Kvadratické rovnice. Základní pojmy
Třída: 8
Uvažujme standardní (studované ve školním matematickém kurzu) a nestandardní metody řešení kvadratické rovnice.
1. Rozklad levé strany kvadratické rovnice na lineární faktory.
Podívejme se na příklady:
3) x 2 + 10 x – 24 = 0.
6(x 2 + x – x) = 0 | : 6
x 2 + x – x – = 0;
x(x – ) + (x – ) = 0;
x(x –) (x +) = 0;
= ; – .Odpověď: ; – .
Pro samostatnou práci:
Řešte kvadratické rovnice metodou lineárního rozkladu levé strany kvadratické rovnice.
a) x 2 – x = 0; d) x 2 – 81 = 0; g) x 2 + 6 x + 9 = 0; |
b) x 2 + 2 x = 0; e) 4x 2 – = 0; h) x 2 + 4 x + 3 = 0; |
c) 3x 2 – 3x = 0; e) x 2 – 4 x + 4 = 0; i) x 2 + 2 x – 3 = 0. |
a) 0; 1 | b) -2; 0 | c) 0; 1 |
2. Metoda výběru celého čtverce.
Podívejme se na příklady:
Pro samostatnou práci.
Řešte kvadratické rovnice metodou dokonalého čtverce.
3. Řešení kvadratických rovnic pomocí vzorce.
ax 2 + inx + c = 0, (a | 4a
4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;
2akh + 2akh · 2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;
2 = při 2 – 4ac;= ±;
Pro samostatnou práci.
Podívejme se na příklady.
Řešte kvadratické rovnice pomocí vzorce x 1,2 =.
4. Řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty (přímé a inverzní)
x 2 + px +q = 0 – redukovaná kvadratická rovnicepodle Vietovy věty.
Pokud má rovnice dva stejné kořeny ve znaménku a to závisí na koeficientu. .
Pokud p, pak .
Pokud p, pak
Například:
Pokud p, pak
Pro samostatnou práci.
Pokud má rovnice dva kořeny různého znaménka a větší kořen bude, jestliže p, a bude, jestliže p.
Aniž byste řešili kvadratickou rovnici, použijte Vietův konverzní teorém k určení znamének jejích kořenů:
a, b, j, l – různé kořeny;
c, d, h – negativní;
g, e, g, i, m – kladné;
Pro samostatnou práci.
5. Řešení kvadratických rovnic metodou „házení“.
Řešte kvadratické rovnice metodou „házení“.
6. Řešení kvadratických rovnic pomocí vlastností jejich koeficientů.
I. ax 2 + bx + c = 0, kde a 0
1) Jestliže a + b + c = 0, pak x 1 = 1; x 2 =
Důkaz:
ax 2 + bx + c = 0 |: a
x 2 + x + = 0.
Podle Vietovy věty
Podle podmínky a + b + c = 0, pak b = -a – c. Dále dostaneme
Z toho vyplývá, že x 1 = 1; x 2 = . Q.E.D.
1) Jestliže a + b + c = 0, pak x 1 = 1; x 2 =
x 2 + x + = 0.
2) Jestliže a – b + c = 0 (nebo b = a + c), pak x 1 = – 1; x 2 = –
Podmínkou a – b + c = 0, tzn. b = a + c. Dále dostaneme:
= ±;
Proto x 1 = – 1; x 2 = – .
a + b + c = 345 – 137 – 208 = 0
x 1 = 1; x 2 = =
2) 132 x 2 – 247 x + 115 = 0.
a + b + c = 132-247-115 = 0.
x 1 = 1; x 2 = =
Odpověď: 1;
Pro samostatnou práci.
Pomocí vlastností koeficientů kvadratické rovnice řešte rovnice
II. ax 2 + bx + c = 0, kde a 0
x 1,2 =. Nechť b = 2k, tzn. dokonce Pak dostaneme
x 1,2 = = = =
Podívejme se na příklad:
3x 2 – 14x + 16 = 0.
D 1 = (-7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1
x 1 = = 2; x 2 =
Odpověď: 2;
Pro samostatnou práci.
a) 4x 2 – 36x + 77 = 0
b) 15x 2 – 22x – 37 = 0
c) 4x 2 + 20x + 25 = 0
d) 9x 2 – 12x + 4 = 0
Odpovědi:
III. x 2 + px + q = 0
x 1,2 = – ± 2 – q
Podívejme se na příklad:
x 2 – 14 x – 15 = 0
x 1,2 = 7 = 7
x 1 = -1; x 2 = 15.
Odpověď: -1; 15.
Pro samostatnou práci.
a) x 2 – 8 x – 9 = 0
b) x 2 + 6 x – 40 = 0
c) x 2 + 18 x + 81 = 0
d) x 2 – 56 x + 64 = 0
7. Řešení kvadratické rovnice pomocí grafů.
a) x 2 – 3 x – 4 = 0
Odpověď: -1; 4
b) x 2 – 2 x + 1 = 0
c) x 2 – 2 x + 5 = 0
Odpověď: žádná řešení
Pro samostatnou práci.
Řešte kvadratické rovnice graficky:
8. Řešení kvadratických rovnic pomocí kružítka a pravítka.
ax 2 + bx + c = 0,
ax 2 + bx + c = 0 |: a
x 1 a x 2 jsou kořeny.
Nechť A(0; 1), C(0;
Podle teorému sekanty:
OB · OD = OA · OS.
Proto máme:
x 1 x 2 = 1 OS;
OS = x 1 x 2
K(; 0), kde = -
F(0; ) = (0; ) = )
1) Sestrojte bod S(-; ) – střed kružnice a bod A(0;1).
2) Nakreslete kružnici o poloměru R = SA/
3) Úsečky průsečíků této kružnice s osou x jsou kořeny původní kvadratické rovnice.
Existují 3 možné případy:
1) R > SK (nebo R > ).
Kružnice protíná osu x v bodě B(x 1; 0) a D(x 2; 0), kde x 1 a x 2 jsou kořeny kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0.
2) R = SK (nebo R =).
Kružnice se dotýká osy x ve směru B 1 (x 1; 0), kde x 1 je kořen kvadratické rovnice
ax 2 + bx + c = 0.
3) R< SK (или R < ).
Kružnice nemá žádné společné body s osou x, tzn. žádná řešení.
1) x 2 – 2 x – 3 = 0.
Střed S(-;), tzn.
x 0 = = – = 1,
y 0 = = = – 1.
(1; – 1) – střed kruhu.
Nakreslíme kružnici (S; AS), kde A(0; 1).
9. Řešení kvadratických rovnic pomocí nomogramu
K vyřešení problému použijte čtyřmístné matematické tabulky od V.M. Bradis (tab. XXII, str. 83).
Nomogram umožňuje bez řešení kvadratické rovnice x 2 + px + q = 0 určit kořeny rovnice z jejích koeficientů. Například:
5) z2 + 4z + 3 = 0.
Oba kořeny jsou negativní. Proto provedeme náhradu: z 1 = – t. Dostáváme novou rovnici:
t2 – 4t + 3 = 0.
ti = 1; t2 = 3
z 1 = – 1; z 2 = – 3.
Odpověď: – 3; – 1
6) Pokud koeficienty p a q přesahují stupnici, pak proveďte substituci z = k · t a rovnici řešte pomocí nomogramu: z 2 + pz + q = 0.
k 2 t 2 + p · kt + q = 0. |: k 2
k se bere s očekáváním, že se vyskytují následující nerovnosti:
Pro samostatnou práci.
y2 + 6y – 16 = 0.
y2 + 6y = 16, |+ 9
y2 + 6y + 9 = 16 + 9
y1 = 2, y2 = -8.
Odpověď: -8; 2
Pro samostatnou práci.
Řešte geometricky rovnici y 2 – 6y – 16 = 0.
Toto video tutoriál vysvětluje, jak vyřešit kvadratickou rovnici. Řešení kvadratických rovnic se obvykle začíná studovat v střední škola, 8. třída. Kořeny kvadratické rovnice se nalézají pomocí speciálního vzorce. Nechť je dána kvadratická rovnice tvaru ax2+bx+c=0, kde x je neznámá, a, b a c jsou koeficienty, což jsou reálná čísla. Nejprve musíte určit diskriminant pomocí vzorce D=b2-4ac. Poté zbývá vypočítat kořeny kvadratické rovnice pomocí známý vzorec. Nyní se pokusíme vyřešit konkrétní příklad. Jako počáteční rovnici vezmeme x2+x-12=0, tzn. koeficient a=1, b=1, c=-12. Pomocí dobře známého vzorce můžete určit diskriminant. Poté pomocí vzorce pro nalezení kořenů rovnice je vypočítáme. V našem případě bude diskriminant roven 49. Skutečnost, že hodnota diskriminantu je kladné číslo, nám říká, že tato kvadratická rovnice bude mít dva kořeny. Po jednoduchých výpočtech zjistíme, že x1=-4, x2=3. Kvadratickou rovnici jsme tedy vyřešili výpočtem jejích kořenů Videolekce „Řešení kvadratických rovnic (8. ročník). Hledání kořenů pomocí vzorce“ můžete sledovat online kdykoli zdarma. Ať se vám daří!
Kvadratické rovnice se učí v 8. třídě, takže zde není nic složitého. Schopnost je řešit je naprosto nezbytná.
Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.
Před studiem konkrétních metod řešení si všimněte, že všechny kvadratické rovnice lze rozdělit do tří tříd:
- Nemají kořeny;
- Mít přesně jeden kořen;
- Mají dva různé kořeny.
To je důležitý rozdíl mezi kvadratickými rovnicemi a lineárními rovnicemi, kde kořen vždy existuje a je jedinečný. Jak určit, kolik kořenů má rovnice? Na to je úžasná věc - diskriminační.
Diskriminační
Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0, pak je diskriminantem jednoduše číslo D = b 2 − 4ac.
Tento vzorec musíte znát nazpaměť. Odkud pochází, není nyní důležité. Další věc je důležitá: podle znaménka diskriminantu můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. A to:
- Pokud D< 0, корней нет;
- Jestliže D = 0, existuje právě jeden kořen;
- Pokud D > 0, budou dva kořeny.
Vezměte prosím na vědomí: diskriminant označuje počet kořenů, a vůbec ne jejich znaky, jak z nějakého důvodu mnoho lidí věří. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:
Úkol. Kolik kořenů mají kvadratické rovnice:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Zapišme si koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Takže diskriminant je kladný, takže rovnice má dva různé kořeny. Analyzujeme druhou rovnici podobným způsobem:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Diskriminant je záporný, nemá kořeny. Poslední rovnice zbývá:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant je nula - odmocnina bude jedna.
Vezměte prosím na vědomí, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhé, ano, je to únavné, ale nespletete si šance a nebudete dělat hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalitu.
Mimochodem, pokud na to přijdete, po chvíli už nebudete muset zapisovat všechny koeficienty. Takové operace budete provádět ve své hlavě. Většina lidí to začne dělat někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.
Kořeny kvadratické rovnice
Nyní přejděme k samotnému řešení. Pokud je diskriminant D > 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:
Základní vzorec pro kořeny kvadratické rovnice
Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců - dostanete stejné číslo, které bude odpovědí. Konečně, pokud D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12 x + 36 = 0.
První rovnice:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Pojďme je najít:
Druhá rovnice:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Pojďme je najít
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnat)\]
Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Lze použít jakýkoli vzorec. Například ten první:
Jak můžete vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a umíte počítat, nebudou žádné problémy. Nejčastěji dochází k chybám při dosazování záporných koeficientů do vzorce. Zde opět pomůže technika popsaná výše: podívejte se na vzorec doslova, zapište si každý krok - a velmi brzy se zbavíte chyb.
Neúplné kvadratické rovnice
Stává se, že kvadratická rovnice se mírně liší od toho, co je uvedeno v definici. Například:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Je snadné si všimnout, že v těchto rovnicích chybí jeden z členů. Takové kvadratické rovnice jsou ještě snadněji řešitelné než standardní: nevyžadují ani výpočet diskriminantu. Pojďme si tedy představit nový koncept:
Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá neúplná kvadratická rovnice, pokud b = 0 nebo c = 0, tzn. koeficient proměnné x nebo volného prvku je roven nule.
Samozřejmě je možný velmi obtížný případ, kdy jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b = c = 0. V tomto případě má rovnice tvar ax 2 = 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jediný kořen: x = 0.
Podívejme se na zbývající případy. Nechť b = 0, pak dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c = 0. Trochu ji transformujme:
Od aritmetiky odmocnina existuje pouze od nezáporného čísla, poslední rovnost má smysl pouze pro (−c /a) ≥ 0. Závěr:
- Pokud je v neúplné kvadratické rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splněna nerovnost (−c /a) ≥ 0, budou kořeny dva. Vzorec je uveden výše;
- Pokud (−c /a)< 0, корней нет.
Jak vidíte, diskriminant nebyl vyžadován – v neúplných kvadratických rovnicích nejsou vůbec žádné složité výpočty. Vlastně ani není nutné si pamatovat nerovnost (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjádřit hodnotu x 2 a podívat se, co je na druhé straně rovnítka. Pokud tam kladné číslo- budou dva kořeny. Pokud je negativní, nebudou tam žádné kořeny.
Nyní se podívejme na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí rozložit polynom:
Vyjmutí společného faktoru ze závorekSoučin je nula, když je alespoň jeden z faktorů nulový. Odtud pramení kořeny. Na závěr se podívejme na několik z těchto rovnic:
Úkol. Řešte kvadratické rovnice:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistují žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.
V průběhu lekce bude představen pojem kvadratické rovnice a budou uvažovány její dva typy: úplná a neúplná. Zvláštní pozornost během lekce bude věnována variantám neúplných kvadratických rovnic;
Podrobit:Kvadratické rovnice.
Lekce:Kvadratické rovnice. Základní pojmy
Definice.Kvadratická rovnice nazývá rovnice tvaru
Opraveno reálná čísla, které definují kvadratickou rovnici. Tato čísla mají konkrétní názvy:
Senior koeficient (násobitel při );
Druhý koeficient (násobitel při );
Volný termín (číslo bez proměnného faktoru).
Komentář. Je třeba chápat, že uvedená posloupnost zápisu členů v kvadratické rovnici je standardní, nikoli však povinná, a v případě jejich přeskupení je nutné umět určit číselné koeficienty nikoli jejich ordinálním uspořádáním, ale příslušností k proměnným.
Definice. Výraz se nazývá kvadratický trinom.
Příklad 1 Je dána kvadratická rovnice . Jeho koeficienty:
Senior koeficient;
Druhý koeficient (všimněte si, že koeficient je označen úvodním znaménkem);
Volný člen.
Definice. Jestliže , pak se nazývá kvadratická rovnice nedotčený, a jestliže , pak se nazývá kvadratická rovnice daný.
Příklad 2 Zadejte kvadratickou rovnici . Vydělme obě části 2: .
Komentář. Jak je vidět z předchozího příkladu, dělením vedoucím koeficientem jsme rovnici nezměnili, ale změnili jsme její tvar (udělali ji zmenšenou), podobně by se dala vynásobit nějakým nenulovým číslem. Kvadratická rovnice tedy není dána jedinou trojicí čísel, ale říkají to je specifikován až do nenulové sady koeficientů.
Definice.Redukovaná kvadratická rovnice se získá z neredukovaného dělením vedoucím koeficientem a má tvar:
.
Přijímají se následující označení: . Pak redukovaná kvadratická rovnice má tvar:
.
Komentář. V redukovaném tvaru kvadratické rovnice můžete vidět, že kvadratická rovnice může být specifikována pouze dvěma čísly: .
Příklad 2 (pokračování). Označme koeficienty, které definují redukovanou kvadratickou rovnici . , . Tyto koeficienty jsou také uvedeny s ohledem na znaménko. Stejná dvě čísla definují odpovídající neredukovanou kvadratickou rovnici .
Komentář. Odpovídající neredukované a redukované kvadratické rovnice jsou stejné, tzn. mají stejné sady kořenů.
Definice. Některé z koeficientů v neredukovaném nebo redukovaném tvaru kvadratické rovnice mohou být nulové. V tomto případě se nazývá kvadratická rovnice neúplný. Pokud jsou všechny koeficienty nenulové, volá se kvadratická rovnice kompletní.
Existuje několik typů neúplných kvadratických rovnic.
Pokud jsme ještě neuvažovali o řešení úplné kvadratické rovnice, pak můžeme snadno vyřešit neúplnou pomocí nám již známých metod.
Definice.Řešte kvadratickou rovnici- znamená najít všechny hodnoty proměnné (kořeny rovnice), pro kterou daná rovnice promění v pravdu číselná rovnost nebo zjistit, že žádné takové hodnoty neexistují.
Příklad 3 Podívejme se na příklad tohoto typu neúplných kvadratických rovnic. Vyřešte rovnici.
Řešení. Vynechme společný faktor. Rovnice tohoto typu můžeme řešit podle následujícího principu: součin je roven nule právě tehdy, když jeden z faktorů je roven nule a druhý existuje pro tuto hodnotu proměnné. Tedy:
Odpověď.; .
Příklad 4. Vyřešte rovnici.
Řešení. 1 způsob. Pojďme faktorizovat pomocí vzorce rozdílu čtverců
, tedy podobně jako v předchozím příkladu nebo .
Metoda 2. Posuňme fiktivní výraz doprava a vezměme druhou odmocninu obou stran.
Odpověď. .
Příklad 5. Vyřešte rovnici.
Řešení. Posuňme volný termín doprava, ale , tj. v rovnici se nezáporné číslo rovná zápornému číslu, což pro žádnou hodnotu proměnné nedává smysl, proto neexistují kořeny.
Odpověď. Nejsou tam žádné kořeny.
Příklad 6.Vyřešte rovnici.
Řešení. Vydělte obě strany rovnice 7: .
Odpověď. 0.
Podívejme se na příklady, ve kterých je nejprve potřeba redukovat kvadratickou rovnici do standardního tvaru a pak ji řešit.
Příklad 7. Vyřešte rovnici.
Řešení. Chcete-li redukovat kvadratickou rovnici na standardní tvar, musíte přesunout všechny členy na jednu stranu, například doleva, a přinést podobné.
Získali jsme neúplnou kvadratickou rovnici, kterou již umíme vyřešit, získáme, že popř .
Odpověď. .
Příklad 8 (slovní úloha). Součin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je dvojnásobkem druhé mocniny menšího. Najděte tato čísla.
Řešení. Slovní úlohy se zpravidla řeší pomocí následujícího algoritmu.
1) Sestavení matematického modelu. V této fázi je nutné přeložit text úlohy do jazyka matematických symbolů (sestavit rovnici).
Nechte nejprve některé přirozené číslo označme neznámým , pak další po něm (po sobě jdoucí čísla) bude . Menší z těchto čísel je číslo , zapišme rovnici podle podmínek úlohy:
, Kde . Byl sestaven matematický model.