Lyginių ir nelyginių apibrėžimas. Nelyginės ir lyginės funkcijos
Kurie buvo jums vienaip ar kitaip pažįstami. Ten taip pat buvo pažymėta, kad funkcinių savybių atsargos bus palaipsniui pildomos. Šiame skyriuje bus aptariamos dvi naujos savybės.
1 apibrėžimas.
Funkcija y = f(x), x є X iškviečiama net jei bet kuriai x reikšmei iš aibės X galioja lygybė f (-x) = f (x).
2 apibrėžimas.
Funkcija y = f(x), x є X vadinama nelygine, jei bet kuriai x reikšmei iš aibės X galioja lygybė f (-x) = -f (x).
Įrodykite, kad y = x 4 yra lyginė funkcija.
Sprendimas. Turime: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Bet (-x) 4 = x 4. Tai reiškia, kad bet kuriai x galioja lygybė f(-x) = f(x), t.y. funkcija lygi.
Panašiai galima įrodyti, kad funkcijos y - x 2, y = x 6, y - x 8 yra lyginės.
Įrodykite, kad y = x 3 ~ nelyginė funkcija.
Sprendimas. Turime: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Bet (-x) 3 = -x 3. Tai reiškia, kad bet kuriai x galioja lygybė f (-x) = -f (x), t.y. funkcija nelyginė.
Panašiai galima įrodyti, kad funkcijos y = x, y = x 5, y = x 7 yra nelyginės.
Jūs ir aš jau ne kartą įsitikinome, kad naujieji matematikos terminai dažniausiai turi „žemišką“ kilmę, t.y. juos galima kažkaip paaiškinti. Taip yra ir su lyginėmis, ir su nelyginėmis funkcijomis. Žr.: y - x 3, y = x 5, y = x 7 yra nelyginės funkcijos, o y = x 2, y = x 4, y = x 6 yra lyginės funkcijos. Ir apskritai, bet kuriai y = x formos funkcijai (toliau mes konkrečiai išnagrinėsime šias funkcijas), kur n yra natūralusis skaičius, galime daryti išvadą: jei n nėra lyginis skaičius, tada funkcija y = x" yra nelyginė; jei n yra lyginis skaičius, tada funkcija y = xn yra lyginė.
Taip pat yra funkcijų, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės. Pavyzdžiui, tokia yra funkcija y = 2x + 3. Iš tiesų, f(1) = 5 ir f (-1) = 1. Kaip matote, čia nėra nei tapatybės f(-x) = f (x), nei tapatybė f(-x) = -f(x).
Taigi funkcija gali būti lyginė, nelyginė arba nė viena.
Tiriant klausimą, ar suteikta funkcija lyginis arba nelyginis paprastai vadinamas pariteto funkcijos tyrimu.
1 ir 2 apibrėžimuose mes kalbame apie apie funkcijos reikšmes taškuose x ir -x. Tai daroma prielaida, kad funkcija apibrėžta taške x ir taške -x. Tai reiškia, kad taškas -x priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai kartu su tašku x. Jei skaitinėje aibėje X kartu su kiekvienu jos elementu x yra ir priešingas elementas -x, tai X vadinama simetriška aibe. Tarkime, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) yra simetrinės aibės, o ; (∞;∞) yra simetriškos aibės, o , [–5;4] yra asimetrinės.
– Ar net funkcijos turi apibrėžimo sritį, kuri yra simetriška aibė? Keistas?
– jei D( f) yra asimetrinė aibė, tada kokia yra funkcija?
– Taigi, jei funkcija adresu = f(X) – lyginis arba nelyginis, tada jo apibrėžimo sritis yra D( f) yra simetriškas rinkinys. Ar teisingas atvirkštinis teiginys: jei funkcijos apibrėžimo sritis yra simetrinė aibė, tai lyginė ar nelyginė?
– Tai reiškia, kad apibrėžimo srities simetrinės aibės buvimas yra būtina sąlyga, bet nepakankama.
– Taigi kaip išnagrinėti pariteto funkciją? Pabandykime sukurti algoritmą.
Skaidrė
Pariteto funkcijos tyrimo algoritmas
1. Nustatykite, ar funkcijos apibrėžimo sritis yra simetriška. Jei ne, tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jei taip, pereikite prie 2 algoritmo veiksmo.
2. Parašykite išraišką už f(–X).
3. Palyginkite f(–X).Ir f(X):
- Jeigu f(–X).= f(X), tada funkcija lygi;
- Jeigu f(–X).= – f(X), tada funkcija yra nelyginė;
- Jeigu f(–X) ≠ f(X) Ir f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
Pavyzdžiai:
Išnagrinėkite lygybės funkciją a) adresu= x 5 +; b) adresu= ; V) adresu= .
Sprendimas.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrinė aibė.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + nelyginis.
b) y =,
adresu = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrinė aibė, o tai reiškia, kad funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
2 variantas
1. Ar duotoji aibė yra simetriška: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra lygi funkcija.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra nelyginė funkcija.
Abipusis patikrinimas skaidrė.
6. Namų darbai: №11.11, 11.21,11.22;
Pariteto savybės geometrinės reikšmės įrodymas.
***(Vieningo valstybinio egzamino varianto priskyrimas).
1. Nelyginė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Bet kuriai neneigiamai kintamojo x vertei šios funkcijos reikšmė sutampa su funkcijos g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Raskite funkcijos h( X) = at X = 3.
7. Apibendrinimas
Funkcija yra viena iš svarbiausių matematinių sąvokų. Funkcija – kintamoji priklausomybė adresu iš kintamojo x, jei kiekviena vertė X atitinka vieną reikšmę adresu. Kintamasis X vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentu. Kintamasis adresu vadinamas priklausomu kintamuoju. Visos nepriklausomo kintamojo reikšmės (kintamasis x) sudaro funkcijos apibrėžimo sritį. Visos reikšmės, kurias turi priklausomas kintamasis (kintamasis y), sudaro funkcijos reikšmių diapazoną.
Funkcijų grafikas iškviesti visų taškų aibę koordinačių plokštuma, kurių abscisės yra lygios argumento reikšmėms, o ordinatės lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms, tai yra, kintamojo reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies x, o kintamojo reikšmės brėžiamos išilgai ordinačių ašies y. Norėdami pavaizduoti funkciją, turite žinoti funkcijos savybes. Pagrindinės funkcijos savybės bus aptartos toliau!
Norėdami sudaryti funkcijos grafiką, rekomenduojame naudoti mūsų programą - Grafikų sudarymo funkcijos internete. Jei studijuodami šio puslapio medžiagą turite klausimų, visada galite juos užduoti mūsų forume. Taip pat forume jie padės išspręsti matematikos, chemijos, geometrijos, tikimybių teorijos ir daugelio kitų dalykų uždavinius!
Pagrindinės funkcijų savybės.
1) Funkcijų sritis ir funkcijų diapazonas.
Funkcijos domenas yra visų galiojančių argumentų reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) Atkaklus.
Funkcijos diapazonas yra visų realių reikšmių rinkinys y, kurią funkcija priima.
Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.
2) Funkcijos nuliai.
Vertybės X, kuriame y=0, paskambino funkcijos nuliai. Tai funkcijos grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškų abscisės.
3) Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
Funkcijos pastovaus ženklo intervalai yra tokie reikšmių intervalai x, ant kurių funkcijos reikšmės y vadinami tik teigiami arba tik neigiami funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
4) Funkcijos monotoniškumas.
Didėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
Mažėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
5) Lyginė (nelyginė) funkcija.
Lyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X f(-x) = f(x). Tvarkaraštis lygi funkcija simetriškas ordinačių ašiai.
Nelyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė yra teisinga f(-x) = - f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.
Netgi funkcija
1) Apibrėžimo sritis yra simetriška taško (0; 0) atžvilgiu, tai yra, jei taškas a priklauso apibrėžimo sričiai, tada taškui -a taip pat priklauso apibrėžimo sričiai.
2) Bet kokiai vertei x f(-x)=f(x)
3) Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas Oy ašiai.
Keista funkcija turi šias savybes:
1) Apibrėžimo sritis yra simetriška taško (0; 0) atžvilgiu.
2) bet kokiai vertei x, priklausantis apibrėžimo sričiai, lygybei f(-x)=-f(x)
3) Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios (0; 0) atžvilgiu.
Ne kiekviena funkcija yra lyginė ar nelyginė. Funkcijos bendras vaizdas nėra nei lyginiai, nei nelyginiai.
6) Ribotos ir neribotos funkcijos.
Funkcija vadinama ribota, jei yra tokia teigiamas skaičius M toks, kad |f(x)| ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra neribota.
7) Funkcijos periodiškumas.
Funkcija f(x) yra periodinė, jei yra nulinis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: f(x+T) = f(x). Tai mažiausias skaičius vadinamas funkcijos periodu. Visi trigonometrinės funkcijos yra periodiniai. (Trigonometrinės formulės).
Funkcija f vadinamas periodiniu, jei yra toks skaičius, kad bet kuriam x iš apibrėžimo srities lygybė f(x)=f(x-T)=f(x+T). T yra funkcijos laikotarpis.
Kiekviena periodinė funkcija turi begalinį periodų skaičių. Praktikoje dažniausiai atsižvelgiama į mažiausią teigiamą laikotarpį.
Periodinės funkcijos reikšmės kartojasi po intervalo, lygaus periodui. Tai naudojama kuriant grafikus.