Дробно иррациональные. Простейшие рациональные уравнения
Сегодня мы разберемся, как решать дробные рациональные уравнения.
Посмотрим: из уравнений
(1) 2х + 5 = 3(8 – х),
(3)
(4)
дробными рациональными уравнениями являются только (2) и (4), а (1) и (3) это целые уравнения.
Предлагаю решить уравнение (4), а затем сформулировать правило.
Поскольку уравнение дробное, то надо найти общий знаменатель. В этом уравнении это выражение 6(х – 12)(х – 6). Затем мы умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:
После сокращения получаем целое уравнение:
6(х – 6) 2 – 6(х – 12) 2 = 5(х – 12)(х – 6).
Решив это уравнение надо обязательно проверить не обращают ли полученные корни в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении.
Раскрываем скобки:
6х 2 – 72х + 216 – 6х 2 + 144х – 864 = 5х 2 – 90х + 360, упрощаем уравнение: 5х 2 – 162х + 1008 = 0.
Находим корни уравнения
D = 6084, √D = 78,
х 1 = (162 – 78)/10= 84/10 = 8,4 и х 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.
При х = 8,4 и 24 общий знаменатель 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, значит эти числа являются корнями уравнения (4).
Ответ: 8,4; 24.
Решив предложенное уравнение, приходим к следующим положениям :
1) Находим общий знаменатель.
2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель.
3) Решаем полученное целое уравнение.
4) Проверяем, какие из корней обращают общий знаменатель в нуль и исключаем их из решения.
Посмотрим теперь на примере, как работают полученные положения.
Решить уравнение:
1) Общий знаменатель: х 2 – 1
2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем целое уравнение: 6 – 2(х + 1) = 2(х 2 – 1) – (х + 4)(х – 1)
3) Решаем уравнение: 6 – 2х – 2 = 2х 2 – 2 – х 2 – 4х + х + 4
х 2 – х – 2 = 0
х 1 = - 1 и х 2 = 2
4) При х = -1, общий знаменатель х 2 – 1 = 0. Число -1 корнем не является.
При х = 2, общий знаменатель х 2 – 1 ≠ 0. Число 2 – корень уравнения.
Ответ : 2.
Как видите, наши положения работают. Не бойтесь, у вас все получится! Самое главное правильно найдите общий знаменатель и аккуратно выполните преобразования . Надеемся, что при решение дробных рациональных уравнений у вас всегда будут получаться правильные ответы. Если у вас остались вопросы или вы хотите попрактиковаться в решении подобных уравнений, записывайтесь на уроки к автору этой статьи, репетитору Валентине Галиневско й.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это - алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Если r(х) - рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.
Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) - рациональные выражения.
До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению
. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.
Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде
При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член в левую часть уравнения с противоположным знаком.
Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем
Вспомним условия равенства дроби
нулю: тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:
1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля ).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим
Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение означает для уравнения (1), что . Значения х 1 = 2 и х 2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.
1) Преобразуем уравнение к виду
2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:
(одновременно изменили знаки в числителе и
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид
3) Решим уравнение х 2 - 6x + 8 = 0. Находим
4) Для найденных значений проверим выполнение условия . Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 - нет. Значит, 4 - корень заданного уравнения, а 2 - посторонний корень.
О т в е т: 4.
2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной
Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.
Пример 3. Решить уравнение х 4 + х 2 - 20 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = х 2 . Так как х 4 = (х 2) 2 = у 2 , то заданное уравнение можно переписать в виде
у 2 + у - 20 = 0.
Это - квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы
; получим у 1 = 4, у 2 = - 5.
Но у = х 2 , значит, задача свелась к решению двух уравнений:
x 2 =4; х 2 =-5.
Из первого уравнения находим второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Уравнение вида ах 4 + bx 2 +c = 0 называют биквадратным уравнением («би» - два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х 2 , решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х 2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х 2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной
- и запись упроща
ется, и структура уравнения становится более ясной):
А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.
1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:
= 0
2) Преобразуем левую часть уравнения
Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду
3) Из уравнения - 7у 2 + 29у -4 = 0 находим (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).
4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1). Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено:
Поскольку у = х 2 + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и , - нам еще предстоит решить два уравнения: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх = . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения - числа
В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.
Пример 5.
Решить уравнение
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имеем
х(х - 3) = х 2 - 3х;
(х - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х 2 - Зх.
С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у 2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.
Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два уравнения х 2 - Зх = 4 и х 2 - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х 1 = 4, х 2 = - 1; второе уравнение не имеет корней.
О т в е т: 4, - 1.
Как уже известно (см. § 2 предыдущей главы), уравнение вида
где рациональные функции, по крайней мере одна из которых дробно-рациональная, называется дробно-рациональным уравнением с одним неизвестным.
Для решения уравнения (1) перенесем в левую часть, выполним необходимые тождественные преобразования и запишем заданное уравнение в виде
где и многочлены от
Уравнение (2) является следствием уравнения (1). Действительно, если есть решение уравнения (1), то Выполним над этим равенством все те преобразования, которые мы выполняли над уравнением Получим равенство а это и означает, что с есть решение уравнения (2).
Однако уравнение (2) не обязательно равносильно уравнению (1). При преобразовании уравнения (1) множество допустимых значений неизвестного может измениться, причем оно не может сузиться, но может расшириться,
и тогда уравнение (2) будет иметь решения, посторонние для уравнения (1). Это случится тогда, когда в процессе преобразования уравнения (1) некоторые дробные выражения взаимно уничтожаются или производится сокращение алгебраических дробей на множители, в которые входит неизвестное
Например, выполняя в уравнении
указанные преобразования, получим
Уравнение (4) не равносильно уравнению (3). Действительно, оно имеет корни Второй из них является посторонним для уравнения (3), ибо при выражение не имеет смысла. Произошло это потому, что при преобразовании уравнения (3) взаимно уничтожились слагаемые
Преобразуя другое уравнение
Сократив дробь на будем иметь
Уравнение (6) имеет корень который не удовлетворяет уравнению (5), потому что левая часть его теряет смысл при Следовательно, уравнение (6) не равносильно уравнению (5). Произошло это потому, что в процессе преобразования заданного уравнения мы сокращали алгебраическую дробь на
Таким образом, уравнение (2) является следствием уравнения (1), но не обязательно равносильно ему; отсюда вытекает, что решения уравнения (1) следует искать среди решений уравнения (2). Решениями же уравнения (2) могут быть лишь те значения при которых равняется нулю, т. е. лишь решения уравнения значит, решения уравнения (1) надо искать среди решений уравнения
Следовательно, для решения уравнения (1) достаточно определить все корни уравнения и затем путем непосредственной подстановки их в уравнение (1) выяснить, какие из них являются корнями заданного уравнения (1).
Изложенные нами рассуждения можно коротко сформулировать в виде следующего правила для решения дробно-рациональных уравнений.
Для решения дробно-рациональных уравнений
с одним неизвестным нужно:
1) перенести все члены его в левую часть;
2) выполнить необходимые тождественные преобразования и записать заданное уравнение в виде
где и многочлены от
3) решить уравнение
4) путем подстановки решений уравнения в первоначальное уравнение определить, какие из них удовлетворяют заданному уравнению.
Пример. Решить уравнение
Перенеся все члены в левую часть и приведя их к общему знаменателю, получим:
Приравняв числитель левой части нулю, будем иметь уравнение
Первое из этих решений является посторонним для заданного уравнения, а второе удовлетворяет ему.
Заметим, что в школьной практике часто при решении дробно-рациональных уравнений обе части заданного уравнения умножают на общий знаменатель всех алгебраических дробей, входящих в левую и правую части уравнения, а затем решают полученное таким образом уравнение. Очевидно, что полученное алгебраическое уравнение является следствием заданного уравнения, но не равносильно ему.
Поэтому, найдя решения этого алгебраического уравнения, надо подстановкой их в заданное уравнение определить, какие из них будут решениями заданного уравнения.
Решение дробно-рациональных уравнений
Справочное пособие
Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями.
(Напомним: рациональными выражениями называют целые и дробные выражения без радикалов, включающие действия сложения, вычитания, умножения или деления - например: 6x; (m – n)2; x/3y и т.п.)
Дробно-рациональные уравнения, как правило, приводятся к виду:
Где P (x ) и Q (x ) – многочлены.
Для решения подобных уравнений умножить обе части уравнения на Q(x), что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, при решении дробно-рациональных уравнений необходима проверка найденных корней.
Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную.
Примеры целого рационального уравнения:
5x – 10 = 3(10 – x)
3x
- = 2x – 10
4
Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным.
Пример дробного рационального уравнения:
15
x + - = 5x – 17
x
Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:
1) находят общий знаменатель дробей и умножают на него обе части уравнения;
2) решают получившееся целое уравнение;
3) исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей.
Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений.
Пример 1. Решим целое уравнение
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Решение:
Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному:
3(x – 1) + 4x 5х
------ = --
6 6
Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно опустить. Тогда у нас получится более простое уравнение:
3(x – 1) + 4x = 5х.
Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены:
3х – 3 + 4х = 5х
3х + 4х – 5х = 3
Пример решен.
Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак:
х 2 – 3х x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:
х 2 – 3x + x – 5 = x + 5
х 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
х 2 – 3x – 10 = 0.
Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5.
Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения.
При x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.
При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: x = –2
Ещё примеры
Пример 1.
x 1 =6, x 2 = - 2,2.
Ответ:-2,2;6.
Пример 2.
Рациональные уравнения - это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.
Определение 1
Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $\frac{m}{n}$, при этом $m$ и $n$ - целые числа и $n$ не может быть равно нулю. К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $\frac{2}{3}$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.
Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.
Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения - это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.
Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.
Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.
Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.
Дробно-рациональные уравнения примеры: $\frac{3x-2}{x+3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{x}$; $\frac{7}{2y-3}=5$;
Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.
Как решать рациональные уравнения?
В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.
Алгоритм решения целых рациональных уравнений
- В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
- Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
- Следующий этап - приведение к общему знаменателю всего равенства.
- Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.
Пример 1
Решите уравнение: $\frac{5x+9}{2}=\frac{x}{4}$
Сначала найдём общий множитель - в данном случае это число $4$. Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac{2}{2}$, получаем:
$10x+18=x$ - полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.
Как решать дробно-рациональные уравнения?
В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.
Пример 2
Решите дробно-рациональное уравнение: $\frac{x-3}{x-5}+\frac{1}{x}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$
Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x \cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:
$\frac{(x-3) \cdot x}{(x-5)\cdot x}+\frac{1 \cdot (x-5)}{x \cdot (x-5)}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$
Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:
$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$
$x^2 - 3x+x-5 = x+5$
Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end{cases}$
$\begin{cases} x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end{cases}$
Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:
$\frac{-2-3}{-2-5} +\frac{1}{-2}=\frac{-2+5}{(-2) \cdot (-2-5)}$
$\frac{5}{7}-\frac{1}{2}=\frac{3}{14}$
$\frac{3}{14}=\frac{3}{14}$ - следовательно, корень $x_2=-2$ - верный.
$\frac{5-3}{5-5} +\frac{1}{5}=\frac{5+5}{(-2) \cdot (5-5)}$
Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ - посторонний.
Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac{m}{n}$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби. Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае. Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.
В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:
Пример 3
Решите уравнение:
$\frac{1}{x^2+3x-3}+\frac{2}{x^2+3x+1}=\frac{7}{5}$
Для упрощения решения введём переменную $t= x^2+3x$:
$\frac{1}{t-3}+\frac{2}{t+1}=\frac{7}{5}$
Общий знаменатель здесь $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:
$\frac{5(t+1)}{5(t-3)(t+1)}+\frac{2 \cdot 5(t-3)}{5(t+1)(t-3)}=\frac{7(t+1)(t-3)}{5(t-3)(t+1)}$
$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$
$5t+5+10t-30=7(t^2-3t+t-3)$
$15t-25=7t^2-14t-21$
Через дискриминант вычислим корни:
$t_1=4;t_2=\frac{1}{7}$
Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.
Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:
$x^2+3x=4$ и $x^2+3x=\frac{1}{7}$.
По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.
Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_{3,4}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.
Преобразования для упрощения формы уравнения
Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.
Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.
Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.
Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:
- Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
- Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.
Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
- Избавление от знаменателей, содержащих переменную;
Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.
Решение рациональных уравнений со степенями больше двух
Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.
Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.
Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ - многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0...P_n(x)=0$.
Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения - это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.
Пример 5
Решите уравнение:
Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.
Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.
Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax^4+bx^2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x^2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay^2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.
Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным . Такие уравнения выглядят так: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.