Shrnutí lekce na téma neurčitý integrál. Otevřená lekce algebry
Třída: 11
Prezentace na lekci
Zpět dopředu
Pozornost! Náhled snímku slouží pouze pro informační účely a nemusí představovat celý rozsah prezentace. Pokud vás tato práce zaujala, stáhněte si prosím plnou verzi.
Technologická mapa lekce algebry 11. ročník.
"Člověk může rozpoznat své schopnosti pouze tak, že se je pokusí uplatnit."
Seneca mladší.
Počet hodin na sekci: 10 hodin.
Blokovat motiv: primitivní a neurčitý integrál.
Hlavní téma lekce: formování znalostí a obecných vzdělávacích dovedností prostřednictvím systému typických, přibližných a víceúrovňových úkolů.
Cíle lekce:
- Vzdělávací: zformovat a upevnit koncept primitivních funkcí, nalézt přidružené funkce různých úrovní.
- Rozvíjející se: rozvíjet duševní aktivita studentů, na základě operací analýzy, komparace, zobecnění, systematizace.
- Vzdělávací: formovat světonázorové názory žáků, vychovávat k odpovědnosti za výsledek, pocit úspěchu.
Typ lekce: učení nového materiálu.
Metody výuky: verbální, verbálně-vizuální, problémový, heuristický.
Formy studia: jednotlivec, pár, skupina, obecná třída.
Vzdělávací prostředky: informační, počítač, epigraf, Leták.
Očekávané výsledky učení: student musí
- definice derivátu
- primitivní derivát je definován nejednoznačně.
- najít primitivní funkce v nejjednodušších případech
- zkontrolujte, zda je primitivní funkce pro daný časový interval.
STRUKTURA LEKCE:
- Stanovení cíle lekce (2 min)
- Příprava na učení nových materiálů (3 min)
- Seznámení s novým materiálem (25 min)
- Počáteční reflexe a aplikace toho, co se naučili (10 min)
- inscenování domácí práce(2 minuty)
- Shrnutí lekce (3 min)
- Rezervovat úkoly.
Během vyučování
1. Sdělení tématu, účel lekce, úkoly a motivace vzdělávacích aktivit.
Na psací tabuli:
*** Derivát - "vyrábí" do světa nová vlastnost. Primitivní – primární obrázek.
2. Aktualizace znalostí, systematizace znalostí ve srovnání.
Diferenciace - nalezení derivace.
Integrace je obnovení funkce danou derivací.
Představení nových postav:
* ústní cvičení: místo bodů dejte nějakou funkci, která splňuje rovnost.(viz prezentace) -samostatná práce.
(v tuto chvíli 1 student píše na tabuli diferenciační vzorce, 2 studenti - pravidla diferenciace).
- samozkoušku provádějí studenti.(samostatná práce)
- aktualizace znalostí studentů.
3. Učení nového materiálu.
A) Reciproké operace v matematice.
Učitel: v matematice jsou v matematice 2 vzájemně inverzní operace. Pojďme se podívat na srovnání.
B) Reciproční operace ve fyzice.
V části mechanika jsou uvažovány dva vzájemně inverzní problémy. Zjištění rychlosti podle zadané pohybové rovnice hmotného bodu (zjištění derivace funkce) a nalezení rovnice pro trajektorii pohybu po známý vzorec Rychlost.
Příklad 1 strana 140 - práce s učebnicí (samostatná práce).
Proces hledání derivace vzhledem k dané funkci se nazývá derivace a inverzní operace, tedy proces hledání funkce vzhledem k dané derivaci, se nazývá integrace.
C) Zavádí se definice primitivního derivátu.
Učitel: Aby se úkol stal konkrétnějším, musíme opravit výchozí situaci.
Úkoly pro formování schopnosti najít primitiva - práce ve skupinách. (viz prezentace)
Úkoly pro utváření schopnosti dokázat, že primitivní funkce je pro funkci na daném intervalu - párová práce. (viz prezentace)
4. Primární porozumění a aplikace naučeného.
Příklady s řešením "Najdi chybu" - samostatná práce (viz prezentace)
***proveďte křížovou kontrolu.
Závěr: při provádění těchto úkolů je snadné si všimnout, že primitivní prvek je určen nejednoznačně.
5. Zadání domácího úkolu
Přečtěte si vysvětlující text kapitola 4 odstavec 20, zapamatujte si definici 1. primitiva, vyřešte č. 20,1 -20,5 (c, d) - povinný úkol pro každého č. 20,6 (b), 20,7 (c, d), 20,8 ( b), 20,9 (b) - 4 příklady výběru.
6. Shrnutí lekce.
Při frontálním průzkumu se spolu se studenty sečtou výsledky lekce, vědomé pochopení konceptu nového materiálu může být ve formě emotikonů.
Všemu rozuměl, vše zvládl.
Částečně nerozuměl (a), nezvládl vše.
7. Rezervní úkoly.
V případě předčasného splnění výše navržených úkolů celou třídou se pro zajištění zaměstnání a rozvoje nejpřipravenějších žáků počítá také s využitím úkolů č. 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a)
Literatura:
- A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, Algebra analýzy, úroveň profilu, část 1, část 2 problémová kniha, Manvelov S. G. "Základy kreativního rozvoje lekce."
Téma: Primitivní a neurčitý integrál.
Cílová: studenti si otestují a upevní znalosti a dovednosti na téma "Antiderivační a neurčitý integrál".
úkoly:
vzdělávací : Naučte se, jak vypočítat primitivní a ne určité integrály používání vlastností a vzorců;
Vzdělávací : se bude rozvíjet kritické myšlení bude schopen pozorovat a analyzovat matematické situace;
Vzdělávací : žáci se učí respektovat názory jiných lidí, schopnost pracovat ve skupině.
Očekávaný výsledek:
Budou prohlubovat a systematizovat teoretické znalosti, rozvíjet kognitivní zájem, myšlení, řeč a kreativitu.
Typ : konsolidační lekce
Formulář: frontální, individuální, párový, skupinový.
Metody výuky : částečně průzkumná, praktická.
Metody poznání : analýza, logika, srovnání.
Zařízení: učebnice, tabulky.
Hodnocení studenta: sebehodnocení a sebehodnocení, pozorování dětí při
čas lekce.
Během vyučování.
Volání.
Stanovení cílů:
Vy a já můžeme nakreslit graf kvadratické funkce, můžeme vyřešit kvadratické rovnice a čtvercové nerovnosti, stejně jako řešení soustav lineárních nerovnic.
Jaké si myslíte, že bude tématem dnešní lekce?
Stvoření Mít dobrou náladu na lekci. (2–3 minuty)
Nakreslete náladu:Nálada člověka se primárně odráží v produktech jeho činnosti: kresby, příběhy, prohlášení atd. „Moje nálada“:na společný list kreslícího papíru si každé dítě pomocí tužek nakreslí svou náladu ve formě proužku, mraku, skvrny (během minuty).
Poté se listy předávají. Úkolem každého je určit náladu přítele a doplnit ji, dokončit. To pokračuje, dokud se listy nevrátí ke svým majitelům.
Poté se diskutuje o výsledném výkresu.
jáII. Frontální průzkum studentů: "Fakt nebo názor" 17 min
1. Formulujte definici primitivního derivátu.
2. Která z funkcíjsou primitivními deriváty funkce
3. Dokažte, že funkceje primitivní funkcena intervalu (0;∞).
4. Formulujte hlavní vlastnost primitivního prvku. Jak je tato vlastnost vykládána geometricky?
5. Pro funkcinajděte primitivní prvek, jehož graf prochází bodem. (Odpovědět:F( X) = tgx + 2.)
6. Formulujte pravidla pro nalezení primitivního prvku.
7. Formulujte větu o ploše křivočarého lichoběžníku.
8. Zapište Newtonův-Leibnizův vzorec.
9. Co je geometrický smysl integrální?
10. Uveďte příklady aplikace integrálu.
11. Zpětná vazba: "Plus-mínus-zajímavé"
IV. Individuální párová práce s peer review: 10 min
Řešení #5,6,7
PROTI. Praktická práce: řešit do sešitu. 10 min
Řešení #8-10
VI. Výsledky lekce. Klasifikace (OdO, OO). 2 minuty
VII. Domácí úkol: str. 1 č. 11,12 1 min
VIII. Odraz: 2 min
Lekce:
Přitahoval mě k...
Vypadal zajímavě...
Vzrušený…
Donutil mě přemýšlet...
Napadlo mě...
Co na vás udělalo největší dojem?
Budou vám znalosti získané v této lekci užitečné později v životě?
Co nového jste se v lekci naučili?
Co si musíte zapamatovat?
10. Je třeba udělat více práce
Na toto téma jsem měl hodinu v 11. třídě„Primitivní a neurčitý integrál“, toto je lekce na vyřešení tématu.
Úkoly k řešení během lekce:
naučit se počítat primitivní a neurčité integrály pomocí vlastností a vzorců; bude rozvíjet kritické myšlení, bude schopen pozorovat a analyzovat matematické situace; žáci se učí respektovat názory jiných lidí, schopnost pracovat ve skupině.
Po lekci jsem očekával následující výsledek:
Studenti si prohloubí a systematizují teoretické znalosti, rozvinou kognitivní zájem, myšlení, řeč a kreativitu.
Vytvářet podmínky pro rozvoj praktických a kreativní myšlení. Vychovávat zodpovědný přístup k pedagogické práci, pěstovat mezi studenty pocit respektu k maximalizaci jejich schopností prostřednictvím skupinového učení
Ve své lekci využívala frontální, individuální, párovou, skupinovou práci.
Tuto lekci jsem naplánoval, abych studentům posílil koncept primitivního a neurčitého integrálu.
Myslím, že jsem udělal dobrou práci, když jsem na začátku lekce vytvořil plakát „Paint the Mood“.Nálada člověka se především odráží v produktech jeho činnosti: kresby, příběhy, prohlášení atd. „Moje nálada“: kdyžna společný list papíru na kreslení pomocí tužek si každé dítě nakreslí svou náladu (během minuty).
Poté se papír otočí v kruhu. Úkolem každého je určit náladu přítele a doplnit ji, dokončit. Toto pokračuje, dokud se obrázek na papíře nevrátí svému majiteli.Poté se diskutuje o výsledném výkresu. Každé dítě mohlo ukázat svou náladu a začít pracovat v lekci.
V další fázi lekce se studenti metodou „Fakt nebo názor“ snažili dokázat, že všechny pojmy na dané téma jsou skutečností, nikoli však jejich osobním názorem. Při řešení příkladů na toto téma je zajištěno vnímání, porozumění a zapamatování. Formují se celostní systémy předních znalostí na toto téma.
Při kontrole a sebezkoumání znalostí se odhaluje kvalita a úroveň osvojení znalostí, způsoby jednání a zajišťuje se jejich korekce.
Do struktury lekce jsem zařadil dílčí vyhledávací úkol. Děti problémy vyřešily samy. Kontrolovali jsme se ve skupině. Obdrželi individuální poradenství. Neustále hledám nové techniky a metody práce s dětmi. V ideálním případě bych chtěl, aby si každé dítě na hodině naplánovalo vlastní aktivity a po ní odpovědělo na otázky: chci dosáhnout určitých výšek nebo ne, potřebuji vzdělání na vysoká úroveň nebo ne. Na příkladu této lekce jsem se snažila ukázat, že jak téma, tak průběh lekce si může určit dítě samo.Že si sám může upravit svou činnost a činnost učitele tak, aby hodina a doplňkové hodiny vyhovovaly jeho potřebám.
Při výběru toho či onoho typu úloh jsem zohledňoval účel lekce, obsah a náročnost. vzdělávací materiál, typ hodiny, způsoby a metody výuky, věk a psychologické rysy studentů.
V tradičním vzdělávacím systému, kdy učitel předkládá hotové znalosti a studenti je pasivně asimilují, se otázka reflexe obvykle neklade.
Myslím, že práce dopadla obzvlášť dobře při sestavování úvahy „Co jsem se naučil (a) v lekci ...“. Tento úkol vzbudil zvláštní zájem a pomohlpochopit, jak nejlépe zorganizovat tuto práci v další lekci.
Myslím, že sebehodnocení a vzájemné hodnocení se neosvědčilo, studenti přecenili známky své i soudruhů.
Při analýze hodiny jsem si uvědomil, že studenti si byli dobře vědomi významu vzorců a jejich aplikace při řešení a naučili se používat různé strategie v různých fázích hodiny.
Chci vést další lekci o strategii Šest klobouků a provést reflexi motýla, která umožní všemvyjádřit svůj názor, napsat.
Téma lekce: "Anti-derivační a integrální" třída 11 (přehled)
Typ lekce: hodina hodnocení a opravy znalostí; opakování, zobecňování, utváření znalostí, dovedností.
Motto lekce : Není ostuda nevědět, je ostuda se neučit.
Cíle lekce:
- Návody: opakovat teoretickou látku; procvičit dovednosti hledání primitivních derivací, počítání integrálů a oblastí křivočarých lichoběžníků.
- Rozvíjející se: rozvíjet samostatné myšlení, intelektuální schopnosti (analýza, syntéza, srovnávání, srovnávání), pozornost, paměť.
- Vzdělávací: vzdělávání matematické kultury studentů, zvyšování zájmu o probíranou látku, příprava na UNT.
Plán lekce.
II. Aktualizace základních znalostí studentů.
1.Ústní práce se třídou k opakování definic a vlastností:
1. Co se nazývá křivočarý lichoběžník?
2. Jaká je primitivní funkce pro funkci f(x)=x2.
3. Co je znakem stálosti funkce?
4. Jak se nazývá primitivní funkce F(x) pro funkci f(x) na xI?
5. Jaká je primitivní funkce pro funkci f(x)=sinx.
6. Je pravdivé tvrzení: "Primitivní funkce součtu funkcí se rovná součtu jejich primitivních funkcí"?
7. Jaká je hlavní vlastnost primitivního derivátu?
8. Jaká je primitivní funkce pro funkci f(x)=.
9. Je pravdivé tvrzení: „Primitivní funkce součinu funkcí se rovná součinu jejich funkcí?
Primitivové?
10. Co se nazývá neurčitý integrál?
11. Co se nazývá určitý integrál?
12. Uveďte několik příkladů použití určitého integrálu v geometrii a fyzice.
Odpovědi
1. Obrazec ohraničený grafy funkcí y=f(x), y=0, x=a, x=b se nazývá křivočarý lichoběžník.
2. F(x)=x3/3+С.
3. Pokud F`(x0)=0 na nějakém intervalu, pak je funkce F(x) na tomto intervalu konstantní.
4. Funkce F(x) se nazývá primitivní pro funkci f(x) na daném intervalu, pokud pro všechna x z tohoto intervalu platí F`(x)=f(x).
5. F(x)= - cosx+C.
6. Ano, je to tak. To je jedna z vlastností primitivů.
7. Libovolnou primitivní funkci pro funkci f na daném intervalu lze zapsat jako
F(x)+C, kde F(x) je jedna z primitivních funkcí pro funkci f(x) na daném intervalu a C je
Libovolná konstanta.
9. Ne, není to pravda. Taková vlastnost primitivů neexistuje.
10. Pokud funkce y \u003d f (x) má na daném intervalu primitivní y \u003d F (x), pak se množina všech primitivních funkcí y \u003d F (x) + C nazývá neurčitý integrál funkce y \u003d f (x).
11. Rozdíl mezi hodnotami primitivní funkce v bodech b a a pro funkci y \u003d f (x) na intervalu [ a ; b ] se nazývá určitý integrál funkce f(x) na intervalu [ A; b] .
12.. Výpočet plochy křivočarého lichoběžníku, objemů těles a výpočet rychlosti tělesa v určitém časovém období.
Aplikace integrálu. (Dodatečně pište do sešitů)
Množství
Výpočet derivace
Integrální výpočet
s - výtlak,
A - zrychlení
A(t) =
Práce,
F - síla,
N - výkon
F(x) = A"(x)
N(t) = A"(t)
m je hmotnost tenké tyče,
Hustota čar
(x) = m" (x)
q - elektrický náboj,
I - síla proudu
I(t) = q(t)
Q je množství tepla
C - tepelná kapacita
c(t) = Q"(t)
Pravidla pro výpočet primitivních funkcí
- Jestliže F je primitivní prvek pro f a G je primitivní prvek pro g, pak F+G je primitivní prvek pro f+g.
Jestliže F je primitivní funkce kf a k je konstanta, pak kF je primitivní funkce kf.
Je-li F(x) primitivní pro f(x), ak, b jsou konstanty a k0, to znamená, že existuje primitivní prvek pro f(kx+b).
^ 4) - Newtonův-Leibnizův vzorec.
5) Plocha S obrázku ohraničená přímkami x-a, x=b a grafy spojitých funkcí na intervalu a taková, že pro všechna x se vypočítá podle vzorce
6) Objemy těles vzniklých rotací křivočarého lichoběžníku ohraničeného křivkou y = f (x), osou Ox a dvěma přímkami x = a a x = b kolem os Ox a Oy, se vypočtou resp. vzorce:
Najděte neurčitý integrál:(orálně)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Odpovědi:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
III Řešení úkolů se třídou
1. Vypočítejte určitý integrál: (v sešitech jeden žák na tabuli)
Úkoly pro výkresy s řešením:
№ 1. Najděte oblast křivočarého lichoběžníku ohraničeného přímkami y= x3, y=0, x=-3, x=1.
Řešení.
-∫ x3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4/4) | = (-3) 4/4 + 1/4 = 82/4 = 20,5
№3. Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou přímkami y=x3+1, y=0, x=0
№ 5.Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y \u003d 4 -x2, y \u003d 0,
Řešení. Nejprve si nakreslete graf pro určení mezí integrace. Figurka se skládá ze dvou stejných kusů. Vypočítejte plochu dílu napravo od osy y a zdvojnásobte ji.
№ 4.Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou přímkami y=1+2sin x, y=0, x=0, x=n/2
F(x) = x - 2cosx; S = F(p/2) - F(0) = p/2 -2cos p/2 - (0 - 2cos0) = p/2 + 2
Vypočítejte plochu křivočarých lichoběžníků ohraničených grafy čar, které znáte.
3. Vypočítejte plochy stínovaných obrazců z obrázků ( samostatná práce v párech)
Úkol: Vypočítejte plochu stínovaného obrázku
Úkol: Vypočítejte plochu stínovaného obrázku
III Výsledky lekce.
a) reflexe: -Jaké závěry jste z lekce pro sebe vyvodil?
Je něco, na čem by každý pracoval sám?
Byla pro vás lekce užitečná?
b) rozbor studentských prací
c) Doma: zopakujte vlastnosti všech vzorců primitivních derivátů, vzorce pro nalezení oblasti křivočarého lichoběžníku, objemy rotačních těles. č. 136 (Shynybekov)
OTEVŘENÁ LEKCE K TÉMATU
« OBECNÝ A NEURČITÝ INTEGRÁL.
VLASTNOSTI NEURČITÉHO INTEGRÁLU“.
2 hodiny.
11a třída s hloubkovým studiem matematiky
Prezentace problému.
Technologie učení s hledáním problémů.
PRIMÁRNÍ A NEURČITÝ INTEGRÁL.
VLASTNOSTI NEURČITÉHO INTEGRÁLU.
CÍL LEKCE:
Aktivujte duševní aktivitu;
Přispět k asimilaci výzkumných metod
- zajistit pevnější asimilaci znalostí.
CÍLE LEKCE:
představit pojem primitivní;
dokažte větu o množině primitivních funkcí pro danou funkci (s využitím definice primitivní funkce);
zavést definici neurčitého integrálu;
dokázat vlastnosti neurčitého integrálu;
rozvíjet dovednosti používat vlastnosti neurčitého integrálu.
PŘÍPRAVNÉ PRÁCE:
zopakujte si pravidla a vzorce diferenciace
koncept diferenciálu.
Navrhuje se řešení problémů. Problémy jsou napsány na tabuli.
Studenti odpovídají na řešení problémů 1, 2.
(Aktualizace zkušeností s řešením problémů o použití diferenciálu
citace).
1. Pohybový zákon tělesa S(t) , najděte jeho okamžitý
rychlost v daném čase.
- V(t) = S(t).
2. S vědomím, že množství elektřiny proudí
přes vodič je vyjádřeno vzorcem q (t) = 3t - 2 t,
odvodit vzorec pro výpočet aktuální síly v libovolném
časový bod t.
- I (t) = 6t - 2.
3. Znát rychlost pohybujícího se tělesa v každém okamžiku
mě, abych našel zákon jejího pohybu.
S vědomím, že síla proudu procházejícího vodičem v libovolném
určení množství procházející elektřiny
přes dirigenta.
Učitel: Je možné vyřešit problémy číslo 3 a 4 pomocí?
prostředky, které máme?
(Vytvoření problémové situace).
Student hádá:
- K vyřešení tohoto problému je nutné zavést operaci,
opak diferenciace.
Operace diferenciace se porovnává s daným
funkce F (x) její derivace.
F(x) = f(x).
Učitel: Co je úkolem diferenciace?
Závěr studentů:
Na základě dané funkce f (x) takovou funkci najděte
F (x) jehož derivace je f (x) , tzn.
f(x) = F(x) .
Tato operace se nazývá integrace, přesněji
neurčitou integraci.
Sekce matematiky, která studuje vlastnosti operace integračních funkcí a její aplikace k řešení problémů ve fyzice a geometrii, se nazývá integrální počet.
Integrální počet _ je oddíl matematická analýza spolu s diferenciálním počtem tvoří základ aparátu matematické analýzy.
Integrální počet vznikl z uvažování velký počet problémy přírodních věd a matematiky. Nejdůležitější z nich je fyzikální problém určování vzdálenosti uražené za daný čas po známé, ale možná proměnlivé rychlosti pohybu a mnohem starodávnější problém – výpočet ploch a objemů geometrických obrazců.
Jaká je nejistota této inverzní operace, se teprve uvidí.
Pojďme si představit definici. (stručně symbolicky napsáno
Na stole).
Definice 1. Funkce F (x) definovaná na nějakém intervalu
ke X, se nazývá primitivní funkce pro danou funkci
na stejném intervalu, pokud pro všechna x X
rovnost
F(x) = f (x) nebo d F(x) = f (x) dx .
Například. (x) = 2x, tato rovnost znamená, že funkce
x je primitivní na celé číselné ose
pro funkci 2x.
Pomocí definice primitivního prvku proveďte cvičení
č. 2 (1,3,6). Zkontrolujte, zda je funkce F primitivní
noah pro funkci f, jestliže
1) F(x) =
2 cos 2x, f (x) = x - 4 hříchy 2x .
2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 hříchů 5x.
3) F(x) = x hřích x +
, f(x) = 4x sinx + x cosx +
.
Řešení příkladů zapisují žáci na tabuli, komentáře
řízení vašich akcí.
Je funkce x jedinou primitivní funkcí
pro funkci 2x?
Studenti uvádějí příklady
x + 3; x - 92 atd. ,
Studenti si vyvodí vlastní závěry:
Každá funkce má nekonečně mnoho primitivních funkcí.
Jakákoli funkce ve tvaru x + C, kde C je nějaké číslo,
je primitivní derivát x.
Primitivní věta se píše do sešitu pod diktátem
učitelé.
Teorém. Má-li funkce f primitivní prvek na intervalu
F, pak pro libovolné číslo C funkce F + C také
je primitivní derivát f . Jiní primitivové
funkce f na X ne.
Důkaz provádějí studenti pod vedením učitele.
a) Protože F je tedy primitivní funkce pro f na intervalu X
F(x) = f(x) pro všechna x X.
Pak pro x X pro libovolné C máme:
(F(x) + C) = f(x) . To znamená, že F (x) + C je také
primitivní f na X.
b) Dokažme, že pro další primitivní funkce na X je funkce f
nemá.
Předpokládejme, že Ф je také primitivní funkce pro f na X.
Pak Ф(x) = f (x) a proto pro všechna x X máme:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, tedy
Ф - F je konstantní na X. Nechť Ф (x) - F (x) = C, pak
Ф (x) = F (x) + C, tedy libovolná primitivní
funkce f na X má tvar F + C.
Učitel: co je úkolem najít všechny prototypy
pro tuto funkci?
Studenti došli k následujícímu závěru:
Problém hledání všech primitivních derivátů je vyřešen
najít někoho: pokud takový
najde se jiný, pak se z něj získá jakýkoli jiný
přidání konstanty.
Učitel formuluje definici neurčitého integrálu.
Definice 2. Množina všech primitivních funkcí funkce f
se nazývá neurčitý integrál tohoto
funkcí.
Označení.
; - odečte se integrál.
= F (x) + C, kde F je jeden z primitivních derivátů
pro f , C prochází množinou
reálná čísla.
f - integrand;
f (x)dx - integrand;
x - integrační proměnná;
C je integrační konstanta.
Vlastnosti neurčitého integrálu si studenti nastudují sami z učebnice a zapíší si je do sešitu.
.
Studenti zapisují řešení do sešitů, pracují na tabuli
Téma lekce : Primitivní. Neurčitý integrál a jeho vlastnosti
Cíle lekce:
Vzdělávací:
seznámit studenty s pojmy primitivní a neurčitý integrál, hlavní vlastností primitivního a neurčitého integrálu a pravidly pro hledání primitivního a neurčitého integrálu.
Rozvíjející se:
rozvíjet dovednosti pro samostatnou práci,
aktivovat duševní činnost, matematickou řeč.
Vzdělávací:
pěstovat smysl pro odpovědnost za kvalitu a výsledek odvedené práce;
tvořit odpovědnost za konečný výsledek.
Typ lekce : poselství nového poznání
Způsob chování : slovní, vizuální, samostatná práce.
Bezpečnostní lekce :
Multimediální vybavení a software pro zobrazování prezentací a videí;
Pracovní list: tabulka jednoduchých integrálů (ve fázi konsolidace).
Struktura lekce.
1. Organizační moment (2 min.)
Motivace vzdělávací aktivity. (5 min.)
Prezentace nového materiálu. (50 min.)
Konsolidace studovaného materiálu. (25 min.)
Shrnutí lekce. Odraz. (6 min.)
Domácí úkol. (2 min.)
Průběh kurzu.
Organizace času. (2 minuty.)
metody výuky
Výukové techniky
Učitel zdraví žáky, kontroluje přítomné v hledišti.
Studenti se připravují na práci. Ředitel vyplní zprávu. Důstojníci rozdávají letáky.
Motivace vzdělávací činnosti. ( 5 minut.)
metody výuky
Výukové techniky
Téma dnešní lekce"Starověké.Neurčitý integrál a jeho vlastnosti“.(Snímek 1)
Znalosti na toto téma využijeme v následujících lekcích při hledání určitých integrálů, oblastí plochých útvarů. Velká pozornost je věnována integrálnímu počtu v oddílech algebra pro pokročilé ve vyšší vzdělávací instituce při řešení aplikovaných problémů.
Naše dnešní lekce je lekcí studia nového materiálu, proto bude mít teoretický charakter. Účelem lekce je vytvořit si představy o integrálním počtu, pochopit jeho podstatu, rozvíjet dovednosti v hledání primitivních a neurčitých integrálů.(Snímek 2)
Studenti si zapíší datum a téma lekce.
3. Prezentace nového materiálu (50 min)
metody výuky
Výukové techniky
1. Nedávno jsme se věnovali tématu „Deriváty některých elementární funkce". Například:
Derivace funkceF (x)= X 9 , Víme, žeF ′(x)= 9x 8 . Nyní se podíváme na příklad nalezení funkce, jejíž derivace je známá.
Předpokládejme, že je nám dána derivaceF ′(x)= 6x 5 . Pomocí znalosti derivace můžeme určit, jaká je derivace funkceF (x)= X 6 . Funkce, která může být určena svou derivací, se nazývá primitivní. (Uveďte definici primitivní funkce. (snímek 3))
Definice 1 : Funkce F ( X ) se nazývá primitivní funkce F ( X ) v segmentu [ A; b], pokud rovnost platí ve všech bodech tohoto segmentu = F ( X )
Příklad 1 (snímek 4): Dokažme, že pro libovolnýxϵ(-∞;+∞) funkceF ( X )=x 5 -5x F (x) = 5 X 4 -5.
Důkaz: Pomocí definice primitivní funkce najdeme derivaci funkce
=(X 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 X 4 -5.
Příklad 2 (snímek 5): Dokažme, že pro libovolnýxϵ(-∞;+∞) funkceF ( X )= neje primitivním prvkem funkceF (x)= .
Dokažte se studenty na tabuli.
Víme, že nalezení derivace se nazývádiferenciace . Zavolá se hledání funkce podle její derivaceintegrace. (Snímek 6). Cílem integrace je najít všechny primitivní funkce dané funkce.
Například: (snímek 7)
Hlavní vlastnost primitivního derivátu:
Věta: PokudF ( X ) - jedna z primitivních funkcí funkce F (X) na intervalu X je pak množina všech primitivních funkcí této funkce určena vzorcem G ( X )= F ( X )+ C kde C je reálné číslo.
(Snímek 8) tabulka primitivních derivátů
Tři pravidla pro hledání primitivních derivátů
Pravidlo č. 1: Pokud Fexistuje primitivní funkce pro funkciF, a G- originál proG, pak F+ G- existuje prototyp proF+ G.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
Pravidlo 2: Pokud F- originál proF, a kje konstantní, pak funkcekF- originál prokf.
(kF)’ = kF’ = kf
Pravidlo 3: Pokud F- originál proF, a k a b jsou konstanty (), pak funkce
primitivní proF(kx+ b).
Historie pojmu integrál je úzce spjata s problematikou hledání kvadratur. Úlohy o kvadratuře té či oné ploché figury matematiky Starověké Řecko a Řím nazval problémy, které nyní označujeme, problémy výpočtu oblastí.Mnoho významných úspěchů matematiků starověkého Řecka při řešení takových problémů je spojeno s použitím metody vyčerpání navržené Eudoxem z Knidu. Touto metodou Eudoxus dokázal:
1. Obsah dvou kružnic souvisí jako čtverce jejich průměrů.
2. Objem kužele se rovná 1/3 objemu válce se stejnou výškou a základnou.
Metodu Eudoxus zdokonalil Archimedes a byly prokázány následující věci:
1. Odvození vzorce pro oblast kruhu.
2. Objem koule je 2/3 objemu válce.
Všechny úspěchy byly prokázány velkými matematiky pomocí integrálů.
Vraťme se k větě 1 a odvoďme novou definici.
Definice 2 : Výraz F ( X ) + C , kde C - libovolná konstanta, nazývaná neurčitý integrál a označovaná symbolem
Z definice máme:
(1)
Neurčitý integrál funkceF(X), je tedy množina všech primitivních funkcí proF(X) .
V rovnosti (1) funkceF(X) je nazýván integrand a výraz F(X) dx– integrand , variabilní X – integrační proměnná , termín C - integrační konstanta .
Integrace je opakem diferenciace. Abychom zkontrolovali, zda je integrace správná, stačí výsledek diferencovat a získat integrand.
Vlastnosti neurčitého integrálu.
Na základě definice primitivního derivátu je snadné dokázat následujícívlastnosti neurčitého integrálu
Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce je roven této funkci plus libovolná konstanta
Neurčitý integrál algebraického součtu dvou nebo více funkcí se rovná algebraickému součtu jejich integrálů
Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka, tedy pokudA= konst, pak
Studenti zaznamenávají přednášku pomocí písemky a výkladu učitele. Při dokazování vlastností primitivních a integrálů využívají znalosti na téma derivování.
4. Tabulka jednoduchých integrálů
1. ,( n -1) 2.
3. 4.
5. 6.
Integrály obsažené v této tabulce se nazývajítabelární . Poznámka speciální případ formule 1:
Zde je další zřejmý vzorec: