Kokie yra skaičiai, išskyrus natūralius. Procedūros ir funkcijos – klasių metodai

Šis straipsnis skirtas temai „Tikri skaičiai“. Straipsnyje pateikiamas realiųjų skaičių apibrėžimas, iliustruojama jų padėtis koordinačių tiesėje, aptariami realiųjų skaičių patikslinimo skaitinėmis išraiškomis būdai.

Realiųjų skaičių apibrėžimas

Sveikieji ir trupmeniniai skaičiai kartu sudaro racionalius skaičius. Kita vertus, racionalus ir neracionalūs skaičiai yra realūs skaičiai. Kaip nustatyti, kas yra tikrieji skaičiai?

1 apibrėžimas

Realūs skaičiai yra racionalieji ir neracionalieji skaičiai. Realiųjų skaičių aibė žymima R.

Šis apibrėžimas gali būti parašytas skirtingai, atsižvelgiant į šiuos dalykus:

1. Racionalieji skaičiai gali būti pateikiami kaip baigtinis dešimtainis arba begalinis periodinis dešimtainis skaičius.
2. Iracionalieji skaičiai yra begaliniai nepasikartojantys kableliai.

Realūs skaičiai- skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip baigtinę arba begalinę (periodinę arba neperiodinę) dešimtainę trupmeną.

Realieji skaičiai yra bet kokie racionalūs ir neracionalūs skaičiai. Štai tokių skaičių pavyzdžiai: 0 ; 6; 458; 1863 m.; 0,578; - 38; 265; 0,145 (3); žurnalas 5 12 .

Nulis taip pat yra tikrasis skaičius. Pagal apibrėžimą yra ir teigiamų, ir neigiamų realiųjų skaičių. Nulis yra vienintelis tikrasis skaičius, kuris nėra nei teigiamas, nei neigiamas.

Kitas realiųjų skaičių pavadinimas yra realieji skaičiai. Šie skaičiai leidžia apibūdinti nuolat kintančio dydžio vertę neįvedant pamatinės (vienos) šio dydžio reikšmės.

Koordinačių tiesė ir realieji skaičiai

Kiekvienas nekoordinačių linijos taškas atitinka konkretų ir unikalų realųjį skaičių. Kitaip tariant, realūs skaičiai užima visą koordinačių liniją, o tarp kreivės taškų ir skaičių yra vienas su vienu atitikimas.

Realiųjų skaičių vaizdavimas

Realiųjų skaičių apibrėžimas apima:

1. Sveikieji skaičiai.
2. Sveiki skaičiai.
3. Dešimtainės.
4. Paprastosios trupmenos.
5. Mišrūs skaičiai.

Be to, tikrieji skaičiai dažnai pateikiami kaip išraiškos su galiomis, šaknimis ir logaritmais. Realiųjų skaičių suma, skirtumas, sandauga ir dalinys taip pat yra tikrieji skaičiai.

Bet kurios išraiškos, sudarytos iš realiųjų skaičių, reikšmė taip pat bus tikrasis skaičius.

Pavyzdžiui, išraiškų sin 2 3 π e - 2 8 5 10 log 3 2 ir t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 reikšmės yra realūs skaičiai.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Realaus skaičiaus samprata: tikras numeris- (tikrasis skaičius), bet koks neneigiamas arba neigiamas skaičius arba nulis. Realiųjų skaičių pagalba išreikškite kiekvieno fizinio dydžio matavimus.

tikras, arba tikras numeris atsirado dėl poreikio išmatuoti geometrinius ir fiziniai kiekiai ramybė. Be to, šaknies išskyrimo operacijoms atlikti, logaritmui skaičiuoti, algebrinėms lygtims spręsti ir kt.

Natūralūs skaičiai susidarė tobulėjant skaičiavimui, o racionalieji skaičiai su poreikiu valdyti visumos dalis, tada realieji skaičiai (realieji) naudojami nuolatiniams dydžiams matuoti. Taigi, išplėtus nagrinėjamų skaičių atsargą, atsirado realiųjų skaičių aibė, kurią, be racionaliųjų skaičių, sudaro kiti elementai, vadinami neracionalūs skaičiai.

Realiųjų skaičių aibė(žymimas R) yra racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibės, sujungtos.

Tikrieji skaičiai dalijami išracionalus ir neracionalus.

Realiųjų skaičių aibė žymima ir dažnai vadinama tikras arba skaičių eilutė. Tikrieji skaičiai sudaryti iš paprastų objektų: visas ir racionalūs numeriai.

Skaičius, kurį galima parašyti kaip santykį, kurm yra sveikasis skaičius ir nyra natūralusis skaičiusracionalus skaičius.

Bet kurį racionalųjį skaičių galima lengvai pavaizduoti kaip baigtinę trupmeną arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Pavyzdys,

Begalinis dešimtainis, tai yra dešimtainė trupmena, kuri yra po kablelio begalinis skaičius skaitmenys.

Skaičiai, kurių negalima pavaizduoti taip, kaip yra neracionalūs skaičiai.

Pavyzdys:

Bet kurį neracionalų skaičių lengva pavaizduoti kaip begalinę neperiodinę dešimtainę trupmeną.

Pavyzdys,

Racionalieji ir iracionalieji skaičiai sukuria realiųjų skaičių rinkinys. Visi realūs skaičiai atitinka vieną koordinačių linijos tašką, kuris vadinamas skaičių eilutė.

Skaičių rinkiniams naudojamas toks žymėjimas:

• N- daug natūraliuosius skaičius;
• Z- sveikųjų skaičių rinkinys;
• K- racionaliųjų skaičių aibė;
• R yra realiųjų skaičių aibė.

Begalinių dešimtainių trupmenų teorija.

Realusis skaičius apibrėžiamas kaip begalinis dešimtainis, t.y.:

±a 0,a 1 a 2 …a n …

kur ± yra vienas iš simbolių + arba –, skaičiaus ženklas,

a 0 yra teigiamas sveikasis skaičius,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… yra skaitmenų po kablelio seka, t.y. skaitinės aibės elementai {0,1,…9}.

Begalinė dešimtainė trupmena gali būti paaiškinta kaip skaičius, esantis skaičių tiesėje tarp racionalių taškų, pavyzdžiui:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n ir ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) visiems n = 0,1,2,…

Tikrieji skaičiai lyginami begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis po truputį. Pavyzdžiui, tarkime, kad pateikti 2 teigiami skaičiai:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Jeigu a 0 0, tada α<β ; jeigu a0 > b0 tada α>β . Kada a 0 = b 0 Pereikime prie kito lygio palyginimo. ir kt. Kada α≠β , taigi po baigtinio žingsnių skaičiaus bus aptiktas pirmasis skaitmuo n, toks a n ≠ b n. Jeigu a n n, tada α<β ; jeigu a n > b n tada α>β .

Tačiau tuo pat metu nuobodu atkreipti dėmesį į tai, kad skaičius a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Todėl, jei vieno iš lyginamų skaičių įrašas, prasidedantis nuo tam tikro skaitmens, yra periodinė dešimtainė trupmena, kurios periode yra 9, tada jis turi būti pakeistas lygiaverčiu įrašu su nuliu periode.

Aritmetiniai veiksmai su begalybe po kablelio tai nuolatinis atitinkamų operacijų su racionaliaisiais skaičiais išplėtimas. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių suma α ir β yra tikrasis skaičius α+β , kuris atitinka šias sąlygas:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a")∧ (b'⩽ β ⩽ b")⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a"+b")

Panašiai apibrėžia begalinių dešimtainių trupmenų dauginimo operaciją.

Suprasti skaičius, ypač natūraliuosius skaičius, yra vienas seniausių matematinių „įgūdžių“. Daugelis civilizacijų, net ir šiuolaikinės, dėl didelės reikšmės apibūdinant gamtą skaičiams priskyrė tam tikras mistines savybes. Nors šiuolaikinis mokslas o matematika šių „stebuklingų“ savybių nepatvirtina, skaičių teorijos reikšmė neginčijama.

Istoriškai iš pradžių atsirado daug natūraliųjų skaičių, tada gana greitai prie jų buvo pridėtos trupmenos ir teigiami neracionalieji skaičiai. Nulis ir neigiami skaičiai buvo įvesti po šių realiųjų skaičių aibės poaibių. Paskutinis rinkinys, rinkinys kompleksiniai skaičiai atsirado tik tobulėjant šiuolaikiniam mokslui.

Šiuolaikinėje matematikoje skaičiai įvedami ne istorine tvarka, nors gana artima jai.

Natūralūs skaičiai $\mathbb(N)$

Natūraliųjų skaičių aibė dažnai žymima $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ ir dažnai užpildoma nuliu, žyminčiu $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ apibrėžia sudėjimo (+) ir daugybos ($\cdot$) operacijas su šiomis savybėmis bet kuriam $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ rinkinys $\mathbb(N)$ uždaromas sudėjus ir dauginant
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutaciškumas
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociatyvumas
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ paskirstymas
5. $a\cdot 1=a$ yra neutralus daugybos elementas

Kadangi rinkinyje $\mathbb(N)$ yra neutralus daugybos, bet ne sudėties elementas, pridėjus nulį prie šios aibės užtikrinama, kad joje bus neutralus sudėties elementas.

Be šių dviejų operacijų, rinkinyje $\mathbb(N)$ ryšiai "mažiau nei" ($

1. $a b$ trichotomija
2. jei $a\leq b$ ir $b\leq a$, tai $a=b$ yra antisimetrija
3. jei $a\leq b$ ir $b\leq c$, tai $a\leq c$ yra tranzityvus
4. jei $a\leq b$, tai $a+c\leq b+c$
5. jei $a\leq b$, tai $a\cdot c\leq b\cdot c$

Sveikieji skaičiai $\mathbb(Z)$

Sveikųjų skaičių pavyzdžiai:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Išsprendus lygtį $a+x=b$, kur $a$ ir $b$ yra žinomi natūralūs skaičiai, o $x$ – nežinomas natūralusis skaičius, reikia įvesti naują operaciją – atimtį(-). Jei yra natūralusis skaičius $x$, kuris tenkina šią lygtį, tai $x=b-a$. Tačiau ši konkreti lygtis nebūtinai turi sprendinį aibėje $\mathbb(N)$, todėl praktiniai sumetimai reikalauja išplėsti natūraliųjų skaičių aibę taip, kad būtų įtraukti tokios lygties sprendiniai. Tai veda prie sveikųjų skaičių rinkinio įvedimo: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Kadangi $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logiška manyti, kad anksčiau įvestos operacijos $+$ ir $\cdot$ bei santykis $ 1. $0+a=a+0=a$ priedams yra neutralus elementas
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ yra priešingas skaičius $-a$

5. Nuosavybė:
5. jei $0\leq a$ ir $0\leq b$, tai $0\leq a\cdot b$

Aibė $\mathbb(Z) $ taip pat uždaroma atimant, tai yra $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Racionalieji skaičiai $\mathbb(Q)$

Racionalių skaičių pavyzdžiai:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Dabar apsvarstykite formos $a\cdot x=b$ lygtis, kur $a$ ir $b$ yra žinomi sveikieji skaičiai, o $x$ nežinomas. Kad sprendimas būtų įmanomas, reikia įvesti padalijimo operaciją ($:$), o sprendimas tampa $x=b:a$, tai yra $x=\frac(b)(a)$. Vėlgi, iškyla problema, kad $x$ ne visada priklauso $\mathbb(Z)$, todėl sveikųjų skaičių aibė turi būti išplėsta. Taigi pristatome racionaliųjų skaičių $\mathbb(Q)$ aibę su elementais $\frac(p)(q)$, kur $p\in \mathbb(Z)$ ir $q\in \mathbb(N) $. Aibė $\mathbb(Z)$ yra poaibis, kuriame kiekvienas elementas $q=1$, taigi $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ir sudėties bei daugybos operacijos taip pat taikomos šiai rinkiniui pagal laikytis šių taisyklių, kurios išsaugo visas aukščiau nurodytas savybes ir rinkinyje $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Padalinys įvedamas taip:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Aibėje $\mathbb(Q)$ lygtis $a\cdot x=b$ turi unikalų kiekvieno $a\neq 0$ sprendimą (dalyba iš nulio nenustatyta). Tai reiškia, kad yra atvirkštinis elementas $\frac(1)(a)$ arba $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Aibės $\mathbb(Q)$ eiliškumą galima išplėsti tokiu būdu:
$\frac(p_1)(q_1)

Aibė $\mathbb(Q)$ turi vieną svarbus turtas: tarp bet kurių dviejų racionaliųjų skaičių yra be galo daug kitų racionalių skaičių, todėl nėra dviejų gretimų racionaliųjų skaičių, priešingai nei natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibės.

Iracionalūs skaičiai $\mathbb(I)$

Iracionaliųjų skaičių pavyzdžiai:
$\sqrt(2) \apytiksliai 1,41422135...$
$\pi \apytiksliai 3,1415926535...$

Kadangi tarp bet kurių dviejų racionalių skaičių yra be galo daug kitų racionalių skaičių, nesunku padaryti klaidingą išvadą, kad racionaliųjų skaičių aibė yra tokia tanki, kad nereikia jos toliau plėsti. Net Pitagoras kartą padarė tokią klaidą. Tačiau jo amžininkai jau paneigė šią išvadą, tirdami lygties $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) sprendinius racionaliųjų skaičių aibėje. Norint išspręsti tokią lygtį, reikia įvesti kvadratinės šaknies sąvoką, o tada šios lygties sprendinys turi formą $x=\sqrt(2)$. $x^2=a$ tipo lygtis, kur $a$ yra žinomas racionalusis skaičius, o $x$ yra nežinomas, ne visada turi racionaliųjų skaičių aibės sprendimą ir vėl atsiranda poreikis išplėsti rinkinį. Atsiranda neracionalių skaičių aibė, kuriai priklauso tokie skaičiai kaip $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$....

Realieji skaičiai $\mathbb(R)$

Racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibių sąjunga yra realiųjų skaičių aibė. Kadangi $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, vėlgi logiška manyti, kad įvestos aritmetinės operacijos ir ryšiai išlaiko savo savybes naujame rinkinyje. Formalus to įrodymas yra labai sunkus, todėl minėtos aritmetinių operacijų ir santykių savybės realiųjų skaičių aibėje pateikiamos kaip aksiomos. Algebroje toks objektas vadinamas lauku, todėl sakoma, kad realiųjų skaičių aibė yra tvarkingas laukas.

Kad realiųjų skaičių aibės apibrėžimas būtų išsamus, reikia įvesti papildomą aksiomą, kuri išskiria aibes $\mathbb(Q)$ ir $\mathbb(R)$. Tarkime, kad $S$ yra netuščias realiųjų skaičių aibės poaibis. Elementas $b\in \mathbb(R)$ vadinamas viršutine $S$ riba, jei $\forall x\in S$ tenkina $x\leq b$. Tada sakoma, kad aibė $S$ yra apribota iš viršaus. Mažiausia viršutinė aibės $S$ riba vadinama aukščiausia suma ir žymima $\sup S$. Apatinės ribos, žemiau apribotos aibės ir infinum $\inf S$ sąvokos įvedamos panašiai. Dabar trūkstama aksioma suformuluota taip:

Bet koks netuščias ir iš viršaus apribotas realiųjų skaičių aibės poaibis turi viršūnę.
Taip pat galima įrodyti, kad aukščiau apibrėžtas realiųjų skaičių laukas yra unikalus.

Sudėtiniai skaičiai$\mathbb(C)$

Kompleksinių skaičių pavyzdžiai:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ kur $i = \sqrt(-1)$ arba $i^2 = -1$

Kompleksinių skaičių aibė yra visos sutvarkytos realiųjų skaičių poros, t. y. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, kuriose atliekamos sudėjimo ir daugyba apibrėžiama taip:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Yra keli kompleksinių skaičių rašymo būdai, dažniausiai $z=a+ib$, kur $(a,b)$ yra realiųjų skaičių pora, o skaičius $i=(0,1)$ vadinamas įsivaizduojamu vienetu.

Nesunku parodyti, kad $i^2=-1$. Aibės $\mathbb(R)$ plėtinys į rinkinį $\mathbb(C)$ leidžia apibrėžti Kvadratinė šaknis neigiamų skaičių, dėl ko buvo įvestas kompleksinių skaičių aibė. Taip pat lengva parodyti, kad aibės $\mathbb(C)$ poaibis, pateiktas kaip $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, tenkina visus realiųjų skaičių aksiomos, taigi $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ arba $R\subset\mathbb(C)$.

Aibės $\mathbb(C)$ algebrinė struktūra, atsižvelgiant į sudėties ir daugybos operacijas, turi šias savybes:
1. sudėties ir daugybos komutaciškumas
2. sudėties ir daugybos asociatyvumas
3. $0+i0$ – neutralus elementas papildymui
4. $1+i0$ – neutralus daugybos elementas
5. daugyba yra skirstomoji sudėties atžvilgiu
6. Sudėti ir dauginti yra vienas atvirkštinis elementas.

Iš didžiulės įvairovės rinkiniai ypač domina vadinamieji skaičių rinkiniai, tai yra aibės, kurių elementai yra skaičiai. Aišku, kad patogiam darbui su jais reikia mokėti juos užsirašyti. Pradėsime šį straipsnį su užrašu ir skaitinių aibių rašymo principais. Ir tada mes apsvarstysime, kaip skaitmeninės aibės vaizduojamos koordinačių linijoje.

Puslapio naršymas.

Skaitinių rinkinių rašymas

Pradėkime nuo priimto užrašo. Kaip žinote, aibėms žymėti naudojame Didžiosios raidės Lotynų abėcėlė. Skaitmeniniai rinkiniai kaip ypatinga byla aibės taip pat žymimos. Pavyzdžiui, galime kalbėti apie skaitines aibes A , H , W ir kt. Ypač svarbios yra natūraliųjų, sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų, kompleksinių skaičių ir kt., kuriems buvo pritaikyti jų pačių pavadinimai:

• N yra visų natūraliųjų skaičių aibė;
• Z yra sveikųjų skaičių aibė;
• Q yra racionaliųjų skaičių aibė;
• J yra neracionaliųjų skaičių aibė;
• R yra realiųjų skaičių aibė;
• C yra kompleksinių skaičių aibė.

Iš to aišku, kad aibės, kurią sudaro, pavyzdžiui, du skaičiai 5 ir –7, nebūtina žymėti kaip Q, šis žymėjimas bus klaidinantis, nes raidė Q paprastai žymi visų racionalių skaičių aibę. Norint pažymėti nurodytą skaičių rinkinį, geriau naudoti kokią nors kitą „neutralią“ raidę, pavyzdžiui, A.

Kadangi kalbame apie žymėjimą, čia taip pat primename tuščios aibės žymėjimą, tai yra aibės, kurioje nėra elementų. Jis žymimas ženklu ∅.

Taip pat prisiminkime aibės elemento narystės ir nenarystės žymėjimą. Norėdami tai padaryti, naudokite ženklus ∈ – priklauso ir ∉ – nepriklauso. Pavyzdžiui, įrašas 5∈N reiškia, kad skaičius 5 priklauso natūraliųjų skaičių aibei, o 5,7∉Z – dešimtainė trupmena 5,7 nepriklauso sveikųjų skaičių aibei.

Prisiminkime ir žymėjimą, priimtą įtraukti vieną rinkinį į kitą. Aišku, kad visi aibės N elementai yra įtraukti į aibę Z , todėl skaičių aibė N įtraukta į Z , tai žymima kaip N⊂Z . Taip pat galite naudoti žymėjimą Z⊃N , o tai reiškia, kad į visų sveikųjų skaičių aibę Z įtraukta aibė N . Neįtraukti ir neįtraukti ryšiai žymimi atitinkamai ženklais ⊄ ir . Taip pat vartojami negriežtieji ⊆ ir ⊇ formos įtraukimo ženklai, reiškiantys, atitinkamai, įtraukta arba atitinka ir apima arba atitinka.

Kalbėjome apie žymėjimą, pereikime prie skaitinių aibių aprašymo. Šiuo atveju paliesime tik pagrindinius atvejus, kurie dažniausiai naudojami praktikoje.

Pradėkime nuo skaitinių aibių, kuriose yra baigtinis ir mažas elementų skaičius. Skaitines aibes, susidedančias iš baigtinio elementų skaičiaus, galima patogiai apibūdinti išvardijant visus jų elementus. Visi skaičių elementai rašomi atskirti kableliais ir įterpiami į , o tai atitinka bendrą nustatyti aprašymo taisykles. Pavyzdžiui, aibė, susidedanti iš trijų skaičių 0 , -0,25 ir 4/7, gali būti apibūdinta kaip (0, -0,25, 4/7).

Kartais, kai skaitinės aibės elementų skaičius yra pakankamai didelis, bet elementai paklūsta kokiam nors modeliui, apibūdinimui naudojama elipsė. Pavyzdžiui, visų nelyginių skaičių nuo 3 iki 99 imtinai aibę galima parašyti kaip (3, 5, 7, ..., 99) .

Taigi sklandžiai priėjome prie skaitinių aibių, kurių elementų skaičius yra begalinis, aprašymo. Kartais juos galima apibūdinti naudojant tą pačią elipsę. Pavyzdžiui, apibūdinkime visų natūraliųjų skaičių aibę: N=(1, 2. 3, …) .

Jie taip pat naudoja skaitinių aibių aprašymą, nurodydami jo elementų savybes. Šiuo atveju naudojamas žymėjimas (x| savybės). Pavyzdžiui, žymėjimas (n| 8 n+3, n∈N) apibrėžia aibę tokių natūraliųjų skaičių, kuriuos padalijus iš 8, gaunama 3 liekana. Tą patį rinkinį galima apibūdinti kaip (11,19, 27, ...) .

Ypatingais atvejais skaitinės aibės su begaliniu elementų skaičiumi yra žinomos aibės N , Z , R ir kt. arba skaičių spragos. Ir apskritai skaitinės aibės vaizduojamos kaip asociacija atskiri skaitiniai intervalai, kurie juos sudaro, ir skaitinės aibės su baigtiniu elementų skaičiumi (apie kuriuos kalbėjome šiek tiek didesnį).

Parodykime pavyzdį. Tegu skaičių aibę sudaro skaičiai −10 , −9 , −8.56 , 0 , visi intervalo [−5, −1.3] skaičiai ir atvirojo skaičių spindulio (7, +∞) skaičiai. Remiantis aibių sąjungos apibrėžimu, nurodyta skaitinė aibė gali būti parašyta kaip {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Toks žymėjimas iš tikrųjų reiškia aibę, kurioje yra visi aibių (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] ir (7, +∞) elementai.

Panašiai, derinant įvairius skaitinius diapazonus ir rinkinius individualūs numeriai, galima apibūdinti bet kurią skaitinę aibę (sudarytą iš realių skaičių). Čia tampa aišku, kodėl tokie skaitinių intervalų tipai kaip intervalas, pusintervalas, segmentas, atviri skaičių spindulys ir skaičių spindulys: visi jie kartu su atskirų skaičių aibių žymėjimu leidžia apibūdinti bet kokias skaičių aibes per jų sąjungą.

Atkreipkite dėmesį, kad rašant skaičių aibę, jos sudedamųjų dalių numeriai ir skaitiniai intervalai rūšiuojami didėjančia tvarka. Tai nėra privaloma, bet pageidautina sąlyga, nes sutvarkytą skaičių rinkinį lengviau pavaizduoti ir pavaizduoti koordinačių linijoje. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tokiuose įrašuose nenaudojami skaitiniai diapazonai su bendrais elementais, nes tokius įrašus galima pakeisti skaitinių diapazonų be bendrų elementų sąjunga. Pavyzdžiui, skaitinių aibių su bendrais elementais [−10, 0] ir (−5, 3) sąjunga yra pusintervalas [−10, 3) . Tas pats pasakytina ir apie skaitinių intervalų su tais pačiais kraštiniais skaičiais sąjungą, pavyzdžiui, sąjunga (3, 5]∪(5, 7] yra aibė (3, 7]), apie tai pakalbėsime atskirai, kai išmoksime rasti skaičių aibių sankirtą ir sąjungą .

Skaičių aibių vaizdas koordinačių eilutėje

Praktiškai patogu naudoti skaitinių rinkinių geometrinius vaizdus – jų atvaizdus. Pavyzdžiui, kada sprendžiant nelygybes, kuriame būtina atsižvelgti į ODZ, būtina pavaizduoti skaitines aibes, kad būtų galima rasti jų sankirtą ir (arba) sąjungą. Taigi bus naudinga gerai suprasti visus skaičių aibių vaizdavimo koordinačių tiesėje niuansus.

Yra žinoma, kad tarp koordinačių linijos taškų ir realių skaičių yra vienas su vienu atitikimas, o tai reiškia, kad pati koordinačių linija yra visų realiųjų skaičių R aibės geometrinis modelis. Taigi, norint pavaizduoti visų realiųjų skaičių aibę, reikia nubrėžti koordinačių liniją su brūkšniu per visą jos ilgį:

Ir dažnai jie net nenurodo kilmės ir vieno segmento:

Dabar pakalbėkime apie skaitmeninių aibių, kurios yra baigtinis skaičius atskirų skaičių, vaizdą. Pavyzdžiui, nubrėžkime skaičių aibę (−2, −0,5, 1,2) . Šio rinkinio geometrinis vaizdas, susidedantis iš trijų skaičių -2, -0,5 ir 1,2, bus trys koordinačių linijos taškai su atitinkamomis koordinatėmis:

Atkreipkite dėmesį, kad dažniausiai praktikos poreikiams nereikia tiksliai atlikti piešimo. Dažnai pakanka scheminio brėžinio, o tai reiškia, kad mastelio išlaikyti nebūtina, o svarbu tik išlaikyti tarpusavio susitarimas taškai vienas kito atžvilgiu: bet kuris taškas su mažesne koordinate turi būti į kairę nuo taško su didesne koordinate. Ankstesnis brėžinys schematiškai atrodys taip:

Atskirai iš visų galimų skaitinių aibių išskiriami skaitiniai intervalai (intervalai, pusintervalai, spinduliai ir kt.), kurie reprezentuoja jų geometrinius atvaizdus, ​​išsamiai išnagrinėjome skyriuje. Čia nesikartosime.

Ir belieka tik pasilikti ties skaitinių aibių, kurios yra kelių skaitinių intervalų ir aibių, susidedančių iš atskirų skaičių, sąjunga. Čia nėra nieko sudėtingo: pagal sąjungos reikšmę šiais atvejais koordinačių linijoje reikia pavaizduoti visus tam tikros skaitinės aibės aibės komponentus. Kaip pavyzdį parodykime skaičių rinkinio vaizdą (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Ir apsistokime prie gana dažnų atvejų, kai vaizduojama skaitinė aibė yra visa realiųjų skaičių rinkinys, išskyrus vieną ar kelis taškus. Tokios aibės dažnai nurodomos tokiomis sąlygomis kaip x≠5 arba x≠−1, x≠2, x≠3,7 ir kt. Tokiais atvejais geometriškai jie žymi visą koordinačių liniją, išskyrus atitinkamus taškus. Kitaip tariant, šie taškai turi būti „išmušti“ iš koordinačių linijos. Jie vaizduojami kaip apskritimai su tuščiu centru. Aiškumo dėlei pavaizduojame sąlygas atitinkančią skaičių rinkinį (šis rinkinys iš esmės yra):

Apibendrinti. Idealiu atveju ankstesnių pastraipų informacija turėtų sudaryti tokį patį skaičių aibių įrašymo ir vaizdavimo vaizdą kaip ir atskirų skaitinių intervalų vaizdas: įrašant skaitinę aibę, jos vaizdas turėtų būti nedelsiant pateiktas koordinačių linijoje, o iš vaizdo koordinačių liniją, turėtume būti pasirengę lengvai apibūdinti atitinkamą skaičių aibę per atskirų tarpų ir aibių, susidedančių iš atskirų skaičių, sąjungą.

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė 14 val. 1 dalis. Mokinio vadovėlis švietimo įstaigos/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenovas. – 13 leid., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Realaus skaičiaus samprata: tikras numeris- (tikrasis skaičius), bet koks neneigiamas arba neigiamas skaičius arba nulis. Realiųjų skaičių pagalba išreikškite kiekvieno fizinio dydžio matavimus.

tikras, arba tikras numeris atsirado dėl poreikio išmatuoti geometrinius ir fizikinius pasaulio dydžius. Be to, šaknies išskyrimo operacijoms atlikti, logaritmui skaičiuoti, algebrinėms lygtims spręsti ir kt.

Natūralūs skaičiai susidarė tobulėjant skaičiavimui, o racionalieji skaičiai su poreikiu valdyti visumos dalis, tada realieji skaičiai (realieji) naudojami nuolatiniams dydžiams matuoti. Taigi, išplėtus nagrinėjamų skaičių atsargą, atsirado realiųjų skaičių aibė, kurią, be racionaliųjų skaičių, sudaro kiti elementai, vadinami neracionalūs skaičiai.

Realiųjų skaičių aibė(žymimas R) yra racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibės, sujungtos.

Tikrieji skaičiai dalijami išracionalus ir neracionalus.

Realiųjų skaičių aibė žymima ir dažnai vadinama tikras arba skaičių eilutė. Tikrieji skaičiai sudaryti iš paprastų objektų: visas ir racionalūs numeriai.

Skaičius, kurį galima parašyti kaip santykį, kurm yra sveikasis skaičius ir nyra natūralusis skaičiusracionalus skaičius.

Bet kurį racionalųjį skaičių galima lengvai pavaizduoti kaip baigtinę trupmeną arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Pavyzdys,

Begalinis dešimtainis, yra dešimtainė trupmena, turinti begalinį skaičių skaitmenų po kablelio.

Skaičiai, kurių negalima pavaizduoti taip, kaip yra neracionalūs skaičiai.

Pavyzdys:

Bet kurį neracionalų skaičių lengva pavaizduoti kaip begalinę neperiodinę dešimtainę trupmeną.

Pavyzdys,

Racionalieji ir iracionalieji skaičiai sukuria realiųjų skaičių rinkinys. Visi realieji skaičiai atitinka vieną tašką koordinačių tiesėje, kuri vadinama skaičių eilutė.

Skaičių rinkiniams naudojamas toks žymėjimas:

• N- natūraliųjų skaičių aibė;
• Z- sveikųjų skaičių rinkinys;
• K- racionaliųjų skaičių aibė;
• R yra realiųjų skaičių aibė.

Begalinių dešimtainių trupmenų teorija.

Realusis skaičius apibrėžiamas kaip begalinis dešimtainis, t.y.:

±a 0,a 1 a 2 …a n …

kur ± yra vienas iš simbolių + arba –, skaičiaus ženklas,

a 0 yra teigiamas sveikasis skaičius,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… yra skaitmenų po kablelio seka, t.y. skaitinės aibės elementai {0,1,…9}.

Begalinė dešimtainė trupmena gali būti paaiškinta kaip skaičius, esantis skaičių tiesėje tarp racionalių taškų, pavyzdžiui:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n ir ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) visiems n = 0,1,2,…

Tikrieji skaičiai lyginami begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis po truputį. Pavyzdžiui, tarkime, kad pateikti 2 teigiami skaičiai:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Jeigu a 0 0, tada α<β ; jeigu a0 > b0 tada α>β . Kada a 0 = b 0 Pereikime prie kito lygio palyginimo. ir kt. Kada α≠β , taigi po baigtinio žingsnių skaičiaus bus aptiktas pirmasis skaitmuo n, toks a n ≠ b n. Jeigu a n n, tada α<β ; jeigu a n > b n tada α>β .

Tačiau tuo pat metu nuobodu atkreipti dėmesį į tai, kad skaičius a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Todėl, jei vieno iš lyginamų skaičių įrašas, prasidedantis nuo tam tikro skaitmens, yra periodinė dešimtainė trupmena, kurios periode yra 9, tada jis turi būti pakeistas lygiaverčiu įrašu su nuliu periode.

Aritmetiniai veiksmai su begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis yra atitinkamų veiksmų su racionaliais skaičiais tęsinys. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių suma α ir β yra tikrasis skaičius α+β , kuris atitinka šias sąlygas:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a")∧ (b'⩽ β ⩽ b")⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a"+b")

Panašiai apibrėžia begalinių dešimtainių trupmenų dauginimo operaciją.