Tiesinių lygčių sistemos nustatymo metodas. Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas, sprendimo būdai, pavyzdžiai
Tiesinių algebrinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimas neabejotinai yra svarbiausia tiesinės algebros kurso tema. Puiki suma visų matematikos šakų uždaviniai redukuojami iki sistemų sprendimo tiesines lygtis. Šie veiksniai paaiškina šio straipsnio kūrimo priežastį. Straipsnio medžiaga parinkta ir susisteminta taip, kad jos pagalba galėtumėte
- pasirinkti optimalų metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti,
- studijuoti pasirinkto metodo teoriją,
- Išspręskite savo tiesinių lygčių sistemą, išsamiai apsvarstę tipinių pavyzdžių ir uždavinių sprendimus.
Trumpas straipsnio medžiagos aprašymas.
Pirmiausia pateikiame visus reikiamus apibrėžimus, sąvokas ir įvedame tam tikrą žymėjimą.
Toliau nagrinėjame linijinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir kurios turi unikalų sprendimą, sprendimo būdus. Pirma, sutelkime dėmesį į Cramerio metodą, antra, parodysime matricos metodą tokioms lygčių sistemoms spręsti, ir trečia, analizuosime Gauso metodą (nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo metodą). Siekdami įtvirtinti teoriją, tikrai įvairiais būdais išspręsime keletą SLAE.
Po to pereiname prie tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo bendras vaizdas, kurioje lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra išsigimusi. Suformuluojame Kronecker-Capelli teoremą, kuri leidžia nustatyti SLAE suderinamumą. Panagrinėkime sistemų sprendimą (jų suderinamumo atveju) naudodami matricos bazinio minoro sąvoką. Taip pat apsvarstysime Gauso metodą ir išsamiai apibūdinsime pavyzdžių sprendimus.
Būtinai apsistokite ties vienarūšių ir nehomogeniškų tiesinių algebrinių lygčių sistemų bendrojo sprendimo struktūra. Pateiksime pamatinės sprendinių sistemos sampratą ir parodykime, kaip bendrasis SLAE sprendimas parašytas naudojant pamatinės sprendinių sistemos vektorius. Norėdami geriau suprasti, pažvelkime į keletą pavyzdžių.
Apibendrinant, nagrinėjame lygčių sistemas, kurios yra redukuotos į tiesines, taip pat įvairias problemas, kurias sprendžiant kyla SLAE.
Puslapio naršymas.
Apibrėžimai, sąvokos, pavadinimai.
Nagrinėsime p tiesinių algebrinių lygčių sistemas su n nežinomų kintamųjų (p gali būti lygus n ) formos
Nežinomi kintamieji, - koeficientai (kai kurie realūs arba kompleksiniai skaičiai), - laisvieji nariai (taip pat realieji arba kompleksiniai skaičiai).
Ši SLAE forma vadinama koordinuoti.
AT matricos formaši lygčių sistema turi formą,
kur - pagrindinė sistemos matrica, - nežinomų kintamųjų matrica-stulpelis, - laisvųjų narių matrica-stulpelis.
Jei prie matricos A kaip (n + 1)-ąjį stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricos stulpelį, tai gausime vadinamąją. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai padidinta matrica žymima raide T, o laisvųjų narių stulpelis yra atskirtas vertikalia linija nuo likusių stulpelių, tai yra,
Sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemą vadinamas nežinomų kintamųjų reikšmių rinkiniu, kuris visas sistemos lygtis paverčia tapatybėmis. Nurodytų nežinomų kintamųjų verčių matricos lygtis taip pat virsta tapatybe.
Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendinį, tada ji vadinama Bendras.
Jei lygčių sistema neturi sprendinių, tada ji vadinama nesuderinamas.
Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras; jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada - neapibrėžtas.
Jei visų sistemos lygčių laisvieji nariai lygūs nuliui , tada sistema iškviečiama vienalytis, kitaip - nevienalytis.
Elementariųjų tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.
Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir jos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui, vadinsime tokias SLAE elementarus. Tokios lygčių sistemos turi unikalų sprendimą, o vienalytės sistemos atveju visi nežinomi kintamieji yra lygūs nuliui.
Mes pradėjome mokytis tokio SLAE vidurinėje mokykloje. Jas spręsdami paėmėme vieną lygtį, vieną nežinomą kintamąjį išreiškėme kitomis ir pakeitėme į likusias lygtis, tada paėmėme kitą lygtį, išreiškėme kitą nežinomą kintamąjį ir pakeitėme į kitas lygtis ir pan. Arba jie naudojo pridėjimo metodą, ty pridėjo dvi ar daugiau lygčių, kad pašalintų kai kuriuos nežinomus kintamuosius. Mes nenagrinėsime šių metodų išsamiai, nes jie iš esmės yra Gauso metodo modifikacijos.
Pagrindiniai elementariųjų tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai yra Cramerio metodas, matricinis metodas ir Gauso metodas. Sutvarkykime juos.
Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Cramerio metodu.
Išspręskime tiesinių algebrinių lygčių sistemą
kurioje lygčių skaičius lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o sistemos pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio, tai yra, .
Leisti būti pagrindinės sistemos matricos determinantas ir yra determinantai matricų, kurios gaunamos iš A pakeičiant 1, 2, …, n stulpelyje atitinkamai į laisvųjų narių stulpelį:
Su tokiu žymėjimu nežinomi kintamieji apskaičiuojami pagal Cramerio metodo formules as . Taip Kramerio metodu randamas tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas.
Pavyzdys.
Cramerio metodas .
Sprendimas.
Pagrindinė sistemos matrica turi formą . Apskaičiuokite jo determinantą (jei reikia, žr. straipsnį):
Kadangi sistemos pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio, sistema turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti Cramerio metodu.
Sudarykite ir apskaičiuokite reikiamus determinantus (determinantas gaunamas pakeitus pirmąjį A matricos stulpelį laisvųjų narių stulpeliu, determinantas - pakeitus antrąjį stulpelį laisvųjų narių stulpeliu, - pakeitus trečią matricos A stulpelį laisvųjų narių stulpeliu ):
Nežinomų kintamųjų paieška naudojant formules :
Atsakymas:
Pagrindinis Cramerio metodo trūkumas (jei jį galima pavadinti trūkumu) yra determinantų skaičiavimo sudėtingumas, kai sistemos lygčių skaičius yra didesnis nei trys.
Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas matriciniu metodu (naudojant atvirkštinę matricą).
Tegul tiesinių algebrinių lygčių sistema pateikiama matricos forma , kur matricos A matmenys yra n x n, o jos determinantas nėra lygus nuliui.
Kadangi , Tada matrica A yra apverčiama, tai yra, yra atvirkštinė matrica . Jei abi lygybės puses padauginsime iš kairės, tai gausime formulę nežinomų kintamųjų stulpelio matricai rasti. Taigi gavome tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą matricos metodu.
Pavyzdys.
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą matricos metodas.
Sprendimas.
Perrašykime lygčių sistemą matricine forma:
Nes
tada SLAE galima išspręsti matricos metodu. Naudojant atvirkštinę matricą, šios sistemos sprendimą galima rasti kaip .
Sukurkime atvirkštinę matricą naudodami matricos A elementų algebrinių komplementų matricą (jei reikia, žr. straipsnį):
Belieka paskaičiuoti – nežinomų kintamųjų matricą padauginus atvirkštinę matricą laisvų narių matricos stulpelyje (jei reikia, žr. straipsnį):
Atsakymas:
arba kitu žymėjimu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Pagrindinė problema ieškant sprendimų tiesinių algebrinių lygčių sistemoms matricos metodu yra atvirkštinės matricos paieškos sudėtingumas, ypač kvadratinėms matricoms, kurių eilė aukštesnė už trečiąją.
Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu.
Tarkime, kad turime rasti n tiesinių lygčių su n nežinomų kintamųjų sistemos sprendimą
kurios pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.
Gauso metodo esmė susideda iš nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo: pirma, x 1 neįtraukiamas į visas sistemos lygtis, pradedant nuo antrosios, tada x 2 neįtraukiamas iš visų lygčių, pradedant nuo trečiosios ir tt, kol tik nežinomas kintamasis. x n lieka paskutinėje lygtyje. Toks sistemos lygčių transformavimo procesas, skirtas nuosekliai pašalinti nežinomus kintamuosius, vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Užbaigus Gauso metodo vykdymą pirmyn, x n randamas pagal paskutinę lygtį, x n-1 apskaičiuojamas iš priešpaskutinės lygties, naudojant šią reikšmę, ir taip toliau, x 1 randamas iš pirmosios lygties. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas, pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.
Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.
Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Nežinomą kintamąjį x 1 pašaliname iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį, padaugintą iš, pridėkite prie antrosios sistemos lygties, pirmąją, padaugintą iš, pridėkite prie trečiosios lygties ir taip toliau, pridėkite pirmąją, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą
kur .
Gautume tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje x 1 išreikštume kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeistume visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.
Toliau elgiamės panašiai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pažymėta paveikslėlyje
Norėdami tai padaryti, antrą lygtį, padaugintą iš, pridėkite prie trečiosios sistemos lygties, antrąją, padaugintą iš, pridėkite prie ketvirtosios lygties ir taip toliau, pridėkite antrąją, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą
kur . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.
Toliau mes pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, elgdamiesi panašiai su paveiksle pažymėta sistemos dalimi
Taigi tęsiame tiesioginę Gauso metodo eigą, kol sistema įgaus formą
Nuo šio momento pradedame atvirkštinę Gauso metodo eigą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudodamiesi gauta x n reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties, ir taip toliau, randame x 1 iš pirmoji lygtis.
Pavyzdys.
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodas.
Sprendimas.
Išskirkime nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, prie abiejų antrosios ir trečiosios lygčių dalių pridedame atitinkamas pirmosios lygties dalis, padaugintas atitinkamai iš ir iš:
Dabar iš trečiosios lygties neįtraukiame x 2, prie jos kairės ir dešinės dalių pridėdami kairę ir dešinę antrosios lygties dalis, padaugintą iš:
Tuo baigiamas Gauso metodo į priekį kursas, pradedame atvirkštinį kursą.
Iš gautos lygčių sistemos paskutinės lygties randame x 3:
Iš antrosios lygties gauname .
Iš pirmosios lygties randame likusį nežinomą kintamąjį ir tai užbaigia atvirkštinę Gauso metodo eigą.
Atsakymas:
X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.
Bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.
Bendruoju atveju sistemos p lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų n skaičiumi:
Tokie SLAE gali neturėti sprendimų, turėti vieną sprendimą arba turėti be galo daug sprendimų. Šis teiginys taip pat taikomas lygčių sistemoms, kurių pagrindinė matrica yra kvadratinė ir išsigimusi.
Kronecker-Capelli teorema.
Prieš randant tiesinių lygčių sistemos sprendimą, būtina nustatyti jos suderinamumą. Pateikiamas atsakymas į klausimą, kada SLAE suderinamas, o kada nesuderinamas Kronecker-Capelli teorema:
kad p lygčių sistema su n nežinomųjų (p gali būti lygi n ) būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos pagrindinės matricos rangas būtų lygus išplėstinės matricos rangui, tai yra Rank( A)=Reitingas(T) .
Kaip pavyzdį panagrinėkime Kronecker-Capelli teoremos taikymą tiesinių lygčių sistemos suderinamumui nustatyti.
Pavyzdys.
Sužinokite, ar tiesinių lygčių sistema turi sprendimus.
Sprendimas.
. Naudokime nepilnamečių ribojimo metodą. Antrosios eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Panagrinėkime jį supančius trečios eilės nepilnamečius:
Kadangi visi besiribojantys trečios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, pagrindinės matricos rangas yra du.
Savo ruožtu padidintos matricos rangas yra lygus trims, nes trečios eilės nepilnametis
skiriasi nuo nulio.
Šiuo būdu, Diapazonas(A) , todėl pagal Kronecker-Capelli teoremą galime daryti išvadą, kad pradinė tiesinių lygčių sistema yra nenuosekli.
Atsakymas:
Sprendimo sistemos nėra.
Taigi, mes išmokome nustatyti sistemos nenuoseklumą naudodami Kronecker-Capelli teoremą.
Bet kaip rasti SLAE sprendimą, jei nustatytas jo suderinamumas?
Norėdami tai padaryti, mums reikia matricos pagrindinio minoro sampratos ir matricos rango teoremos.
Nepilnametis aukščiausia tvarka vadinama matrica A, kuri yra ne nulis pagrindinis.
Iš bazinio minoro apibrėžimo matyti, kad jo eilė lygi matricos rangui. Nenulinėje matricoje A gali būti keli pagrindiniai minorai; visada yra vienas pagrindinis minoras.
Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą .
Visi šios matricos trečiosios eilės mažieji yra lygūs nuliui, nes šios matricos trečiosios eilės elementai yra atitinkamų pirmosios ir antrosios eilučių elementų suma.
Šie antros eilės nepilnamečiai yra pagrindiniai, nes jie nėra lygūs nuliui
Nepilnamečiai nėra pagrindiniai, nes jie lygūs nuliui.
Matricos rango teorema.
Jei matricos, kurios eilės p pagal n, rangas yra r, tai visi matricos eilučių (ir stulpelių) elementai, kurie nesudaro pasirinkto pagrindinio mažojo, yra tiesiškai išreiškiami atitinkamais eilučių (ir stulpelių) elementais. ), kurie sudaro pagrindinį nepilnametį.
Ką mums suteikia matricos rango teorema?
Jei Kronecker-Capelli teorema nustatėme sistemos suderinamumą, tada pasirenkame bet kurį pagrindinį pagrindinės sistemos matricos minorą (jos eilė lygi r) ir iš sistemos pašaliname visas lygtis, kurios sudaryti pasirinktą pagrindinį minorą. Tokiu būdu gautas SLAE bus lygiavertis pradiniam, nes išmestos lygtys vis dar yra perteklinės (pagal matricos rango teoremą, tai yra tiesinis likusių lygčių derinys).
Dėl to, atmetus perteklines sistemos lygtis, galimi du atvejai.
Jei lygčių skaičius r gautoje sistemoje yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, tada jis bus apibrėžtas ir vienintelis sprendimas gali būti rastas Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.
Pavyzdys.
.
Sprendimas.
Sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus dviem, nes antros eilės minorinis skiriasi nuo nulio. Išplėstinis matricos rangas taip pat yra lygus dviem, nes vienintelis trečiosios eilės minoras yra lygus nuliui
o pirmiau aptartas antros eilės minoras skiriasi nuo nulio. Remiantis Kronecker-Capelli teorema, galima teigti pirminės tiesinių lygčių sistemos suderinamumą, nes Rank(A)=Rank(T)=2 .
Kaip pagrindą imamės nepilnamečio . Jį sudaro pirmosios ir antrosios lygčių koeficientai:
Trečioji sistemos lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį minorą, todėl ją ištraukiame iš sistemos pagal matricos rango teoremą:
Taip gavome elementarią tiesinių algebrinių lygčių sistemą. Išspręskime tai Cramerio metodu:
Atsakymas:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Jei lygčių skaičius r gautoje SLAE mažesnis už skaičių nežinomų kintamųjų n, tada kairėje lygčių pusėje paliekame pagrindą sudarančius narius mažuosius, o likusius narius perkeliame į dešinę sistemos lygčių pusę su priešingu ženklu.
Nežinomi kintamieji (jų yra r), likę kairėje lygčių pusėje, vadinami pagrindinis.
Nežinomi kintamieji (jų yra n - r), kurie atsidūrė dešinėje pusėje, vadinami Laisvas.
Dabar darome prielaidą, kad laisvieji nežinomi kintamieji gali turėti savavališkas reikšmes, o r pagrindiniai nežinomi kintamieji bus išreikšti laisvaisiais nežinomais kintamaisiais unikaliu būdu. Jų išraišką galima rasti išsprendus gautą SLAE Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.
Paimkime pavyzdį.
Pavyzdys.
Išspręskite tiesinių algebrinių lygčių sistemą .
Sprendimas.
Raskite pagrindinės sistemos matricos rangą besiribojančių nepilnamečių metodu. Paimkime 1 1 = 1 kaip nulinį pirmos eilės mažąjį. Pradėkime ieškoti ne nulio antros eilės nepilnamečio, kuris supa šį nepilnametį:
Taigi radome ne nulį antros eilės minorą. Pradėkime ieškoti ne nulio besiribojančio trečios eilės nepilnamečio:
Taigi pagrindinės matricos rangas yra trys. Papildytos matricos rangas taip pat lygus trims, tai yra, sistema yra nuosekli.
Rastas ne nulis trečios eilės minoras bus laikomas baziniu.
Aiškumo dėlei parodome elementus, kurie sudaro pagrindinį mažąjį:
Terminus, dalyvaujančius pagrindiniame minore, paliekame kairėje sistemos lygčių pusėje, o likusius su priešingais ženklais perkeliame į dešines:
Mes suteikiame laisvus nežinomus kintamuosius x 2 ir x 5 savavališkas reikšmes, tai yra, imame , kur yra savavališki skaičiai. Šiuo atveju SLAE įgauna formą
Gautą elementariąją tiesinių algebrinių lygčių sistemą sprendžiame Cramerio metodu:
Vadinasi,.
Atsakyme nepamirškite nurodyti laisvų nežinomų kintamųjų.
Atsakymas:
Kur yra savavališki skaičiai.
Apibendrinti.
Norėdami išspręsti bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemą, pirmiausia išsiaiškiname jos suderinamumą naudodamiesi Kronecker-Capelli teorema. Jei pagrindinės matricos rangas nėra lygus išplėstinės matricos rangui, tada darome išvadą, kad sistema yra nenuosekli.
Jei pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, tada pasirenkame pagrindinį minorą ir atmetame sistemos lygtis, kurios nedalyvauja formuojant pasirinktą pagrindinį minorą.
Jei pagrindinės mažosios eilės tvarka yra lygi nežinomų kintamųjų skaičiui, tai SLAE turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti bet kuriuo mums žinomu metodu.
Jei pagrindinės mažosios eilės tvarka yra mažesnė už nežinomų kintamųjų skaičių, tai kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame terminus su pagrindiniais nežinomais kintamaisiais, likusius narius perkeliame į dešines ir suteikiame savavališkas reikšmes į laisvus nežinomus kintamuosius. Iš gautos tiesinių lygčių sistemos pagrindinius nežinomus kintamuosius randame Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.
Gauso metodas bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti.
Naudojant Gauso metodą, galima išspręsti bet kokios rūšies tiesinių algebrinių lygčių sistemas be išankstinio jų suderinamumo tyrimo. Nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo procesas leidžia padaryti išvadą apie SLAE suderinamumą ir nenuoseklumą, o jei yra sprendimas, jį galima rasti.
Skaičiavimo požiūriu pirmenybė teikiama Gauso metodui.
Ziurek Išsamus aprašymas ir analizavo pavyzdžius straipsnyje Gauso metodas sprendžiant bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemas.
Vienarūšių ir nehomogeninių tiesinių algebrinių sistemų bendrojo sprendinio fiksavimas naudojant pamatinės sprendinių sistemos vektorius.
Šiame skyriuje mes sutelksime dėmesį į jungtines vienarūšes ir nehomogenines tiesinių algebrinių lygčių sistemas, turinčias begalinį sprendinių skaičių.
Pirmiausia panagrinėkime vienarūšes sistemas.
Fundamentali sprendimų sistema Homogeninė p tiesinių algebrinių lygčių sistema su n nežinomų kintamųjų yra (n – r) tiesiškai nepriklausomų šios sistemos sprendinių aibė, kur r yra pagrindinės sistemos matricos bazinio minoro eilė.
Jei tiesiškai nepriklausomus vienalytės SLAE sprendimus pažymėsime kaip X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) yra n matmenų matricų stulpeliai 1 ) , tada šios vienalytės sistemos bendras sprendinys pavaizduotas kaip tiesinė pagrindinės sprendinių sistemos vektorių kombinacija su savavališkais pastoviais koeficientais С 1 , С 2 , …, С (n-r), tai yra, .
Ką reiškia terminas homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos bendrasis sprendimas (oroslau)?
Reikšmė paprasta: formulė apibrėžia visus galimus pradinio SLAE sprendimus, kitaip tariant, pagal formulę mes imame bet kokį savavališkų konstantų C 1 , C 2 , ..., C (n-r) reikšmių rinkinį. gaus vieną iš originalaus vienalyčio SLAE sprendinių.
Taigi, jei rasime pagrindinę sprendinių sistemą, visus šio vienalyčio SLAE sprendimus galime nustatyti kaip .
Parodykime pagrindinės vienalytės SLAE sprendimų sistemos konstravimo procesą.
Parenkame pradinės tiesinių lygčių sistemos pagrindinį minorą, iš sistemos išbraukiame visas kitas lygtis, o į dešinę sistemos lygčių pusę su priešingais ženklais perkeliame visus terminus, kuriuose yra laisvųjų nežinomų kintamųjų. Laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteikime reikšmes 1,0,0,…,0 ir apskaičiuokime pagrindinius nežinomuosius, bet kokiu būdu išspręsdami gautą elementarią tiesinių lygčių sistemą, pavyzdžiui, Cramerio metodu. Taigi bus gautas X (1) – pirmasis pagrindinės sistemos sprendimas. Jei laisviesiems nežinomiesiems duosime reikšmes 0,1,0,0,…,0 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (2) . Ir taip toliau. Jei laisviesiems nežinomiems kintamiesiems duosime reikšmes 0,0,…,0,1 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (n-r) . Taip bus sukonstruota pamatinė vienalytės SLAE sprendinių sistema ir jos bendras sprendimas gali būti parašytas forma .
Nehomogeninėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms bendras sprendimas pavaizduotas kaip
Pažiūrėkime į pavyzdžius.
Pavyzdys.
Raskite pagrindinę sprendinių sistemą ir bendrą homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą .
Sprendimas.
Vienarūšių tiesinių lygčių sistemų pagrindinės matricos rangas visada yra lygus išplėstinės matricos rangui. Raskime pagrindinės matricos rangą nepilnamečių ribojimo metodu. Kaip pirmos eilės minorą, imame pagrindinės sistemos matricos elementą a 1 1 = 9. Raskite antrosios eilės besiribojantį ne nulį mažą:
Randamas antros eilės minoras, kitoks nei nulis. Pereikime per trečios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo, ieškodami nulinio vieneto:
Visi besiribojantys trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, todėl pagrindinės ir išplėstinės matricos rangas yra du. Paimkime pagrindinį minorą. Aiškumo dėlei atkreipiame dėmesį į ją sudarančius sistemos elementus:
Trečioji originalios SLAE lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį minorą, todėl ją galima atmesti:
Sąvokas, kuriose yra pagrindiniai nežinomieji, paliekame dešiniosiose lygčių pusėse, o terminus su laisvaisiais nežinomaisiais perkeliame į dešinę:
Sukurkime pagrindinę pirminės homogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą. Pagrindinė šio SLAE sprendimų sistema susideda iš dviejų sprendinių, nes pradiniame SLAE yra keturi nežinomi kintamieji, o jo pagrindinės minorinės eilės tvarka yra dvi. Norėdami rasti X (1), laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteikiame reikšmes x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, tada randame pagrindinius nežinomus iš lygčių sistemos
.
Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas yra viena iš pagrindinių tiesinės algebros problemų. Ši problema turi didelę praktinę reikšmę sprendžiant mokslines ir technines problemas, be to, ji yra pagalbinė įgyvendinant daugelį skaičiavimo matematikos, matematinės fizikos algoritmų, apdorojant eksperimentinių tyrimų rezultatus.
Tiesinių algebrinių lygčių sistema vadinama lygčių sistema, kurios forma: (1)
kur – nežinomas; - nemokami nariai.
Lygčių sistemos sprendimas(1) pavadinkite bet kokį skaičių rinkinį, kuris, įtrauktas į sistemą (1) vietoj nežinomo paverčia visas sistemos lygtis į tikrąsias skaitines lygybes.
Lygčių sistema vadinama Bendras jei jis turi bent vieną sprendimą ir nesuderinamas jei jis neturi sprendimų.
Jungtinė lygčių sistema vadinama tam tikras jei jis turi vieną vienintelį sprendimą ir neapibrėžtas jei jis turi bent du skirtingus sprendimus.
Dvi lygčių sistemos vadinamos lygiavertis arba lygiavertis jei jie turi tą patį sprendimų rinkinį.
Sistema (1) vadinama vienalytis jei laisvosios sąlygos lygios nuliui:
Vienalytė sistema visada yra nuosekli – ji turi sprendimą (galbūt ne vienintelį).
Jei sistemoje (1) , tada mes turime sistemą n tiesines lygtis su n nežinoma: kur – nežinomas; yra nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.
Linijinė sistema gali turėti vieną sprendimą, be galo daug sprendimų arba nė vieno.
Apsvarstykite dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą
Jei tada sistema turi unikalų sprendimą;
jei tada sistema neturi sprendimų;
jei tada sistema turi begalinį sprendinių skaičių.
Pavyzdys. Sistema turi unikalų skaičių poros sprendimą
Sistema turi begalinį sprendimų skaičių. Pavyzdžiui, šios sistemos sprendiniai yra skaičių poros ir pan.
Sistema neturi sprendimų, nes dviejų skaičių skirtumas negali turėti dviejų skirtingų reikšmių.
Apibrėžimas. Antros eilės determinantas vadinama tokia išraiška:
Pažymėkite determinantą simboliu D.
Skaičiai a 11, …, a 22 vadinami determinantiniais elementais.
Elementų suformuota įstrižainė a 11 ; a 22 skambutis pagrindinis, elementų suformuota įstrižainė a 12 ; a 21 − pusėje.
Taigi antros eilės determinantas yra lygus skirtumui pagrindinės ir antrinės įstrižainės elementų produktai.
Atkreipkite dėmesį, kad atsakymas yra skaičius.
Pavyzdys. Apskaičiuokime determinantus:
Apsvarstykite dviejų tiesinių lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais: kur X 1, X 2 – nežinomas; a 11 , …, a 22 - nežinomųjų koeficientai, b 1 ,b 2 - nemokami nariai.
Jei dviejų lygčių sistema dviejuose nežinomuose turi unikalų sprendimą, tada jį galima rasti naudojant antros eilės determinantus.
Apibrėžimas. Determinantas, sudarytas iš nežinomųjų koeficientų, vadinamas sistemos kvalifikatorius: D=.
Determinanto D stulpeliai yra atitinkamai koeficientai už X 1 ir val , X 2. Pristatykime du papildomi veiksniai, kurios gaunamos iš sistemos determinanto vieną iš stulpelių pakeitus laisvųjų narių stulpeliu: D 1 = D 2 = .
14 teorema(Cramer, atveju n = 2). Jei sistemos determinantas D skiriasi nuo nulio (D¹0), tada sistema turi unikalų sprendimą, kuris randamas pagal formules:
Šios formulės vadinamos Cramerio formulės.
Pavyzdys. Mes išsprendžiame sistemą pagal Cramerio taisyklę:
Sprendimas. Raskime skaičius
Atsakymas.
Apibrėžimas. Trečiosios eilės determinantas vadinama tokia išraiška:
Elementai a 11; a 22 ; a 33 - sudaro pagrindinę įstrižainę.
Skaičiai a 13; a 22 ; a 31 - suformuokite šoninę įstrižainę.
Įrašas su pliusu apima: pagrindinės įstrižainės elementų sandaugą, likusieji du terminai yra trikampių, kurių pagrindai lygiagrečiai pagrindinei įstrižai, viršūnėse esančių elementų sandauga. Terminai su minusu formuojasi taip pat antrinės įstrižainės atžvilgiu.
Pavyzdys. Apskaičiuokime determinantus:
Apsvarstykite trijų tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais: kur – nežinomas; yra nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.
Unikalaus sprendimo atveju, naudojant 3 eilės determinantus, galima išspręsti 3 tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą.
Sistemos D determinantas turi tokią formą:
Pristatome tris papildomus determinantus:
15 teorema(Cramer, atveju n=3). Jei sistemos determinantas D yra ne nulis, tada sistema turi unikalų sprendimą, kuris randamas naudojant Cramerio formules:
Pavyzdys. Išspręskime sistemą naudodami Cramerio taisyklę.
Sprendimas. Raskime skaičius
Naudokime Cramerio formules ir raskime pradinės sistemos sprendimą:
Atsakymas.
Atkreipkite dėmesį, kad Cramerio teorema taikoma, kai lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui ir kai sistemos D determinantas skiriasi nuo nulio.
Jei sistemos determinantas lygus nuliui, tai tokiu atveju sistema gali arba neturėti sprendinių, arba turėti begalinį sprendinių skaičių. Šie atvejai nagrinėjami atskirai.
Atkreipiame dėmesį tik į vieną atvejį. Jeigu sistemos determinantas lygus nuliui (D=0), o bent vienas iš papildomų determinantų skiriasi nuo nulio, tai sistema sprendinių neturi, tai yra nenuosekli.
Kramerio teoremą galima apibendrinti sistemai n tiesines lygtis su n nežinoma: kur – nežinomas; yra nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.
Jei tiesinių lygčių sistemos su nežinomaisiais determinantas, tai vienintelis sistemos sprendimas randamas naudojant Cramerio formules:
Papildomas determinantas gaunamas iš determinanto D, jei jame yra nežinomojo koeficientų stulpelis x i pakeisti laisvų narių stulpeliu.
Atkreipkite dėmesį, kad determinantai D, D 1 , … , D n turėti tvarką n.
Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti
Vienas iš labiausiai paplitusių tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo būdų yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. − Gauso metodas. Šis metodas yra pakeitimo metodo apibendrinimas ir susideda iš nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo, kol lieka viena lygtis su vienu nežinomu.
Metodas pagrįstas kai kuriomis tiesinių lygčių sistemos transformacijomis, kurių metu gaunama sistema, lygiavertė pradinei sistemai. Metodo algoritmas susideda iš dviejų etapų.
Pirmasis etapas vadinamas tiesia linija Gauso metodas. Jį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas iš lygčių. Norėdami tai padaryti, pirmame žingsnyje pirmoji sistemos lygtis yra padalinta iš (kitaip sistemos lygtys permutuojamos). Gautos sumažintos lygties koeficientai žymimi, padauginami iš koeficiento ir atimami iš antrosios sistemos lygties, taip iš antrosios lygties neįtraukiant (koeficientas nulinis).
Likusios lygtys traktuojamos panašiai ir gaunama nauja sistema, kurios visose lygtyse, pradedant nuo antrosios, koeficientuose yra tik nuliai. Akivaizdu, kad rezultatas nauja sistema, bus lygiavertė pradinei sistemai.
Jei nauji koeficientai, esant , ne visi lygūs nuliui, mes galime juos pašalinti iš trečiosios ir vėlesnių lygčių tokiu pačiu būdu. Tęsiant šią operaciją dėl šių nežinomųjų, sistema įvedama į vadinamąją trikampę formą:
Čia simboliai ir žymi skaitinius koeficientus ir laisvuosius terminus, kurie pasikeitė dėl transformacijų.
Iš paskutinės sistemos lygties nustatomi , o paskui nuosekliai keičiant likusius nežinomuosius.
komentuoti. Kartais dėl transformacijų bet kurioje lygtyje visi koeficientai ir dešinioji pusė pavirsta į nulį, tai yra lygtis virsta tapatybe 0=0. Išskyrus tokią lygtį iš sistemos, lygčių skaičius sumažėja, palyginti su nežinomųjų skaičiumi. Tokia sistema negali turėti unikalaus sprendimo.
Jei taikant Gauso metodą kuri nors lygtis virsta lygybe, kurios formos yra 0=1 (nežinomų koeficientai virsta 0, o dešinioji įgauna ne nulį), tai pradinė sistema neturi sprendimas, nes tokia lygybė yra neteisinga bet kokioms nežinomoms reikšmėms.
Apsvarstykite trijų tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:
kur – nežinomas; yra nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai. , pakeičiant rastą
Sprendimas.Šiai sistemai pritaikę Gauso metodą, gauname
Iš kur Paskutinė lygybė yra klaidinga bet kurioms nežinomųjų vertybėms, todėl sistema neturi sprendimo.
Atsakymas. Sistema neturi sprendimų.
Atkreipkite dėmesį, kad anksčiau nagrinėtu Cramerio metodu galima spręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi, o sistemos determinantas turi skirtis nuo nulio. Gauso metodas yra universalesnis ir tinka sistemoms su bet kokiu lygčių skaičiumi.
Matricinis metodas tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti – formulių išvedimas.
Tegul už matricą BETįsakymas n ant n yra atvirkštinė matrica . Padauginkite abi kairėje esančios matricos lygties puses iš (matricos tvarka A⋅X ir AT leisti atlikti tokią operaciją, žr. straipsnį operacijos su matricomis, operacijų savybės). Mes turime . Kadangi tinkamų eilių dauginimo matricų veikimas pasižymi asociatyvumo savybe, paskutinę lygybę galima perrašyti kaip , ir pagal atvirkštinės matricos apibrėžimą ( E yra tvarkos tapatumo matrica n ant n), Štai kodėl
Šiuo būdu, tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas matriciniu metodu nustatomas pagal formulę. Kitaip tariant, SLAE sprendimas randamas naudojant atvirkštinę matricą .
Mes žinome, kad kvadratinė matrica BETįsakymas n ant n turi atvirkštinę matricą tik tuo atveju, jei jos determinantas nėra nulis. Todėl SISTEMA n TIŠINĖS ALGEBRINĖS LYGTYBĖS SU n NEŽINOMĄ GALIMA SPRĘSTI MATRIKOS METODU TIK KAI SISTEMOS PAGRINDINĖS MATRIKOS DETERMINANTAS YRA NE NULIS.
Puslapio viršuje
Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo matricos metodu pavyzdžiai.
Apsvarstykite matricos metodą su pavyzdžiais. Kai kuriuose pavyzdžiuose smulkiai neaprašysime matricų determinantų skaičiavimo proceso, jei reikia, žr. straipsnį apie matricos determinanto apskaičiavimą.
Pavyzdys.
Naudodami atvirkštinę matricą raskite tiesinių lygčių sistemos sprendimą .
Sprendimas.
Matricos formoje pradinė sistema gali būti parašyta kaip , kur . Apskaičiuokime pagrindinės matricos determinantą ir įsitikinkime, kad jis skiriasi nuo nulio. Priešingu atveju mes negalėsime išspręsti sistemos matricos metodu. Mes turime , todėl matricai BET galima rasti atvirkštinę matricą. Taigi, jei rasime atvirkštinę matricą, norimas SLAE sprendimas bus apibrėžtas kaip . Taigi, užduotis buvo sumažinta iki atvirkštinės matricos konstravimo. Suraskime ją.
Mes tai žinome dėl matricos atvirkštinę matricą galima rasti kaip , kur yra elementų algebriniai papildiniai .
Mūsų atveju
Tada
Patikrinkime gautą sprendimą , pakeičiant ją į pradinės lygčių sistemos matricinę formą. Ši lygybė turi virsti tapatybe, kitaip kažkur buvo padaryta klaida.
Todėl sprendimas yra teisingas.
Atsakymas:
arba kitame įraše .
Pavyzdys.
Išspręskite SLAE matricos metodu.
Sprendimas.
Pirmojoje sistemos lygtyje nežinomo kintamojo nėra x2, Antras - x 1, trečias - x 3. Tai yra, koeficientai prieš šiuos nežinomus kintamuosius yra lygūs nuliui. Perrašome lygčių sistemą kaip . Iš šios formos lengviau pereiti prie SLAE žymėjimo matricos formos . Įsitikinkite, kad šią lygčių sistemą galima išspręsti naudojant atvirkštinę matricą. Kitaip tariant, parodysime, kad:
Sukurkime atvirkštinę matricą naudodami algebrinių priedų matricą:
tada,
Belieka rasti SLAE sprendimą:
Atsakymas:
.
Pereinant nuo įprastos tiesinių algebrinių lygčių sistemos formos prie jos matricinės formos, reikia būti atsargiems su nežinomų kintamųjų tvarka sistemos lygtyse. Pavyzdžiui, SLAU NEGALIMA parašyti kaip . Pirmiausia turite išdėstyti visus nežinomus kintamuosius visose sistemos lygtyse, o tada pereiti prie matricos žymėjimo:
arba
Taip pat būkite atsargūs žymėdami nežinomus kintamuosius, o ne x 1 , x 2 , …, x n gali būti bet kokios kitos raidės. Pavyzdžiui, SLAU matricos forma rašoma kaip .
Paimkime pavyzdį.
Pavyzdys.
naudojant atvirkštinę matricą.
Sprendimas.
Nežinomus kintamuosius išdėstę sistemos lygtyse, rašome matricos forma
. Apskaičiuokite pagrindinės matricos determinantą:
Jis yra ne nulis, todėl lygčių sistemos sprendimą galima rasti naudojant atvirkštinę matricą kaip . Raskite atvirkštinę matricą pagal formulę :
Gauname norimą sprendimą:
Atsakymas:
x = 0, y = -2, z = 3.
Pavyzdys.
Raskite tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą matricos metodas.
Sprendimas.
Sistemos pagrindinės matricos determinantas lygus nuliui
todėl negalime taikyti matricos metodo.
Tokių sistemų sprendimo paieška aprašyta tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo skyriuje.
Pavyzdys.
Išspręskite SLAE matricos metodas yra tikrasis skaičius.
Sprendimas.
Matricos formos lygčių sistema turi formą . Apskaičiuokime pagrindinės sistemos matricos determinantą ir įsitikinkime, kad jis skiriasi nuo nulio:
Kvadratinis trinaris neišnyksta jokioms tikrosioms reikšmėms, nes jo diskriminantas yra neigiamas, todėl pagrindinės sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui jokioms realioms reikšmėms. Matricos metodu mes turime . Sukurkime atvirkštinę matricą pagal formulę :
Tada
Atsakymas:
.Atgal į viršų
Apibendrinti.
Matricos metodas tinka sprendžiant SLAE, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o pagrindinės sistemos matricos determinantas yra ne nulis. Jeigu sistemoje yra daugiau nei trys lygtys, tai atvirkštinės matricos radimas reikalauja didelių skaičiavimo pastangų, todėl šiuo atveju sprendimams patartina naudoti Gauso metodą.
Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos pramonėje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant gamybos valdymo ir planavimo, logistikos maršrutų (transporto problemos) ar įrangos išdėstymo problemas.
Lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos ir biologijos srityse, sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius.
Tiesinių lygčių sistema – dviejų ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais terminas, kuriems būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.
Tiesinė lygtis
Formos ax+by=c lygtys vadinamos tiesinėmis. Pavadinimai x, y – nežinomieji, kurių reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Lygties sprendimas nubraižant jos grafiką atrodys kaip tiesė, kurios visi taškai yra daugianario sprendinys.
Tiesinių lygčių sistemų tipai
Paprasčiausi yra tiesinių lygčių sistemų su dviem kintamaisiais X ir Y pavyzdžiai.
F1(x, y) = 0 ir F2(x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.
Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia rasti tokias reikšmes (x, y), į kurias sistema virsta tikroji lygybė arba nustatyti, kad nėra tinkamų x ir y verčių.
Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.
Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.
Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinioji pusė lygi nuliui. Jei dešinioji dalis po „lygybės“ ženklo turi reikšmę arba išreiškiama funkcija, tokia sistema nėra vienalytė.
Kintamųjų skaičius gali būti daug didesnis nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamaisiais pavyzdį.
Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti savavališkai daug.
Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai
Nėra bendro analitinio būdo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. AT mokyklos kursas Matematika išsamiai aprašo tokius metodus kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, pakaitalai, taip pat grafinis ir matricinis metodas, sprendimas Gauso metodu.
Pagrindinis uždavinys mokant sprendimo metodus – išmokyti teisingai analizuoti sistemą ir kiekvienam pavyzdžiui rasti optimalų sprendimo algoritmą. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo taikymo principus.
Programos 7 klasės tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas vidurinė mokykla gana paprasta ir labai išsamiai paaiškinta. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmuosiuose aukštųjų mokyklų kursuose.
Sistemų sprendimas pakeitimo metodu
Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę per antrąjį. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į vieną kintamąjį. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje
Pateiksime 7-osios klasės tiesinių lygčių sistemos pakeitimo metodu pavyzdį:
Kaip matyti iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F(X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Sprendimas šis pavyzdys nesukelia sunkumų ir leidžia gauti Y reikšmę Paskutinis žingsnis – gautų reikšmių patikrinimas.
Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos, o kintamojo išraiška antrojo nežinomojo atžvilgiu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, pakeitimo sprendimas taip pat nepraktiškas.
Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:
Sprendimas naudojant algebrinį sudėjimą
Ieškant sprendimų sistemoms sudavimo metodu, atliekamas lygčių terminų sudėjimas ir dauginimas iš įvairių skaičių. Pagrindinis tikslas matematines operacijas yra lygtis su vienu kintamuoju.
Šio metodo taikymas reikalauja praktikos ir stebėjimo. Nelengva išspręsti tiesinių lygčių sistemą naudojant sudėjimo metodą, kai kintamųjų skaičius yra 3 ar daugiau. Algebrinis sudėjimas yra naudingas, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių skaičių.
Sprendimo veiksmų algoritmas:
- Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Kaip rezultatas aritmetinis veiksmas vienas iš kintamojo koeficientų turi tapti lygus 1.
- Pridėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
- Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.
Sprendimo metodas įvedant naują kintamąjį
Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemai reikia rasti sprendimą ne daugiau kaip dviem lygtims, nežinomųjų skaičius taip pat turėtų būti ne didesnis kaip du.
Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių, įvedant naują kintamąjį. Naujoji lygtis išsprendžiama įvesto nežinomojo atžvilgiu, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.
Iš pavyzdžio matyti, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima 1-ąją sistemos lygtį sumažinti iki standartinio kvadratinio trinalio. Galite išspręsti daugianarį suradę diskriminantą.
Būtina rasti diskriminanto vertę pagal gerai žinoma formulė: D = b2 - 4*a*c, kur D yra norimas diskriminantas, b, a, c yra daugianario daugikliai. Pateiktame pavyzdyje a=1, b=16, c=39, vadinasi, D=100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b±√D / 2*a, jei diskriminantas mažesnis už nulį, tai yra tik vienas sprendinys: x= -b / 2*a.
Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.
Vaizdinis sistemų sprendimo metodas
Tinka sistemoms su 3 lygtimis. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų braižymo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.
Grafinis metodas turi nemažai niuansų. Apsvarstykite keletą tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžių.
Kaip matyti iš pavyzdžio, kiekvienai eilutei buvo sudaryti du taškai, savavališkai parinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės: 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.
Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.
Reikia rasti šį pavyzdį grafinis sprendimas tiesinių lygčių sistemos: 0,5x-y+2=0 ir 0,5x-y-1=0.
Kaip matyti iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą savo ilgį.
2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau sukūrus tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sukurti grafiką.
Matrica ir jos atmainos
Matricos naudojamos trumpai užrašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica yra specialus lentelės tipas, užpildytas skaičiais. n*m turi n eilučių ir m stulpelių.
Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus. Matrica-vektorius yra vieno stulpelio matrica su be galo galimu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatybe.
Atvirkštinė matrica yra tokia matrica, kurią padauginus originali virsta vienetine, tokia matrica egzistuoja tik pradinei kvadratinei.
Lygčių sistemos transformavimo į matricą taisyklės
Kalbant apie lygčių sistemas, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi kaip matricos skaičiai, viena lygtis yra viena matricos eilutė.
Matricos eilutė vadinama ne nuliu, jei bent vienas eilutės elementas nėra lygus nuliui. Todėl jei kurioje nors lygtyje kintamųjų skaičius skiriasi, tai vietoje trūkstamo nežinomojo reikia įvesti nulį.
Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.
Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.
Atvirkštinės matricos paieškos parinktys
Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir |K| - matricos determinantas. |K| neturi būti lygus nuliui, tada sistema turi sprendimą.
Determinantas nesunkiai apskaičiuojamas matricai du po du, tereikia elementus padauginti įstrižai vienas iš kito. Parinkčiai „trys iš trijų“ yra formulė |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad produkte nesikartotų elementų stulpelių ir eilučių numeriai.
Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu
Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas su daugybe kintamųjų ir lygčių.
Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.
Sistemų sprendimas Gauso metodu
AT aukštoji matematika Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimo paieškos procesas vadinamas Gauss-Cramer sprendimo metodu. Šie metodai naudojami ieškant sistemų su daugybe tiesinių lygčių kintamiesiems.
Gauso metodas yra labai panašus į pakeitimo ir algebrinio sudėjimo sprendimus, tačiau yra sistemingesnis. Mokykliniame kurse Gauso sprendimas naudojamas 3 ir 4 lygčių sistemoms. Metodo tikslas – paversti sistemą apverstos trapecijos forma. Algebrinėmis transformacijomis ir keitimais vieno kintamojo reikšmė randama vienoje iš sistemos lygčių. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, o 3 ir 4 - su atitinkamai 3 ir 4 kintamaisiais.
Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo sistemos lygtyse.
AT mokykliniai vadovėliai 7 klasės atveju Gauso metodo sprendimo pavyzdys aprašomas taip:
Kaip matyti iš pavyzdžio, (3) žingsnyje buvo gautos dvi lygtys 3x 3 -2x 4 =11 ir 3x 3 +2x 4 =7. Bet kurios lygties sprendimas leis jums sužinoti vieną iš kintamųjų x n.
Tekste minima 5 teorema teigia, kad vieną iš sistemos lygčių pakeitus lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.
Gauso metodą studentams sunku suprasti vidurinė mokykla, bet yra vienas įdomiausių būdų ugdyti vaikų, įstojusių į išplėstinių studijų programą matematikos ir fizikos pamokose, sumanumą.
Kad būtų lengviau įrašyti skaičiavimus, įprasta atlikti šiuos veiksmus:
Lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė atitinka vieną iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys reiškia lygčių skaičius sistemoje.
Pirmiausia jie užrašo matricą, su kuria reikia dirbti, tada visus veiksmus, atliekamus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po „rodyklės“ ženklu ir toliau atliekamos reikiamos algebrinės operacijos, kol pasiekiamas rezultatas.
Dėl to turėtų būti gauta matrica, kurios viena iš įstrižainių yra 1, o visi kiti koeficientai lygūs nuliui, tai yra, matrica sumažinama iki vienos formos. Turime nepamiršti atlikti skaičiavimų su abiejų lygties pusių skaičiais.
Šis žymėjimas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti išvardijant daugybę nežinomųjų.
Nemokamas bet kokio sprendimo metodo taikymas pareikalaus kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai taikomi. Kai kurie sprendimų paieškos būdai yra labiau tinkami tam tikroje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra mokymosi tikslais.
Tiesinių lygčių sistemos. 6 paskaita
Tiesinių lygčių sistemos.
Pagrindinės sąvokos.
peržiūros sistema
paskambino sistema – tiesinės lygtys su nežinomaisiais.
Skaičiai , , vadinami sistemos koeficientai.
Skaičiai vadinami nemokami sistemos nariai, – sistemos kintamieji. Matrica
paskambino pagrindinė sistemos matrica, ir matrica
– išplėstinė matricų sistema. Matricos – stulpeliai
Ir atitinkamai laisvųjų sistemos narių ir nežinomųjų matricos. Tada matricos forma lygčių sistemą galima parašyti kaip . Sisteminis sprendimas vadinama kintamųjų reikšmėmis, kurias pakeičiant visos sistemos lygtys virsta tikromis skaitinėmis lygybėmis. Bet kuris sistemos sprendimas gali būti pavaizduotas kaip matrica-stulpelis. Tada matricos lygybė yra teisinga.
Lygčių sistema vadinama Bendras jei jis turi bent vieną sprendimą ir nesuderinamas jei jis neturi sprendimo.
Išspręsti tiesinių lygčių sistemą reiškia išsiaiškinti, ar ji suderinama, ir, jei suderinama, rasti bendrą jos sprendimą.
Sistema vadinama vienalytis jei visi jo laisvieji nariai lygūs nuliui. Vienalytė sistema visada yra suderinama, nes turi sprendimą
Kronecker-Kopelli teorema.
Atsakymas į klausimą apie tiesinių sistemų sprendinių egzistavimą ir jų unikalumą leidžia gauti tokį rezultatą, kurį galima suformuluoti kaip teiginius apie tiesinių lygčių su nežinomaisiais sistemą
(1)
2 teorema. Tiesinių lygčių sistema (1) yra nuosekli tada ir tik tada, kai pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui (.
3 teorema. Jei jungtinės tiesinių lygčių sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus nežinomųjų skaičiui, tai sistema turi unikalų sprendimą.
4 teorema. Jei jungtinės sistemos pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, tai sistema turi begalinį sprendinių skaičių.
Sistemų sprendimo taisyklės.
3. Raskite pagrindinių kintamųjų išraišką laisvųjų atžvilgiu ir gaukite bendrą sistemos sprendimą.
4. Laisviesiems kintamiesiems suteikus savavališkas reikšmes, gaunamos visos pagrindinių kintamųjų reikšmės.
Tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai.
Atvirkštinės matricos metodas.
ir t. y. sistema turi unikalų sprendimą. Sistemą rašome matricine forma
kur , , .
Padauginkite abi kairėje esančios matricos lygties puses iš matricos
Kadangi Tada mes gauname , Iš kurio gauname lygybę ieškant nežinomųjų
27 pavyzdys. Naudodami atvirkštinės matricos metodą, išspręskite tiesinių lygčių sistemą
Sprendimas. Pažymėkite pagrindine sistemos matrica
.
Leiskite , tada sprendimą randame pagal formulę .
Paskaičiuokime.
Nuo tada sistema turi unikalų sprendimą. Raskite visus algebrinius priedus
, ,
, ,
, ,
, ,
Šiuo būdu
.
Patikrinkime
.
Atvirkštinė matrica rasta teisingai. Iš čia, naudodami formulę , randame kintamųjų matricą .
.
Palyginę matricų reikšmes, gauname atsakymą: .
Cramerio metodas.
Pateikiame tiesinių lygčių su nežinomaisiais sistemą
ir t. y. sistema turi unikalų sprendimą. Sistemos sprendimą rašome matricine forma arba
Pažymėti
. . . . . . . . . . . . . . ,
Taigi gauname nežinomųjų reikšmių radimo formules, kurios vadinamos Cramerio formulės.
28 pavyzdys. Kramerio metodu išspręskite šią tiesinių lygčių sistemą .
Sprendimas. Raskite pagrindinės sistemos matricos determinantą
.
Nuo tada sistema turi unikalų sprendimą.
Raskite likusius Kramerio formulių determinantus
,
,
.
Naudodami Cramerio formules randame kintamųjų reikšmes
Gauso metodas.
Metodas susideda iš nuoseklaus kintamųjų pašalinimo.
Pateikiame tiesinių lygčių su nežinomaisiais sistemą.
Gauso sprendimo procesas susideda iš dviejų etapų:
Pirmajame etape išplėstinė sistemos matrica elementariųjų transformacijų pagalba redukuojama į laipsnišką formą
,
kur , kuris atitinka sistemą
Po to kintamieji yra laikomi laisvaisiais ir kiekvienoje lygtyje perkeliami į dešinę.
Antrame etape kintamasis išreiškiamas iš paskutinės lygties, gauta reikšmė pakeičiama į lygtį. Iš šios lygties
kintamasis išreiškiamas. Šis procesas tęsiasi iki pirmosios lygties. Rezultatas yra pagrindinių kintamųjų išraiška laisvųjų kintamųjų atžvilgiu .
29 pavyzdys. Gauso metodu išspręskite šią sistemą
Sprendimas. Išrašykime išplėstinę sistemos matricą ir sumažinkime ją į žingsninę formą
.
Nes yra didesnis už nežinomųjų skaičių, tada sistema yra nuosekli ir turi begalinį sprendinių skaičių. Užrašykime žingsnių matricos sistemą
Šios sistemos išplėstinės matricos, sudarytos iš pirmųjų trijų stulpelių, determinantas nėra lygus nuliui, todėl mes jį laikome pagrindine. Kintamieji
Bus pagrindinis, o kintamasis bus nemokamas. Visose lygtyse perkelkime jį į kairę pusę
Iš paskutinės lygties išreiškiame
Pakeitę šią reikšmę į priešpaskutinę antrąją lygtį, gauname
kur . Pakeitę kintamųjų reikšmes į pirmąją lygtį, randame . Atsakymą rašome tokia forma