Квадратные уравнения. Основные понятия
Класс: 8
Рассмотрим стандартные (изучаемые в школьном курсе математики) и нестандартные приёмы решения квадратных уравнений.
1. Разложение левой части квадратного уравнения на линейные множители.
Рассмотрим примеры:
3) х 2 + 10х – 24 = 0.
6(х 2 + х – х) = 0 | : 6
х 2 + х – х – = 0;
х(х – ) + (х – ) = 0;
х(х – ) (х + ) = 0;
= ; – .Ответ: ; – .
Для самостоятельной работы:
Решите квадратные уравнения, применяя метод разложения левой части квадратного уравнения на линейные множители.
а) х 2 – х = 0; г) х 2 – 81 = 0; ж) х 2 + 6х + 9 = 0; |
б) х 2 + 2х = 0; д) 4х 2 – = 0; з) х 2 + 4х + 3 = 0; |
в) 3х 2 – 3х = 0; е) х 2 – 4х + 4 = 0; и) х 2 + 2х – 3 = 0. |
а) 0; 1 | б) -2; 0 | в) 0; 1 |
2. Метод выделения полного квадрата.
Рассмотрим примеры:
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя метод выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
ах 2 + вх + с = 0, (а | · 4а
4а 2 х 2 + 4ав + 4ас = 0;
2ах + 2ах·2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;
2 = в 2 – 4ас; = ± ;Рассмотрим примеры.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя формулу х 1,2 =.
4. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
x 2 + px +q = 0 – приведённое квадратное уравнение
по теореме Виета.Если то уравнение имеет два одинаковых корня по знаку и это зависит от коэффициента .
Если p, то .
Если p, то.
Например:
Если то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет , если p и будет , если p.
Например:
Для самостоятельной работы.
Не решая квадратного уравнения, по обратной теореме Виета определите знаки его корней:
а, б, к, л – различные корни;
в, д, з – отрицательные;
г, е, ж, и, м – положительные;
5. Решение квадратных уравнений методом “переброски”.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяяметод “переброски”.
6. Решение квадратных уравнений с применением свойств его коэффициентов.
I. ax 2 + bx + c = 0, где a 0
1) Если а + b + с = 0, то х 1 = 1; х 2 =
Доказательство:
ax 2 + bx + c = 0 |: а
х 2 + х + = 0.
По теореме Виета
По условию а + b + с = 0, тогда b = -а – с. Далее получим
Из этого следует, что х 1 =1; х 2 = . Что и требовалось доказать.
2) Если а – b + с = 0 (или b = а +с) , то х 1 = – 1; х 2 = –
Доказательство:
По теореме Виета
По условию а – b + с = 0 , т.е. b = а +с. Далее получим:
Поэтому х 1 = – 1; х 2 = – .
Рассмотрим примеры.
1) 345 х 2 – 137 х – 208 = 0.
а + b + с = 345 – 137 – 208 = 0
х 1 = 1; х 2 = =
2) 132 х 2 – 247 х + 115 = 0.
а + b + с = 132 -247 -115 = 0.
х 1 = 1; х 2 = =
Ответ : 1;
Для самостоятельной работы.
Применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения, решите уравнения
II. ax 2 + bx + c = 0, где a 0
х 1,2 = . Пусть b = 2k, т.е. чётное. Тогда получим
х 1,2 = = = =
Рассмотрим пример:
3х 2 – 14х + 16 = 0 .
D 1 = (-7) 2 – 3·16 = 49 – 48 = 1
х 1 = = 2; х 2 =
Ответ : 2;
Для самостоятельной работы.
а) 4х 2 – 36х + 77 = 0
б) 15х 2 – 22х – 37 = 0
в) 4х 2 + 20х + 25 = 0
г) 9х 2 – 12х + 4 = 0
Ответы :
III. x 2 + px + q = 0
х 1,2 = – ± 2 – q
Рассмотрим пример:
х 2 – 14х – 15 = 0
х 1,2 = 7 = 7
х 1 = -1 ; х 2 = 15.
Ответ : -1; 15.
Для самостоятельной работы.
а) х 2 – 8х – 9 = 0
б) х 2 + 6х – 40 = 0
в) х 2 + 18х + 81 = 0
г) х 2 – 56х + 64 = 0
7. Решение квадратного уравнения с помощью графиков.
а) х 2 – 3х – 4 = 0
Ответ: -1; 4
б) х 2 – 2х + 1 = 0
в) х 2 – 2х + 5 = 0
Ответ: нет решений
Для самостоятельной работы.
Решить квадратные уравнения графически:
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
ax 2 + bx + c = 0,
х 2 + х + = 0.
х 1 и х 2 – корни.
Пусть А(0; 1), С(0;
По теореме о секущих:
ОВ· ОД = ОА · ОС.
Поэтому имеем:
х 1 · х 2 = 1 · ОС;
ОС = х 1 х 2
К(; 0), где = -
F(0; ) = (0; ) = )
1) Построим точку S(-; ) – центр окружности и точку А(0;1).
2) Проведём окружность с радиусом R = SA/
3) Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
Возможны 3 случая:
1) R > SK (или R > ).
Окружность пересекает ось ох в точке В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0), где х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
2) R = SK (или R = ).
Окружность касается оси ох в тоске В 1 (х 1 ; 0), где х 1 – корень квадратного уравнения
ax 2 + bx + c = 0.
3) R < SK (или R < ).
Окружность не имеет общих точек с осью ох, т.е. нет решений.
1) x 2 – 2x – 3 = 0.
Центр S(-; ),т.е.
х 0 = = – = 1,
у 0 = = = – 1.
(1; – 1) – центр окружности.
Проведём окружность (S; AS), где А(0; 1).
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Для решения используют Четырёхзначные математические таблицы В.М. Брадиса (таблица XXII, стр. 83).
Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения. Например:
5) z 2 + 4z + 3 = 0.
Оба корня отрицательные. Поэтому сделаем замену: z 1 = – t. Получим новое уравнение:
t 2 – 4t + 3 = 0.
t 1 = 1 ; t 2 = 3
z 1 = – 1 ; z 2 = – 3.
Ответ: – 3; – 1
6) Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = k · t и решают с помощью номограммы уравнение: z 2 + pz + q = 0.
к 2 t 2 + p· kt + q = 0. |: к 2
к берут с расчётом, чтобы имели место неравенства:
Для самостоятельной работы.
у 2 + 6у – 16 = 0.
у 2 + 6у = 16, |+ 9
у 2 + 6у + 9 = 16 + 9
у 1 = 2, у 2 = -8.
Ответ: -8; 2
Для самостоятельной работы.
Решите геометрически уравнение у 2 – 6у – 16 = 0.
В этом видео уроке рассказывается о том, как решить квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений обычно начинают изучать в общеобразовательной школе, 8 класс. Корни квадратного уравнения находят по специальной формуле. Пусть задано квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0, где x - неизвестное, a, b и c - коэффициенты, которые являются действительными числами. Для начала, необходимо определить дискриминант по формуле D=b2-4ac. После этого остается вычислить корни квадратного уравнения по известной формуле. Теперь попробуем решить конкретный пример. В качестве исходного уравнения возьмем x2+x-12=0, т.е. коэффициент a=1, b=1, c=-12. По известной формуле можно определить дискриминант. Затем по формуле нахождения корней уравнения вычислим их. В нашем случае, дискриминант будет равен 49. То, что значение дискриминанта является положительным числом, говорит нам о том, что данное квадратное уравнение будет иметь два корня. После несложных вычислений, получаем, что x1=-4, x2=3. Таким образом, мы решили квадратное уравнение, вычислив его корни Видео урок «Решение квадратных уравнений (8 класс). Находим корни по формуле» вы можете смотреть онлайн в любое время совершенно бесплатно. Удачи Вам!
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c /a ) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобкуПроизведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
На занятии будет введено понятие квадратного уравнения, рассмотрены его два вида: полное и неполное. Отдельное внимание на уроке будет уделено разновидностям неполных квадратных уравнений, во второй половине занятия будет рассмотрено множество примеров.
Тема: Квадратные уравнения .
Урок: Квадратные уравнения. Основные понятия
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида
Фиксированные действительные числа, которые задают квадратное уравнение. Эти числа имеют определенные названия:
Старший коэффициент (множитель при );
Второй коэффициент (множитель при );
Свободный член (число без множителя-переменной).
Замечание. Следует понимать, что указанная последовательность записи слагаемых в квадратном уравнении является стандартной, но не обязательной, и в случае их перестановки необходимо уметь определять численные коэффициенты не по их порядковому расположению, а по принадлежности к переменным.
Определение. Выражение носит название квадратный трехчлен .
Пример 1. Задано квадратное уравнение . Его коэффициенты:
Старший коэффициент;
Второй коэффициент (обратите внимание, что коэффициент указывается со знаком передним);
Свободный член.
Определение. Если , то квадратное уравнение называется неприведенным , а если , то квадратное уравнение называется приведенным .
Пример 2. Привести квадратное уравнение . Разделим обе его части на 2: .
Замечание. Как видно из предыдущего примера, делением на старший коэффициент мы не изменили уравнение, но изменили его форму (сделали приведенным), аналогично его можно было и умножить на какое-нибудь ненулевое число. Таким образом, квадратное уравнение задается не единственной тройкой чисел, а говорят, что задается с точностью до ненулевого множества коэффициентов .
Определение. Приведенное квадратное уравнение получают из неприведенного путем деления на старший коэффициент , и оно имеет вид:
.
Приняты следующие обозначения: . Тогда приведенное квадратное уравнение имеет вид:
.
Замечание . В приведенной форме квадратного уравнения видно, что квадратное уравнение можно задать всего двумя числами: .
Пример 2 (продолжение). Укажем коэффициенты, которые задают приведенное квадратное уравнение . , . Эти коэффициенты также указываются с учетом знака. Эти же два числа задают и соответствующее неприведенное квадратное уравнение .
Замечание . Соответствующие неприведенное и приведенное квадратные уравнения являются одинаковыми, т.е. имеют одинаковые наборы корней.
Определение . Некоторые из коэффициентов в неприведенной форме или в приведенной форме квадратного уравнения могут равняться нулю. В таком случае квадратное уравнение называют неполным . Если же все коэффициенты ненулевые, то квадратное уравнение называют полным .
Существует несколько видов неполного квадратного уравнения.
Если решение полного квадратного уравнения мы пока не рассматривали, то решить неполное мы легко сможем уже известными нам методами.
Определение. Решить квадратное уравнение - значит найти все значения переменной (корни уравнения), при которых данное уравнение обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет.
Пример 3. Рассмотрим пример указанного вида неполных квадратных уравнений. Решить уравнение .
Решение. Вынесем общий множитель . Уравнения такого типа мы умеем решать по следующему принципу: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом значении переменной существует . Таким образом:
Ответ. ; .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. 1 способ. Разложим на множители по формуле разности квадратов
, следовательно, аналогично предыдущему примеру или .
2 способ. Перенесем свободный член вправо и извлечем квадратный корень из обеих частей .
Ответ . .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Перенесем свободный член вправо , но , т.е. в уравнении неотрицательное число приравнивается к отрицательному, что не имеет смысла ни при каких значениях переменной, следовательно, корней нет.
Ответ. Корней нет.
Пример 6 .Решить уравнение .
Решение . Разделим обе части уравнения на 7: .
Ответ . 0.
Рассмотрим примеры, в которых сначала необходимо привести квадратное уравнение к стандартной форме, а затем уже его решать.
Пример 7 . Решить уравнение .
Решение . Для приведения квадратного уравнения к стандартной форме необходимо перенести все слагаемые в одну сторону, например, в левую и привести подобные.
Получено неполное квадратное уравнение, которое мы уже умеем решать, получаем, что или .
Ответ . .
Пример 8 (текстовая задача) . Произведение двух последовательных натуральных чисел в два раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.
Решение . Текстовые задачи, как правило, решаются по следующему алгоритму.
1) Составление математической модели . На этом этапе необходимо перевести текст задачи на язык математических символов (составить уравнение).
Пусть некое первое натуральное число обозначим неизвестной , тогда следующее за ним (числа последовательные) будет . Меньшее из этих чисел - это число , запишем уравнение по условию задачи:
, где . Математическая модель составлена.