Десяткові дроби, визначення, запис, приклади, дії з десятковими дробами. Десяткові дроби: визначення, запис, приклади, дії з десятковими дробами Нескінченні десяткові дроби
Щоб раціональне число m/n записати як десяткового дробу, потрібно чисельник розділити на знаменник. При цьому приватне записується кінцевим або нескінченним десятковим дробом.
Записати це число у вигляді десяткового дробу.
Рішення. Розділимо в стовпчик чисельник кожного дробу на його знаменник: а)ділимо 6 на 25; б)ділимо 2 на 3; в)ділимо 1 на 2, а потім дроб, що вийшов, припишемо до одиниці — цілої частини даного змішаного числа.
Нескоротні звичайні дроби, знаменники яких містять інших простих дільників, крім 2 і 5 , записуються кінцевим десятковим дробом.
У приклад 1в разі а)знаменник 25 = 5 · 5; в разі в)знаменник дорівнює 2, тому ми отримали кінцеві десяткові дроби 0,24 і 1,5 . В разі б)знаменник дорівнює 3, тому результат не можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу.
А чи можна без поділу в стовпчик звернути в десятковий дріб такий звичайний дріб, знаменник якого не містить інших дільників, крім 2 і 5? Розберемося! Який дріб називають десятковим і записують без дробової межі? Відповідь: дріб із знаменником 10; 100; 1000 і т.д. А кожне з цих чисел – це твір рівногокількості «двійок» та «п'ятірок». Насправді: 10 = 2 · 5; 100 = 2 · 5 · 2 · 5; 1000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 і т.д.
Отже, знаменник нескоротного звичайного дробу потрібно буде подати у вигляді твору «двійок» і «п'ятірок», а потім домножити на 2 та (або) на 5 так, щоб «двійок» і «п'ятірок» стало порівну. Тоді знаменник дробу дорівнюватиме 10 або 100 або 1000 і т.д. Щоб значення дробу не змінилося — чисельник дробу помножимо на те число, на яке помножили знаменник.
Подати у вигляді десяткового дробу такі звичайні дроби:
Рішення. Кожен із цих дробів є нескоротним. Розкладемо знаменник кожного дробу на прості множники.
20 = 2 · 2 · 5. Висновок: не вистачає однієї "п'ятірки".
8 = 2 · 2 · 2. Висновок: бракує трьох «п'ятірок».
25 = 5 · 5. Висновок: не вистачає двох «двійок».
Зауваження.Насправді частіше використовують розкладання знаменника на множники, а просто запитують: скільки потрібно помножити знаменник, щоб у результаті вийшла одиниця з нулями (10 чи 100 чи 1000 тощо.). А потім на це число множать і чисельник.
Так, у випадку а)(Приклад 2) з числа 20 можна отримати 100 множенням на 5, тому на 5 потрібно помножити чисельник і знаменник.
В разі б)(Приклад 2) з числа 8 число 100 не вийде, але вийде число 1000 множенням на 125. На 125 множиться і чисельник (3) і знаменник (8) дробу.
В разі в)(Приклад 2) з 25 вийде 100, якщо помножити на 4. Значить, і чисельник 8 потрібно помножити на 4.
Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичноїдесятковим дробом. Сукупність цифр, що повторюються, називається періодом цього дробу. Для стислості період дробу записують один раз, укладаючи його в круглі дужки.
В разі б)(Приклад 1) цифра, що повторюється одна і дорівнює 6. Тому, наш результат 0,66 ... запишеться так: 0, (6) . Читають: нуль цілих, шість у періоді.
Якщо між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, то такий періодичний дріб називається змішаним періодичним дробом.
Нескоротний звичайний дріб, знаменник якого разом з іншимимножниками містить множник 2 або 5 звертається в змішануперіодичний дріб.
Записати у вигляді десяткового дробу числа.
З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких у знаменнику коштує 10, 100, 1000 - загалом, будь-який ступінь десятки. У цих дробів є спеціальна назва та форма запису.
Десятковий дріб - це будь-який числовий дріб, у знаменнику якого стоїть ступінь десятки.
Приклади десяткових дробів:
Навіщо взагалі потрібно виділяти такі дроби? Чому їм потрібна власна форма записи? На це є як мінімум три причини:
- Десяткові дроби набагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробів їх потрібно відняти один від одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
- Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться за власними правилами, і після невеликого тренування ви працюватимете з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
- Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без наочності.
Більшість калькуляторів також дають відповіді саме у десяткових дробах. Інший формат запису може призвести до проблем. Наприклад, якщо вимагати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля:)
Правила запису десяткових дробів
Основна перевага десяткових дробів - зручний та наочний запис. А саме:
Десятковий запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частина відокремлюється від дробової за допомогою звичайної точки або коми. При цьому сам роздільник (точка або кома) називається десятковою точкою.
Наприклад, 0,3 (читається: "нуль цілих, 3 десятих"); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Усі приклади взято з попереднього визначення.
На листі як десяткова точка зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.
Щоб записати довільний десятковий дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:
- Виписати окремо чисельник;
- Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від усіх цифр;
- Якщо десяткова точка зрушила, а після неї наприкінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.
Буває, що на другому кроці чисельник не вистачає цифр для завершення зсуву. У цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, ліворуч від будь-якого числа можна без шкоди здоров'ю приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.
На перший погляд, цей алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто – треба лише трохи потренуватися. Погляньте на приклади:
Завдання. Для кожного дробу вкажіть його десятковий запис:
Чисельник першого дробу: 73. Зсуваємо десяткову точку на один знак (бо в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.
Чисельник другого дробу: 9. Зсуваємо десяткову точку на два знаки (бо в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткової точки і ще один перед нею, щоб не залишати дивний запис виду «,09».
Чисельник третього дробу: 10029. Зсуваємо десяткову точку на три знаки (бо в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.
Чисельник останнього дробу: 10500. Знову зрушуємо крапку на три знаки – отримаємо 10,500. Наприкінці числа утворилися зайві нулі. Закреслюємо їх – отримуємо 10,5.
Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 та 10,5. Згідно з правилами, нулі праворуч треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак у жодному разі не можна чинити так з нулями, що стоять усередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 та 10,5, а не 1,29 та 1,5.
Отже, з визначенням та формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби до десяткових - і навпаки.
Перехід від звичайних дробів до десяткових
Розглянемо простий числовий дріб виду a/b. Можна скористатися основною властивістю дробу та помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб унизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте таке:
Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчитеся розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.
Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?
Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні лише множники 2 та 5, це число можна призвести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 – будь-що), про ступінь десятки можна забути.
Завдання. Перевірити, чи можна подати зазначені дроби у вигляді десяткових:
Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна подати у вигляді десяткового.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дроб не представима у вигляді десяткового.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядку: крім чисел 2 і 5 нічого немає. Дроб представна у вигляді десяткового.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.
Отже, зі знаменником розібралися – тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десяткових дробів:
- Розкласти знаменник вихідного дробу на множники і переконатися, що він взагалі уявний у вигляді десяткового. Тобто. перевірити, щоб у розкладанні були присутні лише множники 2 та 5. Інакше алгоритм не працює;
- Порахувати, скільки двійок і п'ятірок є у розкладанні (інших чисел там уже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок та п'ятірок зрівнялася.
- Власне, помножити чисельник і знаменник вихідного дробу цей множник - отримаємо шукане уявлення, тобто. у знаменнику стоятиме ступінь десятки.
Зрозуміло, додатковий множник теж розкладатиметься тільки на двійки та п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник із усіх можливих.
І ще: якщо у вихідному дробі є ціла частина, обов'язково переведіть цей дріб у неправильний - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.
Завдання. Перевести ці числові дроби в десяткові:
Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Отже, дріб представний у вигляді десяткового. У розкладанні є дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 = 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. Маємо:
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/docs/fraction/decimal/formula5.png)
Тепер розберемося з другим дробом. Для цього зауважимо, що 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - у розкладанні присутня трійка, тому дріб не уявний у вигляді десяткового.
Два останні дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 відповідно - скрізь присутні лише двійки та п'ятірки. При цьому в першому випадку "для повного щастя" не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:
Перехід від десяткових дробів до звичайних
Зворотне перетворення – від десяткової форми запису до звичайної – виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десятковий дріб у класичний «двоповерховий» можна завжди.
Алгоритм перекладу наступний:
- Закресліть всі нулі, що стоять у десятковому дробі зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканого дробу. Головне - не перестарайтеся та не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
- Підрахуйте, скільки знаків коштує у вихідному десятковому дробі після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть праворуч стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
- Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми щойно знайшли. По можливості скоротите. Якщо у вихідному дробі була ціла частина, зараз ми отримаємо неправильний дріб, що дуже зручно для подальших обчислень.
Завдання. Перевести десяткові дроби у звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо такі числа (це будуть чисельники): 8; 3107; 225; 72008.
У першому і в другому дробах після коми стоїть по 3 знаки, у другій - 2, а в третій - цілих 4 знаки. Отримаємо знаменники: 1000; 1000; 100; 10 000.
Нарешті, об'єднаємо чисельники та знаменники у звичайні дроби:
![](https://i0.wp.com/berdov.com/img/docs/fraction/decimal/formula7.png)
Як видно з прикладів, отриманий дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-який десятковий дріб представний у вигляді звичайного. Зворотне перетворення можна здійснити не завжди.
Є інше уявлення оптимального числа 1/2, відмінне від уявлень виду 2/4, 3/6, 4/8 і т. д. Ми маємо на увазі уявлення у вигляді десяткового дробу 0,5. Одні дроби мають кінцеві десяткові уявлення, наприклад,
тоді як десяткові уявлення інших дробів нескінченні:
Ці нескінченні десяткові дроби можна отримати з відповідних раціональних дробів, ділячи чисельник на знаменник. Наприклад, у випадку дробу 5/11, ділячи 5,000... на 11, отримуємо 0,454545...
Які раціональні дроби мають кінцеві десяткові уявлення? Перш ніж відповісти на це питання у загальному випадку, розглянемо конкретний приклад. Візьмемо, скажімо, кінцевий десятковий дріб 0,8625. Ми знаємо, що
і що будь-який кінцевий десятковий дріб може бути записаний у вигляді раціонального десяткового дробу зі знаменником, рівним 10, 100, 1000 або будь-якого іншого ступеня 10.
Приводячи дріб праворуч до нескоротного дробу, отримуємо
Знаменник 80 отриманий розподілом 10 000 на 125 - найбільший загальний дільник 10 000 і 8625. Тому в розкладання на прості множники числа 80, як і числа 10 000, входять тільки два простих множники: 2 і 5. Якби ми починали не з 0 8625, а з будь-якого іншого кінцевого десяткового дробу, то вийшла нескоротний раціональний дріб теж мала б цю властивість. Інакше кажучи, в розкладання знаменника b на прості множники могли б входити лише прості числа 2 і 5, оскільки є дільник деякою мірою 10, а . Ця обставина виявляється визначальною, а саме має місце таке загальне твердження:
Нескоротний раціональний дріб має кінцеве десяткове уявлення і тоді, коли число b немає простих дільників, особистих від 2 і п'яти.
Зазначимо, що при цьому b не повинно мати серед своїх простих дільників обидва числа 2 і 5: воно може ділитися лише на одне або не ділитися на них зовсім. Наприклад,
тут b відповідно дорівнює 25, 16 та 1. Істотною є відсутність у b інших дільників, відмінних від 2 та 5.
Сформульована вище пропозиція містить вираз і тоді. Досі ми довели лише ту частину, яка стосується обороту тільки тоді. Саме ми показали, що розкладання раціонального числа в десятковий дріб буде кінцевим лише в тому випадку, коли b не має простих дільників, відмінних від 2 та 5.
(Іншими словами, якщо b ділиться на просте число, відмінне від 2 і 5, то нескоротний дріб не має кінцевого десяткового виразу.)
Та частина пропозиції, яка відноситься до слова тоді, стверджує, що якщо ціле число b не має f інших простих дільників, крім 2 і 5, то нескоротний раціональний дріб може бути представлений кінцевим десятковим дробом. Щоб це довести, ми повинні взяти довільний нескоротний раціональний дріб, у якого b не має інших простих дільників, крім 2 і 5, і переконатися в тому, що відповідний їй десятковий дріб кінцевий. Розглянемо спочатку приклад. Нехай
Для отримання десяткового розкладання перетворимо цей дріб у дріб, знаменник якого є цілим ступенем десяти. Цього можна досягти, помноживши чисельник і знаменник на:
Наведене міркування можна поширити на загальний випадок в такий спосіб. Припустимо, що b має вигляд , де тип - невід'ємні цілі числа (тобто позитивні числа або нуль). Можливі два випадки: або менше або одно (ця умова записується), або більше (що записується). При помножимо чисельник і знаменник дробу на
Оскільки ціле число не негативно (тобто позитивно або дорівнює нулю), то, отже, і а - ціле позитивне число. Покладемо. Тоді
Ця стаття про десяткові дроби. Тут ми розберемося з десятковим записом дробових чисел, введемо поняття десяткового дробу та наведемо приклади десяткових дробів. Далі поговоримо про розряди десяткових дробів, дамо назви розрядів. Після цього зупинимося на нескінченних десяткових дробах, скажімо про періодичні та неперіодичні дроби. Далі перерахуємо основні дії з десятковими дробами. На закінчення встановимо положення десяткових дробів на координатному промені.
Навігація на сторінці.
Десятковий запис дробового числа
Читання десяткових дробів
Скажемо кілька слів про правила читання десяткових дробів.
Десяткові дроби, яким відповідають правильні звичайні дроби, читаються також як і ці звичайні дроби, тільки попередньо додається «нуль цілих». Наприклад, десяткового дробу 0,12 відповідає звичайний дріб 12/100 (читається «дванадцять сотих»), тому, 0,12 читається як «нуль цілих дванадцять сотих».
Десяткові дроби, яким відповідають змішані числа, читаються також як ці змішані числа. Наприклад, десяткового дробу 56,002 відповідає змішане число , тому, десятковий дріб 56,002 читається як «п'ятдесят шість цілих дві тисячні».
Розряди у десяткових дробах
У записі десяткових дробів, як і і записи натуральних чисел, значення кожної цифри залежить від її позиції. Дійсно, цифра 3 у десятковому дробі 0,3 означає три десятих, у десятковому дробі 0,0003 – три десяти тисячних, а у десятковому дробі 30 000,152 – три десятки тисяч. Таким чином, ми можемо говорити про розрядах у десяткових дробахтак само як і про розряди в натуральних числах.
Назви розрядів у десятковому дробі до десяткової коми повністю збігаються з назвами розрядів у натуральних числах. А назви розрядів у десятковому дробі після коми видно з наступної таблиці.
Наприклад, у десятковому дробі 37,051 цифра 3 перебуває у розряді десятків, 7 – у розряді одиниць, 0 стоїть у розряді десятих, 5 – у розряді сотих, 1 – у розряді тисячних.
Розряди в десятковій дробі також різняться за старшинством. Якщо в записі десяткового дробу рухатися від цифри до цифри зліва направо, ми будемо переміщатися від старшихдо молодшим розрядам. Наприклад, розряд сотень старший за розряд десятих, а розряд мільйонних молодший за розряд сотих. У даному кінцевому десятковому дробі можна говорити про старший і молодший розряд. Наприклад, у десятковому дробі 604,9387 старшим (вищим)розрядом є розряд сотень, а молодшим (нижчим)- Розряд десятитисячних.
Для десяткових дробів має місце розкладання за розрядами. Воно аналогічне розкладу за розрядами натуральних чисел. Наприклад, розкладання по розрядах десяткового дробу 45,6072 таке: 45,6072 = 40 +5 +0,6 +0,007 +0,0002. А властивості додавання від розкладання десяткового дробу за розрядами дозволяють перейти до інших уявлень цього десяткового дробу, наприклад, 45,6072=45+0,6072 , або 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , або 45,6072= 45,0072+0,6.
Кінцеві десяткові дроби
До цього моменту ми говорили лише про десяткові дроби, в записі яких після десяткової коми знаходиться кінцева кількість цифр. Такі дроби називають кінцевими десятковими дробами.
Визначення.
Кінцеві десяткові дроби– це десяткові дроби, записах яких міститься кінцеве число символів (цифр).
Наведемо кілька прикладів кінцевих десяткових дробів: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230032,45.
Однак не будь-який звичайний дріб може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу. Наприклад, дріб 5/13 не може бути замінена рівним їй дробом з одним із знаменників 10, 100, … , отже, не може бути переведена в кінцевий десятковий дріб. Докладніше про це ми поговоримо в розділі теорії переведення звичайних дробів у десяткові дроби.
Нескінченні десяткові дроби: періодичні дроби та неперіодичні дроби
У записі десяткового дробу після коми можна припустити можливість наявності нескінченної кількості цифр. І тут ми прийдемо до розгляду про нескінченних десяткових дробів.
Визначення.
Нескінченні десяткові дроби- Це десяткові дроби, в записі яких знаходиться безліч цифр.
Зрозуміло, що нескінченні десяткові дроби ми не можемо записати в повному вигляді, тому в їх записі обмежуються лише деяким кінцевим числом цифр після коми і ставлять крапку, що вказує на послідовність цифр, що нескінченно триває. Наведемо кілька прикладів нескінченних десяткових дробів: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .
Якщо уважно подивитися на два останні нескінченні десяткові дроби, то дроби 2,111111111… добре видно нескінченно повторювана цифра 1 , а дроби 69,74152152152… , починаючи з третього знака після коми, чітко видно повторювана група цифр 1. Такі нескінченні десяткові дроби називають періодичними.
Визначення.
Періодичні десяткові дроби(або просто періодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, у запису яких, починаючи з деякого знака після коми, нескінченно повторюється якась цифра або група цифр, яку називають періодом дробу.
Наприклад, періодом періодичного дробу 2,111111111 є цифра 1 , а періодом дробу 69,74152152152 є група цифр виду 152 .
Для нескінченних періодичних десяткових дробів прийнято особливу форму запису. Для стислості умовилися період записувати один раз, укладаючи його в круглі дужки. Наприклад, періодичний дріб 2,111111111... записується як 2,(1) , а періодичний дріб 69,74152152152... записується як 69,74(152) .
Варто зазначити, що для одного і того ж періодичного десяткового дробу можна вказати різні періоди. Наприклад, періодичний десятковий дріб 0,73333 можна розглядати як дріб 0,7(3) з періодом 3 , а також як дріб 0,7(33) з періодом 33 , і так далі 0,7(333), 0,7 (3333), ... Також на періодичний дріб 0,73333 ... можна подивитися і так: 0,733 (3), або так 0,73 (333) і т.п. Тут, щоб уникнути багатозначності і різночитань, умовимося розглядати як період десяткового дробу найкоротший з усіх можливих послідовностей цифр, що повторюються, і починається з найближчої позиції до десяткової коми. Тобто, періодом десяткового дробу 0,73333 ... вважатимемо послідовність з однієї цифри 3 і періодичність починається з другої позиції після коми, тобто, 0,73333 ... = 0,7 (3) . Ще приклад: періодичний дріб 4,7412121212 ... має період 12, періодичність починається з третьої цифри після коми, тобто, 4,7412121212 ... = 4,74 (12).
Нескінченні десяткові періодичні дроби виходять під час переведення в десяткові дроби звичайних дробів, знаменники яких містять прості множники, відмінні від 2 і 5 .
Тут варто сказати про періодичні дроби з періодом 9 . Наведемо приклади таких дробів: 6,43(9), 27,(9). Ці дроби є іншим записом періодичних дробів з періодом 0 і їх прийнято замінювати періодичними дробами з періодом 0 . Для цього період 9 замінюють періодом 0 а значення наступного за старшинством розряду збільшують на одиницю. Наприклад, дріб з періодом 9 виду 7,24(9) замінюється періодичним дробом з періодом 0 виду 7,25(0) або рівним їй кінцевим десятковим дробом 7,25 . Ще приклад: 4, (9) = 5, (0) = 5 . Рівність дробу з періодом 9 і відповідного їй дробу з періодом 0 легко встановлюється після заміни цих десяткових дробів рівними їм звичайними дробами.
Нарешті, уважніше розглянемо нескінченні десяткові дроби, у запису яких відсутня послідовність цифр, що нескінченно повторюється. Їх називають неперіодичними.
Визначення.
Неперіодичні десяткові дроби(або просто неперіодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, які мають періоду.
Іноді неперіодичні дроби мають вигляд, схожий на вид періодичних дробів, наприклад, 8,02002000200002… - неперіодична дріб. У таких випадках слід бути особливо уважними, щоб помітити різницю.
Зазначимо, що неперіодичні дроби не перетворюються на звичайні дроби, нескінченні неперіодичні десяткові дроби становлять ірраціональні числа.
Дії з десятковими дробами
Однією з дій з десятковими дробами є порівняння, також визначено чотири основні арифметичні дії з десятковими дробами: додавання, віднімання, множення та поділ. Розглянемо окремо кожну з дій із десятковими дробами.
Порівняння десяткових дробівпо суті базується на порівнянні звичайних дробів, що відповідають порівнюваним десятковим дробам. Однак переведення десяткових дробів у звичайні є досить трудомісткою дією, та й нескінченні неперіодичні дроби не можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, тому зручно використовувати порозрядне порівняння десяткових дробів. Порозрядне порівняння десяткових дробів аналогічне порівнянню натуральних чисел. Для більш детальної інформації рекомендуємо вивчити матеріал статті порівняння десяткових дробів, правила, приклади, рішення .
Переходимо до наступної дії - множення десяткових дробів. Множення кінцевих десяткових дробів проводиться аналогічно віднімання десяткових дробів, правила, приклади, розв'язання множення стовпчиком натуральних чисел. У разі періодичних дробів множення можна звести до множення звичайних дробів. У свою чергу, множення нескінченних неперіодичних десяткових дробів після їх округлення зводиться до множення кінцевих десяткових дробів. Рекомендуємо до подальшого вивчення статті множення десяткових дробів, правила, приклади, рішення .
Десяткові дроби на координатному промені
Між точками та десятковими дробами існує взаємно однозначна відповідність.
Розберемося, як будуються точки на координатному промені, що відповідають даному десятковому дробу.
Кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні десяткові дроби ми можемо замінити рівними ним звичайними дробами, після чого побудувати відповідні звичайні дроби на координатному промені . Наприклад, десяткового дробу 1,4 відповідає звичайний дріб 14/10 тому точка з координатою 1,4 віддалена від початку відліку в позитивному напрямку на 14 відрізків, рівних десятій частині одиничного відрізка.
![](https://i2.wp.com/cleverstudents.ru/numbers/images/decimal_fractions/pict001.png)
Десяткові дроби можна відзначати на координатному промені, відштовхуючись від розкладання цього десяткового дробу за розрядами. Наприклад, нехай нам потрібно побудувати точку з координатою 16,3007 , так як 16,3007=16+0,3+0,0007 , то дану точку можна потрапити, послідовно відкладаючи від початку координат 16 одиничних відрізків, 3 відрізка, довжина яких дорівнює десятій частці одиничного, і 7 відрізків, довжина якого дорівнює десятитисячній частці одиничного відрізка.
Такий спосіб побудови десяткових чисел на координатному промені дозволяє як завгодно близько наблизитися до точки, що відповідає нескінченному десятковому дробу.
Іноді можна точно побудувати точку, що відповідає нескінченному десятковому дробу. Наприклад, , Тоді цього нескінченного десяткового дробу 1,41421 ... відповідає точка координатного променя, віддалена від початку координат на довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 одиничний відрізок.
Зворотний процес отримання десяткового дробу, що відповідає даній точці на координатному промені, є так званим десятковий вимір відрізка. Розберемося, як воно проводиться.
Нехай наше завдання полягає в тому, щоб потрапити з початку відліку до цієї точки координатної прямої (або нескінченно наблизитися до неї, якщо потрапити в неї не виходить). При десятковому вимірі відрізка ми можемо послідовно відкладати від початку відліку будь-яку кількість одиничних відрізків, далі відрізків, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, потім відрізків, довжина яких дорівнює сотій частині одиничного, і т.д. Записуючи кількість відкладених відрізків кожної довжини, ми отримаємо десятковий дріб, що відповідає даній точці на координатному промені.
Наприклад, щоб потрапити в точку М на наведеному вище малюнку, потрібно відкласти 1 одиничний відрізок і 4 відрізки, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного. Таким чином, точці М відповідає десятковий дріб 1,4 .
Зрозуміло, що точкам координатного променя, які неможливо потрапити у процесі десяткового виміру, відповідають нескінченні десяткові дроби.
Список літератури.
- Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
Кінцеві десяткові дроби |
Множення та розподіл десяткових дробів на 10, 100, 1000, 10000 і т.д. |
Звернення кінцевого десяткового дробу в простий дріб |
Десяткові дроби поділяються на три наступні класи: кінцеві десяткові дроби, нескінченні періодичні десяткові дроби та нескінченні неперіодичні десяткові дроби.
Кінцеві десяткові дроби
Визначення. Кінцевим десятковим дробом (десятковим дробом)називають дріб або змішане число, що має знаменник 10, 100, 1000, 10000 і т.д.
Наприклад,
До десяткових дробів відносять також такі дроби, які можна призвести до дробів, що мають знаменник 10 , 100 , 1000 , 10000 і т.д., за допомогою основної властивості дробів .
Наприклад,
Твердження. Нескоротний простий дріб або нескоротне змішане неціле число є кінцевим десятковим дробом тоді і тільки тоді, коли розкладання їх знаменників на прості множники містить як множники лише числа 2 і 5, причому в довільних ступенях.
Для десяткових дробів існує спеціальний спосіб запису , використовуючи кому. Зліва від коми записується ціла частина дробу, а праворуч - чисельник дробової частини, перед яким дописується така кількість нулів, щоб число цифр після коми дорівнювало числу нулів у знаменнику десяткового дробу.
Наприклад,
Зауважимо, що десятковий дріб не зміниться, якщо приписати кілька нулів праворуч або ліворуч від нього.
Наприклад,
3,14 = 3,140 =
=
3,1400 = 003,14 .
Цифри, що стоять перед комою (ліворуч від коми) в десяткового запису кінцевого десяткового дробу, утворюють число, яке називають цілою частиною десяткового дробу.
Цифри, що стоять після коми (праворуч від коми) у десятковому записі кінцевого десяткового дробу, називають десятковими знаками.
У кінцевому десятковому дробі кінцеве число десяткових знаків. Десяткові знаки формують дробову частину десяткового дробу.
Множення та розподіл десяткових дробів на 10, 100, 1000 і т.д.
Для того щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000, 10000 і т.д., достатньо перенести кому вправона 1, 2, 3, 4 тощо. десяткових знаків відповідно.