Определение средней арифметической по способу моментов. Свойства средней арифметической
Где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,
Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .
Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.
Алгоритм нахождения средней по способу моментов
Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:
Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.Таблица для расчета показателей.
Группы | Середина интервала, x i | Кол-во, f i | x i ·f i | Накопленная частота, S | (x-x ) 2 ·f |
5 - 10 | 7.5 | 20 | 150 | 20 | 4600.56 |
15 - 20 | 17.5 | 25 | 437.5 | 45 | 667.36 |
20 - 25 | 22.5 | 50 | 1125 | 95 | 1.39 |
25 - 30 | 27.5 | 30 | 825 | 125 | 700.83 |
30 - 35 | 32.5 | 15 | 487.5 | 140 | 1450.42 |
35 - 40 | 37.5 | 10 | 375 | 150 | 2200.28 |
150 | 3400 | 9620.83 |
Мода
где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 - 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).
Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.
Находим А = 22.5, шаг интервала h = 5.
Средний квадрат отклонений по способу моментов .
x ц | x * i | x * i f i | 2 f i |
7.5 | -3 | -60 | 180 |
17.5 | -1 | -25 | 25 |
22.5 | 0 | 0 | 0 |
27.5 | 1 | 30 | 30 |
32.5 | 2 | 30 | 60 |
37.5 | 3 | 30 | 90 |
5 | 385 |
мин.
Среднее квадратическое отклонение .
мин.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.
Пример
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:Средняя взвешенная
Среднее значение изучаемого признака по способу моментов .
где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.
Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:
1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.
2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:
3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:
4.Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной величины , т.е:
5. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число , то средняя уменьшится на это же число :
6.Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в раз, то средняя также уменьшится или увеличится в раз:
7.Если все частоты (веса) увеличить или уменьшить в раз, то средняя арифметическая не изменится:
Этот способ основан на использовании математических свойств средней арифметической величины. В этом случае средняя величина вычисляется по формуле: , где i – величина равного интервала или любое постоянное число не равное 0; m 1 – момент первого порядка, который рассчитывается по формуле: ; А – любое постоянное число.
18 СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ И ВЗВЕШЕННАЯ .
Средняя гармоническая используется в случаях, кода неизвестны частоты (f i), а известен объем изучаемого признака (x i *f i =M i).
По примеру 2 определим среднюю заработную плату в 2001г.
В исходной информации 2001г. нет данных о количестве работников, однако ее нетрудно рассчитать как отношение фонда оплаты труда к средней зарплате.
Тогда 2769,4 руб., т.е. средняя зарплата в 2001г. –2769,4 руб.
В данном случае использована средняя гармоническая: ,
где М i –фонд оплаты труда в отдельном цеху; x i –зарплата в отдельном цеху.
Следовательно, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестен один из сомножителей, но известно произведение «М».
Средняя гармоническая используется для расчета средней производительности труда, среднего процента выполнения норм, средней зарплаты и т.д.
Если произведения «М» равны между собой, то используется средняя гармоническая простая: , где n – число вариант.
СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И СРЕДНЯЯ ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ.
Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня ряда к предыдущему уровню.
, - цепные коэффициенты роста;
n – число цепных коэффициентов роста.
Если исходные данные даны по состоянию на определенные даты, то средний уровень признака определяется по формуле средней хронологической. Если промежутками между датами (моментами) равные, то средний уровень определяется по формуле средней хронологической простой..
Рассмотрим ее расчет на конкретных примерах.
Пример. Имеются следующие данные об остатках вкладов населения в банках России в первом полугодии 1997 г. (на начало месяца):
Средний остаток вкладов населения за первое полугодие 1997 г. (по формуле средней хронологической простой) составил.
А – условная средняя (чаще других повторяющаяся в вариационном ряду)
а – условное отклонение от условной средней (ранг)
i – интервал
1-ый этап - определение середины групп;
2-ой этап – ранжирование групп: 0 присваивается группе, частота встречаемости врианты в которой – наибольшая. Т.е. в данном случае 7-11 (частота -32). Вверх от данной группы ранжирование производится прибавляя (-1). Вниз – прибавка (+1).
3-ий этап – определение условной моды (условная средняя). А –это середина модального интервала. В нашем случае модальным интервалом является 7 -11, таким образом А = 9.
4-ый этап –определение интервала. Интервал во всех группах ряда одинаков и равен 5. i = 5/
5-й этап –определение общего числа наблюдений. n = ∑p = 103.
Подставляем, полученные данные в формулу:
Задания для самостоятельной работы
Используя данные сгруппированного вариационного ряда рассчитайте среднюю арифметическую по способу моментов.
Вариант №1
Вариант №2
Вариант №3
Вариант №4
Вариант №5
Вариант №6
Вариант №7
Вариант №8
Вариант №9
Вариант №10
Вариант №11
Вариант №12
Задача №4 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с нечетным количеством вариант
Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.
Для определения моды в вариационном ряду ранжирование ряда необязательно. Однако, прежде чем определять медиану, необходимо выстроить вариационный ряд в порядке возрастания или убывания.
12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.
Мода = 16. Т.к. вариант 16 встречается наибольшее число раз (3 раза).
В случае если вариант, имеющих наибольшую частоту встречаемости несколько, то в вариационном ряду может быть указано две и более Моды.
Медиана в ряду с нечетным количеством определяется по формуле:
8 –это порядковый номер медианы в ранжированном вариационном ряду,
т.о. Ме = 17.
Задача №5 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с четным количеством вариант.
На основе данных, приведенных в задании, требуется найти моду и медиану
Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11
Строим ранжированный вариационный ряд:
11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20
У нас имеется два срединных числа 16 и 17. В таком случае медиана находится как среднее арифметическое между ними. Me = 16,5.
Метод моментов приравнивает моменты теоретического распределения к моментам эмпирического распределения (распределения, построенного по наблюдениям). Из полученных уравнений находятся оценки параметров распределения. Например, для распределения с двумя параметрами первые два момента (среднее и дисперсия распределения, соответственно, m и s) будут приравнены первым двум эмпирическим (выборочным) моментам (среднему и дисперсии выборки, соответственно), и затем будет произведено оценивание.Где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,
Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .
Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.
Алгоритм нахождения средней по способу моментов
Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:
Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.Таблица для расчета показателей.
Группы | Середина интервала, x i | Кол-во, f i | x i ·f i | Накопленная частота, S | (x-x ) 2 ·f |
5 - 10 | 7.5 | 20 | 150 | 20 | 4600.56 |
15 - 20 | 17.5 | 25 | 437.5 | 45 | 667.36 |
20 - 25 | 22.5 | 50 | 1125 | 95 | 1.39 |
25 - 30 | 27.5 | 30 | 825 | 125 | 700.83 |
30 - 35 | 32.5 | 15 | 487.5 | 140 | 1450.42 |
35 - 40 | 37.5 | 10 | 375 | 150 | 2200.28 |
150 | 3400 | 9620.83 |
Мода
где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 - 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).
Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.
Находим А = 22.5, шаг интервала h = 5.
Средний квадрат отклонений по способу моментов .
x ц | x * i | x * i f i | 2 f i |
7.5 | -3 | -60 | 180 |
17.5 | -1 | -25 | 25 |
22.5 | 0 | 0 | 0 |
27.5 | 1 | 30 | 30 |
32.5 | 2 | 30 | 60 |
37.5 | 3 | 30 | 90 |
5 | 385 |
мин.
Среднее квадратическое отклонение .
мин.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.
Пример
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:Средняя взвешенная
Среднее значение изучаемого признака по способу моментов .
где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.
Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты (значения признака) и веса имеют очень большие или очень малые значения и затрудняется сам процесс подсчета. Тогда для простоты счета используется ряд свойств средней арифметической:
1) если уменьшить (увеличить) все варианты на какое-либо произвольное число А , то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число А , т. е. изменится на ±А ;
2) если уменьшить все варианты (значения признака) в одинаковое число раз (К ), то средняя уменьшится во столько же раз, а при увеличении в (К ) раз – увеличится в (К ) раз;
3) если уменьшить или увеличить веса (частоты) всех вариант на какое-либо постоянное число А , то средняя арифметическая не изменится;
4) сумма отклонений всех вариант от общей средней равна нулю.
Перечисленные свойства средней арифметической позволяют в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты (значения признака) на какое-либо число А , сокращать их в К раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариант, а затем переходить к средней первоначального ряда.
Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как «способ условного нуля» , или «условной средней» , или как «способ моментов».
Кратко этот способ можно записать в виде формулы
Если уменьшенные варианты (значения признака ), обозначить через , то приведенную выше формулу можно переписать в виде .
При использовании формулы для упрощения исчисления средней арифметической взвешенной интервального ряда при определении величины какого-либо числа А используют такие приемы его определения.
Величина А равна величине:
1) первого значения средней величины интервала (продолжим на примере задачи, где млн дол., а .
Расчет средней из уменьшенных вариант
Интервалы | Среднее значение интервала | Число заводов, f | Произведение | |
До 2 | 1,5 | 0 (1,5–1,5) | ||
2–3 | 2,5 | 1 (2,5–1,5) | ||
3–4 | 3,5 | 2 (3,5–1,5) | ||
4–5 | 4,5 | 3 (4,5–1,5) | ||
5–6 | 5,5 | 4 (5,5–1,5) | ||
Свыше 6 | 6,5 | 5 (6,5–1,5) | ||
Итого: | 3,7 | – |
,
2) величину А берем равной величине среднего значения интервала с наибольшей частотой повторений, в данном случае А = 3,5 при (f = 30), или значение серединной варианты, или наибольшей варианты (в данном случае наибольшее значение признака Х = 6,5) и деленное на размер интервала (в данном примере 1).
Расчет средней при А = 3,5, f = 30, К = 1 на том же примере.
Расчет средней способом моментов
Интервалы | Среднее значение интервала | Число заводов, f | Произведение | |
До 2 | 1,5 | (1,5 – 3,5) : 1 = –2 | –20 | |
2–3 | 2,5 | (2,5 – 3,5) : 1 = –1 | –20 | |
3–4 | 3,5 | (3,5 – 3,5) : 1 = 0 | ||
4–5 | 4,5 | (4,5 – 3,5) : 1 = 1 | ||
5–6 | 5,5 | (5,5 – 3,5) : 1 = 2 | ||
Свыше 6 | 6,5 | (6,5 – 3,5) : 1 = 3 | ||
Итого: | 3,7 | – |
; ; ;
Способ моментов, условного нуля или условной средней заключается в том, что при сокращенном способе расчета средней арифметической мы выбираем такой момент, чтобы в новом ряду одной из значений признака , т. е. приравниваем и отсюда выбираем величину А и К .
Надо иметь в виду, что если (Х – А ) : К , где К – равная величина интервала, то полученные новые варианты образуют в равноинтервальном ряду ряды натуральных чисел (1, 2, 3 и т. д.) положительных вниз и отрицательных вверх от нуля. Среднюю арифметическую из этих новых вариант называют моментом первого порядка и выражают формулой
.
Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину того интервала (К ), на который делим все варианты, и прибавить к полученному произведению величину варианты (А ), которую вычитали.
;
Таким образом, способом моментов или условного нуля рассчитать среднюю арифметическую из вариационного ряда, если ряд равноинтервальный, значительно легче.
Мода
Мода – есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.
Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с наибольшей частотой.
Пример. При определении плана по производству мужских туфлей фабрикой было произведено изучение покупательского спроса по результатам продажи. Распределение проданной обуви характеризовалось следующими показателями:
Наибольшим спросом пользовалась обувь 41 размера и составила 30% от проданного количества. В этом ряду распределения М 0 = 41.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле
.
Прежде всего, необходимо найти интервал, в котором находится мода, т. е. модальный интервал.
В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения, где: – величина нижней границы интервала, содержащего моду; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному, т. е. предмодального; – частота интервала, следующего за модальным, т. е. послемодального.
Пример расчета моды в интервальном ряду
Дана группировка предприятий по численности промышленно-производственного персонала. Найти моду. В нашей задаче наибольшее число предприятий (30) имеет группировка с численностью работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распространения с равными интервалами. Введем следующие обозначения:
Подставим эти значения в формулу вычисления моды и произведем расчет:
Таким образом, мы определили значение модальной величины признака, заключенного в этом интервале (400–500), т. е. М 0 = 467 чел.
Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщающего показателя отдается предпочтение моде , а не средней арифметической. Так, при изучении цен на рынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определенную продукцию, а модальная. При изучении спроса населения на определенный размер обуви или одежды представляет интерес определение модального номера, а не средний размер, который вообще не имеет значения. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
Задача 1
На сортосеменной станции при определении качества семян пшеницы было получено следующее определение семян по проценту всхожести:
Определить моду.
Задача 2
При регистрации цен в часы наиболее оживленной торговли у отдельных продавцов были зарегистрированы следующие цены фактической продажи (дол. за кг):
Картофель: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0,15.
Говядина: 2; 2,5; 2; 2; 1,8; 1,8; 2; 2,2; 2,5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2,2; 2; 2; 2; 2.
Какие цены на картофель и говядину являются модальными?
Задача 3
Имеются данные о заработной плате 16 слесарей цеха. Найти модальную величину заработной платы.
В долларах: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.
Расчет медианы
Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если дискретный ряд распределения имеет нечетное число членов ряда, то медианой будет варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда, т. е. к сумме частот прибавить 1 и все разделить на 2 – результат и даст порядковый номер медианы.
Если в вариационном ряду четное число вариант, тогда медианой будет половина суммы двух серединных вариант.
Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала медианный интервал по накопленным частотам. Таким интервалом будет такой, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот. Накопленные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.
Расчет медианы в интервальном вариационном ряду
Интервалы | Частоты (f ) | Кумулятивные (накопленные) частоты |
60–70 | 10 (10) | |
70–80 | 40 (10+30) | |
80–90 | 90 (40+50) | |
90–100 | 15 (90+60) | |
100–110 | 295 (150+145) | |
110–120 | 405 (295+110) | |
120–130 | 485 (405+80) | |
130–140 | 500 (485+15) | |
Сумма: | ∑f = 500 |
Половина суммы накопленных частот в примере равна 250 (500: 2). Следовательно, медианным интервалом будет интервал со значением признака 100–110.
До этого интервала сумма накопленных частот составила 150. Следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 100 единиц (250 – 150). При определении значения медианы предполагается, что значение признака в границах интервала распределяется равномерно. Следовательно, если 145 единиц, находящихся в этом интервале, распределить равномерно в интервале, равно 10, то 100 единицам будет соответствовать величина:
10: 145 ´ 100 = 6,9.
Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомое значение медианы:
Или медиану в вариационном интервальном ряду можно исчислить по формуле:
,
где – величина нижней границы медианного интервала (); – величина медианного интервала ( =10); – сумма частот ряда (численность ряда 500); – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному ( = 150); – частота медианного интервала ( = 145).