Algebrinės trupmenos reikšmė. Kaip išspręsti algebrines trupmenas? Teorija ir praktika
Ant šią pamoką nagrinėjama algebrinės trupmenos samprata. Su trupmenomis žmogus susitinka paprasčiausiai gyvenimo situacijos: kai reikia padalinti daiktą į kelias dalis, pavyzdžiui, vienodai supjaustyti tortą dešimčiai žmonių. Akivaizdu, kad kiekvienas gaus po gabalėlį torto. Šiuo atveju susiduriame su skaitinės trupmenos samprata, tačiau galima situacija, kai objektas yra padalintas į nežinomą dalių skaičių, pavyzdžiui, iš x. Šiuo atveju iškyla trupmeninės išraiškos sąvoka. 7 klasėje jau susidūrėte su sveikųjų skaičių išraiškomis (be skirstymo į išraiškas su kintamaisiais) ir jų savybėmis. Toliau mes apsvarstysime koncepciją racionalioji trupmena, taip pat leistinas kintamųjų reikšmes.
Tema:Algebrinės trupmenos. Aritmetiniai veiksmai su algebrinėmis trupmenomis
Pamoka:Pagrindinės sąvokos
1. Algebrinių trupmenų apibrėžimas ir pavyzdžiai
Racionalios išraiškos skirstomos į sveikųjų ir trupmeninių išraiškų.
Apibrėžimas. racionalioji trupmena yra trupmeninė formos išraiška, kur yra daugianariai. - skaitiklio vardiklis.
Pavyzdžiai racionalios išraiškos:- trupmeninės išraiškos; yra sveikųjų skaičių išraiškos. Pavyzdžiui, pirmoje išraiškoje skaitiklis yra , o vardiklis yra .
Reikšmė algebrinė trupmena, kaip ir bet kuri algebrinė išraiška , priklauso nuo į jį įtrauktų kintamųjų skaitinės reikšmės. Visų pirma, pirmame pavyzdyje trupmenos reikšmė priklauso nuo kintamųjų ir reikšmių, o antrajame tik nuo kintamojo reikšmės.
2. Algebrinės trupmenos reikšmės apskaičiavimas ir du pagrindiniai trupmenų uždaviniai
Apsvarstykite pirmąją tipinę užduotį: vertės apskaičiavimą racionalioji trupmena adresu skirtingos vertybėsį jį įtraukti kintamieji.
1 pavyzdys. Apskaičiuokite a), b), c) trupmenos reikšmę
Sprendimas. Pakeiskite kintamųjų reikšmes į nurodytą trupmeną: a), b), c) - neegzistuoja (nes negalite padalyti iš nulio).
Atsakymas: 3; vienas; neegzistuoja.
Kaip matote, bet kuriai trupmenai būdingos dvi problemos: 1) trupmenos apskaičiavimas, 2) suradimas galiojančios ir negaliojančios vertės pažodiniai kintamieji.
Apibrėžimas. Galiojančios kintamųjų reikšmės yra kintamųjų, kuriems išraiška turi prasmę, reikšmės. Vadinamas visų leistinų kintamųjų verčių rinkinys ODZ arba domenas.
3. Leidžiamos (ODZ) ir negaliojančios kintamųjų reikšmės trupmenomis su vienu kintamuoju
Pažodinių kintamųjų reikšmė gali būti neteisinga, jei šių reikšmių trupmenos vardiklis yra lygus nuliui. Visais kitais atvejais kintamųjų reikšmės galioja, nes trupmeną galima apskaičiuoti.
2 pavyzdys. Nustatykite, kokiomis kintamojo reikšmėmis trupmena neturi prasmės.
Sprendimas. Kad ši išraiška būtų prasminga, būtina ir pakanka, kad trupmenos vardiklis nebūtų lygus nuliui. Taigi, tik tos kintamojo reikšmės, kurių vardiklis bus lygus nuliui, bus negaliojančios. Trupmenos vardiklis, todėl išsprendžiame tiesinę lygtį:
Todėl kintamojo vertei trupmena neturi prasmės.
Iš pavyzdžio sprendimo seka neteisingų kintamųjų reikšmių radimo taisyklė - trupmenos vardiklis lygus nuliui ir randamos atitinkamos lygties šaknys.
Pažvelkime į keletą panašių pavyzdžių.
3 pavyzdys. Nustatykite, kokiomis kintamojo reikšmėmis trupmena neturi prasmės.
Sprendimas. .
Atsakymas. .
4 pavyzdys. Nustatykite, kokiomis kintamojo reikšmėmis trupmena neturi prasmės.
Sprendimas..
Yra ir kitų šios problemos formuluočių – surasti domenas arba galiojančių išraiškos reikšmių diapazonas (ODZ). Tai reiškia - suraskite visas galiojančias kintamųjų reikšmes. Mūsų pavyzdyje tai visos vertės, išskyrus . Apibrėžimo sritis patogiai pavaizduota skaitinėje ašyje.
Norėdami tai padaryti, iškirpsime tašką, kaip parodyta paveikslėlyje:
Šiuo būdu, trupmenos domenas bus visi skaičiai, išskyrus 3.
Atsakyk..
5 pavyzdys. Nustatykite, kokiomis kintamojo reikšmėmis trupmena neturi prasmės.
Sprendimas..
Gautą sprendimą pavaizduokime skaitinėje ašyje:
Atsakyk..
4. Grafinis leistino ploto (ODZ) ir neteisingų kintamųjų reikšmių vaizdavimas trupmenomis
6 pavyzdys. Nustatykite, kokiomis kintamųjų reikšmėmis trupmena neturi prasmės.
Sprendimas .. Gavome dviejų kintamųjų lygybę, pateikiame skaitiniai pavyzdžiai: arba tt
Pavaizduokime šį sprendimą grafike Dekarto koordinačių sistemoje:
Ryžiai. 3. Funkcijos grafikas.
Bet kurio taško koordinatės šią diagramą, neįtraukti į leistinų trupmenos verčių diapazoną.
Atsakymas. .
5. Atvejai, tokie kaip „dalyba iš nulio“
Nagrinėjamuose pavyzdžiuose susidūrėme su situacija, kai įvyko padalijimas iš nulio. Dabar apsvarstykite atvejį, kai įdomesnė situacija susidaro skirstant tipą.
7 pavyzdys. Nustatykite, kokiomis kintamųjų reikšmėmis trupmena neturi prasmės.
Sprendimas..
Pasirodo, trupmena neturi prasmės, kai . Tačiau galima teigti, kad taip nėra, nes: .
Gali atrodyti, kad jei galutinė išraiška yra lygi 8, tada pradinė išraiška taip pat gali būti apskaičiuota, todėl ji yra prasminga. Tačiau jei pakeisime jį originalia išraiška, gausime – tai neturi prasmės.
Atsakyk..
Norėdami išsamiau suprasti šį pavyzdį, išsprendžiame šią problemą: kokioms reikšmėms nurodyta trupmena yra lygi nuliui?
(trupmena lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui) . Bet būtina išspręsti pradinę lygtį su trupmena, ir tai nėra prasmės, nes su šia kintamojo reikšme vardiklis yra lygus nuliui. Reiškia, duota lygtis turi tik vieną šaknį.
6. ODZ radimo taisyklė
Taigi galime suformuluoti tikslią taisyklę, kaip rasti leistinų trupmenos verčių diapazoną: rasti ODZtrupmenomis būtina ir pakanka jo vardiklį prilyginti nuliui ir rasti gautos lygties šaknis.
Mes apsvarstėme dvi pagrindines užduotis: skaičiuojant trupmenos reikšmę nurodytoms kintamųjų reikšmėms ir rasti trupmenos leistinų verčių plotą.
Dabar apsvarstykime dar keletą problemų, kurios gali kilti dirbant su trupmenomis.
7. Įvairios užduotys ir išvados
8 pavyzdys. Įrodykite, kad bet kurioms kintamojo reikšmėms trupmena .
Įrodymas. Skaitiklis yra teigiamas skaičius. . Dėl to ir skaitiklis, ir vardiklis teigiami skaičiai, todėl trupmena yra teigiamas skaičius.
Įrodyta.
9 pavyzdys. Yra žinoma, kad , rasti .
Sprendimas. Padalinkime trupmenos terminą iš termino. Mes turime teisę sumažinti iki, atsižvelgdami į tai, kas yra neteisinga šios trupmenos kintamojo reikšmė.
Atsakyk..
Šioje pamokoje apžvelgėme pagrindines su trupmenomis susijusias sąvokas. Kitoje pamokoje apžvelgsime pagrindinė trupmenos savybė.
Bibliografija
1. Bashmakov M. I. Algebra 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
2. Dorofejevas G. V., Suvorova S. B., Bunimovičius E. A. ir kt. Algebra 8. – 5 leidimas. - M.: Švietimas, 2010 m.
3. Nikolskis S. M., Potapovas M. A., Rešetnikovas N. N., Ševkinas A. V. Algebra 8 kl. Pamoka skirta bendras švietimo įstaigų. - M.: Švietimas, 2006 m.
1. Pedagoginių idėjų festivalis.
2. Senoji mokykla.
3. Interneto portalas lib2.podelise. ru.
Namų darbai
1. Nr. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofejevas G. V., Suvorova S. B., Bunimovičius E. A. ir kt. Algebra 8. – 5 leidimas. - M.: Švietimas, 2010 m.
2. Užrašykite racionaliąją trupmeną, kurios sritis yra: a) aibė, b) aibė, c) visa skaitinė ašis.
3. Įrodykite, kad visoms leistinoms kintamojo reikšmėms trupmenos reikšmė yra neneigiama.
4. Raskite išraiškos apimtį. Patarimas: apsvarstykite du atvejus atskirai: kai apatinės trupmenos vardiklis lygus nuliui ir kai pradinės trupmenos vardiklis lygus nuliui.
Kai mokinys pereina į aukštąją mokyklą, matematika skirstoma į 2 dalykus: algebrą ir geometriją. Sąvokų daugėja, užduotys sunkėja. Kai kuriems žmonėms sunku suprasti trupmenas. Praleidau pirmąją pamoką šia tema, ir voila. trupmenomis? Klausimas, kuris kankins visą mokyklos gyvenimą.
Algebrinės trupmenos samprata
Pradėkime nuo apibrėžimo. Pagal algebrinė trupmena Suprantamos P/Q išraiškos, kur P yra skaitiklis, o Q yra vardiklis. Skaičius, skaitinė išraiška, skaitinė-abėcėlinė išraiška gali būti paslėpta po abėcėlės įrašu.
Prieš galvodami, kaip išspręsti algebrines trupmenas, pirmiausia turite suprasti, kad tokia išraiška yra visumos dalis.
Paprastai visuma yra 1. Skaičius vardiklyje parodo, į kiek dalių buvo padalintas vienetas. Skaitiklis reikalingas norint sužinoti, kiek elementų imta. Trupmeninė juosta atitinka padalijimo ženklą. Trupmeninę išraišką leidžiama įrašyti kaip matematinį veiksmą „Padalinys“. Šiuo atveju skaitiklis yra dividendas, vardiklis yra daliklis.
Pagrindinė paprastųjų trupmenų taisyklė
Kai praeina mokiniai Ši tema mokykloje jiems pateikiami pavyzdžiai, kuriuos reikia sustiprinti. Norėdami teisingai juos išspręsti ir rasti įvairių būdų išeiti iš sudėtingų situacijų, turite pritaikyti pagrindinę trupmenų savybę.
Tai skamba taip: jei skaitiklį ir vardiklį padauginate iš to paties skaičiaus arba išraiškos (išskyrus nulį), tada vertė bendroji trupmena Nepakeis. Ypatingas šios taisyklės atvejis yra abiejų išraiškos dalių padalijimas į tą patį skaičių arba daugianarį. Tokios transformacijos vadinamos identiškomis lygybėmis.
Žemiau apsvarstysime, kaip išspręsti algebrinių trupmenų sudėjimą ir atimtį, atlikti trupmenų dauginimą, padalijimą ir mažinimą.
Matematiniai veiksmai su trupmenomis
Apsvarstykite, kaip išspręsti pagrindinę algebrinės trupmenos savybę, kaip ją pritaikyti praktikoje. Jei reikia padauginti dvi trupmenas, jas sudėti, padalyti iš kitos arba atimti, visada turi laikytis taisyklių.
Taigi, sudėjimo ir atimties operacijai reikia rasti papildomą veiksnį, kad išraiškos būtų sujungtos į bendrą vardiklį. Jei iš pradžių trupmenos pateikiamos su tomis pačiomis išraiškomis Q, tuomet šį elementą reikia praleisti. Kada Bendras vardiklis radote, kaip išspręsti algebrines trupmenas? Pridėkite arba atimkite skaitiklius. Bet! Reikia atsiminti, kad jei prieš trupmeną yra ženklas „-“, visi skaitiklio ženklai apverčiami atvirkščiai. Kartais neturėtumėte atlikti jokių pakeitimų ir matematinių operacijų. Pakanka pakeisti ženklą prieš trupmeną.
Terminas dažnai vartojamas kaip frakcijos sumažinimas. Tai reiškia: jei skaitiklis ir vardiklis dalijami ne vienetu, o kita išraiška (ta pati abiem dalims), tada gaunama nauja trupmena. Dividendas ir daliklis yra mažesni nei anksčiau, tačiau dėl pagrindinės trupmenų taisyklės jie išlieka lygūs pirminiam pavyzdžiui.
Šios operacijos tikslas – gauti naują neredukuojamą išraišką. Šią problemą galima išspręsti sumažinus skaitiklį ir vardiklį didžiausiu bendras daliklis. Veikimo algoritmas susideda iš dviejų punktų:
- Abiejų trupmenos dalių GCD radimas.
- Skaitiklio ir vardiklio padalijimas iš rastos išraiškos ir gaunama neredukuojama trupmena, lygi ankstesnei.
Žemiau esančioje lentelėje pateiktos formulės. Patogumui galite atsispausdinti ir nešiotis su savimi užrašų knygelėje. Tačiau, kad ateityje, sprendžiant testą ar egzaminą, nekiltų sunkumų sprendžiant algebrines trupmenas, šias formules reikia išmokti mintinai.
Keli pavyzdžiai su sprendimais
Teoriniu požiūriu svarstomas klausimas, kaip išspręsti algebrines trupmenas. Straipsnyje pateikti pavyzdžiai padės geriau suprasti medžiagą.
1. Konvertuokite trupmenas ir suveskite jas į bendrą vardiklį.
2. Konvertuokite trupmenas ir suveskite jas į bendrą vardiklį.
Išstudijavus teorinę dalį ir apsvarsčius praktinius klausimus, daugiau klausimų neturėtų kilti.
42 paragrafe buvo pasakyta, kad jei daugianario skaidymas negali būti atliktas iki galo, tai koeficientas rašomas kaip trupmeninė išraiška, kurioje dividendas yra skaitiklis, o daliklis yra vardiklis.
Trupmeninių išraiškų pavyzdžiai:
Trupmeninės išraiškos skaitiklis ir vardiklis gali būti trupmeninės išraiškos, pavyzdžiui:
Iš trupmeninių algebrinių išraiškų dažnai tenka susidurti su tomis, kuriose skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai (ypač mononomai). Kiekviena tokia išraiška vadinama algebrine trupmena.
Apibrėžimas. Algebrinė išraiška, kuri yra trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai, vadinama algebrine trupmena.
Kaip ir aritmetikoje, algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis vadinami trupmenos nariais.
Ateityje, ištyrę veiksmus su algebrinėmis trupmenomis, galime naudoti bet kokią trupmeninę išraišką identiškos transformacijos konvertuoti į algebrinę trupmeną.
Algebrinių trupmenų pavyzdžiai:
Atkreipkite dėmesį, kad visa išraiška, tai yra, daugianario, gali būti įrašyta kaip trupmena, tam pakanka įrašyti šią išraišką į skaitiklį, o į vardiklį - 1. Pavyzdžiui:
2. Galiojančios raidžių reikšmės.
Raidės, įtrauktos tik į skaitiklį, gali turėti bet kokią reikšmę (jei dėl problemos sąlygų nėra papildomų apribojimų).
Raidėms, įtrauktoms į vardiklį, galioja tik tos reikšmės, kurios nepaverčia vardiklio į nulį. Todėl toliau visada manysime, kad algebrinės trupmenos vardiklis nėra lygus nuliui.
Šioje pamokoje aptariama algebrinės trupmenos sąvoka. Su trupmenomis žmogus susiduria paprasčiausiose gyvenimiškose situacijose: kai reikia padalinti daiktą į kelias dalis, pavyzdžiui, tortą po lygiai perpjauti dešimčiai žmonių. Akivaizdu, kad kiekvienas gaus po gabalėlį torto. Šiuo atveju susiduriame su skaitinės trupmenos samprata, tačiau galima situacija, kai objektas yra padalintas į nežinomą dalių skaičių, pavyzdžiui, iš x. Šiuo atveju iškyla trupmeninės išraiškos sąvoka. 7 klasėje jau susidūrėte su sveikųjų skaičių išraiškomis (be skirstymo į išraiškas su kintamaisiais) ir jų savybėmis. Toliau apsvarstysime racionalios trupmenos sąvoką, taip pat leistinas kintamųjų reikšmes.
Racionalios išraiškos skirstomos į sveikųjų ir trupmeninių išraiškų.
Apibrėžimas.racionalioji trupmena yra trupmeninė formos išraiška, kur yra daugianariai. - skaitiklio vardiklis.
Pavyzdžiairacionalios išraiškos:- trupmeninės išraiškos; yra sveikųjų skaičių išraiškos. Pavyzdžiui, pirmoje išraiškoje skaitiklis yra , o vardiklis yra .
Reikšmė algebrinė trupmena, kaip ir bet kuri algebrinė išraiška, priklauso nuo į jį įtrauktų kintamųjų skaitinės reikšmės. Visų pirma, pirmame pavyzdyje trupmenos reikšmė priklauso nuo kintamųjų ir reikšmių, o antrajame tik nuo kintamojo reikšmės.
Apsvarstykite pirmąją tipinę užduotį: vertės apskaičiavimą racionalioji trupmena skirtingoms į jį įtrauktų kintamųjų reikšmėms.
1 pavyzdys Apskaičiuokite a), b), c) trupmenos reikšmę
Sprendimas. Pakeiskite kintamųjų reikšmes į nurodytą trupmeną: a), b), c) - neegzistuoja (nes negalite padalyti iš nulio).
Atsakymas: a) 3; b) 1; c) neegzistuoja.
Kaip matote, bet kuriai trupmenai būdingos dvi problemos: 1) trupmenos apskaičiavimas, 2) suradimas galiojančios ir negaliojančios vertės pažodiniai kintamieji.
Apibrėžimas.Galiojančios kintamųjų reikšmės yra kintamųjų, kuriems išraiška turi prasmę, reikšmės. Vadinamas visų leistinų kintamųjų verčių rinkinys ODZ arba domenas.
Pažodinių kintamųjų reikšmė gali būti neteisinga, jei šių reikšmių trupmenos vardiklis yra lygus nuliui. Visais kitais atvejais kintamųjų reikšmės galioja, nes trupmeną galima apskaičiuoti.
2 pavyzdys
Sprendimas. Kad ši išraiška būtų prasminga, būtina ir pakanka, kad trupmenos vardiklis nebūtų lygus nuliui. Taigi, tik tos kintamojo reikšmės, kurių vardiklis bus lygus nuliui, bus negaliojančios. Trupmenos vardiklis, todėl išsprendžiame tiesinę lygtį:
Todėl kintamojo vertei trupmena neturi prasmės.
Atsakymas: -5.
Iš pavyzdžio sprendimo seka neteisingų kintamųjų reikšmių radimo taisyklė - trupmenos vardiklis lygus nuliui ir randamos atitinkamos lygties šaknys.
Pažvelkime į keletą panašių pavyzdžių.
3 pavyzdys Nustatykite, kokiomis kintamojo reikšmėmis trupmena neturi prasmės .
Sprendimas..
Atsakymas..
4 pavyzdys Nustatykite, kurioms kintamojo reikšmėms trupmena nėra prasmės.
Sprendimas..
Yra ir kitų šios problemos formuluočių – surasti domenas arba galiojančių išraiškos reikšmių diapazonas (ODZ). Tai reiškia - suraskite visas galiojančias kintamųjų reikšmes. Mūsų pavyzdyje tai visos vertės, išskyrus . Apibrėžimo sritis patogiai pavaizduota skaitinėje ašyje.
Norėdami tai padaryti, iškirpsime tašką, kaip parodyta paveikslėlyje:
Ryžiai. vienas
Šiuo būdu, trupmenos domenas bus visi skaičiai, išskyrus 3.
Atsakymas..
5 pavyzdys Nustatykite, kurioms kintamojo reikšmėms trupmena nėra prasmės.
Sprendimas..
Gautą sprendimą pavaizduokime skaitinėje ašyje:
Ryžiai. 2
Atsakymas..
6 pavyzdys
Sprendimas.. Gavome dviejų kintamųjų lygybę, pateiksime skaitinius pavyzdžius: arba ir t.t.
Pavaizduokime šį sprendimą grafike Dekarto koordinačių sistemoje:
Ryžiai. 3. Funkcijos grafikas
Bet kurio taško, esančio šiame grafike, koordinatės nėra įtrauktos į trupmenos leistinų verčių sritį.
Atsakymas..
Nagrinėjamuose pavyzdžiuose susidūrėme su situacija, kai įvyko padalijimas iš nulio. Dabar apsvarstykite atvejį, kai įdomesnė situacija susidaro skirstant tipą.
7 pavyzdys Nustatykite, kurioms kintamųjų reikšmėms trupmena nėra prasmės.
Sprendimas..
Pasirodo, trupmena neturi prasmės, kai . Tačiau galima teigti, kad taip nėra, nes: .
Gali atrodyti, kad jei galutinė išraiška yra lygi 8, tada pradinė išraiška taip pat gali būti apskaičiuota, todėl ji yra prasminga. Tačiau jei pakeisime jį originalia išraiška, gausime – tai neturi prasmės.
Atsakymas..
Norėdami išsamiau suprasti šį pavyzdį, išsprendžiame šią problemą: kokioms reikšmėms nurodyta trupmena yra lygi nuliui?
§ 1 Algebrinės trupmenos samprata
Algebrinė trupmena vadinama išraiška
kur P ir Q yra daugianariai; P – algebrinės trupmenos skaitiklis, Q – algebrinės trupmenos vardiklis.
Štai algebrinių trupmenų pavyzdžiai:
Bet koks daugianomas yra ypatinga byla algebrinė trupmena, nes bet kurį daugianarį galima užrašyti kaip
Pavyzdžiui:
Algebrinės trupmenos reikšmė priklauso nuo kintamųjų reikšmės.
Pavyzdžiui, apskaičiuokime trupmenos reikšmę
1)
2)
Pirmuoju atveju gauname:
Atminkite, kad šią dalį galima sumažinti:
Taigi algebrinės trupmenos reikšmės apskaičiavimas supaprastinamas. Panaudokime tai.
Antruoju atveju gauname:
Kaip matote, pasikeitus kintamųjų reikšmėms, pasikeitė algebrinės trupmenos reikšmė.
§ 2 Leistinos algebrinės trupmenos kintamųjų reikšmės
Apsvarstykite algebrinę trupmeną
Šios trupmenos reikšmė x = -1 netinkama, nes trupmenos vardiklis, esant šiai x vertei, išnyksta. Su šia kintamojo verte algebrinė trupmena neturi reikšmės.
Taigi, leistinos algebrinės trupmenos kintamųjų reikšmės yra tos kintamųjų reikšmės, kurių trupmenos vardiklis neišnyksta.
Išspręskime keletą pavyzdžių.
Kokioms kintamojo reikšmėms turi prasmę algebrinė trupmena:
Norint rasti neteisingas kintamųjų reikšmes, trupmenos vardiklis nustatomas lygus nuliui ir randamos atitinkamos lygties šaknys.
Kokioms kintamojo reikšmėms algebrinė trupmena lygi nuliui:
Trupmena yra nulis, jei skaitiklis yra nulis. Savo trupmenos skaitiklį prilyginame nuliui ir randame gautos lygties šaknis:
Taigi, jei x = 0 ir x = 3, ši algebrinė trupmena neturi prasmės, o tai reiškia, kad turime neįtraukti šių kintamojo reikšmių iš atsakymo.
Taigi, šioje pamokoje sužinojote pagrindines algebrinės trupmenos sąvokas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį, taip pat leistinas algebrinės trupmenos kintamųjų reikšmes.
Naudotos literatūros sąrašas:
- Mordkovičius A.G. „Algebra“ 8 kl. 14 val. 1 dalis Vadovėlis ugdymo įstaigoms / A.G. Mordkovičius. - 9-asis leidimas, pataisytas. - M.: Mnemosyne, 2007. - 215 p.: iliustr.
- Mordkovičius A.G. „Algebra“ 8 kl. 2 val.2 dalis Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigoms / A.G. Mordkovičius, T.N. Mišustinas, E.E. Tulčinskaja. - 8 leidimas, - M .: Mnemosyne, 2006 - 239s.
- Algebra. 8 klasė. Bandomieji darbai mokymo įstaigų mokiniams L.A. Aleksandrova, red. A.G. Mordkovičiaus 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne 2009. - 40s.
- Algebra. 8 klasė. Savarankiškas darbas mokymo įstaigų mokiniams: į vadovėlį A.G. Mordkovičius, L.A. Aleksandrova, red. A.G. Mordkovičius. 9-asis leidimas, ster. - M.: Mnemosyne 2013. - 112psl.