Logaritminės nelygybės, kurių pagrindas yra logaritmas. Manovo darbas „Logaritminės nelygybės vieningame valstybiniame egzamine“
Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri kažkodėl retai mokoma mokykloje. Pristatyme pateikiami matematikos Vieningo valstybinio egzamino - 2014 uždavinių C3 sprendimai.
Parsisiųsti:
Peržiūra:
Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Logaritminių nelygybių, turinčių kintamąjį logaritmo bazėje, sprendimas: metodai, metodai, ekvivalentiniai perėjimai, matematikos mokytojas, 143 vidurinė mokykla Knyazkina T.V.
Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl tam tikrų priežasčių retai mokoma mokykloje: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi. Taip atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka surasti plotą priimtinos vertės. Nepamirškite logaritmo ODZ! Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas priimtinų reikšmių diapazonas, belieka jį susikirsti su racionalios nelygybės sprendimu – ir atsakymas paruoštas.
Išspręskite nelygybę: Sprendimas Pirmiausia išrašykime logaritmo OD Pirmosios dvi nelygybės tenkinamos automatiškai, tačiau paskutinę reikės užrašyti. Kadangi skaičiaus kvadratas lygus nuliui tada ir tik tada, kai pats skaičius lygus nuliui, gauname: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę: pereiname nuo logaritminės nelygybės prie racionaliosios. Pradinė nelygybė turi ženklą „mažiau nei“, o tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turi turėti „mažiau nei“ ženklą.
Turime: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)
Logaritminių nelygybių transformavimas Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai galima lengvai ištaisyti naudojant standartines darbo su logaritmais taisykles. Būtent: bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su tam tikra baze; Logaritmų su vienodais pagrindais sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu. Atskirai norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų VA. Taigi, bendra schema logaritminių nelygybių sprendiniai yra tokie: Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo ODZ; Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules; Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.
Išspręskite nelygybę: Sprendimas Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (DO): Išspręskite intervalų metodu. Raskite skaitiklio nulius: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Tada - vardiklio nuliai: x − 1 = 0; x = 1. Koordinačių tiesėje pažymėkite nulius ir ženklus:
Gauname x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Antrasis logaritmas turės tą patį VA. Jei netikite, galite patikrinti. Dabar transformuokime antrąjį logaritmą taip, kad bazėje būtų du: Kaip matote, trejetukai prie pagrindo ir priešais logaritmą buvo atšaukti. Gavome du logaritmus su ta pačia baze. Sudėkite juos: log 2 (x − 1) 2
(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)
Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, kurie yra užtamsinti ant abiejų rodyklių. Gauname: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - visi taškai pradurti. Atsakymas: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
C3 tipo USE-2014 užduočių sprendimas
Išspręskite nelygybių sistemą Sprendimas. ODZ: 1) 2)
Išspręskite nelygybių sistemą 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (tęsinys)
Išspręskite nelygybių sistemą 4) Bendras sprendimas: ir -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (tęsinys)
Išspręskite nelygybę (tęsinys) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Išspręskite nelygybę Sprendimas. ODZ:
Išspręskite nelygybę (tęsinys)
Išspręskite nelygybę Sprendimas. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
Su jais yra logaritmų viduje.
Pavyzdžiai:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Kaip išspręsti logaritmines nelygybes:
Turėtume stengtis sumažinti bet kokią logaritminę nelygybę iki formos \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (simbolis \(˅\) reiškia bet kurį iš ). Šis tipas leidžia atsikratyti logaritmų ir jų bazių, pereinant prie logaritmų išraiškų nelygybės, tai yra į formą \(f(x) ˅ g(x)\).
Tačiau atliekant šį perėjimą yra vienas labai svarbus subtilumas:
\(-\) jei yra skaičius ir jis didesnis nei 1, nelygybės ženklas perėjimo metu išlieka toks pat,
\(-\) jei bazė yra skaičius didesnis nei 0, bet mažesnis už 1 (yra tarp nulio ir vieneto), tai nelygybės ženklas turėtų pasikeisti į priešingą, t.y.
\(\log_2((8-x))<1\) Sprendimas: |
\(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \(((x+ 1))\) Sprendimas: |
Labai svarbus! Esant bet kokiai nelygybei, perėjimas iš formos \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) į išraiškų palyginimą pagal logaritmus gali būti atliktas tik jei:
Pavyzdys . Išspręskite nelygybę: \(\log\)\(≤-1\)
Sprendimas:
\(\log\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Išrašykime ODZ. |
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Atsidarome skliaustus ir atvežame . |
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Nelygybę padauginame iš \(-1\), nepamiršdami pakeisti palyginimo ženklo. |
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Sukonstruokime skaičių tiesę ir pažymime joje taškus \(\frac(7)(3)\) ir \(\frac(3)(2)\). Atkreipkite dėmesį, kad taškas pašalinamas iš vardiklio, nepaisant to, kad nelygybė nėra griežta. Faktas yra tas, kad šis taškas nebus sprendimas, nes pakeistas į nelygybę, mes skirsime iš nulio. |
|
Dabar mes nubraižome ODZ toje pačioje skaitinėje ašyje ir atsakydami užrašome intervalą, kuris patenka į ODZ. |
|
Užrašome galutinį atsakymą. |
Pavyzdys . Išspręskite nelygybę: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Sprendimas:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Išrašykime ODZ. |
ODZ: \(x>0\) |
Pereikime prie sprendimo. |
Sprendimas: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Čia turime tipinę kvadrato-logaritminę nelygybę. Padarykime tai. |
\(t=\log_3x\) |
Išplečiame kairę nelygybės pusę į . |
\(D=1+8=9\) |
|
Dabar turime grįžti prie pradinio kintamojo - x. Norėdami tai padaryti, eikime į , kuris turi tą patį sprendimą, ir atlikite atvirkštinį pakeitimą. |
|
\(\left[ \begin(surinkta) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformuoti \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
\(\left[ \begin(surinkta) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Pereikime prie argumentų palyginimo. Logaritmų pagrindai yra didesni už \(1\), todėl nelygybių ženklas nekinta. |
\(\left[ \begin(surinkta) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Sujungkime nelygybės sprendimą ir ODZ viename paveiksle. |
|
Užsirašykime atsakymą. |
Ar manote, kad iki vieningo valstybinio egzamino dar liko laiko ir turėsite laiko pasiruošti? Galbūt taip ir yra. Bet bet kuriuo atveju, kuo anksčiau studentas pradeda ruoštis, tuo sėkmingiau jis išlaiko egzaminus. Šiandien nusprendėme skirti straipsnį logaritminėms nelygybėms. Tai viena iš užduočių, reiškiančių galimybę gauti papildomą kreditą.
Ar jau žinai, kas yra logaritmas? Labai tikimės. Bet net jei neturite atsakymo į šį klausimą, tai nėra problema. Suprasti, kas yra logaritmas, labai paprasta.
Kodėl 4? Turite padidinti skaičių 3 iki šios galios, kad gautumėte 81. Kai suprasite principą, galite pereiti prie sudėtingesnių skaičiavimų.
Prieš kelerius metus išgyvenote nelygybę. Ir nuo to laiko jūs nuolat susiduriate su jais matematikoje. Jei kyla problemų sprendžiant nelygybes, peržiūrėkite atitinkamą skyrių.
Dabar, kai susipažinome su sąvokomis atskirai, pereikime prie jų bendro nagrinėjimo.
Paprasčiausia logaritminė nelygybė.
Paprasčiausios logaritminės nelygybės neapsiriboja šiuo pavyzdžiu, yra dar trys, tik su skirtingais ženklais. Kodėl tai būtina? Norėdami geriau suprasti, kaip logaritmais išspręsti nelygybes. Dabar pateikime tinkamesnį pavyzdį, vis dar gana paprastą, sudėtingas logaritmines nelygybes paliksime vėlesniam laikui.
Kaip tai išspręsti? Viskas prasideda nuo ODZ. Verta apie tai sužinoti daugiau, jei norite visada lengvai išspręsti bet kokią nelygybę.
Kas yra ODZ? ODZ logaritminėms nelygybėms
Santrumpa reiškia priimtinų verčių diapazoną. Ši formuluotė dažnai atsiranda atliekant vieningo valstybinio egzamino užduotis. ODZ jums bus naudingas ne tik logaritminių nelygybių atveju.
Dar kartą pažiūrėkite į aukščiau pateiktą pavyzdį. Remdamiesi juo svarstysime ODZ, kad suprastumėte principą, o logaritminių nelygybių sprendimas nekeltų klausimų. Iš logaritmo apibrėžimo išplaukia, kad 2x+4 turi būti didesnis už nulį. Mūsų atveju tai reiškia štai ką.
Šis skaičius pagal apibrėžimą turi būti teigiamas. Išspręskite aukščiau pateiktą nelygybę. Tai galima padaryti net žodžiu, čia aišku, kad X negali būti mažesnis nei 2. Nelygybės sprendimas bus priimtinų reikšmių diapazono apibrėžimas.
Dabar pereikime prie paprasčiausios logaritminės nelygybės sprendimo.
Mes atmetame pačius logaritmus iš abiejų nelygybės pusių. Kas mums liko dėl to? Paprasta nelygybė.
Tai nesunku išspręsti. X turi būti didesnis nei -0,5. Dabar mes sujungiame dvi gautas reikšmes į sistemą. Taigi,
Tai bus nagrinėjamos logaritminės nelygybės priimtinų verčių diapazonas.
Kodėl mums apskritai reikia ODZ? Tai galimybė atsikratyti neteisingų ir neįmanomų atsakymų. Jei atsakymas nepatenka į priimtinų verčių diapazoną, atsakymas tiesiog neturi prasmės. Tai verta prisiminti ilgą laiką, nes vieningame valstybiniame egzamine dažnai reikia ieškoti ODZ, ir tai susiję ne tik su logaritminėmis nelygybėmis.
Logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas
Sprendimas susideda iš kelių etapų. Pirmiausia turite rasti priimtinų verčių diapazoną. ODZ bus dvi reikšmės, mes tai aptarėme aukščiau. Toliau reikia išspręsti pačią nelygybę. Sprendimo metodai yra tokie:
- daugiklio pakeitimo metodas;
- skilimas;
- racionalizavimo metodas.
Atsižvelgiant į situaciją, verta naudoti vieną iš aukščiau pateiktų metodų. Pereikime tiesiai prie sprendimo. Atskleisime populiariausią metodą, kuris tinka spręsti vieningo valstybinio egzamino užduotis beveik visais atvejais. Toliau apžvelgsime skaidymo metodą. Tai gali padėti, jei susidursite su ypač sudėtinga nelygybe. Taigi, logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas.
Sprendimų pavyzdžiai :
Ne veltui mes priėmėme būtent šią nelygybę! Atkreipkite dėmesį į pagrindą. Atsiminkite: jei jis didesnis už vienetą, randant priimtinų reikšmių diapazoną, ženklas išlieka toks pat; kitu atveju reikia pakeisti nelygybės ženklą.
Dėl to gauname nelygybę:
Dabar kairę pusę sumažiname iki lygties formos, lygios nuliui. Vietoj ženklo „mažiau nei“ dedame „lygu“ ir išsprendžiame lygtį. Taigi, mes rasime ODZ. Tikimės, kad jums nekils problemų sprendžiant tokią paprastą lygtį. Atsakymai yra -4 ir -2. Tai dar ne viskas. Turite parodyti šiuos taškus grafike, padėdami „+“ ir „-“. Ką reikia padaryti dėl to? Pakeiskite skaičius iš intervalų į išraišką. Kai reikšmės yra teigiamos, ten įdedame „+“.
Atsakymas: x negali būti didesnis nei -4 ir mažesnis nei -2.
Mes radome priimtinų verčių diapazoną tik kairiajai pusei, dabar turime rasti priimtinų verčių diapazoną dešinei. Tai daug lengviau. Atsakymas: -2. Mes susikertame abi gautas sritis.
Ir tik dabar pradedame spręsti pačią nelygybę.
Kiek įmanoma supaprastinkime, kad būtų lengviau išspręsti.
Sprendime vėl naudojame intervalo metodą. Praleiskime skaičiavimus, viskas jau aišku iš ankstesnio pavyzdžio. Atsakymas.
Bet šis metodas tinka, jei logaritminė nelygybė turi tuos pačius pagrindus.
Norint išspręsti logaritmines lygtis ir nelygybes su skirtingais pagrindais, reikia iš pradžių redukuoti iki tos pačios bazės. Tada naudokite aukščiau aprašytą metodą. Tačiau yra sudėtingesnis atvejis. Panagrinėkime vieną iš sudėtingiausių logaritminių nelygybių tipų.
Logaritminės nelygybės su kintamu pagrindu
Kaip išspręsti tokias charakteristikas turinčias nelygybes? Taip, ir tokių žmonių galima rasti Vieningame valstybiniame egzamine. Nelygybių sprendimas tokiu būdu taip pat turės teigiamos įtakos jūsų ugdymo procesui. Pažvelkime į problemą išsamiai. Išmeskime teoriją ir eikime tiesiai į praktiką. Norint išspręsti logaritmines nelygybes, pakanka vieną kartą susipažinti su pavyzdžiu.
Norint išspręsti pateiktos formos logaritminę nelygybę, reikia sumažinti dešinę pusę iki logaritmo su ta pačia baze. Principas primena lygiaverčius perėjimus. Dėl to nelygybė atrodys taip.
Tiesą sakant, belieka sukurti nelygybių sistemą be logaritmų. Naudodami racionalizacijos metodą pereiname prie lygiavertės nelygybių sistemos. Pačią taisyklę suprasite, kai pakeisite atitinkamas reikšmes ir stebėsite jų pokyčius. Sistema turės tokias nelygybes.
Sprendžiant nelygybes naudojant racionalizacijos metodą, reikia atsiminti: vieną reikia atimti iš pagrindo, x pagal logaritmo apibrėžimą atimama iš abiejų nelygybės pusių (dešinė iš kairės), dvi išraiškos padauginamos ir nustatyti po pirminiu ženklu nulio atžvilgiu.
Tolesnis sprendimas atliekamas naudojant intervalų metodą, čia viskas paprasta. Jums svarbu suprasti sprendimo būdų skirtumus, tada viskas pradės lengvai klotis.
Logaritminėse nelygybėse yra daug niuansų. Paprasčiausius iš jų gana lengva išspręsti. Kaip galite išspręsti kiekvieną iš jų be problemų? Šiame straipsnyje jau gavote visus atsakymus. Dabar jūsų laukia ilga praktika. Nuolat treniruokitės spręsdami įvairias egzamine problemas ir galėsite gauti aukščiausią balą. Sėkmės jums atliekant sunkią užduotį!