Найти точку симметричную точке онлайн. Простейшие задачи с прямой на плоскости
Механика
Формулы кинематики:
Кинематика
Механическое движение
Механическим движением называется изменение положения тела (в пространстве) относительно других тел (с течением времени).
Относительность движения. Система отсчета
Чтобы описать механическое движение тела (точки), нужно знать его координаты в любой момент времени. Для определения координат следует выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат . Часто телом отсчета служит Земля, с которой связывается прямоугольная декартова система координат. Для определения положения точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчета времени.
Система координат, тело отсчета, с которым она связана, и прибор для измерения времени образуют систему отсчета , относительно которой рассматривается движение тела.
Материальная точка
Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют материальной точкой .
Тело можно рассматривать как материальную точку, если его размеры малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит, или по сравнению с расстояниями от него до других тел.
Траектория, путь, перемещение
Траекторией движения называется линия, вдоль которой движется тело. Длина траектории называется пройденным путем . Путь – скалярная физическая величина, может быть только положительным.
Перемещением называется вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории.
Движение тела, при котором все его точки в данный момент времени движутся одинаково, называется поступательным движением . Для описания поступательного движения тела достаточно выбрать одну точку и описать ее движение.
Движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, называется вращательным движением.
Метр и секунда
Чтобы определить координаты тела, необходимо уметь измерять расстояние на прямой между двумя точками. Любой процесс измерения физической величины заключается в сравнении измеряемой величины с единицей измерения этой величины.
Единицей измерения длины в Международной системе единиц (СИ) является метр . Метр равен примерно 1/40 000 000 части земного меридиана. По современному представлению метр – это расстояние, которое свет проходит в пустоте за 1/299 792 458 долю секунды.
Для измерения времени выбирается какой-нибудь периодически повторяющийся процесс. Единицей измерения времени в СИ принята секунда . Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения атома цезия при переходе между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния.
В СИ длина и время приняты за независимые от других величины. Подобные величины называются основными .
Мгновенная скорость
Для количественной характеристики процесса движения тела вводится понятие скорости движения.
Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени t называется отношение очень малого перемещения Ds к малому промежутку времени Dt, за который произошло это перемещение:
Мгновенная скорость – векторная величина. Мгновенная скорость перемещения всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения тела.
Единицей скорости является 1 м/с. Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м.
Ускорение
Ускорением называется векторная физическая величина, равная отношению очень малого изменения вектора скорости к малому промежутку времени, за которое произошло это изменение, т.е. это мера быстроты изменения скорости:
Метр в секунду за секунду – это такое ускорение, при котором скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за время 1 с изменяется на 1 м/с.
Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости () при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости.
Если тело движется по прямой и его скорость возрастает, то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости; при убывании скорости – противоположно направлению вектора скорости.
При движении по криволинейной траектории направление вектора скорости изменяется в процессе движения, вектор ускорения при этом может оказаться направлен под любым углом к вектору скорости.
Равномерное, равноускоренное прямолинейное движение
Движение с постоянной скоростью называется равномерным прямолинейным движением . При равномерном прямолинейном движении тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути.
Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным движением . При таком движении скорость тела изменяется с течением времени.
Равнопеременным называется такое движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину, т.е. движение с постоянным ускорением.
Равноускоренным называется равнопеременное движение, при котором величина скорости возрастает. Равнозамедленным – равнопеременное движение, при котором величина скорости уменьшается.
Важнейшей характеристикой при движении тела является его скорость. Зная ее, а также некоторые другие параметры, мы всегда можем определить время движения, пройденное расстояние, начальную, конечную скорость и ускорение. Равноускоренное движение же является только одним из типов движения. Обычно оно встречается в задачах по физике из раздела кинематики. В подобных задачах тело принимают за материальную точку, что существенно упрощает все расчеты.
Скорость. Ускорение
Прежде всего, хотелось бы обратить внимание читателя на то, что эти две физических величины являются не скалярными, а векторными. А это значит, что при решении определенного рода задач необходимо обращать внимание на то, какое ускорение имеет тело в плане знака, а также каков вектор самой скорости тела. Вообще в задачах исключительно математического плана подобные моменты опускают, но в задачах по физике это достаточно важно, поскольку в кинематике из-за одного неверно поставленного знака ответ может получиться ошибочным.
Примеры
В качестве примера можно привести равноускоренное и равнозамедленное движение. Равноускоренное движение характеризуется, как известно, разгоном тела. Ускорение остается постоянным, но скорость непрерывно увеличивается в каждый отдельный момент времени. А при равнозамедленном движении ускорение имеет отрицательное значение, скорость тела непрерывно снижается. Эти два вида ускорения заложены в основу многих физических задач и достаточно часто встречаются в задачах первой части тестов по физике.
Пример равноускоренного движения
Равноускоренное движение мы встречаем ежедневно повсеместно. Ни один автомобиль не движется в реальной жизни равномерно. Даже если стрелка спидометра показывает ровно 6 километров в час, следует понимать, что это на самом деле не совсем так. Во-первых, если разбирать данный вопрос с технической точки зрения, то первым параметром, который будет давать неточность, станет прибор. Вернее, его погрешность.
Их мы встречаем во всех контрольно-измерительных приборах. Те же самые линейки. Возьмите штук десять хоть одинаковых (по 15 сантиметров, например) линеек, хоть разных (15, 30, 45, 50 сантиметров). Приложите их друг к другу, и вы заметите, что есть небольшие неточности, а их шкалы не совсем совпадают. Это и есть погрешность. В данном случае она будет равна половине цены деления, как и у других приборов, выдающих определенные значения.
Вторым фактором, который будет давать неточность, является масштаб прибора. Спидометр не учитывает такие величины, как половина километра, одна вторая километра и так далее. Заметить на приборе это глазом достаточно тяжело. Практически невозможно. Но ведь изменение скорости есть. Пускай на такую маленькую величину, но все же. Таким образом, это будет равноускоренное движение, а не равномерное. То же самое можно сказать и про обычный шаг. Идем, допустим, мы пешком, и кто-то говорит: наша скорость - 5 километров в час. Но это не совсем так, а почему, было рассказано немного выше.
Ускорение тела
Ускорение может быть положительным и отрицательным. Об этом говорилось ранее. Добавим, что ускорение - это векторная величина, которая числено равна изменению скорости за определенный промежуток времени. То есть через формулу его можно обозначить следующим образом: a = dV/dt, где dV - изменение скорости, dt - промежуток времени (изменение времени).
Нюансы
Сразу может возникнуть вопрос о том, как ускорение при таком раскладе может быть отрицательным. Те люди, которые задают подобный вопрос, мотивируют это тем, что даже скорость не может быть отрицательной, не то что время. На самом деле время отрицательным быть действительно не может. Но очень часто забывают о том, что скорость принимать отрицательные значения вполне может. Это же векторная величина, не следует забывать об этом! Все дело, наверное, в стереотипах и некорректном мышлении.
Так вот, для решения задач достаточно уяснить одну вещь: ускорение будет положительным в том случае, если тело разгоняется. И оно будет отрицательным в том случае, если тело тормозит. Вот и все, достаточно просто. Простейшее логическое мышление или способность видеть между строк уже будет, по сути дела, частью решения физической задачи, связанной со скоростью и ускорением. Частный случай - это ускорение свободного падения, и оно не может быть отрицательным.
Формулы. Решение задач
Следует понимать, что задачи, связанные со скоростью и ускорением, бывают не только практического, но и теоретического характера. Поэтому мы будем разбирать их и по возможности постараемся объяснить, почему тот или иной ответ правильный или, наоборот, неправильный.
Теоретическая задача
Очень часто на экзаменах по физике в 9 и 11 классах можно встретить подобные вопросы: "Как будет вести себя тело, если сумма всех действующих на него сил равна нулю?". На самом деле формулировка вопроса может быть самой разной, но ответ все равно один. Здесь первым делом в ход нужно пускать поверхностные здания и обыкновенное логическое мышление.
На выбор ученика предоставляется 4 ответа. Первый: “скорость будет равна нулю”. Второй: “скорость тела убывает в течение некоторого периода времени”. Третий: “скорость тела постоянна, но она точно не равна нулю”. Четвертый: “скорость может иметь любое значение, но в каждый момент времени она будет постоянной”.
Правильным ответом здесь будет, конечно же, четвертый. Сейчас разберемся, почему именно так. Давайте попробуем рассмотреть все варианты по очереди. Как известно, сумма всех сил, действующих на тело, есть произведение массы на ускорение. Но масса у нас остается величиной постоянной, ее мы отбросим. То есть если сумма всех сил равна нулю, ускорение тоже будет равно нулю.
Итак, предположим, что скорость будет равна нулю. Но этого не может быть, поскольку нулю у нас равно ускорение. Чисто физически это допустимо, но только не в данном случае, поскольку сейчас речь идет о другом. Пускай скорость тела убывает в течение некоторого периода времени. Но как она может убывать, если ускорение постоянно, и оно равно нулю? Никаких причин и предпосылок для убывания или возрастания скорости нет. Поэтому второй вариант мы отметаем.
Предположим, что скорость тела постоянна, но она точно не равна нулю. Она действительно будет постоянной в силу того, что ускорение просто-напросто отсутствует. Но нельзя однозначно сказать, что скорость будет отлична от нулевой. А вот четвертый вариант - прямо в яблочко. Скорость может быть любой, но, поскольку ускорение отсутствует, она будет постоянной во времени.
Практическая задача
Определите, какой путь был пройден телом в определенный период времени t1-t2 (t1 = 0 секунд, t2 = 2 секунды), если имеются следующие данные. Начальная скорость тела на отрезке от 0 до 1 секунды равна 0 метров в секунду, конечная - 2 метра в секунду. Скорость тела по состоянию на время 2 секунды равна также 2 метрам в секунду.
Решить подобную задачу достаточно просто, нужно лишь уловить ее суть. Итак, требуется найти путь. Ну что же, начнем искать его, предварительно выделив два участка. Как легко заметить, первый участок пути (от 0 до 1 секунды) тело проходит равноускоренно, о чем свидетельствует увеличение его скорости. Тогда найдем это ускорение. Его можно выразить как разность скоростей, разделенную на время движения. Ускорение будет равно (2-0)/1 = 2 метра на секунду в квадрате.
Соответственно, расстояние, пройденное на первом участке пути S будет равно: S = V0t + at^2/2 = 0*1 + 2*1^2/2 = 0 + 1 = 1 метр. На втором же участке пути в период от 1 секунды до 2 секунд тело движется равномерно. Значит, расстояние будет равно V*t = 2*1 = 2 метра. Теперь суммируем расстояния, получаем 3 метра. Это и есть ответ.
Выводятся формулы прямолинейного движения материальной точки для трех способов задания движения - при известной зависимости координаты от времени; при известной зависимости ускорения от времени и ускорения от координаты. Рассмотрены прямолинейное равномерное и прямолинейное равноускоренное движения.
СодержаниеОсновные формулы прямолинейного движения
Пусть материальная точка движется по оси .
Далее и обозначают координату и скорость точки в начальный момент времени .
Если задан закон изменения ее координаты от времени
:
,
то дифференцируя координату по времени, получаем скорость и ускорение точки:
;
.
Пусть нам известна зависимость ускорения от времени
:
.
Тогда зависимости скорости и координаты от времени определяются по формулам:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
Пусть нам известна зависимость ускорения от координаты
:
.
Тогда зависимость скорости от координаты имеет вид:
(5)
.
Зависимость координаты от времени определяется в неявном виде:
(6)
.
Для прямолинейного равномерного движения
:
;
;
.
Для прямолинейного равноускоренного движения
:
;
;
;
.
Приведенные здесь формулы можно применить не только для прямолинейного движения, но и для некоторых случаев криволинейного движения . Например для трехмерного движения в прямоугольной системе координат , если движение вдоль оси не зависит от проекций величин на другие координатные оси. Тогда формулы (1) - (6) дают зависимости для проекций величин на ось .
Также эти формулы применимы при движении по заданной траектории при естественном способе задания движения. Только здесь в качестве координаты выступает длина дуги траектории, отсчитываемая от выбранного начала отсчета . Тогда вместо проекций и следует подставить и - проекции скорости и ускорения на выбранное направление касательной к траектории.
Прямолинейное движение при известной зависимости координаты от времени
Рассмотрим случай, когда материальная точка движется по прямой линии. Выберем систему координат с началом в произвольной точке . Ось направим вдоль линии движения точки. Тогда положение точки однозначно определяется значением одной координаты .
Если задан закон изменения координаты от времени :
,
то дифференцируя по времени ,
найдем закон изменения скорости:
.
При точка движется в положительном направлении оси (на рисунке слева направо). При точка движется в отрицательном направлении оси (на рисунке справа налево).
Дифференцируя скорость по времени, находим закон изменения ускорения:
.
Поскольку прямая не имеет кривизны, то радиус кривизны траектории можно считать бесконечно большим, .
Тогда нормальное ускорение равно нулю:
.
То есть ускорение точки тангенциальное (касательное):
.
Что вполне естественно, поскольку и скорость и ускорение точки направлены по касательной к траектории - прямой, вдоль которой происходит движение.
Если и одного знака (то есть оба положительные или оба отрицательные), то модуль скорости увеличивается (скорость возрастает по абсолютной величине). Если и разных знаков, то модуль скорости уменьшается (скорость убывает по абсолютной величине).
Прямолинейное движение при известном ускорении
Ускорение, зависящее от времени
Пусть нам известен закон изменения ускорения от времени:
.
Нашей задачей является найти закон изменения скорости и закон изменения координаты от времени:
;
.
Применим формулу:
.
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
;
.
Здесь - постоянная интегрирования. Отсюда видно, что только по известной зависимости ускорения от времени, нельзя однозначно определить зависимость скорости от времени. Мы получили целое множество законов изменения скорости, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную .
Чтобы найти нужный нам закон изменения скорости, мы должны задать еще одно значение. Как правило таким значением является значение скорости в начальный момент времени .
Чтобы это сделать перейдем от неопределенного интеграла к определенному:
.
Пусть - скорость точки в начальный момент времени .
Подставим :
;
;
.
Таким образом закон изменения скорости от времени имеет вид:
(1)
.
Аналогичным образом определяем закон изменения координаты от времени.
.
(2)
.
Здесь - значение координаты в начальный момент времени .
Подставим (1) в (2).
.
Область интегрирования в двойном интеграле.
Если изменить порядок интегрирования в двойном интеграле, то получим:
.
Таким образом, мы получили следующие формулы:
(3)
;
(4)
.
Ускорение, зависящее от координаты
Пусть теперь нам известен закон изменения ускорения от координаты:
.
Нам нужно решить дифференциальное уравнение:
.
Это дифференциальное уравнение не содержит независимую переменную в явном виде. Общий метод решения таких уравнений рассмотрен на странице “Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие независимую переменную в явном виде ”. Согласно этому методу мы считаем, что является функцией от :
;
.
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
;
.
Извлекая корень нужно учесть, что скорость может быть как положительной, так и отрицательной. На небольшом удалении от точки ,
знак определяется знаком постоянной .
Однако, если ускорение направлено противоположно скорости, то скорость точки уменьшится до нуля и направление движения изменится на противоположное. Поэтому правильный знак, плюс или минус, выбирается при рассмотрении конкретного движения.
(5)
.
В начале движения
.
Теперь определяем зависимость координаты от времени. Дифференциальное уравнение для координаты имеет вид:
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Разделяем переменные и интегрируем:
(6)
.
Это уравнение определяет зависимость координаты от времени в неявном виде.
Прямолинейное равномерное движение
Применим полученные выше результаты для случая прямолинейного равномерного движения. В этом случае ускорение
.
;
.
То есть скорость является постоянной, а координата линейно зависит от времени. Формулы (5) и (6) дают тот же самый результат.
Прямолинейное равноускоренное движение
Теперь рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
В этом случае ускорение является величиной постоянной:
.
По формулам (1) и (2) находим:
;
.
Если применим формулу (5), то получим зависимость скорости от координаты:
.
Прямолинейное движение в векторном виде
Полученные формулы можно представить в векторном виде. Для этого достаточно умножить уравнения, определяющие , и на единичный вектор (орт) , направленный вдоль оси .
Тогда радиус-вектор точки, векторы скорости и ускорения имеют вид:
;
;
.
Равнопеременное движение. Уравнения скорости и перемещения при равнопеременном движении. Графическое представление равнопеременного движения.
Краткий ответ
равноускоренным или равнопеременным движением .
Обозначения:
Начальная скорость тела
Ускорение тела
Время движения тела
S(t) - изменение перемещения (пути) со временем
a(t) - изменение ускорения со временем
Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) - прямая линия, параллельная оси времени.
Зависимость скорости от времени . При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости . Графиком является наклонная линия.
Правило определения пути по графику v(t): Путь тела - это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.
Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела - это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.
Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости . В координатах зависимость имеет вид . Графиком является ветка параболы.
Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным илипеременным движением .
Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости:
Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.
В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость , которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt :
Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории .
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.
Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением .
Скорость при равноускоренном движении по прямой - это начальная скорость тела плюс ускорение данного тела умноженное на время в пути
Перемещение при равноускоренном движении по прямой - это расстояние пройденное телом по прямой (расстояние между начальной и конечной точками движения)
Обозначения:
Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой
Начальная скорость тела
Скорость тела при равноускоренном движении по прямой
Ускорение тела
Время движения тела
Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:
- если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.
- если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения
Графическое представление неравномерного прямолинейного движения
Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:
(t) - изменение скорости со временем