Dalinai neracionalu. Paprasčiausios racionalios lygtys

Šiandien mes išsiaiškinsime, kaip išspręsti problemą trupmeninis racionalios lygtys.

Pažiūrėkime: iš lygčių

(1) 2x + 5 = 3 (8 - x),

(3)

(4)

trupmeninės racionalios lygtys yra tik (2) ir (4), o (1) ir (3) yra visos lygtys.

Siūlau išspręsti (4) lygtį ir suformuluoti taisyklę.

Kadangi lygtis yra trupmeninė, turime rasti Bendras vardiklis. Šioje lygtyje ši išraiška yra 6 (x - 12) (x - 6). Tada padauginame abi lygties puses iš bendro vardiklio:

Po redukavimo gauname visą lygtį:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

Išsprendus šią lygtį, reikia patikrinti, ar gautos šaknys pradinėje lygtyje esančių trupmenų vardiklius paverčia nuliu.

Išplečiant skliaustus:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, supaprastiname lygtį: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

Lygties šaknų radimas
D = 6084, √D = 78,
x 1 = (162–78) / 10 = 84/10 = 8,4 ir x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

Kai x = 8,4 ir 24, bendras vardiklis yra 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0, o tai reiškia, kad šie skaičiai yra (4) lygties šaknys.

Atsakymas: 8,4; 24.

Išspręsdami pasiūlytą lygtį, gauname taip nuostatas:

1) Mes randame bendrą vardiklį.

2) Padauginkite abi lygties puses iš bendro vardiklio.

3) Išsprendžiame gautą visą lygtį.

4) Patikriname, kuri iš šaknų paverčia bendrą vardiklį į nulį ir pašaliname jas iš sprendinio.

Dabar pažvelkime į pavyzdį, kaip veikia gautos pozicijos.

Išspręskite lygtį:

1) Bendras vardiklis: x 2 – 1

2) Abi lygties dalis padauginame iš bendro vardiklio, gauname visą lygtį: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) Išsprendžiame lygtį: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 ir x 2 = 2

4) Kai x \u003d -1, bendras vardiklis x 2 - 1 \u003d 0. Skaičius -1 nėra šaknis.

Jei x \u003d 2, bendras vardiklis yra x 2 - 1 ≠ 0. Skaičius 2 yra lygties šaknis.

Atsakymas: 2.

Kaip matote, mūsų nuostatos veikia. Nebijok, tau pasiseks! Svarbiausias teisingai rasti bendrą vardiklį Ir atsargiai atlikite transformacijas. Tikimės, kad spręsdami trupmenines racionaliąsias lygtis visada gausite teisingus atsakymus. Jei turite klausimų ar norite praktikuotis sprendžiant tokias lygtis, užsiregistruokite į pamokas pas šio straipsnio autorę, dėstytoją Valentiną Galinevskają.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Aukščiau pateiktą lygtį pristatėme § 7. Pirmiausia primename, kas yra racionali išraiška. tai - algebrinė išraiška, sudarytas iš skaičių ir kintamojo x, naudojant sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir eksponencijos didinimo su natūraliuoju rodikliu operacijas.

Jei r(x) yra racionalioji išraiška, tai lygtis r(x) = 0 vadinama racionalia lygtimi.

Tačiau praktikoje patogiau naudoti kiek platesnį termino „racionalioji lygtis“ aiškinimą: tai lygtis, kurios formos h(x) = q(x), kur h(x) ir q(x) yra racionalios išraiškos.

Iki šiol negalėjome išspręsti jokios racionalios lygties, o tik tokią, kuri dėl įvairių transformacijų ir samprotavimų buvo sumažinta iki tiesinė lygtis. Dabar mūsų galimybės daug didesnės: galėsime išspręsti racionalią lygtį, kuri redukuojasi ne tik iki tiesinės
mu, bet ir į kvadratinę lygtį.

Prisiminkite, kaip anksčiau sprendėme racionaliąsias lygtis, ir pabandykite suformuluoti sprendimo algoritmą.

1 pavyzdys išspręskite lygtį

Sprendimas. Perrašome lygtį į formą

Šiuo atveju, kaip įprasta, naudojame faktą, kad lygybės A \u003d B ir A - B \u003d 0 išreiškia tą patį ryšį tarp A ir B. Tai leido perkelti terminą į kairę lygties pusę su priešingas ženklas.

Atlikime kairiosios lygties pusės transformacijas. Mes turime

Prisiminkite lygybės sąlygas trupmenomis nulis: jei ir tik tada, kai vienu metu tenkinami du santykiai:

1) trupmenos skaitiklis lygus nuliui (a = 0); 2) trupmenos vardiklis skiriasi nuo nulio).
Prilyginę nuliui trupmenos skaitiklį kairėje (1) lygties pusėje, gauname

Belieka patikrinti, ar įvykdyta antroji aukščiau minėta sąlyga. Santykis reiškia (1) lygtį, kad . Reikšmės x 1 \u003d 2 ir x 2 \u003d 0,6 atitinka nurodytus ryšius ir todėl yra (1) lygties šaknys, o kartu ir šaknys duota lygtis.

1) Transformuokime lygtį į formą

2) Atlikime šios lygties kairiosios pusės transformacijas:

(tuo pačiu metu pasikeitė ženklai skaitiklyje ir
trupmenomis).
Taigi duota lygtis įgauna formą

3) Išspręskite lygtį x 2 - 6x + 8 = 0. Raskite

4) Norėdami rasti rastų verčių, patikrinkite būklę . Skaičius 4 tenkina šią sąlygą, bet skaičius 2 – ne. Taigi 4 yra pateiktos lygties šaknis, o 2 yra pašalinė šaknis.
Atsakymas: 4.

2. Racionaliųjų lygčių sprendimas įvedant naują kintamąjį

Naujo kintamojo įvedimo būdas jums pažįstamas, mes jį naudojome ne kartą. Pavyzdžiais parodykime, kaip jis naudojamas sprendžiant racionaliąsias lygtis.

3 pavyzdys Išspręskite lygtį x 4 + x 2 - 20 = 0.

Sprendimas. Pristatome naują kintamąjį y \u003d x 2. Kadangi x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, tada pateiktą lygtį galima perrašyti į formą

y 2 + y - 20 = 0.

Tai kvadratinė lygtis, kurios šaknis rasime naudodami žinomą formules; gauname y 1 = 4, y 2 = - 5.
Bet y \u003d x 2, o tai reiškia, kad problema buvo sumažinta iki dviejų lygčių sprendimo:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Iš pirmosios lygties matome, kad antroji lygtis neturi šaknų.
Atsakymas:.
Formos ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 lygtis vadinama bikvadratine lygtimi („bi“ - du, t. Ką tik išspręsta lygtis buvo tiksliai bikvadratinė. Bet kuri bikvadratinė lygtis išspręsta taip pat, kaip lygtis iš 3 pavyzdžio: įvedamas naujas kintamasis y \u003d x 2, gauta kvadratinė lygtis išsprendžiama kintamojo y atžvilgiu ir grąžinama į kintamąjį x.

4 pavyzdys išspręskite lygtį

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad čia ta pati išraiška x 2 + 3x pasitaiko du kartus. Vadinasi, prasminga įvesti naują kintamąjį y = x 2 + Zx. Tai leis mums perrašyti lygtį paprastesne ir malonesne forma (tai iš tikrųjų yra naujos įvedimo tikslas kintamasis- ir įrašyti lengviau
, ir lygties struktūra tampa aiškesnė):

O dabar mes panaudosime racionaliosios lygties sprendimo algoritmą.

1) Perkelkime visus lygties narius į vieną dalį:

= 0
2) Transformuokime kairę lygties pusę

Taigi, mes transformavome pateiktą lygtį į formą

3) Iš lygties - 7y 2 + 29y -4 = 0 randame (jau išsprendėme gana daug kvadratinių lygčių, todėl tikriausiai neverta visada vadovėlyje pateikti išsamių skaičiavimų).

4) Patikrinkime rastas šaknis naudodami sąlygą 5 (y - 3) (y + 1). Abi šaknys atitinka šią sąlygą.
Taigi naujojo kintamojo y kvadratinė lygtis išspręsta:
Kadangi y \u003d x 2 + Zx, o y, kaip nustatėme, įgyja dvi reikšmes: 4 ir, - vis tiek turime išspręsti dvi lygtis: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Pirmosios lygties šaknys yra skaičiai 1 ir - 4, antrosios lygties šaknys yra skaičiai

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose naujo kintamojo įvedimo būdas, kaip mėgsta sakyti matematikai, buvo adekvatus situacijai, tai yra, gerai ją atitiko. Kodėl? Taip, nes ta pati išraiška buvo aiškiai matoma lygties įraše kelis kartus ir buvo tikslinga šią išraišką pažymėti nauja raide. Bet taip būna ne visada, kartais naujas kintamasis „atsiranda“ tik transformacijų procese. Kaip tik tai atsitiks kitame pavyzdyje.

5 pavyzdys išspręskite lygtį
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Sprendimas. Mes turime
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Taigi pateiktą lygtį galima perrašyti kaip

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Dabar „pasirodė“ naujas kintamasis: y = x 2 – Zx.

Su jo pagalba lygtį galima perrašyti į formą y (y + 2) \u003d 24 ir tada y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Šios lygties šaknys yra skaičiai 4 ir -6.

Grįžtant prie pradinio kintamojo x gauname dvi lygtis x 2 - Zx \u003d 4 ir x 2 - Zx \u003d - 6. Iš pirmosios lygties randame x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; antroji lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: 4, - 1.

Pamokos turinys pamokos santrauka paramos rėmo pamokos pristatymo pagreitinimo metodai interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savianalizės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir multimedija nuotraukos, paveikslėliai grafika, lentelės, schemos humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai lustai smalsiems cheat sheets vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje vadovėlio fragmento atnaujinimas naujovių elementų pamokoje pasenusių žinių pakeitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis planas metams Gairės diskusijų programos Integruotos pamokos

Kaip jau žinoma (žr. ankstesnio skyriaus § 2), formos lygtis

kur racionalios funkcijos, iš kurių bent viena yra trupmeniškai racionali, vadinamos trupmenine racionalia lygtimi su vienu nežinomuoju.

Norėdami išspręsti (1) lygtį, perkeliame ją į kairę pusę, atliekame būtinus identiškos transformacijos ir parašykite pateiktą lygtį į formą

iš kur ir yra daugianariai

(2) lygtis yra (1) lygties pasekmė. Iš tiesų, jei yra (1) lygties sprendimas, tai atlikime visas šios lygybės transformacijas, kurias atlikome lygtyje. Gauname lygybę ir tai reiškia, kad c yra (2) lygties sprendimas.

Tačiau (2) lygtis nebūtinai yra lygiavertė (1) lygčiai. Transformuojant (1) lygtį, aibė leistinos vertės nežinomas gali keistis ir negali susiaurėti, bet gali plėstis,

ir tada (2) lygtis turės sprendinius, kurie yra pašaliniai (1) lygčiai. Taip atsitiks, kai transformuojant (1) lygtį kai kurios trupmeninės išraiškos yra viena kitai atšaukiamos arba sumažinamos algebrinės trupmenosį veiksnius, apimančius nežinomybę

Pavyzdžiui, atliekant lygtį

šias transformacijas gauname

(4) lygtis nėra lygiavertė (3) lygčiai. Iš tiesų, jis turi šaknis, antrasis iš jų yra pašalinis (3) lygčiai, nes išraiška neturi prasmės. Taip atsitiko todėl, kad kai (3) lygtis buvo transformuota, terminai vienas kitą panaikino

Kitos lygties transformavimas

Sumažinus trupmeną turėsime

(6) lygtis turi šaknį, kuri netenkina (5) lygties, nes jos kairioji pusė praranda prasmę, todėl (6) lygtis nėra lygiavertė (5) lygčiai. Taip atsitiko todėl, kad transformuodami pateiktą lygtį, mes sumažinome algebrinę trupmeną

Taigi (2) lygtis yra (1) lygties pasekmė, bet nebūtinai jai lygiavertė; iš to seka, kad (1) lygties sprendinių reikia ieškoti tarp (2) lygties sprendinių. (2) lygties sprendiniais gali būti tik tos reikšmės, kurioms esant ji lygi nuliui, t.y. tik lygties sprendiniai, o tai reiškia, kad (1) lygties sprendinių reikia ieškoti tarp lygties sprendinių.

Todėl, norint išspręsti (1) lygtį, pakanka nustatyti visas lygties šaknis ir tada, tiesiogiai jas pakeitus į (1) lygtį, išsiaiškinti, kurios iš jų yra duotosios (1) lygties šaknys.

Mūsų samprotavimus galima trumpai suformuluoti kaip šią trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo taisyklę.

Išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis

su vienu nežinomu jums reikia:

1) perkelkite visus jo narius į kairę pusę;

2) atlikti reikiamas identiškas transformacijas ir į formą parašyti pateiktą lygtį

iš kur ir yra daugianariai

3) išspręskite lygtį

4) pakeisdami lygties sprendinius į pradinę lygtį, nustatykite, kurie iš jų tenkina duotą lygtį.

Pavyzdys. išspręskite lygtį

Perkeldami visus terminus į kairę pusę ir sumažindami juos iki bendro vardiklio, gauname:

Kairiosios pusės skaitiklį prilyginę nuliui, turėsime lygtį

Pirmasis iš šių sprendinių yra pašalinis iš pateiktos lygties, o antrasis ją tenkina.

Atkreipkite dėmesį, kad į mokyklos praktika dažnai, sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis, abi duotosios lygties dalys dauginamos iš visų algebrinių trupmenų, įeinančių į kairę ir dešinę lygties puses, bendro vardiklio ir tada sprendžiama tokiu būdu gauta lygtis. Akivaizdu, kad gauta algebrinė lygtis yra duotosios lygties pasekmė, bet nėra jai lygiavertė.

Todėl ieškant sprendimų šiam klausimui algebrinė lygtis, būtina juos pakeičiant į pateiktą lygtį, siekiant nustatyti, kurie iš jų bus duotosios lygties sprendiniai.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Pagalbos vadovas

Racionaliosios lygtys yra lygtys, kurių kairėje ir dešinėje pusėse yra racionalios išraiškos.

(Prisiminkime: racionalios išraiškos yra sveikosios ir trupmeninės išraiškos be radikalų, įskaitant sudėties, atimties, daugybos ar padalijimo operacijas, pvz.: 6x; (m - n) 2; x / 3y ir tt)

Trupmeninės ir racionalios lygtys, kaip taisyklė, redukuojamos į formą:

Kur P(x) Ir K(x) yra daugianariai.

Norėdami išspręsti tokias lygtis, padauginkite abi lygties puses iš Q(x), todėl gali atsirasti pašalinių šaknų. Todėl sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis, būtina patikrinti rastas šaknis.

Racionalioji lygtis vadinama sveikuoju skaičiumi arba algebrine, jei ji nėra padalinta iš išraiškos, kurioje yra kintamasis.

Visos racionalios lygties pavyzdžiai:

5x - 10 = 3 (10 - x)

3x
-=2x-10
4

Jei racionaliojoje lygtyje yra dalijimasis iš išraiškos, kurioje yra kintamasis (x), tada lygtis vadinama trupmenine racionalia.

Trupmeninės racionalios lygties pavyzdys:

15
x + - = 5x - 17
x

Trupmeninės racionalios lygtys paprastai sprendžiamos taip:

1) suraskite bendrą trupmenų vardiklį ir padauginkite iš jo abi lygties dalis;

2) išspręskite gautą visą lygtį;

3) iš savo šaknų išbraukti tuos, kurie bendrąjį trupmenų vardiklį paverčia nuliu.

Sveikųjų skaičių ir trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžiai.

1 pavyzdys. Išspręskite visą lygtį

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Sprendimas:

Mažiausio bendro vardiklio radimas. Tai yra 6. Padalinkite 6 iš vardiklio ir padauginkite rezultatą iš kiekvienos trupmenos skaitiklio. Gauname lygtį, lygiavertę šiai:

3 (x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Kadangi vardiklis kairėje ir dešinėje pusėse yra tas pats, jo galima praleisti. Tada turime paprastesnę lygtį:

3 (x - 1) + 4x = 5x.

Tai išsprendžiame atidarydami skliaustus ir sumažindami panašius terminus:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Pavyzdys išspręstas.

2 pavyzdys. Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Mes randame bendrą vardiklį. Tai x(x - 5). Taigi:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Dabar vėl atsikratome vardiklio, nes jis yra vienodas visoms išraiškoms. Sumažiname panašius terminus, lygtį prilyginame nuliui ir gauname kvadratinę lygtį:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Išsprendę kvadratinę lygtį, randame jos šaknis: -2 ir 5.

Patikrinkime, ar šie skaičiai yra pradinės lygties šaknys.

Jei x = –2, bendras vardiklis x(x – 5) neišnyksta. Taigi -2 yra pradinės lygties šaknis.

Kai x = 5, bendras vardiklis išnyksta, o dvi iš trijų posakių praranda prasmę. Taigi skaičius 5 nėra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: x = -2

Daugiau pavyzdžių

1 pavyzdys

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Atsakymas: -2,2; 6.

2 pavyzdys

Racionaliosios lygtys yra lygtys, kuriose yra racionalių išraiškų.

1 apibrėžimas

Šiuo atveju racionalios išraiškos yra išraiškos, kurias galima parašyti formoje bendroji trupmena formos $\frac(m)(n)$, o $m$ ir $n$ yra sveikieji skaičiai ir $n$ negali būti lygus nuliui. Racionalios išraiškos apima ne tik išraiškas, kuriose yra $\frac(2)(3)$ formos trupmenos, bet ir išraiškas, kuriose yra tik sveikieji skaičiai, nes bet kuris sveikasis skaičius gali būti vaizduojamas kaip netinkama trupmena.

Dabar pažvelkime atidžiau, kas yra racionalios lygtys.

Kaip minėjome aukščiau, racionalios lygtys yra lygtys, kuriose yra racionalių išraiškų ir kintamųjų.

Atsižvelgiant į kintamojo vietą racionaliojoje lygtyje, tai gali būti trupmeninė racionali lygtis arba visa racionali lygtis.

Trupmenų lygtyse gali būti trupmena su kintamuoju tik vienoje lygties dalyje, o visose lygtyse nėra trupmeninių išraiškų su kintamuoju.

Visų racionalių lygčių pavyzdžiai: $5x+2=12$; $3m=-7(-4m + 5)$; $7a-14=256$.

Trupmeninių-racionalių lygčių pavyzdžiai: $\frac(3x-2)(x+3)+\frac(1)(2)=\frac(5)(x)$; $\frac(7)(2y-3)=5$;

Verta paminėti, kad tik lygtys, kurių vardiklyje yra trupmena, vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, nes lygtys, kuriose yra trupmeninių išraiškų be kintamųjų, gali būti lengvai redukuojamos į tiesines sveikųjų skaičių lygtis.

Kaip išspręsti racionalias lygtis?

Priklausomai nuo to, ar jūs susiduriate su sveikųjų skaičių racionalia lygtimi, ar su trupmena, jai išspręsti naudojami šiek tiek skirtingi algoritmai.

Algoritmas ištisoms racionaliosioms lygtims spręsti

1. Pirmiausia turite nustatyti mažiausią visos lygybės bendrą vardiklį.
2. Tada reikia nustatyti veiksnius, iš kurių reikia padauginti kiekvieną lygybės narį.
3. Kitas etapas – visos lygybės sumažinimas iki bendro vardiklio.
4. Galiausiai gautos sveikųjų skaičių racionalios lygybės šaknų paieškos įgyvendinimas.

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį: $\frac(5x+9)(2)=\frac(x)(4)$

Pirmiausia suraskime bendrą veiksnį – šiuo atveju skaičių $4$. Norėdami atsikratyti vardiklio, kairę pusę padauginkite iš $\frac(2)(2)$, gausime:

$10x+18=x$ – gauta lygtis tiesinė, jos šaknis $x=-2$.

Kaip išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis?

Trupmeninių racionaliųjų lygčių atveju sprendinių tvarka yra panaši į sveikųjų racionaliųjų sprendimo algoritmą, tai yra išsaugomi taškai 1-4, tačiau suradus laukiamas šaknis, naudojant neekvivalentes transformacijas šaknys turi būti patikrintos pakeičiant į lygtį.

2 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį: $\frac(x-3)(x-5)+\frac(1)(x)=\frac(x+5)(x \cdot (x-5))$

Norėdami sumažinti trupmeną iki bendro vardiklio, čia yra $x \cdot (x-5)$, kiekvieną trupmeną padauginame iš vieneto, vaizduojama kaip veiksnys, būtinas redukuoti iki bendro vardiklio:

$\frac((x-3) \cdot x)((x-5)\cdot x)+\frac(1 \cdot (x-5))(x \cdot (x-5))=\frac( x+5)(x \cdot (x-5))$

Dabar, kai visa trupmena turi bendrą vardiklį, galite jo atsikratyti:

$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$

$x^2 - 3x+x-5 = x+5$

Naudokime Vietos teoremą, kad išspręstume gautą kvadratinę lygtį:

$\begin(cases) x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end(cases)$

$\begin(cases) x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end(cases)$

Kadangi lygties supaprastinimui naudojama transformacija nėra lygiavertė, gautas šaknis reikia patikrinti pradinėje lygtyje, todėl jas pakeičiame:

$\frac(-2-3)(-2-5) +\frac(1)(-2)=\frac(-2+5)((-2) \cdot (-2-5))$

$\frac(5)(7)-\frac(1)(2)=\frac(3)(14)$

$\frac(3)(14)=\frac(3)(14)$ – vadinasi, šaknis $x_2=-2$ yra teisinga.

$\frac(5-3)(5-5) +\frac(1)(5)=\frac(5+5)((-2) \cdot (5-5))$

Čia iš karto aišku, kad vardiklyje susidaro nulis, todėl šaknis $x_1=5$ yra autsaideris.

Reikia atsiminti, kad jei lygtis, kurioje yra $\frac(m)(n)$ formos išraiška kairėje arba dešinėje pusėje, yra lygi nuliui, tik trupmenos skaitiklis gali būti lygus nuliui. Taip yra dėl to, kad jei kur nors vardiklyje susidaro nulis, tikrinama šaknis nėra lygties šaknis, nes visa lygybė šiuo atveju praranda prasmę. Šaknys, kurios atneša vardiklį į nulį, vadinamos pašalinėmis.

Jei trupmeninė-racionali lygtis turi gana sudėtingą formą, jos tolesniam supaprastinimui ir sprendimui galima panaudoti lygties dalies pakeitimą nauju kintamuoju, tikriausiai jau matėte tokių trupmeninių-racionalių lygčių pavyzdžių:

3 pavyzdys

Išspręskite lygtį:

$\frac(1)(x^2+3x-3)+\frac(2)(x^2+3x+1)=\frac(7)(5)$

Norėdami supaprastinti sprendimą, pristatome kintamąjį $t= x^2+3x$:

$\frac(1)(t-3)+\frac(2)(t+1)=\frac(7)(5)$

Bendras vardiklis čia yra $5 \cdot (t-3)(t+1)$, visas lygties dalis padauginame iš reikalingų faktorių, kad jos atsikratytume:

$\frac(5(t+1))(5(t-3)(t+1))+\frac(2 \cdot 5(t-3))(5(t+1)(t-3) )=\frak(7(t+1)(t-3))(5(t-3)(t+1))$

5 USD(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$

$5t+5+10t-30=7(t^2-3t+t-3)$

$15t-25=7t^2-14t-21$

Per diskriminantą apskaičiuojame šaknis:

$t_1=4;t_2=\frac(1)(7)$

Kadangi naudojome neekvivalentes transformacijas, reikia patikrinti gautas šaknis vardiklyje, jos turi tenkinti sąlygą $5(t-3)(t+1)≠0$. Abi šaknys atitinka šią sąlygą.

Dabar gautomis šaknimis pakeičiame $t$ ir gauname dvi lygtis:

$x^2+3x=4$ ir $x^2+3x=\frac(1)(7)$.

Pagal Vietos teoremą pirmosios lygties šaknys $x_1=-4; x_2=1$, apskaičiuojame antrojo šaknis pagal diskriminantą ir gauname $x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(\frac(67)(7)))(2) $.

Visos lygties šaknys bus: $x_1=-4; x_2=1, x_(3,4)=\frac(-3±\sqrt(\frac(67)(7)))(2)$.

Transformacijos, skirtos supaprastinti lygties formą

Kaip matote aukščiau, racionaliosioms lygtims išspręsti naudojamos įvairios transformacijos.

Yra dviejų tipų lygčių transformacijos: lygiavertės (identiškos) ir nelygios.

Transformacijos vadinamos lygiavertėmis, jei jos veda į naujo tipo lygtį, kurios šaknys yra tokios pačios kaip ir originalios.

Tapatybės transformacijos, kurias galima naudoti norint pakeisti pradinės lygties formą be jokių papildomų patikrinimų, yra šios:

• Visos lygties padauginimas arba padalijimas iš kokio nors ne nulio skaičiaus;
• Lygties dalių perkėlimas iš kairės pusės į dešinę ir atvirkščiai.

Neekvivalentiškos transformacijos – tai transformacijos, kurių metu gali atsirasti pašalinių šaknų. Nelygiaverčiai transformacijos apima:

• Abiejų lygties pusių kvadratūra;
• Atsikratyti vardiklių, kuriuose yra kintamasis;

Racionalių lygčių, išspręstų naudojant neekvivalentes transformacijas, šaknis reikia patikrinti pakeičiant pradinę lygtį, nes neekvivalentiškų transformacijų metu gali atsirasti pašalinių šaknų. Nelygiavertės transformacijos ne visada sukelia pašalinių šaknų atsiradimą, tačiau vis dėlto būtina į tai atsižvelgti.

Racionaliųjų lygčių, kurių galios didesnės nei dvi, sprendimas

Dažniausiai naudojami lygčių, kurių galios didesnės nei dvi, sprendimo metodai yra kintamojo keitimo metodas, kurį aptarėme aukščiau, naudodami trupmeninės racionalios lygties pavyzdį, taip pat faktorizavimo metodą.

Leiskite mums išsamiau apsvarstyti faktorizavimo metodą.

Pateikiama $P(x)= 0$ formos lygtis, kur $P(x)$ yra daugianario laipsnis didesnis už du. Jei šią lygtį galima suskaidyti taip, kad ji būtų $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, tada šios lygties sprendimas yra sprendinių rinkinys lygtys $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0...P_n(x)=0$.

Neprisimenantiems: laisvasis lygties narys – lygčių narys, kuriame nėra kintamojo kaip veiksnio. Tuo pačiu metu, radus vieną iš tokios lygties šaknų, ją galima panaudoti tolimesniam lygties faktorinizavimui.

5 pavyzdys

Išspręskite lygtį:

Laisvojo termino dalikliai bus skaičiai $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ ir $±24$. Kai jie buvo patikrinti, $x=2$ pasirodė tinkama šaknis. Tai reiškia, kad šį daugianarį galima išplėsti naudojant šią šaknį: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.

Antroje šaknies skliaustų poroje esantis polinomas neturi šaknų, o tai reiškia, kad vienintelė šios lygties šaknis bus $x=2$.

Kitas lygčių tipas, kurio laipsnis didesnis nei du, yra bi kvadratines lygtis formos $ax^4+bx^2+ c=0$. Tokios lygtys išsprendžiamos pakeičiant $x^2$ į $y$, ją pritaikius gauname $ay^2+y+c=0$ formos lygtį, o tada gaunama naujo kintamojo reikšmė naudojama apskaičiuokite pradinį kintamąjį.

Taip pat yra dar vienas lygties tipas, vadinamas grąžinamas. Tokios lygtys atrodo taip: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Tokį pavadinimą jie turi dėl aukštesnių ir žemesnių laipsnių koeficientų pasikartojimo.