Určete výšku trojúhelníku pomocí poloměru vepsané kružnice. Rovnostranný trojúhelník
Uvažujme kružnici vepsanou do trojúhelníku (obr. 302). Připomeňme, že jeho střed O je umístěn v průsečíku os vnitřních úhlů trojúhelníku. Úseky OA, OB, OS, spojující O s vrcholy trojúhelníku ABC, rozdělí trojúhelník na tři trojúhelníky:
AOB, BOS, SOA. Výška každého z těchto trojúhelníků je rovna poloměru, a proto jsou jejich plochy vyjádřeny jako
Plocha celého trojúhelníku S se rovná součtu těchto tří oblastí:
kde je půlobvod trojúhelníku. Odtud
Poloměr vepsané kružnice se rovná poměru plochy trojúhelníku k jeho polovině.
Abychom získali vzorec pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku, dokážeme následující tvrzení.
Věta a: V každém trojúhelníku je strana rovna průměru kružnice opsané vynásobené sinem opačného úhlu.
Důkaz. Uvažujme libovolný trojúhelník ABC a kružnici opsanou kolem něj, jejíž poloměr označíme R (obr. 303). Nechť A je ostrý úhel trojúhelníku. Narýsujme si poloměry OB, OS kružnice a shodíme kolmici OK z jejího středu O na stranu BC trojúhelníku. Všimněte si, že úhel a trojúhelníku je měřen polovinou oblouku BC, pro který je úhel BOC centrálním úhlem. Odtud je jasné, že . Z pravoúhlého trojúhelníku SOK tedy najdeme , nebo , které bylo nutné dokázat.
Uvedený obr. 303 a argument se týkají případu ostrého úhlu trojúhelníku; nebylo by těžké provést důkaz pro případy pravých a tupých úhlů (to si čtenář udělá sám), ale lze použít sinusovou větu (218.3). Protože to musí být kde
Sinusová věta je také zapsána. formulář
a srovnání se zápisem (218.3) dává pro
Poloměr kružnice opsané se rovná poměru součinu tří stran trojúhelníku k jeho čtyřnásobné ploše.
Úkol. Najděte strany rovnoramenný trojúhelník, pokud její vepsané a opsané kružnice mají poloměry, resp
Řešení. Napišme vzorce vyjadřující poloměry vepsané a opsané kružnice trojúhelníku:
U rovnoramenného trojúhelníku se stranou a základnou je obsah vyjádřen vzorcem
nebo snížením zlomku o nenulový faktor , máme
to vede k kvadratická rovnice poměrně
Má dvě řešení:
Dosazením místo jeho vyjádření do kterékoli z rovnic pro nebo R nakonec najdeme dvě odpovědi na náš problém:
Cvičení
1. Výška pravoúhlého trojúhelníku, nakresleného od vrcholu pravého úhlu, rozděluje přeponu ve vztahu k Najděte poměr každé z větví k přeponě.
2. Základy rovnoramenný lichoběžník, opsané kolem kruhu, se rovnají a a b. Najděte poloměr kružnice.
3. Dva kruhy se dotýkají externě. Jejich společné tečny jsou skloněny k linii středů pod úhlem 30°. Délka tečného segmentu mezi body dotyku je 108 cm Najděte poloměry kružnic.
4. Nohy pravoúhlého trojúhelníku se rovnají a a b. Najděte obsah trojúhelníku, jehož strany jsou výška a střed daný trojúhelník tažené z vrcholu pravého úhlu a segmentu přepony mezi body jejich průsečíku s přeponou.
5. Strany trojúhelníku jsou 13, 14, 15. Najděte průmět každé z nich na další dvě.
6. V trojúhelníku jsou známy strany a výšky, najděte strany b a c.
7. Známe dvě strany trojúhelníku a medián Najděte třetí stranu trojúhelníku.
8. Jsou dány dvě strany trojúhelníku a úhel a mezi nimi: Najděte poloměry kružnice vepsané a kružnice opsané.
9. Strany trojúhelníku a, b, c jsou známé. Jaké jsou segmenty, na které jsou rozděleny body dotyku vepsané kružnice se stranami trojúhelníku?
Kosočtverec je rovnoběžník se všemi stranami stejnými. Proto zdědí všechny vlastnosti rovnoběžníku. A to:
- Úhlopříčky kosočtverce jsou vzájemně kolmé.
- Úhlopříčky kosočtverce jsou osy jeho vnitřních úhlů.
Kruh může být vepsán do čtyřúhelníku právě tehdy, když se součty protilehlých stran rovnají.
Proto může být kruh vepsán do jakéhokoli kosočtverce. Střed vepsané kružnice se shoduje se středem průsečíku úhlopříček kosočtverce.
Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci lze vyjádřit několika způsoby
1 způsob. Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes výšku
Výška kosočtverce se rovná průměru vepsané kružnice. Vyplývá to z vlastnosti obdélníku, který je tvořen průměrem vepsané kružnice a výškou kosočtverce - protilehlé strany obdélníku jsou si rovny.
Proto vzorec pro poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes výšku:
2 způsobem. Poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes diagonály
Plochu kosočtverce lze vyjádřit poloměrem vepsané kružnice
, kde R je obvod kosočtverce. Když víme, že obvod je součtem všech stran čtyřúhelníku, máme P= 4×ha. Pak
Ale plocha kosočtverce je také poloviční součin jeho úhlopříček
Když vyrovnáme správné části plošných vzorců, máme následující rovnost
V důsledku toho získáme vzorec, který nám umožní vypočítat poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes úhlopříčky
Příklad výpočtu poloměru kružnice vepsané do kosočtverce, pokud jsou známé úhlopříčky
Najděte poloměr kružnice vepsané do kosočtverce, pokud je známo, že délka úhlopříček je 30 cm a 40 cm
Nechat abeceda- tedy kosočtverec AC a BD jeho úhlopříčky. AC= 30 cm , BD= 40 cm
Nechte bod Ó je středem vepsaného do kosočtverce abeceda kružnice, pak to bude také průsečík jejích úhlopříček, které je rozdělí na polovinu.
protože úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu, pak trojúhelník AOB obdélníkový. Pak podle Pythagorovy věty
, dosadíme dříve získané hodnoty do vzorce
AB= 25 cm
Aplikováním dříve odvozeného vzorce pro poloměr kružnice opsané na kosočtverec získáme
3 způsobem. Poloměr kružnice vepsané v kosočtverci přes segmenty m a n
Tečka F- bod dotyku kruhu se stranou kosočtverce, který jej rozděluje na segmenty AF a bf. Nechat AF=m, BF=n.
Tečka Ó- střed průsečíku úhlopříček kosočtverce a středu do něj vepsané kružnice.
Trojúhelník AOB- obdélníkový, protože úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu.
, protože je poloměr nakreslený k tečnému bodu kružnice. tudíž Z- výška trojúhelníku AOB do přepony. Pak AF a bf- projekce nohou na přeponu.
Výška v pravoúhlém trojúhelníku klesla na přeponu je průměrná úměra mezi projekcemi nohou na přeponu.
Vzorec pro poloměr vepsané kružnice v kosočtverci přes segmenty se rovná druhé odmocnině součinu těchto segmentů, na které je strana kosočtverce rozdělena tečným bodem kruhu.
Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
- Můžeme také použít osobní údaje pro interní účely, jako je audit, analýza dat a různé studie ke zlepšení námi poskytovaných služeb a k poskytování doporučení týkajících se našich služeb.
- Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.
Pokud je kruh umístěn uvnitř úhlu a dotýká se jeho stran, nazývá se vepsaný do tohoto úhlu. Střed takové kružnice vepsané se nachází v osy tohoto úhlu.
Pokud leží uvnitř konvexního mnohoúhelníku a je v kontaktu se všemi jeho stranami, nazývá se vepsaný do konvexního mnohoúhelníku.
Kruh vepsaný do trojúhelníku
Kruh vepsaný do trojúhelníku se dotýká každé strany tohoto obrazce pouze v jednom bodě. Do jednoho trojúhelníku lze vepsat pouze jednu kružnici.
Poloměr takového kruhu bude záviset na následujících parametrech trojúhelníku:
- Délka stran trojúhelníku.
- Jeho oblast.
- Jeho obvod.
- Úhly trojúhelníku.
Aby bylo možné vypočítat poloměr vepsané kružnice v trojúhelníku, není vždy nutné znát všechny výše uvedené parametry, protože jsou vzájemně propojeny pomocí goniometrických funkcí.
Výpočet pomocí poloobvodu
- Pokud jsou známy délky všech stran geometrický obrazec(označujeme je písmeny a, b a c), pak budete muset vypočítat poloměr vyjmutím druhé odmocniny.
- Při zahájení výpočtů je nutné k počátečním údajům přidat ještě jednu proměnnou - semi-obvod (p). Lze jej vypočítat sečtením všech délek a vydělením výsledné částky 2. p = (a+b+c)/2. Vzorec pro zjištění poloměru tak lze výrazně zjednodušit.
- Obecně by vzorec měl obsahovat znaménko radikálu, pod kterým je zlomek umístěn, jmenovatelem tohoto zlomku bude hodnota půlobvodu p.
- Čitatel tohoto zlomku bude součin rozdílů (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Úplný tvar vzorce tedy bude prezentován následovně: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Výpočet s ohledem na plochu trojúhelníku
Pokud víme oblast trojúhelníku a délky všech jeho stran, to nám umožní najít poloměr kruhu, který nás zajímá, aniž bychom se uchýlili k extrakci kořenů.
- Nejprve musíte zdvojnásobit velikost oblasti.
- Výsledek se vydělí součtem délek všech stran. Potom bude vzorec vypadat takto: r = 2*S/(a+b+c).
- Pokud použijete hodnotu půlobvodu, můžete se dostat úplně jednoduchý vzorec: r = S/p.
Výpočet pomocí goniometrických funkcí
Pokud podmínka problému obsahuje délku jedné ze stran, hodnotu opačného úhlu a obvod, můžete použít goniometrická funkce- tečna. V tomto případě bude výpočetní vzorec vypadat takto:
r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), kde r je požadovaný poloměr, P je obvod, a je délka jedné ze stran, α je hodnota protější strany a úhel.
Poloměr kruhu, do kterého se má vepsat pravoúhlý trojuhelník, lze nalézt podle vzorce r = a*√3/6.
Kruh vepsaný do pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlý trojuhelník lze zadat pouze jeden kruh. Střed takové kružnice současně slouží jako průsečík všech os. Tento geometrický obrazec má nějaké charakteristické rysy, což je nutné vzít v úvahu při výpočtu poloměru vepsané kružnice.
- Nejprve je potřeba sestavit pravoúhlý trojúhelník s danými parametry. Takovou postavu můžete postavit podle velikosti její jedné strany a hodnot dvou úhlů, nebo podle dvou stran a úhlu mezi těmito stranami. Všechny tyto parametry musí být specifikovány v příkazu task. Trojúhelník je označen jako ABC, přičemž C je vrchol pravého úhlu. Nohy jsou označeny proměnnými, A a b a přepona je proměnná S.
- Pro sestavení klasického vzorce a výpočet poloměru kružnice je nutné najít rozměry všech stran obrazce popsaného v podmínce úlohy a vypočítat z nich semiperimetr. Pokud podmínky udávají rozměry dvou ramen, lze je použít k výpočtu hodnoty přepony na základě Pythagorovy věty.
- Pokud je v podmínce uvedena velikost jedné nohy a jednoho úhlu, je nutné pochopit, zda je tento úhel sousední nebo opačný. V prvním případě je přepona nalezena pomocí sinusové věty: с=a/sinСАВ, ve druhém případě je aplikována kosinová věta с=a/cosCBA.
- Když jsou všechny výpočty dokončeny a jsou známy rozměry všech stran, je poloobvod nalezen pomocí výše popsaného vzorce.
- Znáte-li hodnotu semi-obvodu, můžete najít poloměr. Vzorec je zlomek. Jeho čitatel je součin rozdílů půlobvodu a každé ze stran a jmenovatel je hodnota půlobvodu.
Je třeba poznamenat, že čitatel tohoto vzorce je ukazatelem oblasti. V tomto případě je vzorec pro zjištění poloměru mnohem jednodušší - stačí rozdělit plochu na polovinu obvodu.
Je také možné určit plochu geometrického obrazce, pokud jsou známy obě nohy. Součet čtverců těchto ramen je přepona, pak se vypočítá semi-obvod. Plochu můžete vypočítat tak, že vynásobíte délky nohou navzájem a výsledek vydělíte 2.
Pokud jsou v podmínkách uvedeny délky ramen i přepony, lze poloměr určit pomocí velmi jednoduchého vzorce: k tomu se délky ramen sečtou, od výsledného čísla se odečte délka přepony. Výsledek musí být rozdělen na polovinu.
Video
Z tohoto videa se dozvíte, jak zjistit poloměr kruhu vepsaného do trojúhelníku.