Y 1 2 x2 графік функції. Графік функції
Побудувати функцію
Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.
Переваги побудови графіків онлайн
- Візуальне відображення функцій, що вводяться
- Побудова дуже складних графіків
- Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
- Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті
- Управління масштабом, кольором ліній
- Можливість побудови графіків за точками, використання констант
- Побудова одночасно кількох графіків функцій
- Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))
З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення у Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функцій. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.
Виберемо на площині прямокутну системукоординат і відкладатимемо на осі абсцис значення аргументу х, але в осі ординат - значення функції у = f(х).
Графіком функції y = f(x)називається безліч всіх точок, у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.
Іншими словами, графік функції y = f(х) - це безліч усіх точок площини, координати х, уяких задовольняють співвідношення y = f(x).
На рис. 45 та 46 наведено графіки функцій у = 2х + 1і у = х 2 - 2х.
Строго кажучи, слід розрізняти графік функції (точне математичне визначення якого було дано вище) і накреслену криву, яка завжди дає лише більш менш точний ескіз графіка (та й те, як правило, не всього графіка, а лише його частини, розташованого в кінцевій частини площини). Надалі, однак, ми зазвичай говоритимемо «графік», а не «ескіз графіка».
За допомогою графіка можна знаходити значення функції у точці. Саме, якщо точка х = аналежить області визначення функції y = f(x), то для знаходження числа f(а)(тобто значення функції у точці х = а) слід вчинити так. Потрібно через крапку з абсцисою х = апровести пряму, паралельну осі ординат; ця пряма перетне графік функції y = f(x)в одній точці; ордината цієї точки і буде, через визначення графіка, дорівнює f(а)(Рис. 47).
Наприклад, для функції f(х) = х 2 - 2xза допомогою графіка (рис. 46) знаходимо f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 і т.д.
Графік функції наочно ілюструє поведінку та властивості функції. Наприклад, із розгляду рис. 46 ясно, що функція у = х 2 - 2хнабуває позитивних значень при х< 0 і при х > 2, Негативні - при 0< x < 2; найменше значенняфункція у = х 2 - 2хприймає за х = 1.
Для побудови графіка функції f(x)потрібно знайти всі точки площини, координати х,уяких задовольняють рівняння y = f(x). Найчастіше це зробити неможливо, оскільки таких точок нескінченно багато. Тому графік функції зображують приблизно з більшою або меншою точністю. Найпростішим є метод побудови графіка за кількома точками. Він у тому, що аргументу хнадають кінцеве число значень - скажімо, х 1, х 2, x 3, ..., х k і становлять таблицю, до якої входять вибрані значення функції.
Таблиця виглядає так:
Склавши таку таблицю, ми можемо намітити кілька точок графіка функції y = f(x). Потім, з'єднуючи ці точки плавною лінією, ми отримуємо приблизний вид графіка функції y = f(x).
Слід зазначити, що метод побудови графіка за кількома точками дуже ненадійний. Насправді поведінка графіка між наміченими точками та поведінка його поза відрізком між крайніми зі взятих точок залишається невідомою.
Приклад 1. Для побудови графіка функції y = f(x)хтось склав таблицю значень аргументу та функції:
Відповідні п'ять точок показано на рис. 48.
На підставі розташування цих точок він зробив висновок, що графік функції є прямою (показану на рис. 48 пунктиром). Чи можна вважати цей висновок надійним? Якщо немає додаткових міркувань, які б підтверджували цей висновок, його навряд чи можна вважати надійним. надійним.
Для обґрунтування свого твердження розглянемо функцію
.
Обчислення показують, що значення цієї функції в точках -2, -1, 0, 1, 2 описуються наведеною вище таблицею. Однак графік цієї функції не є прямою лінією (він показаний на рис. 49). Іншим прикладом може бути функція y = x + l + sinπx;її значення теж описуються наведеною вище таблицею.
Ці приклади показують, що у «чистому» вигляді метод побудови графіка за кількома точками ненадійний. Тому для побудови графіка заданої функції, як правило, надходять у такий спосіб. Спочатку вивчають властивості цієї функції, з допомогою яких можна побудувати ескіз графіка. Потім, обчислюючи значення функції кількох точках (вибір яких залежить від встановлених властивостей функції), знаходять відповідні точки графіка. І, нарешті, через побудовані точки проводять криву, використовуючи властивості цієї функції.
Деякі (найпростіші і найчастіше використовувані) властивості функцій, застосовувані перебування ескізу графіка, ми розглянемо пізніше, тепер розберемо деякі часто застосовувані методи побудови графіків.
Графік функції у = | f (x) |.
Нерідко доводиться будувати графік функції y = | f (x)|, де f(х) -задана функція. Нагадаємо, як це робиться. За визначенням абсолютної величини числа можна написати
Це означає, що графік функції y = | f (x) |можна отримати з графіка, функції y = f(x)наступним чином: всі точки графіка функції у = f(х), у яких ординати невід'ємні, слід залишити без зміни; далі, замість точок графіка функції y = f(x), що мають негативні координати, слід побудувати відповідні точки графіка функції у = -f(x)(тобто частина графіка функції
y = f(x), що лежить нижче осі х,слід симетрично відобразити щодо осі х).
приклад 2.Побудувати графік функції у = | х |.
Беремо графік функції у = х(рис. 50, а) та частина цього графіка при х< 0 (що лежить під віссю х) симетрично відбиваємо щодо осі х. В результаті ми отримуємо графік функції у = | х |(Рис. 50, б).
Приклад 3. Побудувати графік функції y = | x 2 - 2x |.
Спочатку збудуємо графік функції y = x 2 – 2x.Графік цієї функції - парабола, гілки якої спрямовані вгору, вершина параболи має координати (1; -1), її графік перетинає вісь абсцис у точках 0 і 2. На проміжку (0; 2) фукція набуває негативних значень, тому саме цю частину графіка симетрично відобразимо щодо осі абсцис. На малюнку 51 побудовано графік функції у = | х 2 -2х |виходячи з графіка функції у = х 2 - 2x
Графік функції y = f(x) + g(x)
Розглянемо задачу побудови графіка функції y = f(x) + g(x).якщо задані графіки функцій y = f(x)і y = g(x).
Зауважимо, що область визначення функції y = |f(x) + g(х)| є безліч усіх тих значень х, для яких визначені обидві функції y = f(x) і у = g(х), тобто ця область визначення є перетином областей визначення, функцій f(x) і g(x).
Нехай крапки (х 0 , y 1) та (х 0, у 2) відповідно належать графікам функцій y = f(x)і y = g(х), Т. е. y 1 = f(x0), y2=g(х0).Тоді точка (x0;. y1 + y2) належить графіку функції у = f(х) + g(х)(бо f(х 0) + g(x 0) = y 1+y2),. причому будь-яка точка графіка функції y = f(x) + g(x)може бути отримана в такий спосіб. Отже, графік функції у = f(x) + g(x)можна отримати з графіків функцій y = f(x). і y = g(х)заміною кожної точки ( х n , у 1) графік функції y = f(x)точкою (х n, y 1 + y 2),де у 2 = g(x n), тобто зсувом кожної точки ( х n , у 1) графіка функції y = f(x)вздовж осі уна величину y 1 = g(х n). При цьому розглядаються лише такі точки х n для яких визначено обидві функції y = f(x)і y = g(x).
Такий метод побудови графіка функції y = f(x) + g(х) називається додаванням графіків функцій y = f(x)і y = g(x)
Приклад 4. На малюнку методом складання графіків побудовано графік функції
y = x + sinx.
При побудові графіка функції y = x + sinxми вважали, що f(x) = x,а g(x) = sinx.Для побудови графіка функції виберемо крапки з aбцисами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значення f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxобчислимо у вибраних точках і результати помістимо у таблиці.
Побудувати криву, задану параметричними рівняннями \
Досліджуємо спочатку графіки функцій \(x\left(t \right)\) та \(x\left(t \right)\). Обидві функції являють собою кубічні багаточлени, які визначені для всіх \(x \in \mathbb(R).\) Знаходимо похідну \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \) right) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Розв'язуючи рівняння \( x"\left(t \right) = 0,\) визначаємо стаціонарні точки функції \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0,)\;\ ; (Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,) \; \; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] При \ (t = 1\) функція \(x\left(t \right)\) досягає максимуму, рівного \ а в точці \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) вона має мінімум, рівний \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left((\) frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac(1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Розглянемо похідну \(y"\left(t \right):\) \[ (y"\ left(t \right) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \ ] Знаходимо стаціонарні точки функції \(y\left(t \right):\) \[(y"\left(t \right) = 0,)\;\;(\Rightarrow 3(t^2) + 4t - 4 = 0,) \; \; (3).) \] Тут, аналогічно, функція \(y\left(t \right)\) досягає максимуму в точці \(t = -2:\) \ і мінімуму в точці \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(2)(3))) \right )^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27) ) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Графіки функцій \(x\left(t \right )\), \(y\left(t \right)\) схематично показані на малюнку \(15a.\)
Рис.15a |
Рис.15b |
Рис.15с |
Зауважимо, що оскільки [[ \lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] то крива \(y\left(x \right)\) не має ні вертикальних, ні горизонтальних асимптотів. Більше того, оскільки \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty) ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\) color(blue)(t^3)) + \color(red)(2(t^2)) - \color(green)(4t) - \cancel(\color(blue)(t^3)) - \ color(red)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] то крива \(y\left(x \right)\) не має також і похилих асимптот.
Визначимо точки перетину графіка (y \ left (x \ right) \) з осями координат. Перетин з віссю абсцис відбувається у наступних точках: \[(y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\;(\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; Rightarrow (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\;(\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; Rightarrow (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
На другому проміжку \(\left(( - 2, - 1) \right)\) змінна \(x\) зростає від \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) до \(x \left(( - 1) \right) = 1,\) а змінна \(y\) убуває від \(y\left(( - 2) \right) = 8\) до \(y\left(( - 1) \right) = 5.\) Тут ми маємо ділянку спадної кривої \(y\left(x \right).\) Вона перетинає вісь ординат у точці \(\left((0,3 + 2\sqrt 5 ) \right).\)
На третьому інтервалі \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) обидві змінні зменшуються. Значення \(x\) змінюється від \(x\left(( - 1) \right) = 1\) до \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Відповідно, значення \(y\) зменшується від \(y\left(( - 1) \right) = 5\) до \(y\ left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Крива \(y\left(x \right)\) ) у своїй перетинає початок координат.
На четвертому інтервалі \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) змінна \(x\) зростає від \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) до \(x\left((\large\) frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) а змінна \(y\) убуває від \(y\left((\large\) frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) до \(y\left((\large\frac(2)(3)\) normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) На цій ділянці крива \(y\left(x \right)\) перетинає вісь ординат у точці \(\left( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
Нарешті, на останньому інтервалі \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) обидві функції \(x\left(t \right)\), \( y\left(t \right)\) зростають. Крива \(y\left(x \right)\) перетинає вісь абсцис у точці \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2,18.\)
Для уточнення форми кривої (y \ left (x \ right) \) обчислимо точки максимуму і мінімуму. Похідна \(y"\left(x \right)\) виражається у вигляді \[(y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t)))( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))(((((( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))((3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3))) right)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac((\ left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))((\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Зміна знака похідної \(y"\left(x \right)\) показано на малюнку \(15c.\) Видно, що в точці \(t = - 2, \) тобто. на межі \(I\)-го та \(II\)-го інтервалів крива має максимум, а при \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (на кордоні \(IV\) -го та (V\)-го інтервалів) існує мінімум. При переході через точку \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) похідна також змінює знак з плюсу на мінус, але в цій області крива \(y\left(x \right)\) не є однозначною функцією. Тому вказана точка екстремумом не є.
Досліджуємо також опуклість цієї кривої. Друга похідна\(y""\left(x \right)\) має вигляд: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left(( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4)) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \right) ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3(t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^2)) ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(maroon)( 4) - \cancel(\color(blue)(18(t^3))) - \color(red)(30(t^2)) + \color(green)(16t) + \color(maroon)( 8)))(((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2) ) + \color(green)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) )))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105) )) )(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \right))^3)))). \] Отже, друга похідна змінює свій знак на протилежний під час переходу через наступні точки (рис.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) \right ) = 1,) \; \; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) )))(6)) \right) \approx 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \; \; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \) sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) )))(6)) \right) \approx 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) )))(6)) \right) \approx 40,8.) \] Тому зазначені точки являють собою точки перегину кривої \(y\left(x) \right).\)
Схематичний графік кривої \(y\left(x \right)\) показаний вище на малюнку \(15b.\)
Функція y=x^2 називається квадратичною функцією. Графіком квадратичної функції парабола. Загальний виглядпараболи представлений малюнку нижче.
Квадратична функція
Рис 1. Загальний вигляд параболи
Як очевидно з графіка, він симетричний щодо осі Оу. Ось Оу називається віссю симетрії параболи. Це означає, що якщо провести на графіку пряму паралельну осі Ох вище це осі. То вона перетне параболу у двох точках. Відстань від цих точок до осі Оу буде однаковою.
Ось симетрії поділяє графік параболи на дві частини. Ці частини називаються гілками параболи. А точка параболи, яка лежить на осі симетрії, називається вершиною параболи. Тобто вісь симетрії проходить через вершину параболи. Координати цієї точки (0; 0).
Основні властивості квадратичної функції
1. При х = 0, у = 0, і у> 0 при х0
2. Мінімальне значення квадратична функція досягає у своїй вершині. Ymin при x=0; Слід також зауважити, що максимального значення функції не існує.
3. Функція зменшується на проміжку (-∞;0] і зростає на проміжку )