История возникновения арифметических действий. Проект " история происхождения математических знаков" Что такое сложение
Цыганков Александр ученик 4в класса СОШ № 7, г. Мирный
На уроках математики мы постоянно работаем с одним из математических действий – сложением и задумались, когда люди впервые стали складывать, кто и когда дал названия компонентам этого действия, и что интересного ещё можно узнать о действии сложения.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Сообщение для урока математики
ИСТОРИЯ ДЕЙСТВИЯ СЛОЖЕНИЯ ОТ ДРЕВНИХ ВРЕМЕН И ДО НАШИХ ДНЕЙ.
На уроках математики мы постоянно работаем с одним из математических действий – сложением и задумались, когда люди впервые стали складывать, кто и когда дал названия компонентам этого действия, и что интересного ещё можно узнать о действии сложения.
Постепенно мы узнали, что математика нужна всем в повседневной жизни. Всем приходится в жизни считать, мы часто используем (не замечая этого) знания о величинах длины, времени, массы. Мы поняли, что математика – важная часть человеческой культуры.
В данной работе рассматривается ряд интересных вопросов о действии сложения, как одного из основных арифметических действий.
С глубокой древности люди вели счёт предметов. Выполнять арифметические действия люди учились более тысячи лет.
Пальцы человека были не только первым счетным прибором, но и первой вычислительной машиной. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях играли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало.
Однако фиксация результатов счета производилась различными способами : нанесение насечек, счетные палочки, узелки и др. Например, у народов доколумбовой Америки был весьма развит узелковый счет. Более того, система узелков выполняла также роль хранения и летописи, имея достаточно сложную структуру. Однако использование ее требовало хорошей тренировки памяти.
К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.
Известные средневековые математики рекомендовали в качестве вспомогательного средства именно пальцевой счет, допускающий довольно эффективные системы счета.
Однако в разных странах и в разные времена считали по-разному.
Несмотря на то, что у многих народов кисть руки является синонимом и фактической основой числительного "пять", у различных народов при пальцевом счете от одного до пяти указательный и большой пальцы могут иметь разные значения.
У итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный - цифру 2; когда же считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний - 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.
У каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Длительное время сложение чисел люди выполняли только устно с помощью каких-либо предметов - пальцев, камешков, ракушек, бобов, палочек.
В Древней Индии нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислениях они записывали числа палочкой на песке, насыпанном на специальную доску.
Индийские мудрецы предложили записывать числа в столбик - одно под другим; ответ записывали ниже.
В древнем Китае сложение производилось на доске с помощью специальных палочек. Они делались из бамбука или слоновой кости.
В Древнем Египте для сложения использовался иероглиф в виде шагающих ног. Направление ног совпадало с направлением письма, значит, нужно выполнять сложение.
В Древней Руси русские люди в своих вычислениях применяли лишь два арифметических действия - сложение и вычитание и называли их удвоение и раздвоение.
Некоторые знаки для обозначения сложения появились ещё в древности, но до 15 века почти не было общепринятого знака. Существует несколько точек зрения, как появился знак для сложения.
В 15 – 16 веках для знака сложения использовали латинскую букву «P», начальную букву слова плюс. Постепенно данную букву стали писать с двумя чёрточками. Для сложения также употреблялось латинское слово « et» (эт) , обозначающее «И», что значит «больше». Так как слово «et» приходилось писать очень часто, то его стали сокращать: писали сначала одну букву «t», которая постепенно превратилось в знак « + ». Существует третье мнение: знак «+» возник в торговой практике.
Впервые знак «+» в печати появляется в книге «Быстрый и красивый счёт для купечества». Её написал чешский математик Ян Видман в 1489 году.
Человек всегда стремился упростить и ускорить решение выражений, и это привело к созданию вычислительных приборов. Древние народы употребляли при вычислениях счетный прибор «абак».
Аба́к - это счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений в Древней Греции и Риме. Доска абака была разделена линиями на полосы, счёт осуществлялся с помощью размещённых на полосах 5 камней, косточек. В Китае и Японии были распространены восточные абаки из 7 косточек: китайский суань-пань и японский - соробан.
Русский абак - счеты, появились в конце 15 века. Они имеют горизонтальное расположение спиц с косточками и основаны на десятичной системе. Русские счеты широко использовались для вычислений. На них удобно и быстро складывать и вычитать.
Почти три столетия талантливые ученые, инженеры и конструкторы создавали механические счетные машины, облегчающие выполнение четырех математических действий.
В начале 19 века французский изобретатель Карл Томас, воспользовался идеями знаменитого немецкого ученого Лейбница и изобрел счетную машину для выполнения 4 арифметических действий и назвал ее арифмометром. Арифмометры до начала 1970-х гг. оставались добрыми помощниками вычислителей всех стран.
А 20 лет тому назад были сделаны маленькие приборы, выполняющие за считанные секунды сложные расчеты – калькуляторы. Калькуля́тор - электронное вычислительное устройство. Калькуляторы могут быть настольными или (карманными), калькуляторы, встроенные в компьютеры, сотовые телефоны, и даже в наручные часы. Но еще быстрее калькулятора выполняет различные математические операции компьютер. Все это помощники человека при счете. Несмотря на все плюсы компьютерной эпохи, налицо тот факт, что многие взрослые разучились считать без калькулятора. А многие дети даже считают на пальцах – это очень неудобно. Поэтому, предлагаю научиться считать «по-взрослому», с помощью математических приемов - способы запоминания таблицы сложения в пределах 20 и быстрого счета без калькулятора и пальцев. Хитрые математические приемы позволят мгновенно складывать в уме. На первый взгляд эти приемы кажутся запутанными и непонятными. Но разобравшись в них и доведя выполнение до автоматизма, вы поймете, насколько эти приемы просты, удобны и легки. Считайте быстрее, считайте лучше!
Из интервью с учителями – предметниками мы узнали, что действие сложения активно применяется и в других науках.
Русский язык . Тема: «Словообразование» (учитель начальных классов)
В результате сложения образуется сложное слово-слово с несколькими корнями: снегопад, кинотеатр, лесопарк.
Биология . Тема: «Питание человека» (учитель биологии)
Сложение калорий выполняется для определения энергетической ценности продукта (белки, жиры, углеводы)
География . Тема: «Климат» (учитель географии)
Складываются температуры за определённый период, чтобы найти среднесуточную, среднемесячную, среднегодовую температуру.
Физика . Тема «Интерференция» (учитель физики)
Сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках получается усиление или ослабление амплитуды волны – интерференция волн.
Действие сложение мы можем увидеть везде: в постройке домов, при проектировании и постройки ракеты, машины, при пошиве одежды, для приготовления блюд, для выращивания животных, для изготовления лекарств и во многих других сферах деятельности.
Выводы :
- действие сложение использовалось давно для счёта различных предметов
- действие сложения применяется во многих науках
- чаще всего в жизни и взрослые, и дети используют сложение
- легче всего складывать числа на калькуляторе
- существуют «легкие» способы устного счета при сложении
Сложение есть такое действие, в котором по двум или нескольким числам находится число, равное всем им, взятым вместе.
Сложение есть соединение двух или нескольких чисел в одно.
Данные числа в сложении называются слагаемыми , а искомое - суммой .
Сумма заключает в себе столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых.
При сложении двух чисел одно число увеличивается на столько единиц, сколько их содержится в другом числе. Сложить одно число с другим значит прибавить одно число к другому.
Знак сложения . Действие сложения обозначается знаком + (плюс).
Сложение однозначных чисел
Чтобы обозначить, что нужно сложить числа 2, 7, 8, 9, 6, пишут эти числа рядом, помещая между ними знак сложения +:
2 + 7 + 8 + 9 + 6.
Для сложения прибавляют к первому числу второе, затем к полученному результату прибавляют третье число и т. д., до последнего числа.
Самый ход вычисления выражают письменно:
2 + 7 + 8 + 9 + 6 = 32,
словесно:
2 да 7 составляют 9, 9 да 8 составляют семнадцать, 17 да 9 - двадцать шесть, 26 да 6 - тридцать два.
Числа 2, 7, 8, 9, 6 являются слагаемыми, а число 32 есть сумма.
Основное свойство суммы . Сумма не изменится, если мы сложим те же числа в другом порядке, так как в этом случае сумма будет содержать те же самые единицы, следовательно, сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых .
На этом свойстве суммы основываются все правила сложения.
Сложение многозначных чисел
Чтобы обозначить, что нужно сложить несколько многозначных чисел (2302, 495, 30) обыкновенно пишут:
2302 + 495 + 30.
Мы можем рассматривать каждое число состоящим из единиц, десятков, сотен и т. д. Зная, что сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых, мы можем отдельно складывать между собою единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т. д.
Чтобы облегчить сложение, подписывают слагаемые числа одно под другим так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т. д., то есть, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце. Затем проводим черту, чтобы отделить слагаемые от суммы.
В нашем примере числа должны быть написаны так:
2302 495 30
Ход вычисления выражается словесно:
Начинаем сложение с единиц : 2 да 5 составляют семь; подписываем под единицами 7.
Складываем десятки : 9 да 3 составляют 12; 12 десятков составляют одну сотню и 2 десятка; подписываем под десятками цифру 2, а единицу прибавляем к сотням, надписываем ее над сотнями, или как обыкновенно выражаются: замечаем ее в уме.
Складываем сотни : 1 (в уме) да 3 составят 4, 4 да 4 составляют 8; подписываем под сотнями 8.
Складывая тысячи , получаем 2.
Само действие выразится письменно:
Пример . Складывая числа 3275 + 41297 + 135 + 97, имеем:
Из предыдущих примеров выводим правила сложения :
Чтобы сложить целые числа, нужно подписать слагаемые одно под другим так, чтобы единицы одинаковых порядков стояли в одном вертикальном столбце, то есть единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т. д., провести черту и отделить таким образом слагаемые от суммы.
Сложение нужно начинать с простых единиц, то есть с первого столбца, и затем, переходя от правой руки к левой к следующим столбцам, складывают десятки с десятками, сотни с сотнями и т. д.
Если при сложении простых единиц получится в сумме 9 или число меньше 9-ти, нужно подписывать его под столбцом единиц. Если же в сумме получится число больше 9, цифру единиц подписывают под столбцом единиц, а число, выражающее десятки, присоединяют к следующему столбцу.
При сложении столбца десятков нужно поступать подобным же образом и продолжать сложение, пока не получим полной суммы.
Толковый словарь живого великорусского языка Владимира Даля
Сложение , сложить, сложный и пр. см. слагать.
Толковый словарь Ожегова
Сложение , -я, ср.
см. сложить.
Математическое действие,посредством к-рого из двух или нескольких чисел (или величин) получаютновое, содержащее столько единиц (или величин), сколько было во всех данныхчислах (величинах) вместе. Задача на с.
Слово, образованное по способусловосложения (спец.). , -я, ср. То же, что телосложение. Богатырское с.
Толковый словарь русского языка Ушакова
СЛОЖЕНИЕ, сложения, ср.
Только ед. действие по глаг. сложить во 2, 5 и 7 знач. - складывать - слагать. Сложение сил (замена нескольких сил одной, производящей равноценное действие; физ.). Сложение величин. Сложение обязанностей.
Только ед. Одно из четырех арифметических действий, посредством к-рого из двух или нескольких чисел (слагаемых) получают новое (сумму), содержащее столько единиц, сколько было во всех данных числах вместе. Правило сложения. Задача на сложение. Произвести сложение.
То же, что телосложение; общее физическое состояние организма. Богатырского сложения, здоровенный был детинушка. Некрасов. Не хвастаюсь сложеньем, однако бодр и свеж, и дожил до седин. Грибоедов. || Строение вещества (спец.). Ноздреватое сложение.
сложение
сложения, ср.
только ед. действие по глаг. сложить во 2 5 и 7 знач. - складывать - слагать. Сложение сил (замена нескольких сил одной, производящей равноценное действие; физ.). Сложение величин. Сложение обязанностей.
только ед. Одно из четырех арифметических действий, посредством к-рого из двух или нескольких чисел (слагаемых) получают новое (сумму), содержащее столько единиц, сколько было во всех данных числах вместе. Правило сложения. Задача на сложение. Произвести сложение.
То же, что телосложение; общее физическое состояние организма. Богатырского сложения, здоровенный был детинушка. Некрасов. Не хвастаюсь сложеньем, однако бодр и свеж, и дожил до седин. Грибоедов.
Строение вещества (спец.). Ноздреватое сложение.
Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.
сложение
Математическое действие, посредством которого из двух или нескольких чисел - слагаемых - получают новое - сумму, содержащее столько единиц, сколько было во всех названных числах вместе.
Один из слоев холста, ленты, ровницы, уложенный параллельно с другими слоями или наложенный на другие слои (в прядении).
Энциклопедический словарь, 1998 г.
сложение
арифметическое действие. Обозначается знаком + (плюс). В области целых положительных чисел (натуральных чисел) в результате сложения по данным числам (слагаемым) находится новое число (сумма), содержащее столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых. Действие сложения определяется также для случая произвольных действительных или комплексных чисел, а также векторов и т.д.
Сложение
арифметическое действие. Результатом С. чисел а и b является число, называемое суммой чисел а и b (слагаемых) и обозначаемое а + b. При С. выполняются переместительный (коммутативный) закон: а + b = b + а и сочетательный (ассоциативный) закон: (а + b) + с = а + (b + с). Помимо С. чисел, в математике рассматривают действия, также называемые С., над различными другими математическими объектами (С. многочленов, векторов, матриц и т. д.). К операциям, не подчиняющимся переместительному и сочетательному законам, термин «С.» не применяют.
Википедия
Сложение (значения)
Сложение - фундаментальный термин, в разных областях означающий почти всегда то, что нечто целое составляется из каких-нибудь частей. Чаще всего он используется в математическом смысле: сложение - арифметическая операция. А также:
- Сложение - процесс построения стен из блоков, кирпичей.
- Сложение - составление слогов из букв, сложение слов из слогов.
- Сложение - синоним фигуры .
Сложение
Сложе́ние (часто обозначается символом плюса «+») - арифметическое действие. Результатом сложения чисел a и b является число, называемое суммой чисел a и b и обозначаемое a + b . Это одна из четырёх математических операций арифметики, вместе с вычитанием, умножением и делением. Сложение двух натуральных чисел есть общая сумма этих величин. Например, комбинация из трёх и двух яблок в сумме даёт 5 яблок. Это наблюдение эквивалентно алгебраическому выражению «3 + 2 = 5», то есть «3 плюс 2 равно 5».
Используя систематические обобщения, сложение можно определить для абстрактных величин, таких как целые числа, рациональные числа, вещественные числа и комплексные числа и для других абстрактных объектов, таких как векторы и матрицы.
То есть каждой паре элементов (a
, b
) из множества A
c
= a
+ b
, называемый суммой a
и b
.
У сложения есть несколько важных свойств (например, для A - множества вещественных чисел) (см. Сумма):
Коммутативность: a + b = b + a , ∀a , b ∈ A Ассоциативность: (a + b ) + c = a + (b + c ), ∀a , b , c ∈ A Дистрибутивность: x ⋅ (a + b ) = (x ⋅ a ) + (x ⋅ b ), ∀a , b ∈ A . Прибавление 0 даёт число, равное исходному: x + 0 = 0 + x = x , ∀x ∈ A , ∃0 ∈ A .
Сложение - одна из простейших операций с числами. Сложение очень маленьких чисел понятно даже детям; простейшая задача, 1 + 1, может быть решена пятимесячным ребёнком и даже некоторыми животными. В начальной школе учат считать в десятичной системе счисления, начиная со сложения простых чисел и постепенно переходя к более сложным задачам.
Известны различные устройства для сложения: от древних абаков до современных компьютеров,
Сложение (математика)
Сложе́ние
- одна из основных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов, результатом которой является новое число (сумма), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «плюс»: a
+ b
= c
.
В общем виде можно записать: S
(a
, b
) = c
, где a
∈ A
и b
∈ A
. То есть каждой паре элементов (a
, b
) из множества A
ставится в соответствие элемент c
= a
+ b
, называемый суммой a
и b
.
Сложение возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).
На множестве вещественных чисел график функции сложения имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.
У сложения есть несколько важных свойств (например для A = R):
Коммутативность: a + b = b + a , ∀a , b ∈ A . Ассоциативность (см. Сумма): (a + b ) + c = a + (b + c ), ∀a , b , c ∈ A . Дистрибутивность: x ⋅ (a + b ) = (x ⋅ a ) + (x ⋅ b ), ∀a , b ∈ A . Прибавление 0 (нулевого элемента) даёт число равное исходному: x + 0 = 0 + x = x , ∀x ∈ A , ∃0 ∈ A . Сложение с противоположным элементом даёт 0: a + ( − a ) = 0, ∀a ∈ A , ∃ − a ∈ A .
В качестве примера, на картинке справа запись 3 + 2 обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме дает пять яблок. Заметим, что нельзя сложить например 3 яблока и 2 груши. Таким образом, 3 + 2 = 5. Помимо счета яблок, сложение также может представлять объединение других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа , дробные числа, векторы, функции , и другие.
Известны различные устройства для сложения: от древних абаков до современных компьютеров, задача реализации наиболее эффективного сложения для последних является актуальной по сей день.
Примеры употребления слова сложение в литературе.
Статский советник Дорофеев - коротконогий, квадратный, апоплектического сложения - открыл рояль, взял несколько аккордов, затем подтянул вверх рукава темно-зеленой визитки и заиграл одну из грустных мелодий Грига.
Рядом с Аврамием оказался молодой арбалетчик, богатырского сложения парень со шрамом на лице, в чьих могучих руках тяжелый легионный арбалет казался детской игрушкой.
Лорд Доно был энергичным мужчиной среднего роста с коротко подстриженной широкой черной бородой, на нем был траурный костюм форского стиля, черный с серой отделкой, подчеркивающий его атлетичное сложение .
Эсте Ронд был высок, как и все ауты, но обладал необычно мощным для своих средних лет сложением .
Молодой, крепкого сложения парень и высокая темноглазая девушка в длинном меховом безрукавом одеянии, опушенном по подолу белым мехом, смело подошли к прилавку, где стоял Туре Хунд.
Рослый, крепкого сложения , излучающий энергию, этакий бонвиван, он вырос в крупного деятеля скорее благодаря своей внешности, чем ораторскому искусству, которым владел Гитлер.
Капитан - грузный человек примерно такого же сложения , что и Марк Брем, но физически более выносливый - приблизился к Стивену.
Особенно казались ему страшными негр Сам, здоровенный детина геркулесовского сложения , и испанец Чезаре, маленький, заросший волосами, черный, как жук, с лукавым взглядом злого и хитрого животного.
Но - только при условии, что глиссадная планка в центре, а значит, самолет движется по гипотенузе, и все законы сложения векторов действуют.
Когда он вернулся на пляж, близко к берегу подошел глиссер, и парень атлетического сложения , сидевший за рулем, вглядывался в сидящих и лежащих на берегу, ища кого-то.
Этому не противоречит существование чародеяний через посредство дурного глаза, ведущего к околдованию ребенка нежного сложения , или через посредство других приемов, вызывающих изменение состояния тел у людей и животных, переход одних элементов в другие, влекущих градобитие и т.
Напомним, что операции инкремента и декремента указателя эквивалентны сложению 1 с указателем или вычитанию 1 из указателя, причем вычисление происходит в элементах массива, на который настроен указатель.
Он быстро выучил их и усвоил простейшие примеры сложения и вычитания, хотя дело затрудняла десятеричная система, изобретенная существами с десятью пальцами на руках и отличная от восьмеричной у тенду, которые имели восемь пальцев.
Осложнение этих обращений происходило посредством дупликации и мультипликации, сложения двух разных основ, а дифференцирование также и посредством интонаций.
Смысл получается от сложения цифр, обозначенных капительными буквами этого стиха.
Есть действие, при помощи которого совокупность данных чисел приводится к виду a010n + a110n-1+ а210n-2 +.. . + an+an+110-1 + an+210-2 +.. . где все коэффициенты меньше десяти. Как выполнить это преобразование, всем известно, и потому не считаем нужным вдаваться в подробности. Д. С. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона