Normalizuotas atsitiktinis dydis. Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos, jų statistinės ir tikimybinės reikšmės

Aukščiau susipažinome su atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniais. Kiekvienas pasiskirstymo dėsnis išsamiai aprašo atsitiktinio dydžio tikimybių savybes ir leidžia apskaičiuoti bet kokių įvykių, susijusių su atsitiktiniu dydžiu, tikimybes. Tačiau daugeliu praktikos dalykų to nereikia pilnas aprašymas ir dažnai pakanka nurodyti tik atskirus skaitinius parametrus, apibūdinančius esminius skirstinio požymius. Pavyzdžiui, vidurkis, aplink kurį išsibarsčiusios atsitiktinio dydžio reikšmės, yra koks nors skaičius, apibūdinantis šio sklaidos dydį. Šie skaičiai skirti glaustai išreikšti reikšmingiausius skirstinio požymius ir yra vadinami atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos.

Prie atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų pirmiausia laikomos charakteristikos, kurios fiksuoja atsitiktinio dydžio padėtį skaičių ašyje, t.y. tam tikra vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė, aplink kurią sugrupuojamos jo galimos reikšmės. Iš padėties savybių tikimybių teorijoje didžiausią vaidmenį atlieka tikėtina vertė, kuri kartais tiesiog vadinama atsitiktinio dydžio vidutine verte.

Tarkime, kad diskrečioji SW?, paima reikšmes x ( , x 2 ,..., x p su tikimybėmis R j, p 2 ,...y Ptv tie. pateikta paskirstymo serija

Gali būti, kad šiuose eksperimentuose vertė x x Pastebėjus N( kartus, vertė x 2 - N 2 kartų,..., vertė x n - N n kartą. Tuo pačiu + N 2 +... + N n =N.

Stebėjimo rezultatų aritmetinis vidurkis

Jeigu N didelis, t.y. N- "O tada

aprašant paskirstymo centrą. Tokiu būdu gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė bus vadinama matematiniu lūkesčiu. Pateiksime žodinę apibrėžimo formuluotę.

Apibrėžimas 3.8. matematinis lūkestis (MO) diskrečioji SV% yra skaičius, lygus visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių verčių tikimybių sumai (žymėjimas M;):

Dabar apsvarstykite atvejį, kai galimų diskretinio CV reikšmių skaičius yra skaičiuojamas, t.y. mes turime RR

Matematinio lūkesčio formulė išlieka ta pati, tik in viršutinis limitas sumos P pakeičiamas oo, t.y.

Šiuo atveju jau gauname seriją, kuri gali išsiskirti, t.y. atitinkamas CV ^ gali neturėti matematinių lūkesčių.

3.8 pavyzdys. CB?, pateikta paskirstymo serijomis

Raskime šio SW MO.

Sprendimas. Pagal apibrėžimą. tie. Mt, neegzistuoja.

Taigi, suskaičiuojamo SW reikšmių skaičiaus atveju gauname tokį apibrėžimą.

Apibrėžimas 3.9. matematinis lūkestis arba vidutinė vertė, diskretiškas SW, turintis skaičiuojamą reikšmių skaičių, vadinamas skaičiumi, lygiu visų galimų jo verčių ir atitinkamų tikimybių sandaugų serijos sumai, su sąlyga, kad ši eilutė absoliučiai suartėja, t.y.

Jei ši serija sąlyginai skiriasi arba susilieja, tada sakome, kad CV ^ neturi matematinių lūkesčių.

Pereikime iš diskretinio į ištisinį SW su tankiu p(x).

Apibrėžimas 3.10. matematinis lūkestis arba vidutinė vertė, nuolatinis SW vadinamas skaičiumi, lygiu

su sąlyga, kad šis integralas absoliučiai suartėja.

Jei šis integralas sąlyginai skiriasi arba konverguoja, tada jie sako, kad tęstinis CB? neturi matematinių lūkesčių.

Pastaba 3.8. Jei visos galimos atsitiktinio dydžio J reikšmės;

priklauso tik intervalui ( a; b) tada

Matematinis lūkestis nėra vienintelė padėties charakteristika, naudojama tikimybių teorijoje. Kartais naudojami tokie kaip režimas ir mediana.

Apibrėžimas 3.11. Mada CB ^ (pavadinimas Mot,) vadinama labiausiai tikėtina jo reikšmė, t.y. tokia, kuriai tikimybė pi arba tikimybės tankis p(x) pasiekia didžiausią vertę.

Apibrėžimas 3.12. Mediana SV?, (pavadinimas susitiko) vadinama tokia verte, kuriai P(t> Met) = P(? > susitiko) = 1/2.

Geometriškai ištisinio SW mediana yra to ašies taško abscisė Oi, kurių plotai į kairę ir į dešinę nuo jo yra vienodi ir lygūs 1/2.

3.9 pavyzdys. SWt,turi paskirstymo numerį

Raskime SW matematinį lūkestį, režimą ir medianą

Sprendimas. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Aš(?) neegzistuoja.

3.10 pavyzdys. Nepertraukiamas CB % turi tankį

Raskime matematinį lūkestį, medianą ir režimą.

Sprendimas.

p(x) pasiekia maksimumą, tada Akivaizdu, kad mediana taip pat yra lygi, nes plotai dešinėje ir kairėje linijos, einančios per tašką, pusės yra vienodos.

Be padėties charakteristikų tikimybių teorijoje, taip pat naudojama daugybė įvairiems tikslams skirtų skaitinių charakteristikų. Tarp jų momentai - pradiniai ir centriniai - yra ypač svarbūs.

Apibrėžimas 3.13. Pradinis k-osios eilės momentas SW?, vadinamas matematiniu lūkesčiu k-ojišios vertės laipsnis: =M(t > k).

Iš diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių apibrėžimų išplaukia, kad

Pastaba 3.9. Akivaizdu, kad pradinis 1-osios eilės momentas yra matematinis lūkestis.

Prieš apibrėždami centrinį momentą, pristatome naują centruoto atsitiktinio dydžio sampratą.

Apibrėžimas 3.14. Centruota CV yra atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio, t.y.

Tai lengva patikrinti

Atsitiktinio kintamojo centravimas, be abejo, prilygsta pradžios perkėlimui į tašką M;. Centruoto atsitiktinio dydžio momentai vadinami centriniai taškai.

Apibrėžimas 3.15. Centrinis k-osios eilės momentas SW % vadinamas matematiniu lūkesčiu k-oji centruoto atsitiktinio dydžio laipsniai:

Iš matematinio lūkesčio apibrėžimo išplaukia, kad

Akivaizdu, kad bet kuriam atsitiktiniam dydžiui ^ centrinis 1-osios eilės momentas yra lygus nuliui: su x= M(? 0) = 0.

Ypač svarbus praktikai yra antrasis pagrindinis punktas nuo 2. Tai vadinama dispersija.

Apibrėžimas 3.16. dispersija CB? vadinamas atitinkamos centre esančios reikšmės kvadrato matematiniu lūkesčiu (žymėjimas D?)

Norėdami apskaičiuoti dispersiją, tiesiogiai iš apibrėžimo galima gauti šias formules:

Transformuodami formulę (3.4), galime gauti tokią skaičiavimo formulę D.L.

SW sklaida yra charakteristika išsibarstymas, atsitiktinio dydžio reikšmių sklaida aplink jo matematinius lūkesčius.

Dispersija turi atsitiktinio dydžio kvadrato matmenį, o tai ne visada patogu. Todėl aiškumo dėlei, kaip dispersijos charakteristiką, patogu naudoti skaičių, kurio matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu. Norėdami tai padaryti, ištraukite iš dispersijos Kvadratinė šaknis. Gauta reikšmė vadinama standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis. Pažymėsime kaip a: a = l / w.

Neneigiamam CB? kartais jis naudojamas kaip charakteristika variacijos koeficientas, lygus standartinio nuokrypio ir matematinio lūkesčio santykiui:

Žinodami matematinius lūkesčius ir atsitiktinio dydžio standartinį nuokrypį, galite susidaryti apytikslį vaizdą apie jo galimų verčių diapazoną. Daugeliu atvejų galime daryti prielaidą, kad atsitiktinio dydžio % reikšmės tik retkarčiais peržengia intervalą M; ± Už. Ši normaliojo skirstinio taisyklė, kurią pagrįsime vėliau, vadinama trijų sigmų taisyklė.

Matematinės lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Iš matematinių lūkesčių ir dispersijos apibrėžimo išplaukia keletas paprastų ir gana akivaizdžių šių skaitinių charakteristikų savybių.

Pirmuonysmatematinės lūkesčių ir sklaidos savybės.

1. Neatsitiktinio kintamojo matematinis lūkestis Su lygi c reikšmei: M(s) = s.

Iš tiesų, nuo vertės Su ima tik vieną reikšmę su tikimybe 1, tada М(с) = Su 1 = s.

2. Neatsitiktinio kintamojo c dispersija lygi nuliui, t.y. D(c) = 0.

tikrai, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Iš lūkesčio ženklo galima paimti neatsitiktinį daugiklį: M(c^) = c M (?,).

Parodykime šios savybės galiojimą diskrečiojo RV pavyzdžiu.

Tegu RV pateikiama pagal pasiskirstymo eilutes

Tada

Vadinasi,

Savybė panašiai įrodoma ir nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui.

4. Neatsitiktinis daugiklis gali būti paimtas iš kvadratinės dispersijos ženklo:

Kuo daugiau atsitiktinio dydžio momentų žinoma, tuo išsamesnę paskirstymo dėsnio idėją turime.

Tikimybių teorijoje ir jos taikymuose naudojamos dar dvi atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos, pagrįstos 3 ir 4 eilės centriniais momentais - asimetrijos koeficientas \u003d m x, a 1,0 \u003d m x

a 0,1 = M = m y , a 0,1 = m y (7)

yra atsitiktinių dydžių X ir Y matematiniai lūkesčiai.

Pirmosios eilės centriniai momentai natūraliai lygūs nuliui.

Pirmieji antrojo užsakymo momentai:

Centriniai antrojo užsakymo momentai:

Pirmieji du momentai reiškia dispersiją, o trečiasis vadinamas kovariacija(arba koreliacijos momentas) atsitiktiniai dydžiai (X,Y), žymimi K xy:

Pagal kovariacijos apibrėžimą

K xy = K yx (11)

tie. sukeitus indeksus, kovariacija nekinta.

Atsitiktinių dydžių dispersija gali būti laikoma ypatinga byla kovariacijos:

tie. atsitiktinių dydžių dispersija yra ne kas kita, kaip „jos kovariacija su savimi“. (Nepriklausomų atsitiktinių dydžių kovariacija lygi 0. Įrodykite patys).

Kovariaciją K xy patogu išreikšti žemesnio laipsnio pradiniais momentais:

K xy =a 1,1 -a 1,0 ×a 0,1 arba K xy = M-M[X] × M[Y] (13)

Naudinga prisiminti šią formulę: dviejų atsitiktinių dydžių kovariacija yra lygi matematiniam jų sandaugos lūkesčiui atėmus jų matematinių lūkesčių sandaugą.

Kovariacija apibūdina ne tik atsitiktinių dydžių priklausomybės laipsnį, bet ir jų sklaida aplink tašką (m x , m y).

Kovariacijos matmuo yra lygus atsitiktinių dydžių X ir Y matmenų sandaugai. s x s y .

r xy = K xy / s x s y (14)

R xy reikšmė vadinama koreliacijos koeficientas atsitiktiniai dydžiai X ir Y. Šis koeficientas apibūdina tik laipsnį linijinisšių dydžių priklausomybės. Priklausomybė pasireiškia tuo, kad vienam atsitiktiniam dydžiui didėjant, kitas taip pat linkęs didėti (arba mažėti). Pirmuoju atveju r xy >0 ir mes tai sakome atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra teigiamai koreliuojami, antrajame r xy<0, и корреляция отрицательна.

Bet kokiems atsitiktiniams dydžiams X ir Y

Jei dviejų atsitiktinių dydžių kovariacija lygi nuliui: K xy =0, tai atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nekoreliuoja, jei K xy ¹0, tada koreliuoja.

Iš atsitiktinių dydžių nepriklausomumo išplaukia jų nekoreliacija; bet jų nepriklausomumas dar neišplaukia iš atsitiktinių dydžių nekoreliacijos (r xy =0). Jei r xy = 0, tai tik reiškia nėra linijinio ryšio tarp atsitiktinių dydžių; gali būti bet kokio kito tipo ryšys.