, że w efekcie w ośrodku będą się propagować zaburzenia zwane zaburzeniami falowymi. W przypadku fal powierzchniowych zaburzenie to polega na odchylaniu się cząsteczek wody od powierzchni w stanie spoczynku. W przypadku fal dźwiękowych zaburzeniem jest odchylenie gęstości powietrza od średniej gęstości powietrza w spoczynku. Niezależnie od rodzaju fal (wzdłużne czy poprzeczne), zaburzenie to musi być opisane jakąś funkcją czasu i współrzędnych.

W punkcie źródłowym zaburzenie jest funkcją czasu, zbieżną z (2.1)

y(0, t) = Acos(masa). (2.2)

Rozważmy propagację zaburzenia harmonicznego w kierunku określonym przez oś współrzędnych 0Z. Zgodnie z powyższym cząstki ośrodka materialnego, znajdujące się w odległości z od źródła, wykonują drgania harmoniczne z opóźnieniem w czasie (ze względu na skończoną prędkość propagacji oddziaływania). W konsekwencji zaburzenie w punkcie zi w dowolnym czasie t zbiega się z zaburzeniem w punkcie z = 0 źródła w jakimś poprzednim czasie t¢

y(z, t) = y(0, t¢) (2.3)

Prędkość propagacji zaburzenia w danym ośrodku jest wyraźnie wyrażona przez prędkość garbu (lub zagłębienia) fal powierzchniowych lub prędkość zagęszczania (lub rozrzedzenia) fali dźwiękowej. Ta prędkość vf nazywana jest prędkością fazową fali. Tak więc garb, depresja lub jakikolwiek inny rodzaj zakłócenia ośrodka przebiega odległość zw czasie z/vf.

Prędkość fazowa umożliwia powiązanie momentów czasu t¢ it następującą zależnością

Korzystając z relacji (2.2) - (2.4) otrzymujemy wyrażenie na funkcję perturbacji w postaci:

Otrzymane wyrażenie nazywa się funkcją falową harmoniczną lub w skrócie falą harmoniczną.

W przypadku ośrodków jednorodnych i małych perturbacji prędkość fazy jest wartością stałą.

Wprowadzamy nową wielkość, zwaną liczbą falową, według następującej zależności:

k = / vf(2,6)

Korzystając z liczby falowej, funkcję falową harmoniczną (2.5) można zapisać jako:

y(z, t) = Acos(ωt – kz) (2,7)

Rozważ wielkość A. Ta wielkość jest amplitudą fali. Jak już wspomniano, amplituda fali to maksymalne odchylenie cząstki od położenia równowagi. Amplituda fali może się zmieniać w czasie (z powodu sił zewnętrznych).

Faza fali będzie nazywana wielkością pod znakiem funkcja trygonometryczna. W zależności od warunków początkowych, faza funkcji falowej może zawierać człon stały j0 ¹ 0. Faza fali jest funkcją dwóch argumentów czasu i pozycji.

Zauważ, że funkcja (2.8) opisuje proces falowy, który jest nieskończony w przestrzeni i czasie.

Rozważmy fizyczne znaczenie wielkości k. Wybierzmy moment czasu t=0. Funkcja falowa (2.8) przyjmuje postać:

Funkcję (2.9) można interpretować jako natychmiastową fotografię procesu falowego. Widać, że funkcja ta jest okresowa w przestrzeni.

Zgodnie z definicją okresu, dla dowolnych wartości współrzędnej z obowiązuje następująca równość

Cos(k(z + l)) = Cos(kz)

Wartość l nazywana jest długością fali. Reprezentuje minimalną odległość między punktami o tej samej fazie (garby, zagłębienia itp.).

Jeśli cosinusy są równe, to argumenty różnią się o 2π

k (z+1) = kz +2π (2,9)

Poprzez proste przekształcenia otrzymujemy następujące wyrażenie:

λ = 2π/k(2,10)

Wynika z tego, że wartość k jest odwrotnie proporcjonalna do długości fali λ.

Rozważmy zbiór punktów w przestrzeni, w których faza fali pozostaje równa zeru.

wt – kz = 0(2.11)

Przekształcenie algebraiczne daje:

Stosunek z/t, stojący po lewej stronie, zdefiniowano powyżej jako prędkość fazową. Zgodnie z (2.13) prędkość fazowa płaskiej fali harmonicznej jest równa

Z zależności (2.15) widać również, że dla fali harmonicznej biegnącej w ustalonym momencie czasu, szybkość narastania fazy na jednostkę długości jest wielkością k (liczba fali) równą

k = w / vF(2.14)

Powyżej rozważono przykład fal harmonicznych. Ale w naturze takie fale są bardzo rzadkie. Fale tłumione są bardziej powszechne, tj. fale, których prędkość (z powodu oporu powietrza, tarcia lub innych sił rozpraszających) zanika z czasem. Funkcje, które uzyskaliśmy wcześniej, nie dotyczą fal tłumionych.

Powyżej rozważaliśmy fale rozchodzące się wzdłuż granicy między dwoma ośrodkami i fale rozchodzące się w objętościach materii. Na przykład w powietrzu mogą się rozchodzić tylko podłużne fale dźwiękowe, podczas gdy w metalu mogą się rozchodzić zarówno podłużne, jak i poprzeczne.

Ponadto fale można odróżnić po kształcie stałej powierzchni fazowej. Ważnymi szczególnymi przypadkami są fale płaskie i sferyczne.

2.2.3. Fale elektromagnetyczne

Wiadomo, że zmieniające się pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne. Jeśli założymy, że zmienne pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne, to możemy założyć, tak jak zrobił to Maxwell, że z tego powodu powstanie fala elektromagnetyczna. Dopiero później, w 1886 roku, Hertz udowodnił eksperymentalnie, że Maxwell miał rację. Hertz w swoich eksperymentach, zmniejszając liczbę zwojów cewki i powierzchnię płytek kondensatora, a także rozsuwając je, dokonał przejścia z zamkniętego obwodu oscylacyjnego do otwartego obwodu oscylacyjnego (wibrator Hertza), który jest dwa pręty oddzielone iskiernikiem. Jeżeli w zamkniętym obwodzie oscylacyjnym przemienne pole elektryczne jest skoncentrowane wewnątrz kondensatora, to w obwodzie otwartym wypełnia ono przestrzeń otaczającą obwód, co znacznie zwiększa natężenie promieniowania elektromagnetycznego. Oscylacje w takim układzie wspomagane są m.in. ze źródła podłączonego do płytek kondensatora, a iskiernik służy do zwiększenia różnicy potencjałów, do której płytki są początkowo ładowane. Aby wzbudzić fale elektromagnetyczne, wibrator Hertz 8 połączono z cewką indukcyjną. Gdy napięcie na iskierniku osiągnęło wartość przebicia, pojawiła się iskra, aw wibratorze powstały swobodne, tłumione oscylacje. Gdy iskra zniknęła, obwód otworzył się i oscylacje ustały. Następnie cewka indukcyjna ponownie naładowała kondensator, pojawiła się iskra, ponownie zaobserwowano oscylacje w obwodzie itp. Do rejestracji fal elektromagnetycznych Hertz użył innego wibratora o tej samej częstotliwości drgań własnych co wibrator promieniujący, tj. dostrojony do rezonansu z wibratorem. Kiedy fale elektromagnetyczne dotarły do rezonatora, w jego szczelinie wskoczyła iskra elektryczna.

Za pomocą opisywanego wibratora Hertz osiągał częstotliwości rzędu 100 MHz i odbierał fale o długości około 3 m.p.n. Lebiediew za pomocą miniaturowego wibratora wykonanego z cienkich platynowych prętów uzyskał milimetrowe fale elektromagnetyczne o długości fali λ = 6-4 mm. W ten sposób eksperymentalnie odkryto fale elektromagnetyczne. Hertz udowodnił również, że prędkość fali elektromagnetycznej jest równa prędkości światła:

Następnie udowodniono, że fale elektromagnetyczne są poprzeczne. Źródłem fal elektromagnetycznych są ładunki oscylacyjne. W przestrzeni otaczającej ładunek powstaje układ pól elektrycznych i magnetycznych. „Migawkę” takiego układu pól pokazano na rysunku 2.3.

Charakterystykę jakościową oscylacji elektromagnetycznych można podać zarówno w postaci częstotliwości oscylacji wyrażonej w hercach, jak i długości fali. Im wyższa częstotliwość oscylacji, tym krótsza długość fali propagacji. Całe spektrum tych fal jest warunkowo podzielone na 16 zakresów:

Długość fali	Nazwa	Częstotliwość
ponad 100 km	Wibracje elektryczne o niskiej częstotliwości	0-3 kHz
100 km - 1 mm	fale radiowe	3 kHz - 3 THz
100-10 km	myriametr (bardzo niskie częstotliwości)	3 - 3-kHz
10 - 1 km²	kilometr (niskie częstotliwości)	30-300 kHz
1 km - 100 m²	hektometr (średnie częstotliwości)	300 kHz - 3 MHz
100 - 10 m²	dekametr (wysokie częstotliwości)	3 - 30 MHz
10 - 1 m²	metr (bardzo wysokie częstotliwości)	30-300 MHz
1 m - 10 cm	decymetr (ultra-wysoki)	300 MHz - 3 GHz
10 - 1 cm	centymetr (bardzo wysoki)	3 - 30 GHz
1 cm - 1 mm	milimetr (bardzo wysoki)	30 - 300 GHz
1 - 0,1 mm	decymilimetr (hiper-wysoki)	300 GHz - 3 THz
2 mm - 760 nm	Promieniowanie podczerwone	150 GHz - 400 THz
760 - 380 nm	Promieniowanie widzialne (widmo optyczne)	400 - 800 THz
380 - 3 nm	Promieniowanie ultrafioletowe	800 THz - 100 PHZ
10 nm - 13:00	promieniowanie rentgenowskie	30Phz - 300Ehz
<=10 пм	Promieniowanie gamma	>=30 Hz

Jednym z najczęstszych rodzajów fal elektromagnetycznych są fale świetlne. Ale w naszej pracy rozważymy inny rodzaj fal elektromagnetycznych - promieniowanie rentgenowskie.

2.2.4. promienie rentgenowskie

Jeden z jasne przykłady fale elektromagnetyczne można uznać za promieniowanie rentgenowskie.

W 1895 V.K. Badanie Roentgena (1845 - 1923) prąd elektryczny w silnie rozrzedzonych gazach. Do elektrod wlutowanych do szklanej rurki, z której wcześniej wypompowywano powietrze do ciśnienia ~10–3 mm Hg. Art., zastosowano różnicę potencjałów rzędu kilku kilowoltów. Okazało się, że w tym przypadku tuba staje się źródłem promieni, które Roentgen nazwał „promieniem rentgenowskim”. Sam Roentgen studiował podstawowe właściwości „promieni rentgenowskich” w wyniku trzech lat pracy, za którą otrzymał Nagrodę Nobla w 1901 r. - pierwszą wśród fizyków. Odkryte przez niego promienie zostały następnie słusznie nazwane promieniami rentgenowskimi.

Rys.2.3. Schematy lamp rentgenowskich.

a) jedna z pierwszych lamp rentgenowskich, b) lampa rentgenowska z końca XX wieku.

K jest katodą termiczną, A jest anodą wysokiego napięcia, T jest żarzeniem gorącej katody, E to przyspieszone wiązki elektronów (linie przerywano-kreskowane), P to strumienie promieniowania rentgenowskiego (linie przerywane), O to okna w rurze korpus do wyjścia rentgenowskiego.

Według współczesnych badań naukowych promieniowanie rentgenowskie to niewidoczne dla oka promieniowanie elektromagnetyczne o długości fali mieszczącej się w zakresie o przybliżonych granicach 10-2 – 10 nanometrów.

Promienie rentgenowskie są emitowane podczas zwalniania szybkich elektronów w materii (tworzą widmo ciągłe) oraz podczas przechodzenia elektronów z zewnętrznych powłok elektronowych atomu do wewnętrznych (i dają widmo liniowe).

Najważniejsze właściwości Promienie rentgenowskie mają następujące właściwości:

Promienie przechodzą przez wszystkie materiały, także te, które są nieprzezroczyste dla światła widzialnego. Intensywność przepuszczanych promieni I maleje wykładniczo wraz z grubością x warstwy substancji

I(x) = I0exp(–m/x),(2.16)

gdzie I0 to natężenie promieni padających na warstwę napromieniowanego materiału.

Współczynnik m charakteryzuje tłumienie strumienia promieniowania rentgenowskiego przez substancję i zależy od gęstości materiału r i jego składu chemicznego. Liczne eksperymenty wykazały, że w pierwszym przybliżeniu istnieje zależność

Wiązki rentgenowskie przechodzą przez grube płyty, blachy, ludzkie ciało itp. Znacząca moc przenikania promieni rentgenowskich jest obecnie szeroko stosowana w defektoskopii i medycynie.

Promienie rentgenowskie powodują luminescencję niektórych związki chemiczne. Na przykład ekran pokryty solą BaPt(CN) 4 świeci żółto-zielono pod wpływem promieni rentgenowskich.

Promienie rentgenowskie padające na emulsje fotograficzne powodują ich czernienie.

Promienie rentgenowskie jonizują powietrze i inne gazy, nadając im przewodnictwo elektryczne. Ta właściwość jest wykorzystywana w detektorach wykrywających niewidzialne promieniowanie rentgenowskie i mierzących ich natężenie.

Promienie rentgenowskie mają silny efekt fizjologiczny. Długotrwałe narażenie organizmów żywych na intensywne strumienie rentgenowskie prowadzi do wystąpienia określonych chorób (tzw. „choroba popromienna”), a nawet śmierci.

Jak wspomniano wcześniej, promienie rentgenowskie są emitowane podczas zwalniania szybkich elektronów w materii oraz podczas przejścia elektronów z zewnętrznych powłok elektronowych atomu do wewnętrznych (i dają widmo liniowe). Detektory rentgenowskie opierają się na właściwościach promieniowania rentgenowskiego. Dlatego jako detektory najczęściej stosuje się: emulsje fotograficzne na kliszy i kliszach, ekrany luminescencyjne, detektory gazowe i półprzewodnikowe.

2.3. Dyfrakcja fali

2.3.1. Dyfrakcja fal i interferencja

Typowe efekty falowe to zjawiska interferencji i dyfrakcji.

Początkowo dyfrakcję nazywano odchyleniem propagacji światła od kierunku prostoliniowego. Odkrycia tego dokonał w 1665 roku opat Francesco Grimaldi i posłużyło jako podstawa do opracowania falowej teorii światła. Dyfrakcja światła polegała na załamywaniu się światła wokół konturów obiektów nieprzezroczystych iw efekcie wnikaniu światła w obszar cienia geometrycznego.

Po stworzeniu teorii falowej stało się jasne, że dyfrakcja światła jest konsekwencją zjawiska interferencji fal emitowanych przez spójne źródła zlokalizowane w różnych punktach przestrzeni.

Mówi się, że fale są spójne, jeśli ich różnica faz pozostaje stała w czasie. Źródłami fal koherentnych są koherentne oscylacje źródeł fal. Fale sinusoidalne, których częstotliwości nie zmieniają się w czasie, są zawsze spójne.

Fale koherentne emitowane przez źródła znajdujące się w różnych punktach rozchodzą się w przestrzeni bez interakcji i tworzą całkowite pole falowe. Ściśle rzecz biorąc, same fale nie „składają się”. Ale jeśli urządzenie rejestrujące znajduje się w dowolnym punkcie przestrzeni, to jego czuły element zostanie wprawiony w ruch oscylacyjny pod wpływem fal. Każda fala działa niezależnie od pozostałych, a ruch elementu czujnikowego jest sumą oscylacji. Innymi słowy, w tym procesie nie

fale, ale oscylacje spowodowane falami koherentnymi.

Ryż. 3.1. System dwóch źródeł i detektora. L to odległość od pierwszego źródła do detektora, L' to odległość od drugiego źródła do detektora, d to odległość między źródłami.

Jako podstawowy przykład rozważ interferencję fal emitowanych przez dwa spójne źródła punktowe (patrz rys. 3.1). Częstotliwości i początkowe fazy oscylacji źródła pokrywają się. Źródła znajdują się w pewnej odległości d od siebie. Detektor rejestrujący natężenie generowanego pola falowego znajduje się w odległości L od pierwszego źródła. Rodzaj wzoru interferencyjnego zależy od parametrów geometrycznych źródeł spójnych fal, od wymiaru przestrzeni, w której fale się propagują itp.

Rozważ funkcje fal, które są wynikiem oscylacji emitowanych przez dwa punktowe spójne źródła. Aby to zrobić, zacznijmy od osi Z, jak pokazano na rysunku 3.1. Następnie funkcje falowe będzie wyglądać tak:

Wprowadźmy pojęcie różnicy torów fali. W tym celu należy wziąć pod uwagę odległości od źródeł do detektora rejestrującego L i L'. Odległość pomiędzy pierwszym źródłem a detektorem L różni się od odległości pomiędzy drugim źródłem a detektorem L' o wartość t. Aby znaleźć t rozważyć trójkąt prostokątny, zawierający wartości t i d. Wtedy możesz łatwo znaleźć t za pomocą funkcji sinus:

Ta wartość będzie nazywana różnicą toru fal. A teraz mnożymy tę wartość przez liczbę falową k i otrzymujemy wartość zwaną różnicą faz. Oznaczmy to jako ∆φ

Gdy dwie fale „dojdą” do detektora funkcji (3.1), przyjmą postać:

Aby uprościć prawo, zgodnie z którym detektor będzie oscylował, ustawiamy wartość (–kL + j1) w funkcji x1(t) na zero. Zapiszmy wartość L' w funkcji x2(t) zgodnie z funkcją (3.4). Dzięki prostym przekształceniom uzyskujemy to

Widać, że relacje (3.3) i (3.6) są takie same. Wcześniej wartość ta była definiowana jako różnica faz. Wychodząc z powyższego, Relację (3.6) można przepisać w następujący sposób:

Teraz dodajemy funkcje (3.5).

(3.8)

Stosując metodę amplitud zespolonych otrzymujemy zależność na amplitudę oscylacji całkowitej:

gdzie φ0 jest określone zależnością (3.3).

Po znalezieniu amplitudy całkowitej oscylacji, intensywność całkowitej oscylacji można znaleźć jako kwadrat amplitudy:

(3.10)

Rozważ wykres intensywności całkowitej fluktuacji dla różnych parametrów. Kąt θ zmienia się w przedziale (można to zobaczyć na rysunku 3.1), długość fali zmienia się od 1 do 5.

Rozważać szczególny przypadek kiedy L>>d. Zwykle taki przypadek ma miejsce w eksperymentach z rozpraszaniem promieniowania rentgenowskiego. W tych eksperymentach detektor promieniowania rozproszonego znajduje się zwykle w odległości znacznie większej niż wymiary badanej próbki. W takich przypadkach do detektora trafiają fale wtórne, które można w przybliżeniu przyjąć za fale płaskie z wystarczającą dokładnością. W tym przypadku wektory fal poszczególnych fal fal wtórnych emitowanych przez różne centra promieniowania rozproszonego są równoległe. Zakłada się, że warunki dyfrakcji Fraunhofera są w tym przypadku spełnione.

2.3.2. Dyfrakcja rentgenowska

Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego to proces, który zachodzi podczas elastycznego rozpraszania promieni rentgenowskich i polega na pojawieniu się promieni odchylonych (uproszczonych) rozchodzących się pod pewnymi kątami do wiązki pierwotnej. Dyfrakcja promieni rentgenowskich wynika z przestrzennej spójności fal wtórnych, które powstają, gdy promieniowanie pierwotne jest rozpraszane przez elektrony tworzące atomy. W niektórych kierunkach, określonych przez stosunek długości fali promieniowania do odległości międzyatomowych w substancji, dodawane są fale wtórne, będące w tej samej fazie, co powoduje intensywną wiązkę dyfrakcyjną. Innymi słowy, pod działaniem pola elektromagnetycznego fali padającej naładowane cząstki obecne w każdym atomie stają się źródłami wtórnych (rozproszonych) fal kulistych. Oddzielne fale wtórne interferują ze sobą, tworząc zarówno wzmocnione, jak i stłumione wiązki promieniowania rozchodzące się w różnych kierunkach.

Można założyć, że rozpraszaniu nie towarzyszy dyspersja, a w konsekwencji częstotliwość fal rozproszonych pokrywa się z częstotliwością fali pierwotnej. Jeżeli rozpraszanie jest elastyczne, to moduł wektora falowego również się nie zmienia.

Rozważmy wynik interferencji fal wtórnych w punkcie oddalonym od wszystkich centrów rozpraszania w odległości znacznie większej niż odległości międzyatomowe w badanej (napromieniowanej) próbce. Niech detektor zostanie zlokalizowany w tym punkcie i doda się oscylacje wywołane przez fale rozproszone, które dotarły w tym punkcie. Ponieważ odległość od rozpraszacza do detektora znacznie przekracza długość fali rozproszonego promieniowania, odcinki fal wtórnych docierających do detektora można uznać za płaskie z wystarczającą dokładnością, a ich wektory falowe są równoległe. Tak więc fizyczny obraz rozpraszania promieniowania rentgenowskiego, przez analogię z optyką, można nazwać dyfrakcją Fraunhofera.

W zależności od kąta rozpraszania q (kąt między wektorem falowym fali pierwotnej a wektorem łączącym kryształ z detektorem) amplituda oscylacji całkowitej osiągnie minimum lub maksimum. Natężenie promieniowania rejestrowane przez detektor jest proporcjonalne do kwadratu całkowitej amplitudy. W konsekwencji intensywność zależy od kierunku propagacji rozproszonych fal docierających do detektora, od amplitudy i długości fali promieniowania pierwotnego oraz od liczby i współrzędnych centrów rozpraszania. Ponadto amplituda fali wtórnej utworzonej przez pojedynczy atom (a więc i całkowite natężenie) jest określona przez współczynnik atomowy, który jest malejącą funkcją kąta rozpraszania q, który zależy od gęstości elektronowej atomów.

Rozważmy rozkład natężenia promieniowania wytwarzanego przez n spójnych punktowych źródeł fal monochromatycznych. Geometrię układu składającego się z n spójnych punktowych źródeł fal monochromatycznych oraz detektora mogącego poruszać się po linii prostej pokazano na rys. 5.1.

Rys.3.3. Geometria układu n źródeł.

Liczby 1,2,3,4,…,n oznaczają pozycje źródeł punktowych.

Oś X skierowana jest wzdłuż linii ruchu detektora. gdzie Z1 ,Z2, Z3, Z4 ,…, Zn są odległościami od pierwszego, drugiego, trzeciego, …, n-tego źródła do odbiornika, wzdłuż osi X dodaje się intensywności oscylacji, L- odległość od osi X do linii łączącej źródła.

Aby znaleźć natężenie n źródeł, posługujemy się zależnością (3.10). Amplitudy dodajemy w sposób wektorowy. Wtedy dla n źródeł funkcja (3.10) przyjmuje postać:

Jest to równanie do obliczania natężenia promieniowania n źródeł, gdzie

Tutaj można to obliczyć w następujący sposób:

Zastępując (3.12), (3.13) i (3.14) do (3.11) otrzymujemy:

2.3.4. czynnik atomowy

Czynnik atomowy to wielkość charakteryzująca zdolność izolowanego atomu lub jonu do spójnego rozpraszania promieni rentgenowskich, elektronów lub neutronów (wyróżnia się odpowiednio czynnik atomowy promieniowania rentgenowskiego, elektronowego lub neutronowego). Czynnik atomowy określa intensywność promieniowania rozpraszanego przez atom w określonym kierunku.

Rozważmy oddziaływanie fali rentgenowskiej z pojedynczym atomem. Pole elektryczne fali generuje siły okresowe, które działają na wszystkie naładowane cząstki tworzące atom - na elektrony i jądro. Przyspieszenie, jakie otrzymuje cząstka, jest odwrotnie proporcjonalne do masy cząstki. Każda cząstka staje się źródłem fali wtórnej (tj. rozproszonej). Natężenie promieniowania jest proporcjonalne do kwadratu przyspieszenia, więc promieniowanie rozproszone jest generowane praktycznie tylko przez elektrony, więc współczynnik atomowy promieniowania rentgenowskiego zależy od rozkładu gęstości elektronów w atomie.

Elektrony są rozproszone w atomie, a wielkość atomu jest współmierna do długości fali rentgenowskiej. Dlatego fale wtórne tworzone przez poszczególne elektrony atomu mają różnicę faz. To przesunięcie fazowe Dφ zależy od kierunku propagacji fali rozproszonej w stosunku do kierunku wektora falowego fali pierwotnej. W konsekwencji amplituda promieniowania rozpraszanego przez atom zależy od kąta rozpraszania.

Współczynnik atomowy f (lub funkcja rozpraszania atomów) definiuje się jako stosunek amplitudy fali rozproszonej przez jeden atom do amplitudy fali rozpraszanej przez jeden wolny elektron. Wartość współczynnika atomowego zależy od kąta rozproszenia q i długości fali promieniowania l. Wielkość g = sin(q) / l jest używana jako argument funkcji czynnika atomowego w badaniach dyfrakcji rentgenowskiej.

Jeśli kąt biegunowy q = 0, to wartość współczynnika atomowego jest równa liczbie elektronów w atomie (innymi słowy liczba atomowa pierwiastek chemiczny w układzie okresowym). Wraz ze wzrostem kąta rozproszenia q, współczynnik atomowy f(g) maleje monotonicznie do zera. Typową postać funkcji rozpraszania atomów pokazano na rys. 3.4.

3.5. Dyfrakcja Fraunhofera promieni rentgenowskich na atomach kryształów

Niech wiązka promieniowania rentgenowskiego o określonej długości fali l zostanie skierowana na próbkę krystaliczną. W badaniach fizycznych (przy rozszyfrowywaniu struktury atomowej metodą dyfrakcji rentgenowskiej, spektralnej analizy pierwiastkowej promieniowania rentgenowskiego itp.) zwykle realizowany jest schemat geometryczny eksperymentu z następującymi cechami geometrycznymi (patrz ryc. 1).

Rys.3.5. Schemat geometryczny naświetlania małej próbki wąską wiązką promieniowania rentgenowskiego.

1 – generator promieni rentgenowskich (np. lampa rentgenowska), 2 – kolimator, 3 – próbka badana. Strzałki przerywane przedstawiają strumienie rentgenowskie.

Za pomocą kolimatora powstaje wąska wiązka promieni rentgenowskich. Napromieniowana próbka krystaliczna znajduje się od wyjścia kolimatora w odległości znacznie większej niż wielkość próbki. W badaniach dyfrakcji rentgenowskiej przygotowuje się próbki o wielkości mniejszej niż przekrój wiązki. Mówi się, że próbka jest „skąpana” w wiązce padającego promieniowania rentgenowskiego (patrz objaśnienie na rysunku 3.5).

Wówczas można z dużą dokładnością założyć, że na badaną próbkę pada płaska fala elektromagnetyczna o długości l. Innymi słowy, wszystkie atomy próbki są wystawione na spójne fale płaskie z równoległymi wektorami fal k0.

Promienie rentgenowskie to fale elektromagnetyczne, które są poprzeczne. Jeżeli oś współrzędnych Z jest skierowana wzdłuż wektora falowego k0, to składowe pola elektrycznego i magnetycznego płaskiej fali elektromagnetycznej można zapisać w postaci: