Kas yra šimto šaknis. Kas yra šimto kvadratinė šaknis? Kaip jums patinka kvadratinė šaknis? Viskas aišku

„Prekybos“ revoliucija
Komkovas Sergejus 2012-12-26

Atsižvelgiant į tai, kad Rusija neseniai įstojo į PPO, buvo sunaikintas Rusijos valstybinis technikos universitetas, pirmaujantis Rusijos universitetas prekybos (ir pirmiausia užsienio prekybos) santykių sistemoje, taip pat atleistas jo rektorius, žinomas politikas Sergejus Baburinas, atrodo ne tik kaip kvailystė. Visa tai labai panašu į iš anksto suplanuotą provokaciją.

Panašu, kad joje žaidžia Pasaulio prekybos organizacija ir daugiausia JAV pagrindinis vaidmuo, buvo rimtai susirūpinę galimos pasekmėsįstojimas į šią Rusijos organizaciją.

Bet tada jie laiku prisiminė, kad Rusijoje ilgą laiką ir sėkmingai veikia jų auginama ir puoselėjama organizacija - Baigti mokyklą Ekonomika. Būtent jis 1992 metais buvo sukurtas Pasaulio banko pinigais, siekiant sugriauti visą intelektualinį tautos potencialą mūsų šalyje. Jai vadovaujant šiandien veikia pagrindinis kolektyvinis šios srities „įtakos agentas“ – Rusijos švietimo ir mokslo ministerija.

Galima daug ir be galo kalbėti apie naujai nukaldinto ministro pono Livanovo kvailumą ir nekompetenciją, kuris sunkiai skiria švietimo rūšis ir kryptis. Tačiau pats savaime ponas Livanovas yra absoliutus nulis be lazdelės. Iš kurios burnos kiekvieną kartą atidarius tikrai iššoks kokia nors kita nesąmonė. Už jo šmėžuoja spalvingesnės figūros. Pavyzdžiui, pagrindinis visų mūsų šalies ekonominių transformacijų „ideologas“ JAV pilietis Jevgenijus Jasinas ir jo parankinis HSE rektorius Jaroslavas Kuzminovas.

Būtent jie, Amerikos patarėjų iš Pasaulio banko, kurie aktyviai dirba HSE pagrindu, siūlymu, sugalvojo vadinamojo Rusijos universitetų „stebėjimo“ kriterijus.

Ir niekam ne paslaptis, kad pagal šiuos „kriterijus“ reikšmingiausios Rusijos aukštosios mokyklos pateko į „neefektyvių“ kategoriją. Universitetai, turintys turtingą istoriją ir tradicijas, turintys didžiulį kūrybinį potencialą. Pavyzdžiui, Maskvos architektūros institutas, Rusijos valstybinis humanitarinis universitetas, Literatūros institutas.

Į šią kategoriją pateko Rusijos valstybinis prekybos ir ekonomikos universitetas – RGTEU. Nors pagal daugelį savo rodiklių šis universitetas gali suteikti šimtą šansų pačiai „Pleškai“, prie kurios taip staiga buvo nuspręsta prisijungti. Ir pirmiausia – specialistų rengimo užsienio prekybos sistemai klausimais.

RGTEU turi ne tik didžiulius tarptautinius ryšius. Jis nuodugniai tiria prekybos plėtros ypatybes užsienio šalys. Šio universiteto sienose – pagrindiniai pasaulio ekonomikos ir politikos veikėjai, ambasadoriai užsienio šalys. Šio universiteto garbės daktarai yra pirmaujantys pasaulio lyderiai. Pavyzdžiui, Fidelis Castro ir Hugo Chavezas.

O tai, kaip žinia, yra Amerikos „prisiekę draugai“. Taigi įrankiai sunaikinti tokį pavojingą švietimo įstaiga. Kad Rusija, neduok Dieve, neišsuktų iš „tikrojo kelio“ ir neišduos Amerikos klientų interesų.

O paties rektoriaus – Rusijoje ir toli už jos sienų žinomo politiko ir mokslininko – asmenybė stovėjo mūsų amerikiečių dėdėse kaip kaulas gerklėje.

Sergejus Baburinas buvo ne tik vienas iš parlamentinės opozicijos lyderių, užėmęs vicepirmininko vietą ankstesnėje Rusijos Valstybės Dūmos sudėtyje. Jis buvo aktyvus naujosios Rusijos politikos šalininkas visoje posovietinėje erdvėje. Būtent jis 2006 metais aktyviai padėjo Abchazijos žmonėms išbristi iš giliausios politinės krizės. Kurioje, beje, jį vėl paskatino tie patys kvaili ir paklusnūs Amerikos patarėjų, Rusijos vyriausybės ir prezidentinės administracijos pareigūnų, valiai.

Sergejaus Baburino pastangomis pažangios pajėgos, vadovaujamos Sergejaus Bagapšo, įveikė Abchaziją. O nuo 2008 metų Abchazija tapo pagrindine Rusijos strategine partnere Šiaurės Kaukaze.

Tokia pozicija yra sveiko, subalansuoto patriotizmo išraiška. Todėl jau eilę metų Baburinas vadovauja Rusijos Visatos sąjungai ir yra kasmetinių tradicinių rusiškų eitynių organizatorius. Ne su svastikomis ir fašistiniais šūkiais „Rusija tik rusams! Ir visiems šalies gyventojams gana suprantamos kalbos su reikalavimu paisyti Rusijos nacionalinių interesų užsienio politika ir vykdyti savo žmonėms duotus socialinius pažadus.

Bet kaip tik to nemėgsta biuruose įsitvirtinę amerikiečių pakalikai. Rusijos valdžia. Nes jiems reikalavimas laikytis mūsų nacionalinius interesus kaip peilis į širdį.

Tad kažkam kilo mintis vienu akmeniu nukauti du paukščius: ir universitetą, ruošiantį specialistus sėkmingai Rusijos užsienio prekybai, ir patriotiškai nusiteikusį rektorių.

Paprastai tokiam veiksmui labiausiai tinka kvailiai. Nes, kaip žinote, jie nežino, ką iš tikrųjų daro. Tačiau šiuo konkrečiu atveju tai gali pasirodyti labai rimta klaida, kupina rimtų problemų socialines pasekmes visai šaliai.

Mūsų valdininkai, tyčiojasi iš valstybinių šiukšlių ir laiko save visiškai teisiais dėl bet kokių nedorų poelgių, pamiršo paprasčiausią tiesą: jie neturi galios jaunatviškoms sieloms ir jaunatviškiems impulsams.

Būtent tokie impulsai septintojo dešimtmečio pabaigoje nušlavė generolo de Golio vyriausybę Prancūzijoje. Ten irgi viskas prasidėjo nuo iš pažiūros nekenksmingų dalykų. Ir baigėsi bendru chaosu, riaušėmis, deginančiomis mašinomis ir biurais.

Jaunimas (ypač organizuotas studentiškas jaunimas) nėra būrys bankrutavusių opozicijos politikų, kurie buvo valdžioje ir dėl to yra labai įžeisti. Studentiškas jaunimas visada ir visais laikais buvo vienas pagrindinių varomosios jėgos revoliucija. Ir šiandieninis jaunimas nėra taisyklės išimtis. Greičiau atvirkščiai. Būtent šiandieninis jaunimas, ypač jautrus visuomenėje iškilusiai socialinei neteisybei ir nelygybei, yra pajėgus žengti stačiausius ir radikaliausius žingsnius. Ir jei valdžia bandys panaudoti jėgą, tai jai bus mirtina. Nes jaunimas niekada to jai neatleis.

Kai P. Livanovas ir Ko paskelbė apie ketinimą pradėti problemą spręsti jėga Aukštasis išsilavinimas Uždarydami ir sujungdami universitetus jie iš tikrųjų pasirašė savo verdiktą. Jie net nesivargino pagalvoti, kokias gilias jėgas kelia. Ir baigsis tragiškai ne tik tiems, kurie šiandien atsiduria vadovaujančiose pareigose Švietimo ir mokslo ministerijoje, bet viskam Rusijos vadovybė apskritai. Nes net ir vietoje nuslopintas jaunimo maištas neeina į užmarštį. Jis bręsta su nauja jėga. Tačiau kur ir kada tai ištiks, niekas negali numatyti.

Taigi įvykiai RSTEU tik iš pirmo žvilgsnio atrodo kaip kažkokia „prekybos revoliucija“. Tiesą sakant, jie yra kito – kietesnio ir kruvinesnio socialinio karo, kuriame nugalėtojų nebus, pranašai.

Pralaimėtojas jau žinomas. Tai mūsų Tėvynė. Šalis, kurią vis dar kartais su pasididžiavimu vadiname Rusija.

Todėl šiandieniniai Švietimo ir mokslo ministerijos vadovybės veiksmai vienos švietimo įstaigos ir vieno rektoriaus atžvilgiu gali būti vertinami kaip socialinio karo kurstymas kitos valstybės vardu ir naudai.

Ir tai vadinasi: Nacionalinė išdavystė.

Kas yra kvadratinė šaknis?

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ši koncepcija yra labai paprasta. Natūralu, sakyčiau. Matematikai stengiasi rasti reakciją į kiekvieną veiksmą. Yra sudėjimas ir yra atėmimas. Yra daugyba ir dalijimas. Yra kvadratas... Taigi taip pat yra išgaunant kvadratinę šaknį! Tai viskas. Šis veiksmas ( imant kvadratinę šaknį) matematikoje žymimas šia piktograma:

Pati piktograma vadinama gražus žodis "radikalus".

Kaip išgauti šaknį? Geriau apsvarstyti pavyzdžių.

Kas yra kvadratinė šaknis iš 9? O koks skaičius kvadratu duos mums 9? 3 kvadratai suteikia mums 9! Tie:

Kas yra kvadratinė šaknis iš nulio? Jokiu problemu! Kokį skaičių duoda nulis kvadratu? Taip, jis pats duoda nulį! Priemonės:

Pagautas kas yra kvadratinė šaknis? Tada svarstome pavyzdžių:

Atsakymai (netvarkingai): 6; vienas; keturi; 9; 5.

Nusprendė? Tikrai, tai daug lengviau!

Bet... Ką daro žmogus, pamatęs kokią nors užduotį su šaknimis?

Žmogus pradeda ilgėtis... Jis netiki šaknų paprastumu ir lengvumu. Nors atrodo, kad žino kas yra kvadratinė šaknis...

Taip yra todėl, kad žmogus, tyrinėdamas šaknis, ignoravo keletą svarbių dalykų. Tada šios mados žiauriai atkeršija už testus ir egzaminus ...

Taškas vienas. Šaknis reikia atpažinti iš matymo!

Kas yra kvadratinė šaknis iš 49? Septyni? Teisingai! Iš kur žinojai, kad yra septyni? Sudarė septynis kvadratus ir gavo 49? Teisingai! Prašau Pasižymėk tai ištraukti šaknį iš 49 turėjome atlikti atvirkštinę operaciją – 7 kvadratas! Ir įsitikinkite, kad nepraleisime. Arba jie gali praleisti...

Čia ir slypi sunkumai šaknų ištraukimas. Kvadratavimas bet koks skaičius galimas be jokių problemų. Stulpelyje padauginkite skaičių iš savęs – ir viskas. Bet už šaknų ištraukimas nėra tokios paprastos ir be problemų technologijos. sąskaita paimti atsakykite ir patikrinkite, ar nukentėjo kvadratas.

Šis kompleksas kūrybinis procesas- atsakymo pasirinkimas - labai supaprastintas, jei jūs Prisiminti populiarių skaičių kvadratai. Kaip daugybos lentelė. Jei, tarkime, jums reikia padauginti 4 iš 6 - jūs nepridedate keturių 6 kartus, ar ne? Iš karto pasirodo atsakymas 24. Nors ne visi tai turi, taip...

Norint laisvai ir sėkmingai dirbti su šaknimis, pakanka žinoti skaičių kvadratus nuo 1 iki 20. Be to, ten ir atgal. Tie. Turėtumėte lengvai įvardyti ir, tarkime, 11 kvadratą, ir kvadratinę šaknį iš 121. Norėdami tai įsiminti, yra du būdai. Pirmasis yra išmokti kvadratų lentelę. Tai labai padės pavyzdžiai. Antrasis – išspręsti daugiau pavyzdžių. Puiku prisiminti kvadratų lentelę.

Ir jokių skaičiuoklių! Tik patikrinimui. Priešingu atveju per egzaminą negailestingai sulėtėsite ...

Taigi, kas yra kvadratinė šaknis Ir kaip ekstraktas šaknis– Manau, kad tai suprantama. Dabar išsiaiškinkime, IŠ KO galite juos išgauti.

Antras taškas. Root, aš tavęs nepažįstu!

Iš kokių skaičių galima paimti kvadratines šaknis? Taip, beveik bet koks. Lengviau suprasti ką tai uždrausta juos išgauti.

Pabandykime apskaičiuoti šią šaknį:

Norėdami tai padaryti, turite pasiimti skaičių, kuris kvadratu duos mums -4. Mes pasirenkame.

Kas nepasirinkta? 2 2 suteikia +4. (-2) 2 vėl suteikia +4! Štai ir viskas... Nėra skaičių, kuriuos patraukus kvadratu gautume neigiamą skaičių! Nors skaičius žinau. Bet aš tau nesakysiu.) Eikite į koledžą ir sužinokite patys.

Ta pati istorija bus su bet kokiu neigiamu skaičiumi. Taigi išvada:

Išraiška, kurioje neigiamas skaičius yra po kvadratinės šaknies ženklu - neturi prasmės! Tai draudžiama operacija. Draudžiama kaip dalyti iš nulio. Turėkite omenyje šį faktą! Arba, kitaip tariant:

Kvadratinės šaknys neigiami skaičiai negalima išgauti!

Bet iš visų kitų – galite. Pavyzdžiui, galima apskaičiuoti

Iš pirmo žvilgsnio tai labai sunku. Paimkite trupmenas, bet padidinkite kvadratą ... Nesijaudinkite. Kai nagrinėsime šaknų savybes, tokie pavyzdžiai bus sumažinti iki tos pačios kvadratų lentelės. Gyvenimas taps lengvesnis!

Gerai trupmenos. Tačiau vis tiek susiduriame su tokiais posakiais kaip:

Viskas gerai. Visi vienodi. Kvadratinė šaknis iš dviejų yra skaičius, kurį pateikus kvadratu gausime dvikovą. Tik skaičius visiškai nelygus... Štai jis:

Įdomu tai, kad ši trupmena niekada nesibaigia... Tokie skaičiai vadinami neracionaliais. Kvadratinėse šaknyse tai yra labiausiai paplitęs dalykas. Beje, dėl to ir vadinami posakiai su šaknimis neracionalus. Aišku, kad visą laiką rašyti tokią begalinę trupmeną yra nepatogu. Todėl vietoj begalinė trupmena palikti taip:

Jei spręsdami pavyzdį gausite tai, ko negalima išgauti, pvz.:

tada paliekame taip. Tai bus atsakymas.

Turite aiškiai suprasti, kas yra po piktogramomis

Žinoma, jei paimama skaičiaus šaknis sklandžiai, privalai tai padaryti. Pavyzdžiui, užduoties atsakymas formoje

gana išsamus atsakymas.

Ir, žinoma, iš atminties turite žinoti apytiksles vertes:

Šios žinios labai padeda įvertinti situaciją atliekant sudėtingas užduotis.

Trečias taškas. Pats gudriausias.

Pagrindinę painiavą darbe su šaknimis įneša kaip tik ši mada. Tai jis, kuris kelia nepasitikėjimą savimi... Tinkamai susitvarkykime su šia mada!

Pirmiausia ištraukiame kvadratinę šaknį iš jų keturių. Ką, aš jau turiu tave su šia šaknimi?) Nieko, dabar bus įdomu!

Koks skaičius duos kvadrate iš 4? Na, du, du - girdžiu nepatenkintus atsakymus ...

Teisingai. Du. Bet taip pat minus du duos 4 kvadratus... Tuo tarpu atsakymas

teisinga ir atsakymas

grubiausia klaida. Kaip šitas.

Taigi koks susitarimas?

Iš tiesų, (-2) 2 = 4. Ir pagal kvadratinės šaknies iš keturių apibrėžimą minus du gana tinka... Tai taip pat kvadratinė šaknis iš keturių.

Bet! Mokyklos matematikos kurse įprasta atsižvelgti į kvadratines šaknis tik neneigiami skaičiai! Ty nulis ir viskas teigiama. Buvo sukurtas net specialus terminas: nuo numerio a- tai yra ne neigiamas skaičius, kurio kvadratas yra a. Neigiami rezultatai išimant aritmetinę kvadratinę šaknį tiesiog atmetami. Mokykloje visos kvadratinės šaknys - aritmetika. Nors tai nėra konkrečiai paminėta.

Gerai, tai suprantama. Dar geriau nesimaišyti su neigiamais rezultatais... Tai dar ne painiava.

Sumišimas prasideda sprendžiant kvadratines lygtis. Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti šią lygtį.

Lygtis paprasta, rašome atsakymą (kaip mokoma):

Šis atsakymas (beje, gana teisingas) yra tik sutrumpintas užrašas du atsakymai:

Nustok sustoti! Šiek tiek aukščiau parašiau, kad kvadratinė šaknis yra skaičius visada ne neigiamas! Ir štai vienas iš atsakymų – neigiamas! Sutrikimas. Tai pirma (bet ne paskutinė) problema, sukelianti nepasitikėjimą šaknimis... Išspręskime šią problemą. Užrašykime atsakymus (tik supratimui!) taip:

Skliaustai nekeičia atsakymo esmės. Aš ką tik atskyriau skliausteliuose ženklai iš šaknis. Dabar aiškiai matyti, kad pati šaknis (skliausteliuose) vis dar yra neneigiamas skaičius! Ir ženklai yra lygties sprendimo rezultatas. Juk spręsdami bet kurią lygtį turime rašyti visi x, kuri, pakeitus pradinę lygtį, duos teisingą rezultatą. Penkių šaknis (teigiama!) tinka mūsų lygčiai su pliusu ir minusu.

Kaip šitas. Jei tu tiesiog paimkite kvadratinę šaknį nuo bet ko tu visada gauti vienas neneigiamas rezultatas. Pavyzdžiui:

Nes tai - aritmetinė kvadratinė šaknis.

Bet jei nuspręsite kvadratinė lygtis, tipas:

tada visada paaiškėja du atsakymas (su pliusu ir minusu):

Nes tai lygties sprendimas.

viltis, kas yra kvadratinė šaknis teisingai supratote savo taškais. Dabar belieka išsiaiškinti, ką galima padaryti su šaknimis, kokios jų savybės. O kas yra mados ir povandeninės dėžės ... atleiskite, akmenys!)

Visa tai – kitose pamokose.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Tarp daugelio žinių, kurios yra raštingumo ženklas, pirmoje vietoje yra abėcėlė. Kitas, tas pats „ženklo“ elementas, yra sudėties-daugybos įgūdžiai ir greta jų, bet atvirkščiai, aritmetinės atimties-dalybos operacijos. Tolimoje mokyklinėje vaikystėje išmokti įgūdžiai ištikimai tarnauja dieną ir naktį: televizorius, laikraštis, SMS ir visur, kur skaitome, rašome, skaičiuojame, sudedame, atimame, dauginame. Ir, sakyk, ar tau dažnai tekdavo įleisti šaknis gyvenime, nebent kaime? Pavyzdžiui, tokia linksma problema, kaip kvadratinė šaknis iš skaičiaus 12345... Ar miltelių kolbose vis dar yra parako? Ar galime tai padaryti? Taip, nieko nėra lengviau! Kur mano skaičiuotuvas... O be jo, iš rankų į rankas, silpnas?

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas tai yra – skaičiaus kvadratinė šaknis. Paprastai tariant, „ištraukti šaknį iš skaičiaus“ reiškia atlikti aritmetinę operaciją, priešingą pakėlimui į laipsnį – čia jūs turite priešybių vienybę gyvenime. tarkime, kvadratas yra skaičiaus dauginimas iš savęs, t.y., kaip mokė mokykloje, X * X = A arba kitu užrašu X2 = A, o žodžiais - "X kvadratas lygus A". Tada atvirkštinė problema skamba taip: skaičiaus A kvadratinė šaknis yra skaičius X, kuris, patrauktas kvadratu, yra lygus A.

Kvadratinės šaknies ištraukimas

Nuo mokyklos kursas aritmetika žino skaičiavimo "stulpelyje" metodus, kurie padeda atlikti bet kokius skaičiavimus naudojant pirmuosius keturis aritmetines operacijas. Deja... Kvadratinės, ir ne tik kvadratinės, tokių algoritmų šaknys neegzistuoja. Ir kaip šiuo atveju išgauti kvadratinę šaknį be skaičiuotuvo? Remiantis kvadratinės šaknies apibrėžimu, yra tik viena išvada - reikia pasirinkti rezultato reikšmę nuosekliai išvardijant skaičius, kurių kvadratas artėja prie šaknies išraiškos reikšmės. Tik ir viskas! Nepraėjus valandai ar dviem, jį galima apskaičiuoti naudojant gerai žinomą metodą, padauginus iš „stulpelio“, bet kurios kvadratinės šaknies. Jei turite įgūdžių, tam pakanka kelių minučių. Net ne visai pažengęs skaičiuotuvas ar kompiuterio vartotojas tai daro vienu ypu – progresas.

Bet jei rimtai, kvadratinės šaknies apskaičiavimas dažnai atliekamas naudojant „artilerijos šakutės“ techniką: pirmiausia jie ima skaičių, kurio kvadratas maždaug atitinka šaknies išraišką. Geriau, jei „mūsų kvadratas“ yra šiek tiek mažesnis už šią išraišką. Tada jie pataiso skaičių pagal savo įgūdžius-supratimą, pavyzdžiui, padaugina iš dviejų ir ... vėl kvadratu. Jei rezultatas yra didesnis nei skaičius po šaknimi, paeiliui koreguojant pradinį skaičių, palaipsniui artėjant prie savo „kolegos“ po šaknimi. Kaip matote – jokio skaičiuotuvo, tik galimybė skaičiuoti „stulpelyje“. Žinoma, yra daug moksliškai pagrįstų ir optimizuotų kvadratinės šaknies skaičiavimo algoritmų, tačiau „naudojimui namuose“ aukščiau pateikta technika suteikia 100% pasitikėjimo rezultatu.

Taip, beveik pamiršau, kad patvirtintume mūsų padidėjusį raštingumą, apskaičiuojame kvadratinę šaknį iš anksčiau nurodyto skaičiaus 12345. Tai darome žingsnis po žingsnio:

1. Paimkite, grynai intuityviai, X=100. Paskaičiuokime: X * X = 10000. Intuicija viršuje – rezultatas mažesnis nei 12345.

2. Pabandykime, taip pat grynai intuityviai, X = 120. Tada: X * X = 14400. Ir vėl su intuicija tvarka - rezultatas daugiau nei 12345.

3. Aukščiau gaunama „šakė“ 100 ir 120. Parenkame naujus skaičius - 110 ir 115. Gauname atitinkamai 12100 ir 13225 - šakutė susiaurėja.

4. Bandome „galbūt“ X = 111. Gauname X * X = 12321. Šis skaičius jau gana artimas 12345. Esant reikiamam tikslumui, „montavimas“ gali būti tęsiamas arba sustabdytas esant gautam rezultatui. Tai viskas. Kaip ir žadėjau – viskas labai paprasta ir be skaičiuoklės.

Šiek tiek istorijos...

Galvoju apie naudojimą kvadratinės šaknys dar pitagoriečiai, Pitagoro mokyklos mokiniai ir pasekėjai, 800 metų prieš Kristų. ir čia pat „atsirado“ naujų atradimų skaičių srityje. Ir iš kur jis atsirado?

1. Uždavinio sprendimas su šaknies ištraukimu, duoda rezultatą naujos klasės skaičių pavidalu. Jie buvo vadinami neracionaliais, kitaip tariant, „neprotingais“, nes. jie nerašomi kaip visas skaičius. Klasikiausias tokio pobūdžio pavyzdys yra kvadratinė šaknis iš 2. Šis atvejis atitinka kvadrato, kurio kraštinė lygi 1, įstrižainės apskaičiavimą – štai Pitagoro mokyklos įtaka. Paaiškėjo, kad trikampyje, kurio kraštinių dydis yra labai specifinis, hipotenuzė turi dydį, kuris išreiškiamas skaičiumi, kuris „neturi pabaigos“. Taip atsirado matematikoje

2. Yra žinoma, kad Paaiškėjo, kad šis matematinis veiksmas turi dar vieną gudrybę - ištraukus šaknį, mes nežinome, koks kvadratas iš kurio skaičiaus, teigiamo ar neigiamo, yra šaknies išraiška. Šis neapibrėžtumas, dvigubas vienos operacijos rezultatas, yra užrašomas.

Su šiuo reiškiniu susijusių problemų tyrimas tapo matematikos kryptimi, vadinama kompleksinio kintamojo teorija, kuri turi didelę praktinę reikšmę matematinėje fizikoje.

Įdomu, kad šaknies pavadinimą – radikalą – savo „Visuotinėje aritmetikoje“ pavartojo tas pats visur esantis I. Niutonas, o būtent šiuolaikinė šaknies rašymo forma žinoma nuo 1690 m. iš prancūzo Roll knygos „Algebros vadovas“. “.

Gana dažnai spręsdami problemas susiduriame su dideliais skaičiais, iš kurių reikia išgauti Kvadratinė šaknis. Daugelis mokinių nusprendžia, kad tai klaida, ir pradeda spręsti visą pavyzdį. Jokiu būdu tai neturėtų būti daroma! Tam yra dvi priežastys:

1. Didelio skaičiaus šaknys atsiranda problemose. Ypač tekste;
2. Yra algoritmas, pagal kurį šios šaknys laikomos beveik žodžiu.

Šiandien mes apsvarstysime šį algoritmą. Galbūt kai kurie dalykai jums atrodys nesuprantami. Bet jei atkreipsite dėmesį į šią pamoką, gausite galingiausią ginklą prieš kvadratinės šaknys.

Taigi algoritmas:

1. Apribokite norimą šaknį aukščiau ir žemiau iki 10 kartotinių. Taigi paieškos diapazoną sumažinsime iki 10 skaičių;
2. Iš šių 10 skaičių išrinkite tuos, kurie tikrai negali būti šaknys. Dėl to išliks 1-2 skaičiai;
3. Padėkite šiuos 1–2 skaičius kvadratu. Ta iš jų, kurios kvadratas lygus pradiniam skaičiui, bus šaknis.

Prieš taikydami šį algoritmą praktiškai, pažvelkime į kiekvieną atskirą žingsnį.

Šaknų apribojimas

Visų pirma, turime išsiaiškinti, tarp kurių skaičių yra mūsų šaknis. Labai pageidautina, kad skaičiai būtų dešimties kartotiniai:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Gauname skaičių seką:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ką mums duoda šie skaičiai? Tai paprasta: mes nustatome ribas. Paimkime, pavyzdžiui, skaičių 1296. Jis yra tarp 900 ir 1600. Todėl jo šaknis negali būti mažesnė nei 30 ir didesnė nei 40:

[Paveikslo antraštė]

Tas pats pasakytina apie bet kurį kitą skaičių, iš kurio galite rasti kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, 3364:

[Paveikslo antraštė]

Taigi vietoj nesuprantamo skaičiaus gauname labai konkretų diapazoną, kuriame yra pradinė šaknis. Norėdami dar labiau susiaurinti paieškos apimtį, pereikite prie antro veiksmo.

Akivaizdžiai nereikalingų skaičių pašalinimas

Taigi, turime 10 skaičių – kandidatų į šaknį. Juos gavome labai greitai, be kompleksinio mąstymo ir dauginimo stulpelyje. Laikas judėti į priekį.

Tikėkite ar ne, dabar kandidatų skaičių sumažinsime iki dviejų – ir vėl be jokių sudėtingų skaičiavimų! Pakanka žinoti specialią taisyklę. Štai jis:

Paskutinis kvadrato skaitmuo priklauso tik nuo paskutinio skaitmens originalus numeris.

Kitaip tariant, užtenka pažvelgti į paskutinį kvadrato skaitmenį – ir iš karto suprasime, kur baigiasi pradinis skaičius.

Yra tik 10 skaitmenų, kurie gali būti paskutinėje vietoje. Pabandykime išsiaiškinti, kuo jie virsta kvadratu. Pažvelkite į lentelę:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ši lentelė yra dar vienas žingsnis apskaičiuojant šaknį. Kaip matote, antroje eilutėje esantys skaičiai buvo simetriški penkių atžvilgiu. Pavyzdžiui:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kaip matote, paskutinis skaitmuo abiem atvejais yra vienodas. O tai reiškia, kad, pavyzdžiui, 3364 šaknis būtinai baigiasi 2 arba 8. Kita vertus, prisimename ankstesnės pastraipos apribojimą. Mes gauname:

[Paveikslo antraštė]

Raudoni kvadratai rodo, kad mes dar nežinome šio skaičiaus. Bet juk šaknis yra tarp 50 ir 60, ant kurių yra tik du skaičiai, kurie baigiasi 2 ir 8:

[Paveikslo antraštė]

Tai viskas! Iš visų galimų šaknų palikome tik dvi galimybes! Ir tai yra sunkiausiu atveju, nes paskutinis skaitmuo gali būti 5 arba 0. Ir tada liks vienintelis kandidatas į šaknis!

Galutiniai skaičiavimai

Taigi, mums liko 2 kandidatų numeriai. Kaip žinoti, kuris iš jų yra šaknis? Atsakymas akivaizdus: abu skaičius kvadratu. Kvadratas duos pradinį skaičių ir bus šaknis.

Pavyzdžiui, skaičiui 3364 radome du kandidatų skaičius: 52 ir 58. Padėkime juos kvadratu:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Tai viskas! Paaiškėjo, kad šaknis yra 58! Tuo pačiu, siekdamas supaprastinti skaičiavimus, panaudojau sumos ir skirtumo kvadratų formulę. Dėl to jums net nereikėjo dauginti skaičių stulpelyje! Tai dar vienas skaičiavimų optimizavimo lygis, bet, žinoma, visiškai neprivalomas :)

Šakninio skaičiavimo pavyzdžiai

Teorija, žinoma, gera. Bet išbandykime tai praktiškai.

[Paveikslo antraštė]

Pirmiausia išsiaiškinkime, tarp kurių skaičių yra skaičius 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Dabar pažiūrėkime į paskutinį skaičių. Jis lygus 6. Kada tai atsitinka? Tik jei šaknis baigiasi 4 arba 6. Gauname du skaičius:

Belieka kiekvieną skaičių pakelti kvadratu ir palyginti su originalu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Puiku! Pirmasis kvadratas pasirodė lygus pradiniam skaičiui. Taigi tai yra šaknis.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaičių:

1369 → 9;
33; 37.

Padėkime kvadratu:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Štai atsakymas: 37.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaičių:

2704 → 4;
52; 58.

Padėkime kvadratu:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Gavome atsakymą: 52. Antrojo skaičiaus kvadratuoti nebereikės.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaičių:

4225 → 5;
65.

Kaip matote, po antro žingsnio lieka tik viena parinktis: 65. Tai norima šaknis. Bet vis tiek išlyginkime ir patikrinkime:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viskas teisinga. Užrašome atsakymą.

Išvada

Deja, ne geriau. Pažvelkime į priežastis. Yra du iš jų:

• Draudžiama naudoti skaičiuokles per bet kokį įprastą matematikos egzaminą, nesvarbu, ar tai būtų GIA, ar vieningas valstybinis egzaminas. O jei į klasę nešiojasi skaičiuotuvą, jie gali būti lengvai išmesti iš egzamino.
• Nebūk kaip kvaili amerikiečiai. Kurios nėra kaip šaknys – jos yra dvi pirminiai skaičiai negali sulankstyti. Ir matydami trupmenas jie paprastai apima isteriją.

Prieš atsirandant skaičiuotuvams, mokiniai ir mokytojai kvadratines šaknis skaičiavo rankomis. Yra keletas būdų, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kai kurie iš jų siūlo tik apytikslį sprendimą, kiti pateikia tikslų atsakymą.

Žingsniai

Pirminis faktorizavimas

Padalinkite šakninį skaičių į koeficientus, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Priklausomai nuo šakninio skaičiaus, gausite apytikslį arba tikslų atsakymą. Kvadratiniai skaičiai yra skaičiai, iš kurių galima paimti visą kvadratinę šaknį. Veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 koeficientai yra 2 ir 4, nes 2 x 4 = 8, skaičiai 25, 36, 49 yra kvadratiniai skaičiai, nes √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiniai koeficientai yra faktoriai, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Pirmiausia pabandykite padalyti šaknies skaičių į kvadratinius koeficientus.

• Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 400 (rankiniu būdu). Pirmiausia pabandykite įskaičiuoti 400 į kvadratinius koeficientus. 400 yra 100 kartotinis, tai yra, dalijasi iš 25 - tai yra kvadratinis skaičius. Padalijus 400 iš 25, gauname 16. Skaičius 16 taip pat yra kvadratinis skaičius. Taigi 400 galima padalyti į kvadratinius koeficientus 25 ir 16, tai yra, 25 x 16 = 400.
• Tai galima parašyti taip: √400 = √(25 x 16).

1. Kai kurių narių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi kiekvieno nario kvadratinių šaknų sandaugai, tai yra √(a x b) = √a x √b. Naudokite šią taisyklę ir paimkite kvadratinę šaknį iš kiekvieno kvadratinio koeficiento ir padauginkite rezultatus, kad rastumėte atsakymą.

   • Mūsų pavyzdyje paimkite kvadratinę šaknį iš 25 ir 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jei šaknies skaičius nepatenka į du kvadratinius veiksnius (ir taip yra daugeliu atvejų), jūs negalėsite rasti tikslaus atsakymo sveikojo skaičiaus forma. Bet jūs galite supaprastinti problemą, išskaidydami šaknies skaičių į kvadratinį koeficientą ir įprastą koeficientą (skaičius, iš kurio negalima paimti visos kvadratinės šaknies). Tada paimsite kvadratinę šaknį iš kvadratinio koeficiento ir paimsite įprasto koeficiento šaknį.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite skaičiaus 147 kvadratinę šaknį. Skaičius 147 negali būti įtrauktas į du kvadratinius veiksnius, bet jį galima įskaičiuoti į šiuos veiksnius: 49 ir ​​3. Išspręskite užduotį taip:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jei reikia, įvertinkite šaknies vertę. Dabar galite įvertinti šaknies reikšmę (rasti apytikslę reikšmę), palygindami ją su kvadratinių skaičių, kurie yra arčiausiai šaknies skaičiaus (abiejose skaičių linijos pusėse), šaknų reikšmėmis. Jūs gausite šaknies vertę kaip dešimtainė trupmena, kurį reikia padauginti iš skaičiaus, esančio už šaknies ženklo.

   • Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Šaknies skaičius yra 3. Artimiausi jam kvadratiniai skaičiai yra 1 (√1 = 1) ir 4 (√4 = 2). Taigi, √3 reikšmė yra tarp 1 ir 2. Kadangi √3 reikšmė tikriausiai yra arčiau 2 nei 1, mūsų įvertis yra toks: √3 = 1,7. Šią reikšmę padauginame iš skaičiaus prie šaknies ženklo: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Jei atliksite skaičiavimus skaičiuotuvu, gausite 12,13, o tai yra gana artima mūsų atsakymui.
     • Šis metodas taip pat veikia su dideliais skaičiais. Pavyzdžiui, apsvarstykite √35. Šaknies skaičius yra 35. Artimiausi jam kvadratiniai skaičiai yra 25 (√25 = 5) ir 36 (√36 = 6). Taigi, √35 reikšmė yra tarp 5 ir 6. Kadangi √35 reikšmė yra daug arčiau 6 nei ji yra 5 (nes 35 yra tik 1 mažesnis už 36), galime teigti, kad √35 yra šiek tiek mažesnė nei 6. Patikrinimas skaičiuotuvu duoda atsakymą 5,92 – buvome teisūs.

4. Kitas būdas - padalykite šakninį skaičių į pirminius veiksnius . Pirminiai veiksniai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš 1 ir savęs. užsirašyti pagrindiniai veiksniai iš eilės ir raskite identiškų faktorių poras. Tokius veiksnius galima ištraukti iš šaknies ženklo.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 45. Šaknies skaičių išskaidome į pirminius koeficientus: 45 \u003d 9 x 5 ir 9 \u003d 3 x 3. Taigi, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). Iš šaknies ženklo galima paimti 3: √45 = 3√5. Dabar galime įvertinti √5.
   • Apsvarstykite kitą pavyzdį: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Turite tris daugiklį 2; paimkite jų porą ir ištraukite iš šaknies ženklo.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Dabar galime įvertinti √2 ir √11 ir rasti apytikslį atsakymą.

   Kvadratinės šaknies apskaičiavimas rankiniu būdu

   Naudojant stulpelių padalijimą

   1. Šis metodas apima procesą, panašų į ilgą padalijimą ir pateikia tikslų atsakymą. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, padalijančią lapą į dvi dalis, tada nubrėžkite horizontalią liniją į dešinę ir šiek tiek žemiau viršutinio lapo krašto iki vertikalios linijos. Dabar šakninį skaičių padalinkite į skaičių poras, pradedant trupmena po kablelio. Taigi, numeris 79520789182.47897 rašomas kaip „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Pavyzdžiui, apskaičiuokime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 780.14. Nubrėžkite dvi linijas (kaip parodyta paveikslėlyje) ir viršuje kairėje parašykite skaičių „7 80, 14“. Normalu, kad pirmasis skaitmuo iš kairės yra nesusietas skaitmuo. Atsakymas (šaknis duotas numeris) bus parašyta viršutiniame dešiniajame kampe.

   2. Atsižvelgdami į pirmąją skaičių porą (arba vieną skaičių) iš kairės, raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus nagrinėjamai skaičių porai (arba vienam skaičiui). Kitaip tariant, suraskite kvadratinį skaičių, kuris yra arčiausiai pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės, bet mažesnis už ją, ir paimkite to kvadratinio skaičiaus kvadratinę šaknį; gausite numerį n. Viršuje dešinėje parašykite rastą n, o apačioje dešinėje - kvadratą n.

      • Mūsų atveju pirmasis skaičius kairėje bus skaičius 7. Toliau 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Iš pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės atimkite ką tik rasto skaičiaus n kvadratą. Skaičiavimo rezultatą parašykite po dalimi (skaičiaus n kvadratu).

      • Mūsų pavyzdyje iš 7 atimkite 4, kad gautumėte 3.

   4. Nuimkite antrą skaičių porą ir užrašykite ją šalia vertės, gautos atliekant ankstesnį veiksmą. Tada padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje antroji skaičių pora yra „80“. Po 3 parašykite "80". Tada padvigubinę skaičių viršuje dešinėje gausite 4. Parašykite "4_×_=" iš apačios dešinėje.

   5. Dešinėje užpildykite tuščias vietas.

      • Mūsų atveju, jei vietoj brūkšnelių dedame skaičių 8, tai 48 x 8 \u003d 384, tai yra daugiau nei 380. Todėl 8 yra per didelis skaičius, bet 7 yra gerai. Vietoj brūkšnelių parašykite 7 ir gaukite: 47 x 7 \u003d 329. Viršuje dešinėje parašykite 7 – tai antrasis skaitmuo norimoje kvadratinėje šaknyje iš skaičiaus 780.14.

   6. Atimkite gautą skaičių iš esamo skaičiaus kairėje. Užrašykite ankstesnio žingsnio rezultatą po esamu skaičiumi kairėje, suraskite skirtumą ir parašykite jį po atimtu.

      • Mūsų pavyzdyje iš 380 atimkite 329, kuris yra lygus 51.

   7. Pakartokite 4 veiksmą. Jei išardyta skaičių pora yra pradinio skaičiaus trupmeninė dalis, įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį (kablelį) į norimą kvadratinę šaknį iš viršaus dešinėje. Kairėje pusėje nuneškite kitą skaičių porą. Padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje kita skaičių pora, kurią reikia nugriauti, bus trupmeninė skaičiaus 780.14 dalis, todėl įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį į norimą kvadratinę šaknį iš viršaus dešinėje. Nugriaukite 14 ir užrašykite apačioje kairėje. Dvigubas viršutinis dešinysis (27) yra 54, todėl apačioje dešinėje parašykite „54_×_=".

   8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Rask tai didžiausias skaičius vietoj brūkšnelių dešinėje (vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių), kad daugybos rezultatas būtų mažesnis arba lygus esamam skaičiui kairėje.

      • Mūsų pavyzdyje 549 x 9 = 4941, tai yra mažiau nei dabartinis skaičius kairėje (5114). Viršuje dešinėje parašykite 9 ir atimkite daugybos rezultatą iš esamo skaičiaus kairėje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jei reikia rasti daugiau kvadratinės šaknies skaitmenų po kablelio, kairėje šalia esamo skaičiaus parašykite nulių porą ir kartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. Kartokite veiksmus, kol gausite reikiamo atsakymo tikslumą (skaičius po kablelio).

   Proceso supratimas

   Norėdami įvaldyti šį metodą, įsivaizduokite skaičių, kurio kvadratinę šaknį jums reikia rasti kaip kvadrato S plotą. Tokiu atveju ieškosite tokio kvadrato kraštinės L ilgio. Apskaičiuokite L reikšmę, kuriai L² = S.

   Įveskite raidę kiekvienam skaitmeniui savo atsakyme. Pirmąjį L reikšmės skaitmenį pažymėkite A (norima kvadratinė šaknis). B bus antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

   Nurodykite raidę kiekvienai priekinių skaitmenų porai. Pažymėkite S a pirmąją reikšmės S skaitmenų porą, S b – antrąją skaitmenų porą ir pan.

   Paaiškinkite šio metodo ryšį su ilguoju padalijimu. Kaip ir dalybos operacijoje, kai kiekvieną kartą mus domina tik vienas kitas dalijamojo skaičiaus skaitmuo, skaičiuodami kvadratinę šaknį, dirbame su skaitmenų pora iš eilės (kad gautume kitą kvadratinės šaknies reikšmės skaitmenį) .

   1. Apsvarstykite pirmąją skaičiaus S skaitmenų Sa porą (mūsų pavyzdyje Sa = 7) ir raskite jos kvadratinę šaknį.Šiuo atveju pirmasis ieškomos kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo A bus toks skaitmuo, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S a (tai yra, mes ieškome tokio A, kuris tenkintų nelygybę A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Tarkime, kad reikia padalyti 88962 iš 7; čia pirmas žingsnis bus panašus: atsižvelgiame į pirmąjį dalijamojo skaičiaus skaitmenį 88962 (8) ir pasirenkame didžiausią skaičių, kurį padauginus iš 7 gauname reikšmę, mažesnę arba lygią 8. Tai yra, mes ieškome skaičius d, kurio nelygybė yra teisinga: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.