Ln основа. Логарифм
Перш ніж познайомиться з поняттям натурального логарифму, розглянемо поняття постійного числа $е$.
Число $e$
Визначення 1
Число $e$– це математичне постійне, яке є трансцендентним числом і дорівнює $e \approx 2,718281828459045\ldots$.
Визначення 2
трансцендентнимназивається число, яке є коренем полінома з цілими коефіцієнтами.
Зауваження 1
Останньою формулою описується друга чудова межа.
Число е також зветься числа Ейлера, а іноді й числа Непера.
Примітка 2
Щоб запам'ятати перші знаки числа $е$ часто користуються таким виразом: "$2$, $7$, двічі Лев Толстой". Звичайно ж, для того, щоб можна було його використати, необхідно пам'ятати, що Лев Толстой народився в $1828$ р. Саме ці числа двічі повторюються у значенні числа $е$ після цілої частини $2$ та десяткової $7$.
Розгляд поняття числа $е$ при вивченні натурального логарифму ми розпочали саме тому, що воно стоїть на основі логарифму $\log_(e)a$, який прийнято називати натуральнимі записувати як $\ln a$.
Натуральний логарифм
Часто при розрахунках використовують логарифми, на основі яких стоїть число $е$.
Визначення 4
Логарифм із основою $е$ називають натуральним.
Тобто. натуральний логарифм можна позначити як $\log_(e)a$, але в математиці прийнято використовувати позначення $ln a$.
Властивості натурального логарифму
Т.к. логарифм з будь-якої основи від одиниці дорівнює $0$, то і натуральний логарифм одиниці дорівнює $0$:
Натуральний логарифм від $е$ дорівнює одиниці:
Натуральний логарифм добутку двох чисел дорівнює сумі натуральних логарифмів від цих чисел:
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
Натуральний логарифм окремого двох чисел дорівнює різниці натуральних логарифмів цих чисел:
$\ln\frac(a)(b)=\ln a-\ln b$.
Натуральний логарифм ступеня числа може бути представлений у вигляді добутку показника ступеня на натуральний логарифм підлогарифмічного числа:
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
Приклад 1
Спростити вираз $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$.
Рішення.
Застосуємо до першого логарифму в чисельнику та в знаменнику властивість логарифму твору, а до другого логарифму чисельника та знаменника – властивість логарифму ступеня:
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln 5+\ln e-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
відкриємо дужки та наведемо подібні доданки, а також застосуємо властивість $\ln e=1$:
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln 5+1-\ln 5) = 2 $.
Відповідь: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
Приклад 2
Знайти значення виразу $\ln 2e^2+ln \frac(1)(2e)$.
Рішення.
Застосуємо формулу суми логарифмів:
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
Відповідь: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
Приклад 3
Обчислити значення логарифмічного виразу $2 \lg 0,1+3 \ln e^5$.
Рішення.
Застосуємо властивість логарифму ступеня:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15 = 13 $.
Відповідь: $2 \lg 0,1+3 \ln e^5=13$.
Приклад 4
Спростити логарифмічний вираз $\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
застосуємо до першого логарифму властивість приватного логарифму:
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
відкриємо дужки і наведемо такі складові:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Відповідь: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6$.
Урок та презентація на теми: "Натуральні логарифми. Заснування натурального логарифму. Логарифм натурального числа"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"
Що таке натуральний логарифм
Хлопці, на минулому уроці ми з вами довідалися про нове, особливе число – е. Сьогодні ми продовжимо працювати з цим числом.Ми з вами вивчили логарифми і знаємо, що в основі логарифму може стояти безліч чисел, які більше 0. Сьогодні ми також розглянемо логарифм, в основі якого стоїть число е. Такий логарифм називається натуральним логарифмом. Він має власний запис: $\ln(n)$ - натуральний логарифм. Такий запис еквівалентний запису: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Показові та логарифмічні функції є зворотними, тоді натуральний логарифм є зворотною для функції $y=e^x$.
Зворотні функції є симетричними щодо прямої $ y = x $.
Давайте побудуємо графік натурального логарифму, відобразивши експоненційну функцію щодо прямої $y=x$.
Варто помітити кут нахилу щодо графіку функції $y=e^x$ у точці (0;1) дорівнює 45°. Тоді кут нахилу дотичної до графіка натурального логарифму в точці (1;0) також дорівнюватиме 45°. Обидві ці дотичні будуть паралельні прямій $y=x$. Давайте схематично зобразимо дотичні:
Властивості функції $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Не є ні парною, ні непарною.
3. Зростає по всій області визначення.
4. Не обмежена згори, не обмежена знизу.
5. Найбільше значення немає, найменшого значення немає.
6. Безперервна.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Випукла вгору.
9. Диференційована всюди.
У курсі вищої математики доведено, що похідна зворотної функції є величина, обернена до похідної цієї функції.
Заглиблюватися в доказ не має великого сенсу, просто запишемо формулу: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
приклад.
Обчислити значення похідної функції: $y=\ln(2x-7)$ у точці $х=4$.
Рішення.
У загальному вигляді наша функція є функцією $y=f(kx+m)$, похідні таких функцій ми вміємо обчислювати.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Обчислимо значення похідної у потрібній точці: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Відповідь: 2.
приклад.
Провести дотичну до графіку функції $y=ln(x)$ у точці $х=е$.
Рішення.
Рівняння щодо графіку функції, у точці $х=а$, добре пам'ятаємо.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Послідовно обчислимо необхідні значення.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$ y = 1 + frac (1) (e) (x-e) = 1 + frac (x) (e) - frac (e) (e) = frac (x) (e) $.
Рівняння дотичної у точці $х=е$ є функцією $y=\frac(x)(e)$.
Давайте побудуємо графік натурального логарифму та дотичної.
приклад.
Дослідити функцію на монотонність та екстремуми: $y=x^6-6*ln(x)$.
Рішення.
Область визначення функції $D(y)=(0;+∞)$.
Знайдемо похідну заданої функції:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Похідна існує при всіх х з області визначення, тоді критичних точок немає. Знайдемо стаціонарні точки:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
$ 6 * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$x^6=1$.
$ x = ± 1 $.
Крапка $х=-1$ не належить області визначення. Тоді маємо одну стаціонарну точку $х=1$. Знайдемо проміжки зростання та спадання:
Точка $х=1$ – точка мінімуму, тоді $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Відповідь: Функція зменшується на відрізку (0;1], функція зростає на промені $
Перед нами не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм - це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь — на зображенні воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому занятті — і ніякої плутанини не виникає.
З визначенням розібралися – залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку відзначимо, що з визначення випливає два важливі факти:
- Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.
- Основа повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!
Такі обмеження називаються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1.
Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вислови, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.
Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:
- Уявити основу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, більшою за одиницю. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
- Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
- Отримане число b буде відповіддю.
От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо одразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.
Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:
Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25
- Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
- Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Отримали відповідь: 2.
Завдання. Обчисліть логарифм:
[Підпис до малюнка]
Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64
- Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
- Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Отримали відповідь: 3.
Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1
- Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
- Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Отримали відповідь: 0.
Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14
- Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
- З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
- Відповідь без змін: log 7 14.
Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. І якщо такі множники не можна зібрати у ступеня з однаковими показниками, то й вихідне число не є точним ступенем.
Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - Точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;
Зауважимо також, що найпростіші числа завжди є точними ступенями самих себе.
Десятковий логарифм
Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.
Десятковий логарифм від аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, у яку треба звести число 10, щоб одержати число x . Позначення: lg x.
Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.
Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x
Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.
Натуральний логарифм
Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.
Натуральний логарифм від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, в яку треба звести число e щоб отримати число x . Позначення: ln x.
Багато хто запитає: що за число e ? Це ірраціональне число, його точне значення знайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459...
Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x
Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 - Ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, очевидно, одиниці: ln 1 = 0.
Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які є правильними для звичайних логарифмів.
Натуральний логарифм
Графік функції натурального логарифму. Функція повільно наближається до позитивної нескінченності зі збільшенням xі швидко наближається до негативної нескінченності, коли xпрагне до 0 («повільно» і «швидко» порівняно з будь-якою статечною функцією від x).
Натуральний логарифм- це логарифм на основі , де e- ірраціональна константа, що дорівнює приблизно 2,718281 828 . Натуральний логарифм зазвичай позначають як ln( x), log e (x) або іноді просто log( x), якщо підстава eмається на увазі.
Натуральний логарифм числа x(записується як ln(x)) - це показник ступеня, в який потрібно звести число e, Щоб отримати x. Наприклад, ln(7,389...)дорівнює 2, тому що e 2 =7,389... . Натуральний логарифм самого числа e (ln(e)) дорівнює 1, тому що e 1 = e, а натуральний логарифм 1 ( ln(1)) дорівнює 0, оскільки e 0 = 1.
Натуральний логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного речового числа aяк площа під кривою y = 1/xвід 1 до a. Простота цього визначення, що узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується натуральний логарифм, призвела до появи назви натуральний. Це визначення можна розширити на комплексні числа, про що буде сказано нижче.
Якщо розглядати натуральний логарифм як речову функцію дійсної змінної, то вона є зворотною функцією до експоненційної функції, що призводить до тотожностей:
Подібно до всіх логарифмів, натуральний логарифм відображає множення до складу:
Таким чином, логарифмічна функція є ізоморфізмом групи позитивних дійсних чисел щодо множення на групу дійсних чисел за додаванням, який можна представити у вигляді функції :
Логарифм може бути визначений для будь-якої позитивної основи, відмінної від 1, а не тільки для e, але логарифми інших підстав відрізняються від натурального логарифму лише постійним множником, і, зазвичай, визначаються термінах натурального логарифму. Логарифми корисні для вирішення рівнянь, в яких невідомі присутні як показник ступеня. Наприклад, логарифми використовуються для знаходження постійного розпаду для відомого періоду напіврозпаду, або для знаходження часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони відіграють важливу роль у багатьох галузях математики та прикладних наук, застосовуються у сфері фінансів для вирішення багатьох завдань, включаючи знаходження складних відсотків.
Історія
Першу згадку натурального логарифму зробив Ніколас Меркатор у роботі Logarithmotechnia, Опублікованій в 1668 році, хоча вчитель математики Джон Спайделл ще в 1619 році склав таблицю натуральних логарифмів. Раніше його називали гіперболічним логарифмом, оскільки він відповідає площі під гіперболою. Іноді його називають логарифмом Непера, хоча первісний зміст цього терміна був дещо інший.
Конвенції про позначення
Натуральний логарифм прийнято позначати через «ln( x)», логарифм на підставі 10 - через «lg( x)», а інші підстави прийнято вказувати явно за символом «log».
Багато роботах з дискретної математики, кібернетиці, інформатиці автори використовують позначення «log( x)» для логарифмів на підставі 2, але ця угода не є загальноприйнятою і вимагає роз'яснення або у списку використаних позначень, або (за відсутності такого списку) виноскою або коментарем під час першого використання.
Дужки навколо аргументу логарифмів (якщо це не призводить до помилкового читання формули) зазвичай опускають, а при зведенні логарифму до ступеня показник приписують безпосередньо до знаку логарифму: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .
Англо-американська система
Математики, статистики і частина інженерів зазвичай застосовують позначення натурального логарифму чи «log( x)», або «ln( x)» , а для позначення логарифму на підставі 10 - «log 10 ( x)».
Деякі інженери, біологи та інші фахівці завжди пишуть «ln( x)» (або зрідка «log e ( x)»), коли вони мають на увазі натуральний логарифм, а запис «log( x)» у них означає log 10 ( x).
log eє «натуральним» логарифмом, оскільки він з'являється автоматично і з'являється в математиці дуже часто. Наприклад, розглянемо проблему похідної логарифмічної функції:
Якщо основа bодно e, то похідна дорівнює просто 1/ x, а при x= 1 ця похідна дорівнює 1. Іншим обґрунтуванням, за яким основа eлогарифма є найбільш натуральним, є те, що він може бути досить просто визначений у термінах простого інтеграла або ряду Тейлора, чого не можна сказати про інші логарифми.
Подальші обґрунтування натуральності не пов'язані зі зчисленням. Так, наприклад, є кілька простих рядів із натуральними логарифмами. П'єтро Менголі та Микола Меркатор називали їх логарифмус натураліскілька десятиліть до того часу, поки Ньютон і Лейбніц не розробили диференціальне та інтегральне числення.
Визначення
Формально ln ( a) може бути визначений як площа під кривою графіка 1/ xвід 1 до a, тобто як інтеграл:
Це дійсно логарифм, оскільки він задовольняє фундаментальну властивість логарифму:
Це можна продемонструвати, припускаючи наступним чином:
Чисельне значення
Для розрахунку чисельного значення натурального логарифму числа можна використовувати розкладання його в ряд Тейлора у вигляді:
Щоб отримати кращу швидкість збіжності, можна скористатися такою тотожністю:
Для ln ( x), де x> 1, чим ближче значення xдо 1, тим швидше швидкість збіжності. Тотожності, пов'язані з логарифмом, можна використовувати для досягнення мети:
Ці методи застосовувалися ще до появи калькуляторів, навіщо використовувалися числові таблиці та виконували маніпуляції, аналогічні вищеописаним.
Висока точність
Для обчислення натурального логарифму з великою кількістю цифр точності ряд Тейлора не ефективний, оскільки його збіжність повільна. Альтернативою є використання методу Ньютона для інвертування в експоненційну функцію, ряд якої сходиться швидше.
Альтернативою для дуже високої точності розрахунку є формула:
де Mпозначає арифметико-геометричне середнє 1 і 4/s,
mобрано так, що pзнаків точності досягається. (У більшості випадків значення 8 для m цілком достатньо.) Насправді, якщо використовується цей метод, може бути використана інверсія Ньютона натурального логарифму для ефективного обчислення експоненційної функції. (Константи ln 2 і пі можуть бути попередньо обчислені до бажаної точності, використовуючи будь-який з відомих рядів, що швидко сходяться.)
Обчислювальна складність
Обчислювальна складність натуральних логарифмів (за допомогою арифметико-геометричного середнього) дорівнює O( M(n) ln n). Тут n- Число цифр точності, для якої натуральний логарифм повинен бути оцінений, а M(n) - обчислювальна складність множення двох n-значних чисел.
Безперервні дроби
Хоча для представлення логарифму відсутні прості безперервні дроби, але можна використовувати кілька узагальнених безперервних дробів, у тому числі:
Комплексні логарифми
Експонентна функція може бути розширена до функції, яка дає комплексне число виду e xдля будь-якого довільного комплексного числа x, при цьому використовується нескінченний ряд із комплексним x. Ця показова функція може бути інвертована з утворенням комплексного логарифму, який матиме здебільшого властивості звичайних логарифмів. Є, проте, дві проблеми: немає x, для котрого e x= 0, і виявляється, що e 2πi = 1 = e 0 . Оскільки властивість мультиплікативності дійсна для комплексної експоненційної функції, то e z = e z+2nπiдля всіх комплексних zі цілих n.
Логарифм не може бути визначений на всій комплексній площині, і навіть при цьому він багатозначний - будь-який комплексний логарифм може бути замінений на «еквівалентний» логарифм, додавши будь-яке ціле число, кратне πi. Комплексний логарифм може бути однозначним лише зрізі комплексної площині. Наприклад, ln i = 1/2 πiабо 5/2 πiабо −3/2 πi, і т.д., і хоча i 4 = 1, 4 log iможе бути визначена як 2 πi, або 10 πiабо −6 πi, і так далі.
![](https://i2.wp.com/dic.academic.ru/pictures/wiki/files/49/120px-NaturalLogarithmRe.png)
Див. також
- Джон Непер - винахідник логарифмів
Примітки
- Mathematics for physical chemistry . - 3rd. – Academic Press, 2005. – P. 9. – ISBN 0-125-08347-5, Extract of page 9
- J J O "Connor and E F RobertsonНомер e . MacTutor History of Mathematics archive (вересень 2001). Архівовано з першоджерела 12 лютого 2012 року.
- Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed . - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. -