Тело получает ускорение если. Нормальное ускорение
При движении тел их скорости обычно меняются либо по модулю, либо по направлению, либо же одновременно как по модулю, так и по направлению.
Если бросить камень под углом к горизонту, то его скорость будет меняться и по модулю, и по направлению.
Изменение скорости тела может происходить как очень быстро (движение пули в канале ствола при выстреле из винтовки), так и сравнительно медленно (движение поезда при его отправлении). Чтобы уметь находить скорость в любой момент времени, необходимо ввести величину, характеризующую быстроту изменения скорости. Эту величину называют ускорением .
– это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
где – вектор ускорения .
Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0 (здесь 0 – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).
В момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет скорость 0 . В момент времени t2 тело имеет скорость. Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости Δ = - 0 . Тогда определить ускорение можно так:
Рис. 1.8. Среднее ускорение.
В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть
Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.
Определение
Ускорением тела называют векторную величину показывающую быстроту изменения скорости движения тела. Обозначают ускорение как $\overline{a}$.
Среднее ускорение тела
Допустим, что в моменты времени $t$ и $t+\Delta t$ скорости равны $\overline{v}(t)$ и $\overline{v}(t+\Delta t)$. Получается, что за время $\Delta t$ скорость изменяется на величину:
\[\Delta \overline{v}=\overline{v}\left(t+\Delta t\right)-\overline{v}\left(t\right)\left(1\right),\]
тогда среднее ускорение тела равно:
\[\left\langle \overline{a}\right\rangle \left(t,\ t+\Delta t\right)=\frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}\left(2\right).\]
Мгновенное ускорение тела
Устремим промежуток времени $\Delta t$ к нулю, тогда из уравнения (2) получим:
\[\overline{a}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(3\right).\ }\]
Формула (3) является определением мгновенного ускорения. Принимая во внимание, что в декартовой системе координат:
\[\overline{r}=x\left(t\right)\overline{i}+y\left(t\right)\overline{j}+z\left(t\right)\overline{k}\left(4\right),\ а\ \overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}(5)\]
получаем:
\[\overline{a}=\overline{i}\frac{d^2x}{dt^2}+\overline{j}\frac{d^2y}{dt^2}+\overline{k}\frac{d^2z}{dt^2}=\frac{d^2\overline{r}}{dt^2}\left(6\right).\]
Из выражения (6) следует, что проекции ускорения на оси координат (X,Y,Z) равны:
\[\left\{ \begin{array}{c} a_x=\frac{d^2x}{dt^2}, \\ a_y=\frac{d^2y}{dt^2} \\ a_z=\frac{d^2z}{dt^2}. \end{array} \right.(7),\]
При этом модуль ускорения найдем в соответствии с выражением:
Для выяснения вопроса о направлении ускорения движения тела Вектор скорости представим как:
\[\overline{v}=v\overline{\tau }\left(8\right),\]
где $v$ - модуль скорости тела; $\overline{\tau }$ - единичный вектор касательный к траектории движения материальной точки. Подставим выражение (8) в определение мгновенной скорости, получим:
\[\overline{a}={\frac{d\overline{v}}{dt} =\frac{d}{dt}\left(v\overline{\tau }\right)=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+v\frac{d\overline{\tau }}{dt}\left(9\right).\ }\]
Единичный касательный вектор $\overline{\tau }$ определяется точкой траектории, которая в свою очередь характеризуется расстоянием ($s$) от начальной точки. Значит вектор $\overline{\tau }$ - это функция от $s$:
\[\overline{\tau }=\overline{\tau }\left(s\right)\left(10\right).\]
Параметр $s$ - функция от времени. Получаем:
\[\frac{d\overline{\tau }}{dt}=\frac{d\overline{\tau }}{ds}\frac{ds}{dt}\left(11\right),\]
где вектор $\overline{\tau }$ по модулю не изменяется. Это означает, что вектор $\frac{d\overline{\tau }}{ds}$ перпендикулярен $\overline{\tau }$. Вектор $\overline{\tau }{\rm \ }$ является касательным к траектории, $\frac{d\overline{\tau }}{ds}$ перпендикулярен к этой касательной, то есть, направлен по нормали, которая называется главной. Единичный вектор в направлении главной нормали обозначим $\overline{n}$.
Величина $\left|\frac{d\overline{\tau }}{ds}\right|=\frac{1}{R}$, где $R$ - радиус кривизны траектории.
И так мы получили:
\[\frac{d\overline{\tau }}{ds}=\frac{\overline{n}}{R}\left(12\right).\]
Принимая во внимание, что $\frac{ds}{dt}=v$, из (9) можно записать следующее:
\[\overline{a}=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+v\frac{\overline{n}}{R}v=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+\frac{v^2}{R}\overline{n}\left(13\right).\]
Выражение (13) показывает, что полное ускорение тела состоит из двух компонент, которые взаимно перпендикулярны. Тангенциального ускорения (${\overline{a}}_{\tau }$), направленного по касательной к траектории движения и равного:
\[{\overline{a}}_{\tau }=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}(14)\]
и нормального (центростремительного) ускорения (${\overline{a}}_n$), направленного перпендикулярно касательной к траектории в точке расположения тела по главной нормали (к центру кривизны траектории) и равного:
\[{\overline{a}}_n=\frac{v^2}{R}\overline{n}\left(15\right).\]
Модуль полного ускорения равен:
Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате:
\[\left=\frac{м}{с^2}.\]
Прямолинейное движение тела
Если траекторией движения материальной точки является прямая, то вектор ускорения направлен вдоль той же прямой, что и вектор скорости. Изменяется только величина скорости.
Переменное движение называют ускоренным, если скорость материальной точки постоянно увеличивается по модулю. При этом $a>0$, векторы ускорения и скорости сонаправлены.
Если скорость по модулю убывает, то движение называют замедленным ($a
Движение материальной точки называют равнопеременным и прямолинейным, если движение происходит с постоянным ускорением ($\overline{a}=const$). При равнопеременном движении мгновенная скорость ($\overline{v}$) и ускорение материальной точки связаны выражением:
\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\ \left(3\right),\]
где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в начальный момент времени.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Движения двух материальных точек заданы следующими кинематическими уравнениями: $x_1=A+Bt-Ct^2$ и $x_2=D+Et+Ft^2,$ чему равны ускорения этих двух точек в момент времени, когда равны их скорости, если $A$, B,C,D,E.F - постоянные большие нуля.
Решение: Найдем ускорение первой материальной точки:
\[{a_1=a}_{x1}=\frac{d^2x_1}{dt^2}=\frac{d^2}{dt^2}\left(A+Bt-Ct^2\right)=-2С\ (\frac{м}{с^2}).\]
У второй материальной точки ускорение будет равно:
\[{a_2=a}_{x2}=\frac{d^2x_2}{dt^2}=\frac{d^2}{dt^2}\left(D+Et+Ft^2\right)=2F\left(\frac{м}{с^2}\right).\]
Мы получили, что точки движутся с постоянными ускорениями, которые не зависят от времени, поэтому момент времени, в который скорости равны, искать не обязательно.
Ответ: $a_1=-2С\frac{м}{с^2}$, $a_2=2F\frac{м}{с^2}$
Пример 2
Задание: Движение материальной точки задано уравнением: $\overline{r}\left(t\right)=A\left(\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin \left(\omega t\right)\ }\ }\right),$ где $A$ и $\omega $ - постоянные величины. Начертите траекторию движения точки, изобразите на ней вектор ускорения этой точки. Каков модуль центростремительного ускорения ($a_n$) точки в этом случае?
Решение: Рассмотрим уравнение движения нашей точки:
\[\overline{r}\left(t\right)=A\left(\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin \left(\omega t\right)\ }\ }\right)\ \left(2.1\right).\]
В координатной записи уравнению (2.1) соответствует система уравнений:
\[\left\{ \begin{array}{c} x\left(t\right)=A{\rm cos}\left(\omega t\right), \\ y(t)=A{\sin \left(\omega t\right)\ } \end{array} \left(2.2\right).\right.\]
Возведем в квадрат каждое уравнение системы (2.2) и сложим их:
Мы получили уравнение окружности радиуса $A$ (рис.1).
Величину центростремительного ускорения, учитывая, что радиус траектории равен А, найдем как:
Проекции скорости на оси координат равны:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=\frac{dx\left(t\right)}{dt}=-A\ \omega \ {\rm sin}\left(\omega t\right), \\ v_y=\frac{dy\left(t\right)}{dt}=A{\omega \ \cos \left(\omega t\right)\ } \end{array} \left(2.5\right).\right.\]
Величина скорости равна:
Подставим результат (2.6) в (2.4), нормальное ускорение равно:
Легко показать, что движение точки в нашем случае является равномерным движением по окружности и полное ускорение точки равно центростремительному ускорению. Для этого можно взять производную от проекций скоростей (2.5) по времени и используя выражение:
получить:
Ответ: $a_n=A{\omega }^2$
На данном уроке мы с вами рассмотрим важную характеристику неравномерного движения - ускорение. Кроме того, мы рассмотрим неравномерное движение с постоянным ускорением. Такое движение еще называется равноускоренным или равнозамедленным. Наконец, мы поговорим о том, как графически изображать зависимости скорости тела от времени при равноускоренном движении.
Домашнее задание
Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.
1. Задачи 48, 50, 52, 54 сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10.
2. Запишите зависимости скорости от времени и нарисуйте графики зависимости скорости тела от времени для случаев, изображенных на рис. 1, случаи б) и г). Отметьте на графиках точки поворота, если такие есть.
3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:
Вопрос. Является ли ускорение свободного падения ускорением, согласно данному выше определению?
Ответ. Конечно, является. Ускорение свободного падения - это ускорение тела, которое свободно падает с некоторой высоты (сопротивлением воздуха нужно пренебречь).
Вопрос. Что произойдет, если ускорение тела будет направлено перпендикулярно скорости движения тела?
Ответ. Тело будет двигаться равномерно по окружности.
Вопрос. Можно ли вычислять тангенс угла наклона, воспользовавшись транспортиром и калькулятором?
Ответ. Нет! Потому что полученное таким образом ускорение будет безразмерным, а размерность ускорения, как мы показали ранее, должно иметь размерность м/с 2 .
Вопрос. Что можно сказать о движении, если график зависимости скорости от времени не является прямой?
Ответ. Можно сказать, что ускорение этого тела меняется со временем. Такое движение не будет являться равноускоренным.
Поступательное и вращательное движения
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными
Скорость
- это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость так же
- это сумма начальной скорости и ускорения умноженного на время.
Скорость
- произведение угловой скорости на радиус окружности.
v=S/t
v=v 0 +a*t
v=ωR
Ускорение тела, при равноускоренном движении - величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов :
Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
v =ωR
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
Рис.3
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 3), при замедленном - противонаправлен ему (рис. 4).
Рис.4
Тангенциальная составляющая ускорения a τ =dv/dt , v = ωR и
Нормальная составляющая ускорения
Значит, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а τ , нормальное ускорение а n) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:
s = Rφ, v = Rω, а τ = R?, a n = ω 2 R.
В случае равнопеременного движения точки по окружности (ω=const)
ω = ω 0 ± ?t, φ = ω 0 t ± ?t 2 /2,
где ω 0 - начальная угловая скорость.
И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.
Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.
Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.
Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.