Свойства площадей многоугольников Равные многоугольники имеют равные площади. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь
Источник задания: Решение 2746.-13. ОГЭ 2017 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.
Задание 11. Сторона ромба равна 12, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь этого ромба.
Решение.
Площадь ромба можно вычислить также как и площадь параллелограмма, то есть как произведение высоты h ромба на длину стороны a, к которой она проведена:
На рисунке красная линия совместно с черной линией показывает высоту h ромба, которая равна (так как длина черной и красной линий равны). Длина стороны a=12 также по условию задачи. Получаем площадь ромба:
Ответ: 24.
Задание 12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение.
На рисунке синими линиями показаны диагонали ромба. Видно, что большая диагональ равна 12 клеток.
Ответ: 12.
Задание 13. Какие из следующих утверждений верны?
1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
2) Все квадраты имеют равные площади.
3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение.
1) Верно. Это прямоугольник, который переходит в квадрат.
«Ослиный мост» Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.
Дано: ABC, C=90°, B=60°, AB=12 см AC=10 см Найти: SАВС Решите устно CA B Дано: ABC, C=90°, AB=18 см, ВC=9 см Найти: B, А Ответ: А=30º, B=60º Ответ:30 см²
С² = а 2 + b 2 а b с С А В с = а 2 + b cbа В прямоугольном треугольнике а и b – катеты, с – гипотенуза. Заполните таблицу. b =c²-a² а =c²-b² b 2 =c²-a² а 2 =c²-b²
Решение 3. ACD прямоугольный, D=45° DAC=45°ACD - равнобедренный CD = AC = 4 SADC = 8. Значит площадь всей фигуры S АВСВ = SABC + SADC = Дано: AB=2 3, BC=2, B=90 АCD=90 BAC=3 0, D=45 Найти: S АВСВ. Задача 30º D С B A Площадь всей фигуры S АВСВ = SABC + SADC 2. ABC прямоугольный, SABC =2 3; BAC=30° AC = 2BC = 4.
497 Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см. AD СВ Дано: ABCD - параллелограмм, BD AD, Р АВСD =50 см, AB-АD=1 см. Найти: BD. Решение. Пусть АD=х см, тогда АВ=(х+1) см. Т.к. Р АВСD =2·(АВ+AD), то 50=2·(х+1+х) 25=2х+1 х=12, значит АD=12 см, АВ=13 см. 1. АD=12 см, АВ=13 см. 2. Найдем ВD с помощью теоремы Пифагора: АВ²=ВD²+АD² BD=5 (cм) 12 см 13 см
BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. " title="Задача Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из ее оснований на 6 см больше другого. D ВС А Н Дано: ABCD - трапеция, АВ AD, S АВСD =120 см², АВ=8 см, AD>BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. " class="link_thumb">
16
Задача Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из ее оснований на 6 см больше другого. D ВС А Н Дано: ABCD - трапеция, АВ AD, S АВСD =120 см², АВ=8 см, AD>BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. Решение. Пусть ВС=х см, тогда АD=(х+6) см Т.к. S ABCD = ·8·(x+6+x)=120, 4(2х+6)=120 2х+6 = 30 х = 12, значит ВС 12 см, АD=18 см АВ=8 см, ВС=12 см, АD=18 см Дополнительное построение: СН АD, тогда АВСН – прямоугольник. СН=АВ=8 см, AH=BC=12 cм, тогда HD=AD-AH=6 cм 12 см 18 см 6 см Найдем CD по теореме Пифагора: СD²=CH²+HD² СD=8²+6²СD=10 (cм) Ответ: АВ=8 см, ВС=12 см, СD=10 см, AD=18 см.
BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. ">
BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. Решение. Пусть ВС=х см, тогда АD=(х+6) см Т.к. S ABCD = ·8·(x+6+x)=120, 4(2х+6)=120 2х+6 = 30 х = 12, значит ВС 12 см, АD=18 см 1. 2. АВ=8 см, ВС=12 см, АD=18 см Дополнительное построение: СН АD, тогда АВСН – прямоугольник. СН=АВ=8 см, AH=BC=12 cм, тогда HD=AD-AH=6 cм 12 см 18 см 6 см Найдем CD по теореме Пифагора: СD²=CH²+HD² СD=8²+6²СD=10 (cм) Ответ: АВ=8 см, ВС=12 см, СD=10 см, AD=18 см.">
BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. " title="Задача Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из ее оснований на 6 см больше другого. D ВС А Н Дано: ABCD - трапеция, АВ AD, S АВСD =120 см², АВ=8 см, AD>BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. ">
title="Задача Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из ее оснований на 6 см больше другого. D ВС А Н Дано: ABCD - трапеция, АВ AD, S АВСD =120 см², АВ=8 см, AD>BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. ">
АВ С М N Дано: ABC, BС=7,5 см, АC=3,2 см, АM BC, BN AC, AM=2,4 cм Найти: BN Решение: SABC =½АМ·СВ=½·2,4·7,5=9 см² S ABC =½BN·AС BN=2·S ABC:АС=2·9:3,2=5,625 см Ответ: 5,625 см. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 4 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон. 470
Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7:12. А С В Дано: ABC, С=90º, АC:ВС=7:12, S ABC =168 см² Найти: АС, BС. Решение: SABC =½АС·ВС 168=½7х·12х 168=42х² х=2 АС=14 см, ВС=24 см Ответ: 14 см и 24 см. 472
Свойства площадей 10. Равные многоугольники имеют равные площади. D В А С N АBC = NFD F
Свойства площадей 20. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. C B D А F
Свойства площадей 30. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 3 см S=9 см 2 Используя свойства площадей, найди площади фигур
Единицы измерения площадей 1 м 2 = 100 дм 2 1 дм 2 = 100 см 2
Единицы измерения площадей 1 км 2 1 га 1 а 1 м 2 1 дм 2 1 см 2 1 мм 2: 100: 100
Площадь прямоугольника b S Докажем, что S = ab a a КВАДРАТ СО СТОРОНОЙ a 2 а+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (a+b)2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2
Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 5, 5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета 30 см, а ширина – 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола? 6 м 5, 5 м 5 см 30 см
Площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольника, равны 64 см 2 и 121 см 2. Найдите площадь прямоугольника. 121 см 2 S-? 64 см 2
Стороны каждого из прямоугольников АВСD и АРМК равны 6 см и 10 см. Найти площадь фигуры, состоящей из всех точек, которые принадлежат хотя бы одному из этих прямоугольников. А 10 см Р В 6 см 10 см D K С 6 см M
АВСD прямоугольник, АС – диагональ. Найти площадь треугольника АВС. A а D АBC = ADC b SABC = B C
ABCD – прямоугольник. Найти: SABF. В СЕ = DE, С F Е A D SABCD = Q
АВ = ВС = 3, АF = 5, Найти: SABCDEF. В EF = 2. С 3 D E 3 A 2 5 F
S=102 C Точки К, М, Т и Е расположены 5 соответственно на сторонах АD, AB, BC и DC квадрата E АВСD так, что KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5. Найдите площадь четырехугольника КМТЕ. D T В 2 8 M 5 7 K 3 A
Площадь пятиугольника АBOCD равна 48 см 2. Найдите площадь и периметр квадрата АВСD. С В О A 1) 48: 3 * 4 = 64 (см 2) SАВСD 2) АВ = 8(см), PАВСD = 8 * 4 = 32(см) D
АBCD и MDKP – равные квадраты. АВ = 8 см. Найдите площадь четырехугольника АСКМ. В С 64 см 2 8 см 32 см 2 D A 32 см 2 М К 32 см 2 Р
АBCD и DСМK – квадраты. АВ = 6 см. Найдите площадь четырехугольника ОСРD. С В 6 см A О М Р D К
АBCD – прямоугольник; М, K, Р, Т – середины его сторон, АВ = 6 см, AD = 12 см. Найдите площадь четырехугольника МКРТ. В K 6 см M A C Р T 12 см D
АBCD – прямоугольник; М, K, Р, Т – середины его сторон, АВ = 16 см, ВС = 10 см. Найдите площадь шестиугольника АМКСРТ. С P 10 см K В D T M 16 см А