Kaip rasti rutulio plotą ir tūrį. Sfera, rutulys, segmentas ir sektorius
Turėdami tik vieną formulę ir iš pradžių žinodami, koks yra skersmuo ar spindulys, galite lengvai apskaičiuoti rutulio paviršiaus plotą. Formulė atrodys taip S = 4πR2, kur skaičius „pi“ padauginamas iš 4, tada iš rutulio spindulio iki kvadrato laipsnio. Tačiau prieš tiesioginius skaičiavimus turėtumėte nedelsdami suprasti terminus.
Vertybių aiškinimas
Tai turėtų būti žinoma:
- Kamuolys- geometrinis objektas, atsirandantis dėl sukimosi pusapvalių judesių aplink centrą. Bet kuris rutulio paviršiaus taškas yra tokiu pat atstumu nuo centro.
- Sfera- ne tas pats kaip kamuolys. Jei tai yra trimatis objektas ir apima vidinę erdvę, tai sfera yra tik šio objekto paviršius ir turi tik savo plotą. Kitaip tariant, negalima sakyti, kad rutulys turi tokį ir tokį tūrį, skirtingai nei rutulys.
- Pi" yra pastovus skaičius, lygus apskritimo perimetro ir jo skersmens santykiui. Sutrumpintai jis paprastai žymimas skaičiumi, lygiu 3,14. Bet iš tikrųjų po trijų yra daugiau nei tūkstantis skaitmenų!
- Rutulio spindulys yra ½ jo skersmens.. Tikslų skersmenį galima apskaičiuoti naudojant kelis plokščius ir lygius objektus. Jums tereikia užspausti rutulį tarp šių objektų, kurie suspaudžia rutulį ir yra statmenai vienas kitam, tada išmatuokite gautą skersmenį.
- Kvadratinis laipsnisžymimas kaip du ir reiškia, kad šis skaičius turi būti padaugintas iš savęs vieną kartą. Jei skaičiaus laipsnis būtų trigubo pavidalo, tuomet reikėtų padauginti iš savęs du kartus. Užrašę posakį ant popieriaus, galite suprasti, kodėl vartojami būtent du ir trys, o ne vienas ir du.
- Apimtis- reikšmė, nurodanti objekto dydį erdvėje. Rutulio tūris priklauso nuo skersmens. Formulė bus lygi keturiems trečdaliams, padaugintai iš skaičiaus "pi" ir vėl padauginta iš jo spindulio kubu.
- Kvadratas- reikšmė, nurodanti objekto paviršiaus dydį, bet ne vidinę erdvę.
Įdomūs faktai
Tai įdomu:
- Pi turi savo gerbėjų klubus visame pasaulyje. Draugijos nariai stengiasi iš šio numerio prisiminti kuo daugiau ženklų, taip pat bando įminti universalias skaičiuje slypinčias paslaptis.
- Žemės plotas sudaro tik 29,2% viso Žemės paviršiaus. Tikslų vietovės skaičių sunku įvardyti dėl netolygios Žemės reljefo, pavyzdžiui, įdubimų ir kalnų.
- Sferos ploto formulės žinojimas gali būti pritaikytas kasdieniame gyvenime. Be to, šios žinios gali nuslopinti priešininką ginče.
Parodydami savo žinias geometrijos srityje, iš pradžių galite priversti jus gerbti, o remontininkams ir pardavėjams galite suprasti, kad jūs negalite tiesiog būti apgauti.
Formulės taikymas
Pažiūrėkime į pavyzdį, kaip apskaičiuoti apvalios sferos plotą, kurio skersmuo yra 50 cm. Vadovaujantis formule, reikia 50 padalyti iš dviejų (kad gautume spindulį), gautą skaičių kvadratu ir viską padauginti iš pradžių iš 4, tada iš 3,14. Dėl to gauname 7850 kvadratinių centimetrų skaičių.
Ploto formulė taikomas ne tik tarp mokytojų mokykloje ir mokslininkų laboratorijoje. Ši formulė gali būti naudinga paprastam dailininkui. Juk jei kamuolys didelis, o dažai maži, tuomet kyla klausimas – ar jam šio mišinio pakaks visam objektui nudažyti. Ir tai toli gražu ne vienintelis kasdienis atvejis, kai formulė gali praversti.
Tūrio formulė Tai taip pat gali būti naudinga statybų komandai, kuri atlieka remontą. Ir visai nesvarbu, koks tai objektas – pramoninis pastatas, mažas namas ar paprastas butas. Tuo ir išsiskiria profesionalai – jie moka savo žinias pritaikyti praktikoje.
Bet kaip būti jei neįmanoma išmatuoti objekto? Toks klausimas gali kilti esant didžiuliam objekto dydžiui ar neprieinamumui. Šiuo atveju gali padėti elektroninės technologijos, pagrįstos erdvės skenavimu tam tikrais dažniais ir lazeriais. SU šiuolaikinės technologijos Nebūtina atmintinai žinoti visų formulių. Pakanka turėti interneto ryšį ir eiti į bet kurį internetinį skaičiuotuvą.
Visuotinai pripažįstama, kad pirmasis, kuris surado ir išvedė rutulio tūrio ir ploto formulę , buvo Archimedas. Tai didžiausias senovės graikų mokslininkas, gyvenęs 300 metų prieš mūsų erą. Jis buvo ne tik matematikas, bet ir fizikas bei inžinierius. Jis – vienas pirmųjų žmonių, pabandžiusių „skaitmenizuoti“ mus supantį pasaulį. Jo teoremos ir raštai naudojami iki šiol.
Tai buvo Archimedas, kuris apibrėžė skaičiaus „pi“ ribas ir paženklino juos neturėdami jokių modernių dalykėlių. Pats Archimedas labai didžiavosi rasta formule, kurios pagalba apskaičiuojamas kamuoliuko tūris. Jo palikuonys to garbei ant jo antkapio pavaizdavo cilindrą ir rutulį.
Jei per kokį nors stebuklą jis atgimtų mūsų laikais, jis iš karto galėtų pakeisti šį pasaulį ir pakelti jį į naują lygmenį.
Vaizdo įrašas
Naudodami šį vaizdo įrašą kaip pavyzdį, jums bus lengva suprasti, kaip rasti rutulio paviršiaus plotą.
Apibrėžimas.
Sfera (rutulio paviršius) yra visų trimatėje erdvėje esančių taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo vieno taško, rinkinys, vadinamas sferos centras(Apie).Sferą galima apibūdinti kaip trimatę figūrą, kuri susidaro sukant apskritimą aplink savo skersmenį 180° arba puslankį aplink skersmenį 360°.
Apibrėžimas.
Kamuolys yra visų trimatėje erdvėje esančių taškų rinkinys, nuo kurio atstumas neviršija tam tikro atstumo iki taško, vadinamo kamuolio centras(O) (visų erdvinės erdvės taškų, apribotų rutulio, rinkinys).Rutulį galima apibūdinti kaip trimatę figūrą, kuri susidaro sukant apskritimą aplink savo skersmenį 180° arba puslankį aplink jo skersmenį 360°.
Apibrėžimas. Rutulio (rutulio) spindulys(R) yra atstumas nuo rutulio (rutulio) centro Oį bet kurį rutulio tašką (rutulio paviršių).
Apibrėžimas. Rutulio (rutulio) skersmuo(D) yra atkarpa, jungianti du rutulio (rutulio paviršiaus) taškus ir einanti per jo centrą.
Formulė. Kamuolio tūris:
V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
3 | 6 |
Formulė. Rutulio paviršiaus plotas per spindulį arba skersmenį:
S = 4π R 2 = π D 2
Sferos lygtis
1. Sferos su spinduliu R ir centru Dekarto koordinačių sistemos pradžioje lygtis:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Rutulio, kurio spindulys R ir centras taške, kurio koordinatės (x 0 , y 0 , z 0) Dekarto koordinačių sistemoje, lygtis:
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Apibrėžimas. diametraliai priešingi taškai yra bet kurie du rutulio (rutulio) paviršiaus taškai, sujungti skersmeniu.
Pagrindinės rutulio ir rutulio savybės
1. Visi rutulio taškai yra vienodai nutolę nuo centro.
2. Bet kuri rutulio pjūvis plokštuma yra apskritimas.
3. Bet kuri rutulio pjūvis plokštuma yra apskritimas.
4. Sfera turi didžiausią tūrį tarp visų erdvinių figūrų, kurių paviršiaus plotas yra toks pat.
5. Per bet kuriuos du diametraliai priešingus taškus galite nubrėžti daug didelių apskritimų sferai arba apskritimus rutuliui.
6. Per bet kuriuos du taškus, išskyrus diametraliai priešingus taškus, galima nubrėžti tik vieną didelį apskritimą rutuliui arba didelį apskritimą rutuliui.
7. Bet kurie du vieno rutulio didieji apskritimai susikerta išilgai tiesės, einančios per rutulio centrą, o apskritimai susikerta dviejuose diametraliai priešinguose taškuose.
8. Jei atstumas tarp bet kurių dviejų rutuliukų centrų yra mažesnis už jų spindulių sumą ir didesnis už jų spindulių skirtumo modulį, tai tokie rutuliukai susikerta, o susikirtimo plokštumoje susidaro apskritimas.
Sferos sekantas, styga, sekantinė plokštuma ir jų savybės
Apibrėžimas. Sferų sekantas yra tiesi linija, kuri kerta sferą dviejuose taškuose. Sankirtos taškai vadinami pradūrimo taškai paviršius arba įėjimo ir išėjimo taškai paviršiuje.
Apibrėžimas. Rutulio (rutulio) akordas yra atkarpa, jungianti du rutulio (rutulio paviršiaus) taškus.
Apibrėžimas. pjovimo plokštuma yra plokštuma, kuri kerta sferą.
Apibrėžimas. Skersmens plokštuma- tai slenkanti plokštuma, einanti per rutulio arba rutulio centrą, pjūvis formuojasi atitinkamai puikus ratas Ir didelis ratas. Didysis apskritimas ir didysis apskritimas turi centrą, kuris sutampa su sferos (rutulio) centru.
Bet kuri styga, einanti per rutulio (rutulio) centrą, yra skersmuo.
Akordas yra sekantinės linijos atkarpa.
Atstumas d nuo rutulio centro iki sekanto visada yra mažesnis už sferos spindulį:
d< R
Atstumas m tarp pjovimo plokštumos ir rutulio centro visada yra mažesnis nei spindulys R:
m< R
Pjovimo plokštumos pjūvis ant sferos visada bus mažas ratas, o ant kamuolio sekcija bus mažas ratas. Mažas apskritimas ir mažas apskritimas turi savo centrus, kurie nesutampa su sferos (rutulio) centru. Tokio apskritimo spindulį r galima rasti pagal formulę:
r \u003d √ R 2 - m2,
Kur R yra rutulio (rutulio) spindulys, m yra atstumas nuo rutulio centro iki pjovimo plokštumos.
Apibrėžimas. Pusrutulis (pusrutulis)- tai yra pusė rutulio (rutulio), kuris susidaro, kai jis perpjaunamas diametrine plokštuma.
Sferos liestinė, liestinė ir jų savybės
Apibrėžimas. Sferos liestinė yra tiesi linija, kuri liečia sferą tik viename taške.
Apibrėžimas. Sferos liestinė yra plokštuma, kuri liečia sferą tik viename taške.
Liestinė (plokštuma) visada yra statmena rutulio, nubrėžto į sąlyčio tašką, spinduliui
Atstumas nuo rutulio centro iki liestinės linijos (plokštumos) lygus rutulio spinduliui.
Apibrėžimas. rutulio segmentas- tai rutulio dalis, kuri yra nupjauta nuo rutulio pjovimo plokštuma. Segmento stuburas skambinkite apskritimu, kuris susidarė sekcijos vietoje. segmento aukštis h – statmens, nubrėžto nuo atkarpos pagrindo vidurio iki atkarpos paviršiaus, ilgis.
Formulė. Sferos segmento išorinis paviršiaus plotas kurio aukštis h pagal rutulio spindulį R:
S = 2π Rh
Pateikiame labai paprastą, nors ir ne visiškai griežtą sferinio paviršiaus ploto formulės išvedimą; savo idėja jis labai artimas integralinio skaičiavimo metodams. Taigi, duokime kokį nors rutulį, kurio spindulys R. Išskirkime nedidelę jo paviršiaus sritį (412 pav.) ir apsvarstykime piramidę arba kūgį, kurio viršūnė yra rutulio O centre, kurios pagrindas yra ši sritis. ; griežtai kalbant, mes tik sąlyginai kalbame apie kūgį ar piramidę, nes pagrindas nėra plokščias, o sferinis. Tačiau esant mažam pagrindui, palyginti su rutulio spinduliu, jis labai mažai skirsis nuo plokščio (pavyzdžiui, matuojant nelabai didelį žemės sklypą, neatsižvelgiama į tai, kad jis guli ne plokštumoje, o sfera).
Tada, žymėdami „piramidės“ pagrindą per šios atkarpos plotą, randame jos tūrį kaip trečdalio aukščio ir pagrindo ploto sandaugą (spindulys). rutulys tarnauja kaip aukštis):
Jei dabar išskaidysime visą sferos paviršių į labai didelis skaičius N tokių mažų plotų, taigi rutulio tūris į N tūrius "piramidžių", turinčių šiuos plotus kaip pagrindą, tada visas tūris bus pavaizduotas suma
kur yra paskutinė suma viso paviršiaus kamuolys:
Taigi, rutulio tūris yra lygus trečdaliui jos spindulio ir paviršiaus ploto sandaugos. Taigi paviršiaus plotui turime formulę
Paskutinis rezultatas formuluojamas taip:
Rutulio paviršiaus plotas yra keturis kartus didesnis už jo didžiojo apskritimo plotą.
Aukščiau pateikta išvada tinka ir rutulio sektoriaus paviršiaus plotui (turime omenyje tik pagrindą, tai yra sferinį paviršių, arba „dangtelius“; žr. 409 pav.). Ir šiuo atveju sektoriaus tūris yra lygus trečdaliui rutulio spindulio ir jo sferinio pagrindo ploto sandaugos:
kur randame dangtelio ploto formulę
Sferinis diržas (žr. 408 pav.) vadinamas sferinio sluoksnio sferiniu paviršiumi. Norėdami apskaičiuoti sferinio diržo paviršiaus plotą, randame skirtumą tarp dviejų sferinių dangtelių paviršių:
kur yra sluoksnio aukštis. Taigi, tam tikro rutulio sferinio diržo paviršiaus plotas priklauso tik nuo atitinkamo sluoksnio aukščio, bet ne nuo jo padėties ant rutulio.
Užduotis. Šoninis paviršius aplink sferą apriboto kūgio plotas yra lygus pusantro rutulio paviršiaus ploto. Raskite kūgio aukštį, jei sferos spindulys yra .
Sprendimas. Patogumui įvedame kampą a tarp aukščio ir kūgio generatrix (413 pav.). Pagrindo aukščiui, spinduliui ir kūgio generatoriui randame išraiškas
Daugelis iš mūsų mėgsta žaisti futbolą arba bent jau beveik visi esame girdėję apie šį garsųjį sporto žaidimą. Visi žino, kad futbolas žaidžiamas su kamuoliu.
Jei paklausi praeivio, kokia forma geometrinė figūra turi rutulį, kai kurie žmonės sakys, kad rutulio forma, o kiti – rutulio forma. Taigi kuris iš jų yra teisingas? O kuo skiriasi sfera nuo rutulio?
Svarbu!
Kamuolys yra kosminis kūnas. Kamuolio viduje kažkas užpildytas. Todėl sfera gali rasti tūrį.
Rutulio pavyzdžiai realiame gyvenime: arbūzas ir plieninis rutulys.
Rutulys ir rutulys, kaip ir apskritimas, turi centrą, spindulį ir skersmenį.
Svarbu!
Sfera yra sferos paviršius. Galite rasti sferos paviršiaus plotą.
Gyvenimo sferos pavyzdžiai: tinklinio ir stalo teniso kamuoliukas.
Kaip rasti sferos plotą
Prisiminti!
Sferos ploto formulė: S=4 π R 2
Norėdami rasti sferos plotą, turite atsiminti, kas yra skaičiaus galia. Žinant laipsnio nustatymas, sferos ploto formulę galime parašyti taip.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;
Įtvirtinti įgytas žinias ir išspręsti sferos ploto problemą.
Zubareva 6 klasė. Numeris 692(a)
Užduotis:
- Apskaičiuokite rutulio plotą, jei jo spindulys yra
1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
= = =
= 188 88 - R3 = 1
- R = 1 m
Svarbu!
Mieli tėvai!
Galutinai apskaičiuojant spindulį, nebūtina priversti vaiko skaičiuoti kubo šaknį. 6 klasės mokiniai dar neišlaikė ir nežino matematikos šaknų apibrėžimo.
6 klasėje spręsdami tokį uždavinį naudokite surašymo metodą.
Paklauskite mokinio, koks skaičius, padaugintas iš 3 kartų, duos vieną.