Internetinis skaičiuotuvas. Nelygybių sprendimas: tiesinė, kvadratinė ir trupmeninė
Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)
Ką „kvadratinė nelygybė“? Ne klausimas!) Jei imsite bet koks kvadratinę lygtį ir pakeiskite ženklą joje "=" (lygus) bet kuriai nelygybės piktogramai ( > ≥ < ≤ ≠ ), gauname kvadratinę nelygybę. Pavyzdžiui:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 + 3x > 0
3. x2 ≤ 4
Na, supranti...)
Čia sąmoningai susiejau lygtis ir nelygybes. Faktas yra tas, kad pirmasis žingsnis sprendžiant bet koks kvadratinė nelygybė - Išspręskite lygtį, iš kurios sudaryta ši nelygybė. Dėl šios priežasties – nesugebėjimas išspręsti kvadratinių lygčių automatiškai veda į visišką nelygybių nesėkmę. Ar užuomina aiški?) Jei ką, pažiūrėkite, kaip išspręsti bet kokias kvadratines lygtis. Ten viskas detalizuota. Ir šioje pamokoje nagrinėsime nelygybę.
Sprendimui paruošta nelygybė turi tokią formą: kairėje – kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c, dešinėje - nulis. Nelygybės ženklas gali būti visiškai bet koks. Pirmieji du pavyzdžiai yra čia yra pasiruošę sprendimui. Trečiąjį pavyzdį dar reikia paruošti.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)
galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Apsvarstykite funkciją y=k/y. Šios funkcijos grafikas yra tiesė, matematikoje vadinama hiperbole. Bendras hiperbolės vaizdas parodytas paveikslėlyje žemiau. (Diagramoje parodyta funkcija y lygi k, padalyta iš x, kur k yra lygi vienetui.)
Matyti, kad grafikas susideda iš dviejų dalių. Šios dalys vadinamos hiperbolės šakomis. Taip pat verta paminėti, kad kiekviena hiperbolės šaka viena iš krypčių vis labiau artėja prie koordinačių ašių. Koordinačių ašys šiuo atveju vadinamos asimptotėmis.
Apskritai bet kurios tiesės, prie kurių funkcijos grafikas be galo artėja, bet nepasiekia, vadinamos asimptotėmis. Hiperbolė, kaip ir parabolė, turi simetrijos ašis. Hiperbolei, parodytai aukščiau esančiame paveikslėlyje, tai yra tiesė y=x.
Dabar panagrinėkime du bendruosius hiperbolių atvejus. Funkcijos y = k/x grafikas, kai k ≠ 0, bus hiperbolė, kurios šakos yra arba pirmame ir trečiame koordinačių kampuose, kai k>0, arba antrame ir ketvirtame koordinačių kampuose, už k<0.
Pagrindinės funkcijos y = k/x savybės, kai k>0
Funkcijos y = k/x grafikas, kai k>0
5. y>0, jei x>0; y6. Funkcija mažėja ir intervale (-∞;0), ir intervale (0;+∞).
10. Funkcijos diapazonas yra du atviri intervalai (-∞;0) ir (0;+∞).
Pagrindinės funkcijos y = k/x savybės k<0
Funkcijos y = k/x grafikas k<0
1. Taškas (0;0) yra hiperbolės simetrijos centras.
2. Koordinačių ašys – hiperbolės asimptotės.
4. Funkcijos apimtis yra visi x, išskyrus x=0.
5. y>0, jei x0.
6. Funkcija didėja ir intervale (-∞;0), ir intervale (0;+∞).
7. Funkcija neribojama nei iš apačios, nei iš viršaus.
8. Funkcija neturi nei didžiausių, nei mažiausių reikšmių.
9. Funkcija yra ištisinė intervale (-∞;0) ir intervale (0;+∞). Turi tarpą taške x=0.
y (x) = e x, kurios išvestinė lygi pačiai funkcijai.Rodiklis žymimas kaip , arba .
e numeris
Rodiklio laipsnio pagrindas yra e numeris. Tai neracionalus skaičius. Jis yra maždaug lygus
e ≈ 2,718281828459045...
Skaičius e nustatomas per sekos ribą. Šis vadinamasis antra nuostabi riba:
.
Be to, skaičius e gali būti pavaizduotas kaip serija:
.
Parodos diagrama
Rodiklio diagrama, y = e x .Grafike rodomas eksponentas, e tiek, kiek X.
y (x) = e x
Grafike matyti, kad eksponentas didėja monotoniškai.
Formulės
Pagrindinės formulės yra tokios pat kaip ir eksponentinės funkcijos, kurios pagrindas yra e.
;
;
;
Eksponentinės funkcijos su savavališka laipsnio a baze išraiška per eksponentą:
.
Privačios vertybės
Leiskite y (x) = e x. Tada
.
Eksponento savybės
Rodiklis turi eksponentinės funkcijos, turinčios laipsnio bazę, savybes e > 1 .
Apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinys
Rodiklis y (x) = e x apibrėžta visiems x .
Jo taikymo sritis yra tokia:
- ∞ < x + ∞
.
Jo reikšmių rinkinys:
0
< y < + ∞
.
Kraštutinumai, padidėjimas, sumažėjimas
Rodiklis yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl ji neturi ekstremalių. Pagrindinės jo savybės pateiktos lentelėje.
Atvirkštinė funkcija
Rodiklio atvirkštinis dydis yra natūralusis logaritmas.
;
.
Rodiklio išvestinė
Darinys e tiek, kiek X yra lygus e tiek, kiek X
:
.
n-osios eilės vedinys:
.
Formulių išvedimas >>>
Integralinis
Sudėtingi skaičiai
Operacijos su kompleksiniais skaičiais atliekamos naudojant Eulerio formulės:
,
kur yra įsivaizduojamas vienetas:
.
Išraiškos pagal hiperbolines funkcijas
;
;
.
Išraiškos trigonometrinėmis funkcijomis
;
;
;
.
Galios serijos išplėtimas
Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.
Į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad sužinotumėte apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.
Pirmiausia prisiminkime pagrindines laipsnių formules ir jų savybes.
Skaičiaus sandauga a atsitinka n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Galios arba eksponentinės lygtys- tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.
Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:
Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas, jis visada yra apačioje ir kintamasis x laipsnis ar matas.
Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0
Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?
Paimkime paprastą lygtį:
2 x = 2 3
Tokį pavyzdį galima išspręsti net mintyse. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip šis sprendimas turėtų būti priimtas:
2 x = 2 3
x = 3
Norėdami išspręsti šią lygtį, pašalinome tuo pačiu pagrindu(tai yra deuces) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.
Dabar apibendrinkime savo sprendimą.
Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygties pagrindai dešinėje ir kairėje. Jei pagrindai nėra vienodi, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai pagrindai yra tokie patys, prilyginti laipsnį ir išspręskite gautą naują lygtį.
Dabar išspręskime keletą pavyzdžių:
Pradėkime nuo paprasto.
Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų laipsnius.
x+2=4 Paaiškėjo paprasčiausia lygtis.
x = 4 - 2
x=2
Atsakymas: x=2
Toliau pateiktame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi, tai yra 3 ir 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Pirmiausia perkeliame devynis į dešinę pusę, gauname:
Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Žinome, kad 9=3 2 . Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Gauname 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 dabar aišku, kad pagrindai kairėje ir dešinėje yra vienodi ir lygūs trims, o tai reiškia, kad galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.
3x=2x+16 gavo paprasčiausią lygtį
3x-2x=16
x=16
Atsakymas: x=16.
Pažvelkime į tokį pavyzdį:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Visų pirma, mes žiūrime į pagrindus, pagrindai yra skirtingi du ir keturi. Ir mes turime būti tokie patys. Keturkampį transformuojame pagal formulę (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Pridėkite prie lygties:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Bet mums trukdo kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus, matosi, kad kairėje pusėje kartojame 2 2x, štai atsakymas – iš skliaustų galime dėti 2 2x:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Visą lygtį padaliname iš 6:
Įsivaizduokite 4 = 2 2:
2 2x \u003d 2 2 bazės yra vienodos, išmeskite jas ir sulyginkite laipsnius.
2x \u003d 2 pasirodė pati paprasčiausia lygtis. Padaliname iš 2, gauname
x = 1
Atsakymas: x = 1.
Išspręskime lygtį:
9 x - 12*3 x +27 = 0
Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Pagrindai mums vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje matyti, kad pirmasis trigubas turi laipsnį du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite nuspręsti pakeitimo metodas. Skaičius su mažiausiu laipsniu pakeičiamas taip:
Tada 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Lygtyje su t visus laipsnius pakeičiame x:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Gauname kvadratinę lygtį. Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Atgal į kintamąjį x.
Mes priimame t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Tai yra,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Svetainėje galite skiltyje PADĖTI SPRENDIMS užduoti dominančius klausimus, mes tikrai jums atsakysime.
Prisijunkite prie grupės
Nuo seniausių laikų sprendžiant praktines problemas reikėjo lyginti reikšmes ir kiekius. Kartu atsirado ir tokie vienarūšių dydžių palyginimo rezultatus reiškiantys žodžiai kaip daugiau ir mažiau, aukščiau ir žemiau, lengvesnis ir sunkesnis, tyliau ir garsiau, pigiau ir brangiau ir kt.
Sąvokos „daugiau ir mažiau“ atsirado siejant su objektų skaičiavimu, dydžių matavimu ir palyginimu. Pavyzdžiui, senovės Graikijos matematikai žinojo, kad bet kurio trikampio kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą ir kad didesnė trikampio kraštinė yra priešais didesnį kampą. Archimedas, skaičiuodamas apskritimo perimetrą, nustatė, kad bet kurio apskritimo perimetras yra lygus tris kartus skersmeniui, o perteklius yra mažesnis nei septintoji skersmens, bet daugiau nei dešimt septyniasdešimt pirmųjų skersmens.
Simboliškai parašykite ryšius tarp skaičių ir dydžių naudodami > ir b ženklus. Įrašai, kuriuose du skaičiai sujungti vienu iš ženklų: > (didesnis nei), Jūs taip pat susidūrėte su skaitinėmis nelygybėmis pradinėse klasėse. Jūs žinote, kad nelygybė gali būti tiesa arba ne. Pavyzdžiui, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) yra tinkama skaitinė nelygybė, 0,23 > 0,235 yra neteisinga skaitinė nelygybė.
Nelygybės, apimančios nežinomus dalykus, gali būti teisingos kai kurioms nežinomųjų vertybėms ir klaidingos kitoms. Pavyzdžiui, nelygybė 2x+1>5 yra teisinga, kai x = 3, bet klaidinga, kai x = -3. Nelygybei su vienu nežinomuoju galite nustatyti užduotį: išspręskite nelygybę. Nelygybių sprendimo problemos praktikoje keliamos ir sprendžiamos ne rečiau nei lygčių sprendimo problemos. Pavyzdžiui, daugelis ekonominių problemų redukuojamos iki tiesinių nelygybių sistemų tyrimo ir sprendimo. Daugelyje matematikos šakų nelygybės yra labiau paplitusios nei lygtys.
Kai kurios nelygybės yra vienintelė pagalbinė priemonė įrodyti arba paneigti tam tikro objekto egzistavimą, pavyzdžiui, lygties šaknį.
Skaitmeninės nelygybės
Galite palyginti sveikuosius ir dešimtainius skaičius. Žinoti paprastųjų trupmenų su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais lyginimo taisykles; su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingais vardikliais. Čia sužinosite, kaip palyginti bet kuriuos du skaičius, surasdami jų skirtumo ženklą.
Praktikoje plačiai naudojamas skaičių palyginimas. Pavyzdžiui, ekonomistas planinius rodiklius lygina su faktiniais, gydytojas – paciento temperatūrą su normalia, tekintotojas – apdirbtos detalės matmenis su standartu. Visais tokiais atvejais lyginami kai kurie skaičiai. Dėl skaičių palyginimo susidaro skaitinės nelygybės.
Apibrėžimas. Skaičius a yra didesnis už skaičių b, jei skirtumas a-b yra teigiamas. Skaičius a yra mažesnis už skaičių b, jei skirtumas a-b yra neigiamas.
Jei a yra didesnis už b, tada jie rašo: a > b; jei a yra mažesnis už b, tai jie rašo: a Taigi nelygybė a > b reiškia, kad skirtumas a - b yra teigiamas, t.y. a - b > 0. Nelygybė a Bet kokiems dviem skaičiams a ir b iš šių trijų santykių a > b, a = b, a Teorema. Jei a > b ir b > c, tai a > c.
Teorema. Jei prie abiejų nelygybės pusių pridedamas tas pats skaičius, tai nelygybės ženklas nekinta.
Pasekmė. Bet kuris terminas gali būti perkeltas iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeitus šio termino ženklą į priešingą.
Teorema. Jei abi nelygybės pusės padauginamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės pusės bus padaugintos iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Pasekmė. Jei abi nelygybės dalys dalijamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės dalis padalinsime iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Jūs žinote, kad skaitines lygybes galima sudėti ir padauginti iš termino. Toliau sužinosite, kaip atlikti panašius veiksmus su nelygybėmis. Praktikoje dažnai naudojama galimybė sudėti ir dauginti nelygybes. Šie veiksmai padeda išspręsti išraiškų verčių vertinimo ir palyginimo problemas.
Sprendžiant įvairius uždavinius, dažnai reikia sudėti arba dauginti iš termino kairiąją ir dešiniąją nelygybių dalis. Kartais sakoma, kad nelygybės pridedamos arba dauginamos. Pavyzdžiui, jei pirmą dieną turistas nuėjo daugiau nei 20 km, o antrą – daugiau nei 25 km, tuomet galima teigti, kad per dvi dienas jis nuėjo daugiau nei 45 km. Panašiai, jei stačiakampio ilgis yra mažesnis nei 13 cm, o plotis yra mažesnis nei 5 cm, tada galima teigti, kad šio stačiakampio plotas yra mažesnis nei 65 cm2.
Nagrinėjant šiuos pavyzdžius, toliau nelygybių sudėties ir daugybos teoremos:
Teorema. Sudėjus to paties ženklo nelygybes, gauname to paties ženklo nelygybę: jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d.
Teorema. Padauginus to paties ženklo nelygybes, kurių kairioji ir dešinė pusės yra teigiamos, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b, c > d ir a, b, c, d yra teigiami skaičiai, tai ac > bd.
Nelygybės su ženklu > (didesnis nei) ir 1/2, 3/4 b, c Kartu su griežtosiomis nelygybėmis > ir Lygiai taip pat nelygybė \(a \geq b \) reiškia, kad skaičius a yra didesnis nei arba lygus b, t.y. ir ne mažesnis kaip b.
Nelygybės, turinčios ženklą \(\geq \) arba ženklą \(\leq \), vadinamos negriežtomis. Pavyzdžiui, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nėra griežtos nelygybės.
Visos griežtųjų nelygybių savybės galioja ir negriežtoms nelygybėms. Be to, jei griežtoms nelygybėms ženklai > buvo laikomi priešingais ir žinote, kad norėdami išspręsti daugybę taikomų uždavinių, turite sudaryti matematinį modelį lygties arba lygčių sistemos pavidalu. Be to, sužinosite, kad daugelio problemų sprendimo matematiniai modeliai yra nelygybė su nežinomaisiais. Supažindinsime su nelygybės sprendimo samprata ir parodysime, kaip patikrinti, ar duotas skaičius yra konkrečios nelygybės sprendimas.
Formos nelygybės
\(ax > b, \quad ax kur a ir b yra pateikti skaičiai, o x nežinomas, vadinamas tiesinės nelygybės su vienu nežinomuoju.
Apibrėžimas. Nelygybės su vienu nežinomuoju sprendimas yra nežinomojo reikšmė, kuriai ši nelygybė virsta tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visus jos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.
Jūs išsprendėte lygtis, sumažindami jas iki paprasčiausių lygčių. Panašiai, sprendžiant nelygybes, linkstama jas savybių pagalba redukuoti į paprasčiausių nelygybių formą.
Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas
Formos nelygybės
\(ax^2+bx+c >0 \) ir \(ax^2+bx+c, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \) vadinami antrojo laipsnio nelygybės su vienu kintamuoju.
Nelygybės sprendimas
\(ax^2+bx+c >0 \) arba \(ax^2+bx+c \) galima suprasti kaip spragų radimą, kur funkcija \(y= ax^2+bx+c \) yra teigiama arba neigiamos reikšmės Tam pakanka išanalizuoti, kaip funkcijos \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) grafikas yra koordinačių plokštumoje: kur nukreiptos parabolės šakos - aukštyn arba žemyn , ar parabolė kerta x ašį ir jei kerta, tai kokiuose taškuose.
Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo algoritmas:
1) suraskite kvadratinio trinalio \(ax^2+bx+c\) diskriminantą ir išsiaiškinkite, ar trinaris turi šaknis;
2) jei trinaris turi šaknis, tada pažymėkite jas x ašyje ir per pažymėtus taškus schematiškai nubrėžkite parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų ties a > 0 arba žemyn ties a 0 arba į apačią ties a 3) raskite tarpai x ašyje, kurių taškų parabolės yra virš x ašies (jei jos išsprendžia nelygybę \(ax^2+bx+c >0 \)) arba žemiau x ašies (jei išsprendžia nelygybę
\(ax^2+bx+c Nelygybių sprendimas intervalų metodu
Apsvarstykite funkciją
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)
Šios funkcijos sritis yra visų skaičių rinkinys. Funkcijos nuliai yra skaičiai -2, 3, 5. Jie padalina funkcijos sritį į intervalus \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) ir \( (5; +\infty)\)
Išsiaiškinkime, kokie yra šios funkcijos ženklai kiekviename iš nurodytų intervalų.
Išraiška (x + 2)(x - 3)(x - 5) yra trijų veiksnių sandauga. Kiekvieno iš šių veiksnių ženklas nagrinėjamais intervalais nurodytas lentelėje:
Apibendrinant, tegul funkcija pateikiama formule
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kur x yra kintamasis, o x 1 , x 2 , ..., x n nėra lygūs skaičiai. Skaičiai x 1 , x 2 , ..., x n yra funkcijos nuliai. Kiekviename iš intervalų, į kuriuos apibrėžimo sritis padalinta iš funkcijos nulių, funkcijos ženklas išsaugomas, o einant per nulį, jos ženklas keičiasi.
Ši savybė naudojama formos nelygybėms spręsti
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kur x 1 , x 2 , ..., x n nėra lygūs skaičiai
Apsvarstytas metodas nelygybių sprendimas vadinamas intervalų metodu.
Pateiksime nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžius.
Išspręskite nelygybę:
\(x(0.5-x)(x+4) Akivaizdu, kad funkcijos f(x) = x(0.5-x)(x+4) nuliai yra taškai \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Funkcijos nulius nubraižome realioje ašyje ir apskaičiuojame kiekvieno intervalo ženklą:
Parenkame tuos intervalus, kuriuose funkcija yra mažesnė arba lygi nuliui, ir užrašome atsakymą.
Atsakymas:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)