Sčítání čísel s různými exponenty. Akce s monomiály
Jak znásobit síly? Které mocniny lze násobit a které ne? Jak vynásobíte číslo mocninou?
V algebře můžete najít součin mocnin ve dvou případech:
1) mají-li tituly stejný základ;
2) pokud mají stupně stejné ukazatele.
Při násobení mocnin se stejným základem musí základ zůstat stejný a exponenty se musí sečíst:
Při násobení stupňů se stejnými ukazateli lze celkový ukazatel vyjmout ze závorek:
Zvažte, jak násobit mocniny, s konkrétními příklady.
Jednotka v exponentu se nepíše, ale při násobení stupňů berou v úvahu:
Při násobení může být počet stupňů libovolný. Je třeba si uvědomit, že znak násobení nemůžete napsat před písmeno:
Ve výrazech se nejprve provádí umocňování.
Pokud potřebujete vynásobit číslo mocninou, musíte nejprve provést umocnění a teprve potom - násobení:
www.algebraclass.ru
Sčítání, odčítání, násobení a dělení mocnin
Sčítání a odčítání mocnin
Čísla s mocninami lze samozřejmě sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je jeden po druhém přidáte se svými znaky.
Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Součet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.
Kurzy stejné mocniny stejných proměnných lze přidat nebo odečíst.
Takže součet 2a2 a 3a2 je 5a2.
Je také zřejmé, že když vezmeme dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.
Ale stupně různé proměnné A různé stupně identické proměnné, musí být přidáno jejich přidáním k jejich znaménkům.
Takže součet a 2 a a 3 je součet a 2 + a 3 .
Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a nejsou ani dvojnásobkem druhé mocniny a, ale dvojnásobkem krychle a.
Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odčítání pravomoci se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaky subtrahendu musí být odpovídajícím způsobem změněny.
Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3 h 2 b 6 – 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Násobení moci
Čísla s mocninami lze násobit jako jiné veličiny tak, že je napíšeme za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.
Takže výsledek vynásobení a 3 b 2 je a 3 b 2 nebo aaabb.
Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním stejných proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3 .
Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou součet stupně termínů.
Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Zde 5 je mocnina výsledku násobení, rovna 2 + 3, součet mocnin členů.
Takže a n .a m = a m+n .
Pro a n se a bere jako faktor tolikrát, kolikrát je mocnina n;
A a m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;
Proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením exponentů.
Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Toto pravidlo platí také pro čísla, jejichž exponenty jsou − negativní.
1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn
Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.
Pokud se součet a rozdíl dvou čísel zvýší na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v Čtvrtý stupeň.
Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y8.
Dělba pravomocí
Čísla s mocninami lze dělit jako ostatní čísla odečtením od dělitele nebo jejich umístěním ve tvaru zlomku.
Takže a 3 b 2 děleno b 2 je a 3 .
Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac $. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.
Při dělení mocnin se stejným základem se jejich exponenty odečítají..
Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.
A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.
Nebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Pravidlo platí i pro čísla s negativní stupně.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2 .
Také $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Násobení a dělení mocnin je nutné velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.
Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami
1. Snižte exponenty v $\frac $ Odpověď: $\frac $.
2. Zmenšete exponenty v $\frac$. Odpověď: $\frac $ nebo 2x.
3. Zmenšete exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a přiveďte na Společným jmenovatelem.
a 2 .a -4 je -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.
4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 nebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.
5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).
7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.
8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.
stupně vlastnosti
Připomínáme, že v tuto lekci rozumět stupně vlastnosti s přirozenými ukazateli a nulou. Stupně s racionální ukazatele a jejich vlastnosti budou probrány v lekcích pro 8. ročník.
Stupeň c přirozený indikátor má několik důležité vlastnosti, které umožňují zjednodušit výpočty v příkladech s mocninami.
Nemovitost č. 1
Součin sil
Při násobení mocnin se stejným základem zůstává základ nezměněn a exponenty se sčítají.
a m a n \u003d a m + n, kde "a" je libovolné číslo a "m", "n" jsou jakákoli přirozená čísla.
Tato vlastnost mocnin také ovlivňuje součin tří a více mocnin.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Upozorňujeme, že v uvedené vlastnosti šlo pouze o násobení mocnin se stejnými základy.. Nevztahuje se na jejich sčítání.
Součet (3 3 + 3 2) nelze nahradit 3 5 . To je pochopitelné, pokud
vypočítat (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243
Nemovitost #2
Soukromé tituly
Při dělení mocnin se stejným základem zůstává základ nezměněn a exponent dělitele se odečte od exponentu děliče.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Příklad. Vyřešte rovnici. Využíváme vlastnosti dílčích stupňů.
38: t = 34
Odpověď: t = 3 4 = 81
Pomocí vlastností č. 1 a č. 2 můžete snadno zjednodušit výrazy a provádět výpočty.
- Příklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
Příklad. Najděte hodnotu výrazu pomocí vlastností stupně.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Vezměte prosím na vědomí, že vlastnost 2 se zabývala pouze rozdělením pravomocí se stejnými základy.
Rozdíl (4 3 −4 2) nemůžete nahradit 4 1 . To je pochopitelné, pokud spočítáte (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4
Nemovitost č. 3
Umocňování
Při zvýšení mocniny na mocninu zůstává základ mocniny nezměněn a exponenty se násobí.
(a n) m \u003d a n m, kde "a" je libovolné číslo a "m", "n" jsou jakákoli přirozená čísla.
Upozorňujeme, že vlastnost č. 4 se stejně jako ostatní vlastnosti stupňů používá i v obrácené pořadí.
(a n b n) = (a b) n
To znamená, že pro násobení stupňů se stejnými exponenty můžete vynásobit základy a ponechat exponent beze změny.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Ve více těžké příklady mohou nastat případy, kdy násobení a dělení musí být provedeno na mocninách s různými základy a různými exponenty. V tomto případě vám doporučujeme provést následující.
Například 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Příklad umocňování desetinného zlomku.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Vlastnosti 5
Mocnina kvocientu (zlomky)
Chcete-li zvýšit podíl na mocninu, můžete zvýšit dělitel a dělitel samostatně na tuto mocninu a vydělit první výsledek druhým.
(a: b) n \u003d a n: b n, kde "a", "b" jsou libovolné racionální čísla, b ≠ 0, n - libovolné přirozené číslo.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Připomínáme, že kvocient může být reprezentován jako zlomek. Proto se tématu umocnění zlomku budeme věnovat podrobněji na další straně.
Stupně a kořeny
Operace s mocnicemi a kořeny. Stupeň se záporem ,
nula a zlomek indikátor. O výrazech, které nedávají smysl.
Operace se stupni.
1. Při násobení mocnin se stejným základem se jejich ukazatele sečtou:
a m · a n = a m + n.
2. Při dělení stupňů se stejným základem jejich ukazatele odečteno .
3. Stupeň součinu dvou nebo více faktorů se rovná součinu stupňů těchto faktorů.
4. Míra poměru (zlomku) se rovná poměru stupňů dividendy (čitatel) a dělitele (jmenovatel):
(a/b) n = a n / b n.
5. Při zvýšení stupně na mocninu se jejich ukazatele násobí:
Všechny výše uvedené vzorce se čtou a provádějí v obou směrech zleva doprava a naopak.
PŘÍKLAD (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Operace s kořeny. Ve všech níže uvedených vzorcích symbol znamená aritmetický kořen(radikální výraz je kladný).
1. Kořen součinu několika faktorů se rovná součinu kořenů těchto faktorů:
2. Odmocnina poměru se rovná poměru odmocnin dividendy a dělitele:
3. Při zvednutí kořene na mocninu stačí zvednout na tuto moc kořenové číslo:
4. Pokud zvýšíte stupeň odmocniny o mkrát a současně zvýšíte číslo odmocniny na m-tý stupeň, pak se hodnota odmocniny nezmění:
5. Pokud zmenšíte stupeň odmocniny o m krát a zároveň vyjmete odmocninu m-tého stupně z radikálového čísla, pak se hodnota odmocniny nezmění:
Rozšíření pojmu stupeň. Dosud jsme uvažovali o stupních pouze s přirozeným ukazatelem; ale operace s mocnostmi a kořeny mohou také vést k negativní, nula A zlomkové indikátory. Všechny tyto exponenty vyžadují další definici.
Stupeň se záporným exponentem. Mocnina nějakého čísla se záporným (celým) exponentem je definována jako mocnina vydělená mocninou stejného čísla s exponentem rovným absolutní hodnotě záporného exponentu:
Nyní vzorec a m : a n = a m-n lze použít nejen pro m, více než n, ale také na m, méně než n .
PŘÍKLAD A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Pokud chceme vzorec a m : a n = a m — n byl spravedlivý m = n, potřebujeme definici nultého stupně.
Stupeň s nulovým exponentem. Stupeň jakéhokoli nenulového čísla s nulovým exponentem je 1.
PŘÍKLADY. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Stupeň se zlomkovým exponentem. Chcete-li zvýšit reálné číslo a na mocninu m / n, musíte extrahovat kořen n-tého stupně z m-té mocniny tohoto čísla a:
O výrazech, které nedávají smysl. Takových výrazů je několik.
Kde A ≠ 0 , neexistuje.
Ostatně, pokud to předpokládáme X je určité číslo, pak v souladu s definicí operace dělení máme: A = 0· X, tj. A= 0, což je v rozporu s podmínkou: A ≠ 0
— jakékoliv číslo.
Pokud totiž předpokládáme, že tento výraz se rovná nějakému číslu X, pak podle definice operace dělení máme: 0 = 0 X. Ale tato rovnost platí libovolné číslo x, což mělo být prokázáno.
0 0 — jakékoliv číslo.
Řešení. Zvažte tři hlavní případy:
1) X = 0 – tato hodnota nesplňuje tuto rovnici
2) kdy X> 0 dostaneme: x / x= 1, tzn. 1 = 1, odkud následuje,
Co X- jakékoliv číslo; ale s přihlédnutím k tomu
náš případ X> 0, odpověď je X > 0 ;
Pravidla pro násobení mocnin s různými bázemi
STUPEŇ S RACIONÁLNÍM UKAZATELEM,
FUNKCE NAPÁJENÍ IV
§ 69. Násobení a dělení pravomocí se stejnými základy
Věta 1. K vynásobení mocnin se stejnými základy stačí sečíst exponenty a základ ponechat stejný, tzn.
Důkaz. Podle definice stupně
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Uvažovali jsme o součinu dvou mocnin. Ve skutečnosti dokázaná vlastnost platí pro libovolný počet mocnin se stejnými základy.
Věta 2. K dělení mocnin se stejnými základy, kdy je ukazatel dělitele větší než ukazatel dělitel, stačí odečíst ukazatel dělitele od ukazatele děliče a základ ponechat stejný, tzn. na t > n
(A =/= 0)
Důkaz. Připomeňme, že podíl dělení jednoho čísla druhým je číslo, které po vynásobení dělitelem dává dividendu. Proto dokažte vzorec , kde A =/= 0, je to jako dokazování vzorce
Li t > n , pak číslo t - p bude přirozené; proto podle věty 1
Věta 2 je dokázána.
Všimněte si, že vzorec
námi prokázáno pouze za předpokladu, že t > n . Z toho, co bylo prokázáno, tedy zatím nelze vyvodit např. tyto závěry:
Navíc jsme ještě neuvažovali o stupních se zápornými exponenty a zatím nevíme, jaký význam lze dát výrazu 3 - 2 .
Věta 3. Chcete-li zvýšit mocninu na mocninu, stačí vynásobit exponenty, přičemž základ exponentu zůstane stejný, to je
Důkaz. Použitím definice stupně a věty 1 této části dostaneme:
Q.E.D.
Například (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Úst.) Urči X z rovnic:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .
519. (Upraveno) Zjednodušte:
520. (Upraveno) Zjednodušte:
521. Prezentujte tyto výrazy jako stupně se stejnými základy:
1) 32 a 64; 3) 85 a 163; 5) 4 100 a 32 50;
2) -1000 a 100; 4) -27 a -243; 6) 81 75 8 200 a 3 600 4 150.
Pojem diplom z matematiky se zavádí již v 7. ročníku v hodině algebry. A v budoucnu, v průběhu studia matematiky, je tento koncept aktivně používán v různých podobách. Stupně jsou poměrně obtížné téma, které vyžaduje zapamatování hodnot a schopnost správně a rychle počítat. Pro rychlejší a lepší práci s matematickými tituly přišli s vlastnostmi titulu. Pomáhají omezit velké výpočty, do určité míry převést obrovský příklad do jediného čísla. Vlastností není tolik a všechny jsou snadno zapamatovatelné a aplikovatelné v praxi. Proto článek pojednává o hlavních vlastnostech stupně a také o tom, kde se uplatňují.
stupně vlastnosti
Budeme uvažovat 12 vlastností stupně, včetně vlastností mocnin se stejným základem, a ke každé vlastnosti uvedeme příklad. Každá z těchto vlastností vám pomůže rychleji řešit problémy se stupni a také vás ušetří četných chyb ve výpočtu.
1. nemovitost.
Mnoho lidí na tuto vlastnost velmi často zapomíná, dělá chyby a představuje číslo na nulový stupeň jako nulu.
2. nemovitost.
3. nemovitost.
Je třeba pamatovat na to, že tuto vlastnost lze použít pouze při násobení čísel, nepracuje se součtem! A nesmíme zapomenout, že tato a následující vlastnosti platí pouze pro mocniny se stejným základem.
4. nemovitost.
Pokud je číslo ve jmenovateli umocněno na zápornou mocninu, pak při odečítání se stupeň jmenovatele bere v závorkách, aby se znaménko správně nahradilo v dalších výpočtech.
Vlastnost funguje pouze při dělení, nikoli při odečítání!
5. nemovitost.
6. nemovitost.
Tuto vlastnost lze také použít opačná strana. Jednotka dělená číslem do určité míry je toto číslo na zápornou mocninu.
7. nemovitost.
Tuto vlastnost nelze použít na součet a rozdíl! Při zvýšení součtu nebo rozdílu na mocninu se používají zkrácené vzorce pro násobení, nikoli vlastnosti mocniny.
8. nemovitost.
9. nemovitost.
Tato vlastnost funguje pro všechny zlomkový stupeň s čitatelem rovným jedné bude vzorec stejný, pouze se bude měnit stupeň odmocniny v závislosti na jmenovateli stupně.
Tato vlastnost se také často používá v opačném pořadí. Odmocnina jakékoli mocniny čísla může být reprezentována jako číslo k mocnině jedničky dělené mocninou odmocniny. Tato vlastnost je velmi užitečná v případech, kdy není extrahován kořen čísla.
10. nemovitost.
Tato vlastnost funguje nejen s odmocnina a druhého stupně. Pokud je stupeň kořene a stupeň, do kterého je tento kořen vyvýšen, stejný, pak bude odpovědí radikální výraz.
11. nemovitost.
Tuto vlastnost musíte mít při řešení včas vidět, abyste se ušetřili obrovských výpočtů.
12. nemovitost.
Každá z těchto vlastností vás v úkolech potká vícekrát, může být uvedena v čisté podobě, nebo může vyžadovat nějaké transformace a použití jiných vzorců. Pro správné řešení tedy nestačí znát pouze vlastnosti, je potřeba procvičit a propojit zbytek matematických znalostí.
Aplikace stupňů a jejich vlastnosti
Aktivně se používají v algebře a geometrii. Tituly v matematice mají samostatné, důležité místo. S jejich pomocí se řeší exponenciální rovnice a nerovnice, stejně jako mocniny často komplikují rovnice a příklady související s jinými úseky matematiky. Exponenty pomáhají vyhnout se velkým a dlouhým výpočtům, je snazší zmenšovat a počítat exponenty. Ale pracovat s velkými stupni, nebo s tituly velká čísla, musíte znát nejen vlastnosti stupně, ale také kompetentně pracovat s bázemi, umět je rozložit, abyste si usnadnili svůj úkol. Pro větší pohodlí byste také měli znát význam čísel umocněných. To zkrátí váš čas na řešení tím, že eliminuje potřebu dlouhých výpočtů.
Koncept stupně hraje v logaritmech zvláštní roli. Protože logaritmus je v podstatě mocninou čísla.
Dalším příkladem použití mocnin jsou vzorce pro zkrácené násobení. Nemohou využívat vlastnosti stupňů, rozkládají se podle zvláštních pravidel, ale v každém zkráceném násobícím vzorci jsou stupně bez výjimky.
Tituly se také aktivně používají ve fyzice a informatice. Všechny překlady do soustavy SI jsou prováděny pomocí stupňů a v budoucnu se při řešení úloh uplatňují vlastnosti stupně. V informatice se mocniny dvou aktivně používají pro pohodlí počítání a zjednodušení vnímání čísel. Další výpočty pro převody měrných jednotek nebo výpočty problémů, stejně jako ve fyzice, probíhají pomocí vlastností stupně.
Stupně jsou velmi užitečné i v astronomii, kde jen zřídka najdete využití vlastností stupně, ale stupně samy o sobě se aktivně využívají ke zkrácení záznamu různých veličin a vzdáleností.
Stupně se také používají v obyčejný život, při výpočtu ploch, objemů, vzdáleností.
S pomocí stupňů jsou velmi velké a velmi malé hodnoty napsány v jakékoli oblasti vědy.
exponenciální rovnice a nerovnice
Speciální místo stupně vlastnosti zaujímají přesně v exponenciální rovnice a nerovnosti. Tyto úkoly jsou velmi časté, jako např školní kurz stejně jako u zkoušek. Všechny jsou řešeny aplikací vlastností stupně. Neznámá je vždy ve stupni samotném, proto, když známe všechny vlastnosti, nebude těžké takovou rovnici nebo nerovnici vyřešit.
Jednou z hlavních charakteristik algebry a vlastně celé matematiky je titul. Samozřejmě, že v 21. století lze všechny výpočty provádět na online kalkulačce, ale pro rozvoj mozků je lepší se naučit, jak to udělat sami.
V tomto článku se podíváme na většinu důležité otázky ohledně této definice. Konkrétně pochopíme, co to je obecně a jaké jsou jeho hlavní funkce, jaké vlastnosti existují v matematice.
Podívejme se na příklady, jak výpočet vypadá, jaké jsou základní vzorce. Budeme analyzovat hlavní typy veličin a jak se liší od ostatních funkcí.
Pochopíme, jak vyřešit různé problémy pomocí této hodnoty. Na příkladech si ukážeme, jak zvýšit na nulový stupeň, iracionální, negativní atd.
Online kalkulačka umocňování
Jaký je stupeň čísla
Co znamená výraz „umocnit číslo“?
Stupeň n čísla a je součin faktorů velikosti a n krát za sebou.
Matematicky to vypadá takto:
a n = a * a * a * …a n .
Například:
- 2 3 = 2 ve třetím kroku. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 v kroku. dva = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 v kroku. čtyři = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 v 5 krocích. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 \u003d 10 ve 4 krocích. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Níže je tabulka čtverců a kostek od 1 do 10.
Tabulka stupňů od 1 do 10
Níže jsou uvedeny výsledky stavby přirozená čísla na kladné mocniny - "od 1 do 100".
Ch-lo | 2. stupeň | 3. třída |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 |
3 | 9 | 27 |
4 | 16 | 64 |
5 | 25 | 125 |
6 | 36 | 216 |
7 | 49 | 343 |
8 | 64 | 512 |
9 | 81 | 279 |
10 | 100 | 1000 |
Vlastnosti stupně
Co je charakteristické pro takovou matematickou funkci? Podívejme se na základní vlastnosti.
Vědci zjistili následující znaky charakteristické pro všechny stupně:
- an* am = (a) (n+m);
- an: am = (a) (n-m);
- (a b) m = (a) (b*m).
Podívejme se na příklady:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Na druhou stranu 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Podobně: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Jinak 2 3-2 = 2 1 = 2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Co když je to jinak? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Jak vidíte, pravidla fungují.
Ale jak být se sčítáním a odčítáním? Všechno je jednoduché. Nejprve se provede umocňování a teprve potom sčítání a odčítání.
Podívejme se na příklady:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Ale v tomto případě musíte nejprve vypočítat sčítání, protože v závorkách jsou akce: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Jak vyrábět výpočetní více těžké případy ? Pořadí je stejné:
- pokud existují závorky, musíte s nimi začít;
- pak umocnění;
- poté provádět operace násobení, dělení;
- po sčítání, odčítání.
Existují specifické vlastnosti, které nejsou charakteristické pro všechny stupně:
- Kořen n-tého stupně z čísla a do stupně m budeme psát jako: a m / n .
- Při umocnění zlomku na mocninu: tomuto postupu podléhá čitatel i jeho jmenovatel.
- Při stavbě díla různá čísla k mocnině, výraz bude odpovídat součinu těchto čísel k dané mocnině. To je: (a * b) n = a n * b n .
- Když zvýšíte číslo na zápornou mocninu, musíte ve stejném kroku vydělit 1 číslem, ale se znaménkem „+“.
- Pokud je jmenovatel zlomku v záporné mocnině, pak se tento výraz bude rovnat součinu čitatele a jmenovatele v kladné mocnině.
- Libovolné číslo na mocninu 0 = 1 a na krok. 1 = sobě.
Tato pravidla jsou důležitá v jednotlivých případech, dále se jimi budeme zabývat podrobněji.
Stupeň se záporným exponentem
Co dělat se záporným stupněm, to znamená, když je indikátor záporný?
Na základě vlastností 4 a 5(viz bod výše) ukazuje se:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
A naopak:
1 / A (- n) \u003d An, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Co když je to zlomek?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Stupeň s přirozeným ukazatelem
Je chápán jako stupeň s exponenty rovnými celým číslům.
Důležité informace:
Ao = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…atd.
Ai = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3… atd.
Také, pokud (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…pak výsledek bude se znaménkem „+“. Li záporné číslo zvýšen na lichou moc, naopak.
Charakteristické jsou pro ně také obecné vlastnosti a všechny výše popsané specifické vlastnosti.
Zlomkový stupeň
Tento pohled lze zapsat jako schéma: A m / n. Čte se jako: odmocnina n-tého stupně čísla A na mocninu m.
Pomocí zlomkového ukazatele můžete dělat cokoli: zmenšit, rozložit na části, zvýšit na jiný stupeň atd.
Stupeň s iracionálním exponentem
Nechť α být iracionální číslo a A˃ 0.
Chcete-li pochopit podstatu stupně s takovým indikátorem, Podívejme se na různé možné případy:
- A \u003d 1. Výsledek bude roven 1. Protože existuje axiom - 1 se rovná jedné ve všech mocninách;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 jsou racionální čísla;
- 0˂А˂1.
V tomto případě naopak: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 za stejných podmínek jako v druhém odstavci.
Například exponent je číslo π. Je to racionální.
r 1 - v tomto případě se rovná 3;
r 2 - se bude rovnat 4.
Pak pro A = 1, 1 π = 1.
A = 2, pak 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, pak (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Takové stupně se vyznačují všemi výše popsanými matematickými operacemi a specifickými vlastnostmi.
Závěr
Pojďme si to shrnout – k čemu tyto hodnoty slouží, jaké jsou výhody takových funkcí? Samozřejmě v první řadě zjednodušují život matematikům a programátorům při řešení příkladů, protože umožňují minimalizovat výpočty, redukovat algoritmy, systematizovat data a mnoho dalšího.
Kde jinde mohou být tyto znalosti užitečné? V jakékoli pracovní specializaci: lékařství, farmakologie, stomatologie, stavebnictví, technologie, strojírenství, design atd.
Čísla s mocninami lze samozřejmě sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je jeden po druhém přidáte se svými znaky.
Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Součet a3-bn ah5-d4 je a3-bn+h5-d4.
Kurzy stejné mocniny stejných proměnných lze přidat nebo odečíst.
Takže součet 2a2 a 3a2 je 5a2.
Je také zřejmé, že když vezmeme dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.
Ale stupně různé proměnné A různé stupně identické proměnné, musí být přidáno jejich přidáním k jejich znaménkům.
Takže součet a 2 a a 3 je součet a 2 + a 3 .
Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a nejsou ani dvojnásobkem druhé mocniny a, ale dvojnásobkem krychle a.
Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Odčítání pravomoci se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaky subtrahendu musí být odpovídajícím způsobem změněny.
Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Násobení moci
Čísla s mocninami lze násobit jako jiné veličiny tak, že je napíšeme za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.
Takže výsledek vynásobení a 3 b 2 je a 3 b 2 nebo aaabb.
Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním stejných proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3 .
Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou součet stupně termínů.
Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Zde 5 je mocnina výsledku násobení, rovna 2 + 3, součet mocnin členů.
Takže a n .a m = a m+n .
Pro a n se a bere jako faktor tolikrát, kolikrát je mocnina n;
A a m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;
Proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením exponentů.
Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Toto pravidlo platí i pro čísla, jejichž exponenty jsou - negativní.
1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn
Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.
Pokud se součet a rozdíl dvou čísel zvýší na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v Čtvrtý stupeň.
Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y8.
Dělba pravomocí
Čísla s mocninami lze dělit jako ostatní čísla odečtením od dělitele nebo jejich umístěním ve tvaru zlomku.
Takže a 3 b 2 děleno b 2 je a 3 .
Nebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.
Při dělení mocnin se stejným základem se jejich exponenty odečítají..
Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.
A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Nebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Pravidlo platí i pro čísla s negativní stupně.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2 .
Také $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Násobení a dělení mocnin je nutné velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.
Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami
1. Zmenšete exponenty v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpověď: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Zmenšete exponenty v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpověď: $\frac(2x)(1)$ nebo 2x.
3. Zmenšete exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a přiveďte na společného jmenovatele.
a 2 .a -4 je -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.
4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 nebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.
5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.
6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).
7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.
8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.
9. Vydělte (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.
Pokud potřebujete zvýšit konkrétní číslo na mocninu, můžete použít . Nyní se na to podíváme blíže vlastnosti stupňů.
Exponenciální čísla otevírají velké možnosti, umožňují nám převádět násobení na sčítání a sčítání je mnohem jednodušší než násobení.
Například potřebujeme vynásobit 16 64. Součin vynásobení těchto dvou čísel je 1024. Ale 16 je 4x4 a 64 je 4x4x4. Takže 16 krát 64 = 4x4x4x4x4, což je také 1024.
Číslo 16 může být také reprezentováno jako 2x2x2x2 a 64 jako 2x2x2x2x2x2, a pokud vynásobíme, dostaneme opět 1024.
Nyní použijeme pravidlo. 16 = 4 2 nebo 2 4 , 64 = 4 3 nebo 2 6 , zatímco 1024 = 6 4 = 4 5 nebo 2 10 .
Náš problém lze tedy zapsat jiným způsobem: 4 2 x 4 3 = 4 5 nebo 2 4 x 2 6 = 2 10 a pokaždé dostaneme 1024.
Můžeme vyřešit řadu podobných příkladů a uvidíme, že násobení čísel s mocninami se sníží na sčítání exponentů, nebo exponent, samozřejmě za předpokladu, že základy faktorů jsou stejné.
Můžeme tedy bez násobení okamžitě říci, že 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.
Toto pravidlo platí i při dělení čísel mocninou, ale v tomto případě např exponent dělitele se odečte od exponentu dividendy. Tedy 2 5:2 3 =2 2 , což se v běžných číslech rovná 32:8=4, tedy 2 2 . Pojďme si to shrnout:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kde m a n jsou celá čísla.
Na první pohled by se to mohlo zdát násobení a dělení čísel s mocninami není příliš pohodlné, protože nejprve musíte číslo reprezentovat v exponenciální podobě. Znázornit čísla 8 a 16 v této podobě, tedy 2 3 a 2 4, není těžké, ale jak to udělat s čísly 7 a 17? Nebo co dělat v těch případech, kdy číslo může být reprezentováno v exponenciální formě, ale základy exponenciálních vyjádření čísel jsou velmi odlišné. Například 8×9 je 2 3 x 3 2, v takovém případě nemůžeme sečíst exponenty. Ani 2 5 ani 3 5 není odpověď, ani odpověď mezi těmito dvěma.
Má pak cenu se touto metodou vůbec zabývat? Rozhodně to stojí za to. Poskytuje obrovské výhody zejména pro složité a časově náročné výpočty.