Kaip nustatyti lyginių arba nelyginių funkcijų pavyzdžius. Lyginės ir nelyginės funkcijos
Funkcija vadinama lygine (nelygine), jei bet kuriai ir lygybei
.
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu
.
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.
6.2 pavyzdys. Patikrinkite, ar nėra lyginių ar nelyginių funkcijų
1)
;
2)
;
3)
.
Sprendimas.
1) Funkcija apibrėžiama su
. Raskime
.
Tie.
. Taigi ši funkcija yra lygi.
2) Funkcija yra apibrėžta
Tie.
. Taigi ši funkcija yra keista.
3) funkcija apibrėžta , t.y. dėl
,
. Todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Pavadinkime tai bendra funkcija.
3. Monotoniškumo funkcijos tyrimas.
Funkcija
vadinamas didėjimu (mažėjimu) tam tikrame intervale, jei šiame intervale kiekviena didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę (mažesnę) funkcijos reikšmę.
Funkcijos, didėjančios (mažėjančios) tam tikru intervalu, vadinamos monotoninėmis.
Jei funkcija
skiriasi intervalu
ir turi teigiamą (neigiamą) išvestinę
, tada funkcija
šiame intervale padidėja (sumažėja).
6.3 pavyzdys. Raskite funkcijų monotoniškumo intervalus
1)
;
3)
.
Sprendimas.
1) Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių ašyje. Raskime išvestinę.
Išvestinė lygi nuliui, jei
ir
. Apibrėžimo sritis – skaitinė ašis, padalinta iš taškų
,
intervalams. Kiekviename intervale nustatykime išvestinės ženklą.
Intervale
išvestinė yra neigiama, funkcija mažėja šiame intervale.
Intervale
išvestinė yra teigiama, todėl funkcija šiame intervale didėja.
2) Ši funkcija apibrėžiama, jei
arba
.
Kiekviename intervale nustatome kvadratinio trinalio ženklą.
Taigi, funkcijos apimtis
Raskime išvestinę
,
, jei
, t.y.
, bet
. Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose
.
Intervale
išvestinė yra neigiama, todėl funkcija intervale mažėja
. Intervale
išvestinė yra teigiama, funkcija didėja intervale
.
4. Ekstremo funkcijos tyrimas.
Taškas
vadinamas maksimaliu (minimaliu) funkcijos tašku
, jei yra tokia taško kaimynystė kad visiems
ši kaimynystė tenkina nelygybę
.
Maksimalus ir minimalus funkcijos taškai yra vadinami ekstremumais.
Jei funkcija
taške turi ekstremumą, tai funkcijos išvestinė šiame taške lygi nuliui arba neegzistuoja (būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga).
Taškai, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami kritiniais.
5. Pakankamos sąlygos ekstremumui egzistuoti.
1 taisyklė. Jei perėjimo metu (iš kairės į dešinę) per kritinį tašką išvestinė
pakeičia ženklą iš „+“ į „-“, tada taške funkcija
turi maksimumą; jei nuo "-" iki "+", tada minimumas; jeigu
nekeičia ženklo, tada nėra ekstremumo.
2 taisyklė. Tegul taške
pirmoji funkcijos išvestinė
nulis
, o antroji išvestinė egzistuoja ir yra nulis. Jeigu
, tada yra maksimalus taškas, jei
, tada yra mažiausias funkcijos taškas.
Pavyzdys 6.4 . Ištirkite maksimalias ir minimalias funkcijas:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Sprendimas.
1) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
.
Raskime išvestinę
ir išspręskite lygtį
, t.y.
.iš čia
yra kritiniai taškai.
Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose ,
.
Pravažiuojant taškus
ir
išvestinė keičia ženklą iš „–“ į „+“, todėl pagal 1 taisyklę
yra minimalūs taškai.
Kai eina per tašką
išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“, taigi
yra maksimalus taškas.
,
.
2) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale
. Raskime išvestinę
.
Išspręsdami lygtį
, rasti
ir
yra kritiniai taškai. Jei vardiklis
, t.y.
, tada išvestinė neegzistuoja. Taigi,
yra trečias kritinis taškas. Išvestinės ženklą nustatykime intervalais.
Todėl funkcija taške turi minimumą
, maksimalus taškuose
ir
.
3) Funkcija yra apibrėžta ir tolydi, jei
, t.y. adresu
.
Raskime išvestinę
.
Raskime kritinius taškus:
Taškų apylinkės
nepriklauso apibrėžimo sričiai, todėl jie nėra ekstremalūs t. Taigi panagrinėkime kritinius taškus
ir
.
4) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
. Mes naudojame taisyklę 2. Raskite išvestinę
.
Raskime kritinius taškus:
Raskime antrąją išvestinę
ir nustatyti jo ženklą taškuose
Taškuose
funkcija turi minimumą.
Taškuose
funkcija turi maksimumą.
Atgal į priekį
Dėmesio! Skaidrės peržiūra skirta tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visos pristatymo apimties. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.
Tikslai:
- formuoti lyginių ir nelyginių funkcijų sampratą, išmokyti šias savybes nustatyti ir panaudoti funkcijų tyrime, braižyme;
- ugdyti kūrybiškumą mokinių veikla, loginis mąstymas, gebėjimas lyginti, apibendrinti;
- ugdyti darbštumą, matematinę kultūrą; ugdyti bendravimo įgūdžius .
Įranga: multimedijos instaliacija, interaktyvi lenta, dalomoji medžiaga.
Darbo formos: frontalinis ir grupinis su paieškos ir tiriamosios veiklos elementais.
Informacijos šaltiniai:
1. Algebros klasė 9 A.G.Mordkovičius. Vadovėlis.
2. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovičius. Užduočių knyga.
3. Algebros 9 klasė. Mokinių mokymosi ir tobulėjimo užduotys. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.
UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU
1. Organizacinis momentas
Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas.
2. Namų darbų tikrinimas
Nr.10.17 (Problemų knyga 9 klasė A.G. Mordkovich).
a) adresu = f(X), f(X) =
b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 už X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcija didėja su X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ribojama iš apačios.
7. adresu nuoma = - 3, adresu naib neegzistuoja
8. Funkcija yra nuolatinė.
(Ar naudojote funkcijų tyrinėjimo algoritmą?) Skaidrė.
2. Patikrinkime lentelę, kurios buvo prašoma skaidrėje.
Užpildykite lentelę | |||||
Domenas |
Funkcijos nuliai |
Pastovumo intervalai |
Grafo susikirtimo su Oy taškų koordinatės | ||
x = -5, |
х € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
|||
x ∞ -5, |
х € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
|||
x ≠ -5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
3. Žinių atnaujinimas
– Suteiktos funkcijos.
– Nurodykite kiekvienos funkcijos apibrėžimo sritį.
– Palyginkite kiekvienos funkcijos reikšmę kiekvienai argumentų reikšmių porai: 1 ir – 1; 2 ir - 2.
– Kurioms iš pateiktų funkcijų apibrėžimo srityje yra lygybės f(– X)
= f(X), f(– X) = – f(X)? (sudėkite duomenis į lentelę) Skaidrė
f(1) ir f(– 1) | f(2) ir f(– 2) | diagramas | f(– X) = –f(X) | f(– X) = f(X) | ||
1. f(X) = | ||||||
2. f(X) = X 3 | ||||||
3. f(X) = | X | | ||||||
4.f(X) = 2X – 3 | ||||||
5. f(X) = | X ≠ 0 |
|||||
6. f(X)= | X > –1 | ir neapibrėžtas. |
– Atlikdami šį darbą, vaikinai, atskleidėme dar vieną funkcijos savybę, jums nepažįstamą, bet ne mažiau svarbią už kitas – tai funkcijos tolygumas ir keistumas. Užrašykite pamokos temą: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“, mūsų užduotis – išmokti nustatyti lygines ir nelygines funkcijas, išsiaiškinti šios savybės reikšmę funkcijų studijoms ir braižymui.
Taigi, susiraskime apibrėžimus vadovėlyje ir skaitykime (p. 110) . Skaidrė
Def. vienas Funkcija adresu = f (X) iškviečiamas aibėje X net, jei už kokią nors vertę XЄ X vyksta lygybė f (–x) = f (x). Pateikite pavyzdžių.
Def. 2 Funkcija y = f(x), apibrėžiamas aibėje X vadinamas nelyginis, jei už kokią nors vertę XЄ X tenkinama lygybė f(–х)= –f(х). Pateikite pavyzdžių.
Kur mes sutikome terminus „lyginis“ ir „nelyginis“?
Kaip manote, kuri iš šių funkcijų bus lygi? Kodėl? Kurie yra nelyginiai? Kodėl?
Bet kuriai formos funkcijai adresu= x n, kur n yra sveikasis skaičius, galima teigti, kad funkcija yra nelyginė n yra nelyginis, o funkcija lygi n- net.
– Peržiūrėti funkcijas adresu= ir adresu = 2X– 3 nėra nei lyginis, nei nelyginis, nes lygybės nesilaikoma f(– X) = – f(X), f(–
X) = f(X)
Klausimo, ar funkcija lyginė ar nelyginė, tyrimas vadinamas pariteto funkcijos tyrimu. Skaidrė
1 ir 2 apibrėžimai buvo susiję su funkcijos reikšmėmis x ir - x, todėl daroma prielaida, kad funkcija taip pat yra apibrėžta reikšme X, ir - X.
OPV 3. Jei skaičių aibėje kartu su kiekvienu jos elementu x yra priešingas elementas x, tada aibė X vadinama simetriška aibe.
Pavyzdžiai:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) yra simetriškos aibės, o , [–5;4] yra nesimetrinės.
– Ar net funkcijos turi apibrėžimo sritį – simetrinę aibę? Keistas?
- Jei D( f) yra asimetrinė aibė, tai kokia yra funkcija?
– Taigi, jei funkcija adresu = f(X) yra lyginis arba nelyginis, tada jo apibrėžimo sritis yra D( f) yra simetriškas rinkinys. Bet ar atvirkščiai, jei funkcijos sritis yra simetriška aibė, tada ji yra lyginė ar nelyginė?
- Taigi apibrėžimo srities simetrinės aibės buvimas yra būtina sąlyga, bet nepakankama.
– Taigi kaip galime ištirti pariteto funkciją? Pabandykime parašyti algoritmą.
Skaidrė
Pariteto funkcijos tyrimo algoritmas
1. Nustatykite, ar funkcijos sritis yra simetriška. Jei ne, tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jei taip, pereikite prie 2 algoritmo veiksmo.
2. Parašykite išraišką už f(–X).
3. Palyginkite f(–X).ir f(X):
- jeigu f(–X).= f(X), tada funkcija lygi;
- jeigu f(–X).= – f(X), tada funkcija yra nelyginė;
- jeigu f(–X) ≠ f(X) ir f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
Pavyzdžiai:
Ištirkite pariteto a) funkciją adresu= x 5 +; b) adresu= ; in) adresu= .
Sprendimas.
a) h (x) \u003d x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrinė aibė.
2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),
3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + nelyginis.
b) y =,
adresu = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrinė aibė, todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
in) f(X) = , y = f(x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
2 variantas
1. Ar duotoji aibė yra simetriška: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
a); b) y \u003d x (5 - x 2).
a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra lygi funkcija.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra nelyginė funkcija.
Abipusis patikrinimas skaidrė.
6. Namų darbai: №11.11, 11.21,11.22;
Pariteto savybės geometrinės reikšmės įrodymas.
*** (parinkties USE priskyrimas).
1. Nelyginė funkcija y \u003d f (x) yra apibrėžta visoje realioje eilutėje. Bet kuriai neneigiamai kintamojo x vertei šios funkcijos reikšmė sutampa su funkcijos g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Raskite funkcijos h( X) = at X = 3.
7. Apibendrinimas
Netgi funkcija.
Netgi Iškviečiama funkcija, kurios ženklas nesikeičia keičiant ženklą x.
x lygybė f(–x) = f(x). Pasirašyti x neturi įtakos ženklui y.
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių ašiai (1 pav.).
Net funkcijų pavyzdžiai:
y= cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Paaiškinimas:
Paimkime funkciją y = x 2 arba y = –x 2 .
Už bet kokią vertę x funkcija yra teigiama. Pasirašyti x neturi įtakos ženklui y. Grafikas yra simetriškas koordinačių ašiai. Tai lygi funkcija.
nelyginė funkcija.
nelyginis yra funkcija, kurios ženklas keičiasi pakeitus ženklą x.
Kitaip tariant, už bet kokią vertę x lygybė f(–x) = –f(x).
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu (2 pav.).
Nelyginės funkcijos pavyzdžiai:
y= nuodėmė x
y = x 3
y = –x 3
Paaiškinimas:
Paimkite funkciją y = - x 3 .
Visos vertybės adresu jis turės minuso ženklą. Tai yra ženklas x paveikia ženklą y. Jei nepriklausomas kintamasis yra teigiamas skaičius, tada funkcija yra teigiama, jei nepriklausomas kintamasis yra neigiamas skaičius, tada funkcija yra neigiama: f(–x) = –f(x).
Funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei. Tai keista funkcija.
Lyginių ir nelyginių funkcijų savybės:
PASTABA:
Ne visos funkcijos yra lyginės ar nelyginės. Yra funkcijų, kurioms tokia gradacija netaikoma. Pavyzdžiui, šaknies funkcija adresu = √X netaikomas nei lyginėms, nei nelyginėms funkcijoms (3 pav.). Išvardijant tokių funkcijų savybes, reikia atitinkamai apibūdinti: nei lyginis, nei nelyginis.
Kaip žinote, periodiškumas yra tam tikrų procesų pasikartojimas tam tikru intervalu. Šiuos procesus apibūdinančios funkcijos vadinamos periodines funkcijas. Tai yra, tai yra funkcijos, kurių grafikuose yra elementai, kurie kartojasi tam tikrais skaitiniais intervalais.
Slėpti Rodyti
Funkcijos nustatymo būdai
Tegu funkcija pateikiama formule: y=2x^(2)-3 . Priskirdami bet kokią reikšmę nepriklausomam kintamajam x, galite naudoti šią formulę atitinkamoms priklausomo kintamojo y reikšmėms apskaičiuoti. Pavyzdžiui, jei x=-0.5 , tai naudojant formulę gauname, kad atitinkama y reikšmė yra y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .
Atsižvelgiant į bet kurią reikšmę, kurią paima x argumentas formulėje y=2x^(2)-3 , galima apskaičiuoti tik vieną ją atitinkančią funkcijos reikšmę. Funkciją galima pavaizduoti kaip lentelę:
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Naudodami šią lentelę galite išsiaiškinti, kad argumento -1 reikšmė atitiks funkcijos -3 reikšmę; o reikšmė x=2 atitiks y=0 ir pan. Taip pat svarbu žinoti, kad kiekviena argumento reikšmė lentelėje atitinka tik vieną funkcijos reikšmę.
Daugiau funkcijų galima nustatyti naudojant grafikus. Grafo pagalba nustatoma, kuri funkcijos reikšmė koreliuoja su tam tikra x reikšme. Dažniausiai tai bus apytikslė funkcijos reikšmė.
Lyginė ir nelyginė funkcija
Funkcija yra lygi funkcija, kai f(-x)=f(x) bet kuriam x iš domeno. Tokia funkcija bus simetriška Oy ašiai.
Funkcija yra nelyginė funkcija kai f(-x)=-f(x) bet kuriam srities x atveju. Tokia funkcija bus simetriška kilmei O (0;0) .
Funkcija yra net ne, nei keista ir paskambino funkcija bendras vaizdas kai jis neturi simetrijos ašies arba pradžios atžvilgiu.
Nagrinėjame šią pariteto funkciją:
f(x)=3x^(3)–7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) su simetriška kilmės apibrėžimo sritimi. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Vadinasi, funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) yra nelyginė.
Periodinė funkcija
Funkcija y=f(x) , kurios srityje f(x+T)=f(x-T)=f(x) yra teisinga bet kuriam x, vadinama periodinė funkcija su periodu T \neq 0 .
Funkcijos grafiko pakartojimas bet kuriame abscisių ašies segmente, kurio ilgis T .
Intervalai, kai funkcija yra teigiama, tai yra f (x) > 0 – abscisių ašies atkarpos, atitinkančios funkcijos grafiko taškus, esančius virš abscisių ašies.
f(x) > 0 įjungta (x_(1); x_(2)) \puodelis (x_(3); +\infty)
Tarpai, kuriuose funkcija yra neigiama, t. y. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \puodelis (x_(2); x_(3))
Funkcijos apribojimas
apribota iš apačiosįprasta vadinti funkciją y=f(x), x \in X, kai egzistuoja skaičius A, kuriam nelygybė f(x) \geq A galioja bet kuriam x \in X .
Toliau apribotos funkcijos pavyzdys: y=\sqrt(1+x^(2)), nes y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 bet kuriam x .
apribota iš viršaus funkcija y=f(x), x \in X iškviečiama, jei yra skaičius B, kuriam nelygybė f(x) \neq B galioja bet kuriam x \in X .
Toliau nurodytos funkcijos pavyzdys: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] kadangi y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 bet kuriam x \in [-1;1] .
Ribotasįprasta vadinti funkciją y=f(x), x \in X, kai egzistuoja skaičius K > 0, kuriam nelygybė \left | f(x) \dešinė | \neq K bet kuriam x \in X .
Apribotos funkcijos pavyzdys: y=\sin x yra apribotas sveikoje skaičiaus eilutėje, nes \kairė | \sin x \right | \neq 1.
Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas
Įprasta kalbėti apie funkciją, kuri didėja nagrinėjamame intervale kaip didinanti funkcija kai didesnė x reikšmė atitiks didesnę funkcijos y=f(x) reikšmę. Iš čia paaiškėja, kad iš nagrinėjamo intervalo paėmus dvi savavališkas argumento x_(1) ir x_(2) reikšmes ir x_(1) > x_(2) , tai bus y(x_(1)) > y(x_(2)) .
Funkcija, kuri mažėja nagrinėjamu intervalu, vadinama mažėjanti funkcija kai didesnė x reikšmė atitiks mažesnę funkcijos y(x) reikšmę. Iš čia paaiškėja, kad iš nagrinėjamo intervalo paėmus dvi savavališkas argumento x_(1) ir x_(2) reikšmes ir x_(1) > x_(2) , tai bus y(x_(1))< y(x_{2}) .
Funkcijų šaknysįprasta įvardyti taškus, kuriuose funkcija F=y(x) kerta abscisių ašį (jie gaunami sprendžiant lygtį y(x)=0 ).
a) Jei lyginė funkcija didėja, kai x > 0, tai mažėja x< 0
b) Kai lyginė funkcija sumažėja, kai x > 0, tada ji didėja, kai x< 0
c) Kai nelyginė funkcija didėja, kai x > 0, tada ji didėja ir x< 0
d) Kai nelyginė funkcija sumažėja, kai x > 0, tada ji taip pat mažės ir x< 0
Funkcijų kraštutinumai
Funkcijos minimalus taškas y=f(x) įprasta vadinti tokį tašką x=x_(0) , kuriame jo kaimynystėje bus kiti taškai (išskyrus tašką x=x_(0) ), o jiems tada nelygybė f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - funkcijos žymėjimas taške min.
Funkcijos maksimalus taškas y=f(x) įprasta vadinti tokį tašką x=x_(0) , kuriame jo kaimynystėje bus kiti taškai (išskyrus tašką x=x_(0) ), o tada nelygybė f(x) bus už juos patenkinti< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Būtina sąlyga
Pagal Ferma teoremą: f"(x)=0, tada, kai funkcija f(x) , kuri yra diferencijuojama taške x_(0) , šiame taške atsiras ekstremumas.
Pakankama būklė
- Kai išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tada x_(0) bus minimalus taškas;
- x_(0) - bus maksimalus taškas tik tada, kai išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą eidama per stacionarų tašką x_(0) .
Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė intervale
Skaičiavimo žingsniai:
- Ieškau išvestinės f"(x) ;
- Surandami stacionarūs ir kritiniai funkcijos taškai bei parenkami intervalui priklausantys taškai;
- Funkcijos f(x) reikšmės randamos stacionariose ir kritinius taškus ir segmento galai. Mažiausias rezultatas bus mažiausia vertė funkcijas, ir dar - didžiausias.
- (Matema.) Funkcija y \u003d f (x) iškviečiama, net jei ji nesikeičia, kai nepriklausomas kintamasis keičia tik ženklą, tai yra, jei f (x) \u003d f (x). Jei f (x) = f (x), tai funkcija f (x) vadinama nelygine. Pavyzdžiui, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...
F(x) = x pavyzdys nėra lygi funkcija. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
Funkcija, kuri tenkina lygybę f (x) = f (x). Žr. Lyginės ir Nelyginės funkcijos... Didžioji sovietinė enciklopedija
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija
Specialios funkcijos, kurias 1868 m. pristatė prancūzų matematikas E. Mathieu, spręsdamas elipsės membranos virpesių uždavinius. M. f. taip pat naudojami tiriant elektromagnetinių bangų sklidimą elipsiniame cilindre ... Didžioji sovietinė enciklopedija
„Nuodėmės“ prašymas nukreipiamas čia; taip pat žr. kitas reikšmes. Užklausa „sec“ nukreipiama čia; taip pat žr. kitas reikšmes. "Sine" peradresuoja čia; žr. ir kitas reikšmes ... Vikipedija