Nelyginio apibrėžimas. Funkcijų savybės
Funkcija yra viena iš svarbiausių matematinių sąvokų. Funkcija – kintamoji priklausomybė adresu iš kintamojo x, jei kiekviena vertė X atitinka vieną reikšmę adresu. Kintamasis X vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentu. Kintamasis adresu vadinamas priklausomu kintamuoju. Visos nepriklausomo kintamojo reikšmės (kintamasis x) sudaro funkcijos apibrėžimo sritį. Visos reikšmės, kurias turi priklausomas kintamasis (kintamasis y), sudaro funkcijos reikšmių diapazoną.
Funkcijų grafikas iškviesti visų taškų aibę koordinačių plokštuma, kurių abscisės yra lygios argumento reikšmėms, o ordinatės lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms, tai yra, kintamojo reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies x, o kintamojo reikšmės brėžiamos išilgai ordinačių ašies y. Norėdami pavaizduoti funkciją, turite žinoti funkcijos savybes. Pagrindinės funkcijos savybės bus aptartos toliau!
Norėdami sudaryti funkcijos grafiką, rekomenduojame naudoti mūsų programą - Grafikų sudarymo funkcijos internete. Jei studijuodami šio puslapio medžiagą turite klausimų, visada galite juos užduoti mūsų forume. Taip pat forume jie padės išspręsti matematikos, chemijos, geometrijos, tikimybių teorijos ir daugelio kitų dalykų uždavinius!
Pagrindinės funkcijų savybės.
1) Funkcijų sritis ir funkcijų diapazonas.
Funkcijos domenas yra visų galiojančių argumentų reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) Atkaklus.
Funkcijos diapazonas yra visų realių reikšmių rinkinys y, kurią funkcija priima.
Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.
2) Funkcijos nuliai.
Vertybės X, kuriame y=0, paskambino funkcijos nuliai. Tai funkcijos grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškų abscisės.
3) Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
Funkcijos pastovaus ženklo intervalai yra tokie reikšmių intervalai x, ant kurių funkcijos reikšmės y vadinami tik teigiami arba tik neigiami funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
4) Funkcijos monotoniškumas.
Didėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
Mažėjanti funkcija (tam tikrame intervale) yra funkcija, kurioje didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
5) Lyginė (nelyginė) funkcija.
Lyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X f(-x) = f(x). Tvarkaraštis lygi funkcija simetriškas ordinačių ašiai.
Nelyginė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė yra teisinga f(-x) = - f(x). Tvarkaraštis nelyginė funkcija simetriškas kilmei.
Netgi funkcija
1) Apibrėžimo sritis yra simetriška taško (0; 0) atžvilgiu, tai yra, jei taškas a priklauso apibrėžimo sričiai, tada taškui -a taip pat priklauso apibrėžimo sričiai.
2) Bet kokiai vertei x f(-x)=f(x)
3) Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas Oy ašiai.
Keista funkcija turi šias savybes:
1) Apibrėžimo sritis yra simetriška taško (0; 0) atžvilgiu.
2) bet kokiai vertei x, priklausantis apibrėžimo sričiai, lygybei f(-x)=-f(x)
3) Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios (0; 0) atžvilgiu.
Ne kiekviena funkcija yra lyginė ar nelyginė. Funkcijos bendras vaizdas nėra nei lyginiai, nei nelyginiai.
6) Ribotos ir neribotos funkcijos.
Funkcija vadinama ribota, jei yra tokia teigiamas skaičius M toks, kad |f(x)| ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra neribota.
7) Funkcijos periodiškumas.
Funkcija f(x) yra periodinė, jei yra nulinis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: f(x+T) = f(x). Tai mažiausias skaičius vadinamas funkcijos periodu. Visi trigonometrinės funkcijos yra periodiniai. (Trigonometrinės formulės).
Funkcija f vadinamas periodiniu, jei yra toks skaičius, kad bet kuriam x iš apibrėžimo srities lygybė f(x)=f(x-T)=f(x+T). T yra funkcijos laikotarpis.
Kiekviena periodinė funkcija turi begalinį periodų skaičių. Praktikoje dažniausiai atsižvelgiama į mažiausią teigiamą laikotarpį.
Periodinės funkcijos reikšmės kartojasi po intervalo, lygaus periodui. Tai naudojama kuriant grafikus.
Slėpti Rodyti
Funkcijos nustatymo metodai
Tegu funkcija pateikiama formule: y=2x^(2)-3. Priskirdami bet kokias reikšmes nepriklausomam kintamajam x, naudodamiesi šia formule galite apskaičiuoti atitinkamas priklausomo kintamojo y reikšmes. Pavyzdžiui, jei x=-0,5, tada, naudojant formulę, nustatome, kad atitinkama y reikšmė yra y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Imdami bet kurią reikšmę, kurią paima argumentas x formulėje y=2x^(2)-3, galite apskaičiuoti tik vieną ją atitinkančią funkcijos reikšmę. Funkciją galima pavaizduoti kaip lentelę:
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Naudodami šią lentelę matote, kad argumento reikšmei −1 atitiks funkcijos reikšmė −3; o reikšmė x=2 atitiks y=0 ir t.t. Taip pat svarbu žinoti, kad kiekviena argumento reikšmė lentelėje atitinka tik vieną funkcijos reikšmę.
Daugiau funkcijų galima nurodyti naudojant grafikus. Naudojant grafiką, nustatoma, kuri funkcijos reikšmė koreliuoja su tam tikra reikšme x. Dažniausiai tai bus apytikslė funkcijos reikšmė.
Lyginė ir nelyginė funkcija
Funkcija yra lygi funkcija, kai f(-x)=f(x) bet kuriam x iš apibrėžimo srities. Tokia funkcija bus simetriška Oy ašiai.
Funkcija yra nelyginė funkcija, kai f(-x)=-f(x) bet kuriam x iš apibrėžimo srities. Tokia funkcija bus simetriška kilmei O (0;0) .
Funkcija yra net ne, nei keista ir yra vadinamas bendroji funkcija, kai jis neturi simetrijos ašies arba pradžios atžvilgiu.
Panagrinėkime šią pariteto funkciją:
f(x)=3x^(3)–7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) su simetriška apibrėžimo sritimi, susijusia su kilme. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Tai reiškia, kad funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) yra nelyginė.
Periodinė funkcija
Funkcija y=f(x) , kurios srityje galioja lygybė f(x+T)=f(x-T)=f(x) bet kuriam x, vadinama periodinė funkcija su periodu T \neq 0 .
Funkcijos grafiko kartojimas bet kuriame x ašies segmente, kurio ilgis T.
Intervalai, kuriuose funkcija yra teigiama, ty f(x) > 0, yra abscisių ašies atkarpos, atitinkančios funkcijos grafiko taškus, esančius virš abscisių ašies.
f(x) > 0 įjungta (x_(1); x_(2)) \puodelis (x_(3); +\infty)
Intervalai, kai funkcija yra neigiama, ty f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \puodelis (x_(2); x_(3))
Ribota funkcija
Apribota iš apačiosĮprasta funkciją y=f(x), x \in X vadinti, kai yra skaičius A, kuriam nelygybė f(x) \geq A galioja bet kuriam x \in X .
Funkcijos, apribotos iš apačios, pavyzdys: y=\sqrt(1+x^(2)), nes y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 bet kuriam x .
Apribota iš viršaus funkcija y=f(x), x \in X iškviečiama, kai yra skaičius B, kurio nelygybė f(x) \neq B galioja bet kuriam x \in X .
Toliau nurodytos funkcijos pavyzdys: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] kadangi y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 bet kuriam x \in [-1;1] .
RibotasĮprasta funkciją y=f(x), x \in X vadinti, kai yra skaičius K > 0, kuriam nelygybė \left | f(x)\dešinė | \neq K bet kuriam x \in X .
Ribotos funkcijos pavyzdys: y=\sin x yra ribojamas visoje skaičiaus ašyje, nes \kairė | \sin x \right | \neq 1.
Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas
Įprasta kalbėti apie funkciją, kuri didėja nagrinėjamame intervale kaip didinanti funkcija tada, kai didesnė x reikšmė atitinka didesnę funkcijos y=f(x) reikšmę. Iš to seka, kad paėmus dvi savavališkas argumento x_(1) ir x_(2) reikšmes iš nagrinėjamo intervalo, kai x_(1) > x_(2) , rezultatas bus y(x_(1)) > y(x_(2)).
Funkcija, kuri mažėja nagrinėjamu intervalu, vadinama mažėjanti funkcija kai didesnė x reikšmė atitinka mažesnę funkcijos y(x) reikšmę. Iš to seka, kad iš nagrinėjamo intervalo paėmus dvi savavališkas argumento x_(1) ir x_(2) bei x_(1) > x_(2) reikšmes, rezultatas bus y(x_(1))< y(x_{2}) .
Funkcija ŠaknysĮprasta vadinti taškus, kuriuose funkcija F=y(x) kerta abscisių ašį (jie gaunami sprendžiant lygtį y(x)=0).
a) Jei x > 0 lygi funkcija didėja, tai x mažėja< 0
b) Kai lyginė funkcija mažėja, kai x > 0, tada ji didėja ties x< 0
c) Kai nelyginė funkcija didėja, kai x > 0, tada ji didėja ir ties x< 0
d) Kai nelyginė funkcija sumažėja, kai x > 0, tada ji taip pat mažės ir x< 0
Funkcijos kraštutinumas
Mažiausias funkcijos taškas y=f(x) paprastai vadinamas tašku x=x_(0), kurio kaimynystėje bus kiti taškai (išskyrus tašką x=x_(0)), ir jiems tada bus nelygybė f(x) > f patenkintas (x_(0)) . y_(min) – funkcijos žymėjimas min taške.
Maksimalus funkcijos taškas y=f(x) paprastai vadinamas tašku x=x_(0), kurio kaimynystėje bus kiti taškai (išskyrus tašką x=x_(0)), ir jiems tada bus įvykdyta nelygybė f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Būtina sąlyga
Pagal Ferma teoremą: f"(x)=0, kai taške x_(0) diferencijuojama funkcija f(x) šiame taške turės ekstremumą.
Pakankama būklė
- Kai išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tada x_(0) bus minimalus taškas;
- x_(0) - bus maksimalus taškas tik tada, kai išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą eidama per stacionarų tašką x_(0) .
Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė intervale
Skaičiavimo žingsniai:
- Ieškoma išvestinės f"(x);
- Surandami stacionarūs ir kritiniai funkcijos taškai bei parenkami segmentui priklausantys taškai;
- Funkcijos f(x) reikšmės randamos stacionariose ir kritinius taškus ir segmento galai. Bus mažesnis gautas rezultatas mažiausia vertė funkcijas, ir dar - didžiausia.
Apibrėžimas 1. Funkcija vadinama net
(nelyginis
), jei kartu su kiekviena kintamojo reikšme
prasmė - X taip pat priklauso
ir lygybė galioja
Taigi funkcija gali būti lyginė arba nelyginė tik tada, kai jos apibrėžimo sritis yra simetriška skaičių eilutės (skaičiaus) koordinačių pradžiai X Ir - X priklauso tuo pačiu metu
). Pavyzdžiui, funkcija
nėra nei lyginis, nei nelyginis, nes jo apibrėžimo sritis
nėra simetriškas kilmei.
Funkcija
net, nes
simetriškas kilmei ir.
Funkcija
keista, nes
Ir
.
Funkcija
nėra lyginis ir nelyginis, nes nors
ir yra simetriškas kilmės atžvilgiu, lygybės (11.1) netenkinamos. Pavyzdžiui,.
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu OU, nes jei taškas
taip pat priklauso tvarkaraščiui. Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei, nes jei
priklauso grafikui, tada taškui
taip pat priklauso tvarkaraščiui.
Įrodant, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, naudingi šie teiginiai.
Teorema 1. a) Dviejų lyginių (nelyginių) funkcijų suma yra lyginė (nelyginė) funkcija.
b) Dviejų lyginių (nelyginių) funkcijų sandauga yra lyginė funkcija.
c) Lyginės ir nelyginės funkcijos sandauga yra nelyginė funkcija.
d) Jei f– net funkcija rinkinyje X, ir funkcija g
apibrėžta rinkinyje
, tada funkcija
– net.
d) Jei f– nelyginė funkcija rinkinyje X, ir funkcija g
apibrėžta rinkinyje
ir lyginis (nelyginis), tada funkcija
– lyginis (nelyginis).
Įrodymas. Įrodykime, pavyzdžiui, b) ir d).
b) Tegul
Ir
– net funkcijos. Taigi, tada. Panašiai traktuojamas ir nelyginių funkcijų atvejis
Ir
.
d) Leiskite f yra lygi funkcija. Tada.
Likusius teoremos teiginius galima įrodyti panašiai. Teorema įrodyta.
Teorema 2. Bet kokia funkcija
, apibrėžta rinkinyje X, simetriškas kilmei, gali būti pavaizduotas kaip lyginių ir nelyginių funkcijų suma.
Įrodymas. Funkcija
galima parašyti formoje
.
Funkcija
– net, nes
, ir funkcija
– Keista, nes. Taigi,
, Kur
– net ir
– nelyginės funkcijos. Teorema įrodyta.
Apibrėžimas 2. Funkcija
paskambino periodiškai
, jei yra skaičius
, toks, kad bet kuriam
numeriai
Ir
taip pat priklauso apibrėžimo sričiai
ir lygybės tenkinamos
Toks skaičius T paskambino laikotarpį
funkcijas
.
Iš 1 apibrėžimo išplaukia, kad jei T– funkcijos laikotarpis
, tada skaičius - T Tas pats
yra funkcijos laikotarpis
(nuo pakeitimo Tįjungta - T išlaikoma lygybė). Naudojant matematinės indukcijos metodą galima parodyti, kad jei T– funkcijos laikotarpis f, tada
, taip pat yra laikotarpis. Iš to išplaukia, kad jei funkcija turi tašką, tai ji turi be galo daug periodų.
Apibrėžimas 3. Mažiausias iš teigiamų funkcijos periodų vadinamas jos pagrindinis laikotarpį.
Teorema 3. Jeigu T– pagrindinis funkcijos laikotarpis f, tada likę laikotarpiai yra jo kartotiniai.
Įrodymas. Tarkime, priešingai, tai yra, kad yra laikotarpis funkcijas f
(>0), o ne keli T. Tada, padalijimas įjungta T su likusia dalimi gauname
, Kur
. Štai kodėl
tai yra – funkcijos laikotarpis f, ir
, ir tai prieštarauja faktui, kad T– pagrindinis funkcijos laikotarpis f. Iš gauto prieštaravimo išplaukia teoremos teiginys. Teorema įrodyta.
Gerai žinoma, kad trigonometrinės funkcijos yra periodinės. Pagrindinis laikotarpis
Ir
lygus
,
Ir
. Raskime funkcijos periodą
. Leisti
- šios funkcijos laikotarpis. Tada
(nes
.
arba arba
.
Reikšmė T, nustatytas iš pirmosios lygybės, negali būti laikotarpis, nes jis priklauso nuo X, t.y. yra funkcija X, o ne pastovus skaičius. Laikotarpis nustatomas iš antrosios lygybės:
. Yra be galo daug laikotarpių, su
mažiausias teigiamas periodas gaunamas ties
:
. Tai yra pagrindinis funkcijos laikotarpis
.
Sudėtingesnės periodinės funkcijos pavyzdys yra Dirichlet funkcija
Atkreipkite dėmesį, kad jei T tada yra racionalus skaičius
Ir
yra racionalūs racionalieji skaičiai X ir neracionalu, kai neracionalu X. Štai kodėl
bet kuriam racionaliam skaičiui T. Todėl bet koks racionalus skaičius T yra Dirichlet funkcijos laikotarpis. Akivaizdu, kad ši funkcija neturi pagrindinio laikotarpio, nes yra teigiamų racionalūs numeriai, savavališkai arti nulio (pavyzdžiui, galima pasirinkti racionalų skaičių n savavališkai arti nulio).
Teorema 4. Jei funkcija f
apibrėžta rinkinyje X ir turi laikotarpį T, ir funkcija g
apibrėžta rinkinyje
, tada sudėtinga funkcija
taip pat turi laikotarpį T.
Įrodymas. Todėl turime
tai teoremos teiginys įrodytas.
Pavyzdžiui, nuo cos
x
turi laikotarpį
, tada funkcijos
turėti laikotarpį
.
Apibrėžimas 4. Iškviečiamos funkcijos, kurios nėra periodinės neperiodinis .
- (matema.) Funkcija y = f (x) iškviečiama net jei ji nekinta, kai nepriklausomas kintamasis keičia tik ženklą, tai yra, jei f (x) = f (x). Jei f (x) = f (x), tai funkcija f (x) vadinama nelygine. Pavyzdžiui, y = cosx, y = x2... ...
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
Funkcija, tenkinanti lygybę f (x) = f (x). Žr. Lyginės ir Nelyginės funkcijos... Didžioji sovietinė enciklopedija
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
Specialios funkcijos, kurias 1868 m. pristatė prancūzų matematikas E. Mathieu sprendžiant elipsinės membranos virpesių uždavinius. M. f. Taip pat naudojami tiriant elektromagnetinių bangų sklidimą elipsiniame cilindre... Didžioji sovietinė enciklopedija
„Nuodėmės“ prašymas nukreipiamas čia; taip pat žr. kitas reikšmes. Užklausa „sec“ nukreipiama čia; taip pat žr. kitas reikšmes. „Sine“ užklausa nukreipiama čia; žr. ir kitas reikšmes... Vikipedija
Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kuriame kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę, vadinama funkcija. Pažymėjimui naudokite žymėjimą y=f(x). Kiekviena funkcija turi keletą pagrindinių savybių, tokių kaip monotoniškumas, paritetas, periodiškumas ir kt.
Atidžiau pažvelkite į pariteto savybę.
Funkcija y=f(x) iškviečiama, net jei ji tenkina šias dvi sąlygas:
2. Funkcijos reikšmė taške x, priklausanti funkcijos apibrėžimo sričiai, turi būti lygi funkcijos reikšmei taške -x. Tai reiškia, kad bet kuriame taške x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = f(-x).
Lyginės funkcijos grafikas
Jei nubraižysite lyginės funkcijos grafiką, jis bus simetriškas Oy ašiai.
Pavyzdžiui, funkcija y=x^2 yra lyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.
Paimkime savavališką x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Todėl f(x) = f(-x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau pateikiamas funkcijos y=x^2 grafikas.
Paveikslėlyje parodyta, kad grafikas yra simetriškas Oy ašiai.
Nelyginės funkcijos grafikas
Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei ji tenkina šias dvi sąlygas:
1. Duotosios funkcijos apibrėžimo sritis turi būti simetriška taško O atžvilgiu. Tai yra, jei kuris nors taškas a priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai atitinkamas taškas -a taip pat turi priklausyti apibrėžimo sričiai. nurodytos funkcijos.
2. Bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = -f(x).
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas taško O – koordinačių pradžios – atžvilgiu. Pavyzdžiui, funkcija y=x^3 yra nelyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.
Paimkime savavališką x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Todėl f(x) = -f(x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra funkcijos y=x^3 grafikas.
Paveikslėlyje aiškiai matyti, kad nelyginė funkcija y=x^3 yra simetriška kilmei.