Normalleştirilmiş rastgele değişken. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri, istatistiksel ve olasılıksal değerleri
Yukarıda rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını öğrendik. Her dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olasılıklarının özelliklerini kapsamlı bir şekilde tanımlar ve bir rastgele değişkenle ilişkili herhangi bir olayın olasılığının hesaplanmasını mümkün kılar. Ancak pek çok pratik konuda böyle bir şeye ihtiyaç yoktur. tam açıklama ve genellikle dağılımın temel özelliklerini karakterize eden yalnızca bireysel sayısal parametreleri belirtmek yeterlidir. Örneğin, rastgele bir değişkenin değerlerinin etrafına dağıldığı ortalama, bu dağılımın büyüklüğünü karakterize eden bir sayı. Bu sayılar, dağılımın en önemli özelliklerini kısa ve öz bir biçimde ifade etmeyi amaçlamaktadır ve bu sayılara denir. Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri.
Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri arasında öncelikle rastgele değişkenin sayısal eksendeki konumunu sabitleyen özellikleri dikkate alıyoruz; olası değerlerinin etrafında gruplandığı rastgele bir değişkenin bazı ortalama değerleri. Olasılık teorisindeki konumun özelliklerinden en büyük rolü, matematiksel beklenti, bazen basitçe rastgele değişkenin ortalaması olarak adlandırılır.
Ayrık SV'nin değerleri aldığını varsayalım. x ( , x 2 ,..., x n olasılıklarla R J, sayfa 2,... Ptv'de onlar. dağıtım serisiyle verilir
Bu deneylerde değerin olması mümkündür. x x gözlemlendi N( zamanlar, değer x 2 - N 2 kere,..., değer x n - N n bir kere. Aynı zamanda + N 2 +... + Nn =N.
Gözlem sonuçlarının aritmetik ortalaması
Eğer N harika, yani N-"ah o zaman
dağıtım merkezini tanımlar. Bu şekilde elde edilen bir rastgele değişkenin ortalama değerine matematiksel beklenti adı verilecektir. Tanımın sözlü formülasyonunu verelim.
Tanım 3.8. Matematiksel beklenti (MO) ayrık SV%, tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamına ve bu değerlerin olasılığına eşit bir sayıdır (M gösterimi;):
Şimdi ayrık SV'nin olası değerlerinin sayısının sayılabilir olduğu durumu düşünün; RR'miz var
Matematiksel beklentinin formülü aynı kalır, yalnızca üst sınır miktarlar N oo ile değiştirilir, yani
Bu durumda, zaten farklılaşabilecek bir seri elde ederiz, yani. karşılık gelen CB^'nin matematiksel bir beklentisi olmayabilir.
Örnek 3.8. Dağıtım serisi tarafından verilen SV?
Bu SV'nin MO'sunu bulalım.
Çözüm. Tanım gereği. onlar. Mt. mevcut değil.
Böylece SV'nin sayılabilir sayıda değeri olması durumunda aşağıdaki tanımı elde ederiz.
Tanım 3.9. Matematiksel beklenti veya ortalama değer, ayrık SV, sayılabilir sayıda değere sahip olmak, bu serinin kesinlikle yakınsaması koşuluyla, tüm olası değerlerinin bir dizi çarpımının karşılık gelen olasılıklara göre toplamına eşit bir sayıdır;
Eğer bu seri koşullu olarak ıraksar veya yakınsarsa, o zaman CB^'nin matematiksel bir beklentisinin olmadığını söylüyorlar.
Ayrık bir SV'den yoğunluğa sahip sürekli bir SV'ye geçelim p(x).
Tanım 3.10. Matematiksel beklenti veya ortalama değer, sürekli CB eşit sayıya denir
Bu integralin mutlak yakınsak olması şartıyla.
Eğer bu integral koşullu olarak ıraksar veya yakınsarsa, o zaman sürekli SV'nin matematiksel bir beklentisi olmadığını söylerler.
Açıklama 3.8. J rastgele değişkeninin olası tüm değerleri ise;
yalnızca aralığa aittir ( A; B), O
Olasılık teorisinde kullanılan tek konum özelliği matematiksel beklenti değildir. Bazen mod ve medyan olarak kullanılırlar.
Tanım 3.11. Moda CB^ (tanım Mot) en olası değerine denir, yani. bunun için olasılık ben veya olasılık yoğunluğu p(x) en büyük değerine ulaşır.
Tanım 3.12. Medyan SV?, (tanım Buluştu) değeri bunun için çağrılır P(t> Buluştu) = P(? > Buluştu) = 1/2.
Geometrik olarak, sürekli bir NE için medyan, eksen üzerindeki o noktanın apsisidir. Ah, bunun solunda ve sağında kalan alanlar aynı ve 1/2'ye eşittir.
Örnek 3.9. kuzeydoğuT,bir dağıtım serisi var
SV'nin matematiksel beklentisini, modunu ve medyanını bulalım
Çözüm. MЪ,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. Lo/o? = 2. Ben(?) yok.
Örnek 3.10. Sürekli CB%'nin bir yoğunluğu vardır
Matematiksel beklentiyi, medyanı ve modu bulalım.
Çözüm.
p(x) Maksimuma ulaştığında, noktadan geçen doğrunun sağ ve sol tarafındaki alanlar eşit olduğundan medyanın da eşit olacağı açıktır.
Olasılık teorisinde konum özelliklerine ek olarak çeşitli amaçlara yönelik bir takım sayısal özellikler de kullanılmaktadır. Bunlar arasında başlangıç ve merkezi anlar özellikle önemlidir.
Tanım 3.13. K. derecenin ilk anı SV?, matematiksel beklenti olarak adlandırılır k-inci bu miktarın dereceleri: =M(t > k).
Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler için matematiksel beklentinin tanımlarından şu sonuç çıkar:
Açıklama 3.9. Açıkçası, 1. derecenin başlangıç anı matematiksel beklentidir.
Merkezi momenti tanımlamadan önce, yeni bir merkezli rastgele değişken kavramı tanıtıyoruz.
Tanım 3.14. ortalanmış SV, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasıdır;
Bunu doğrulamak kolaydır
Rastgele bir değişkeni ortalamak, açıkça orijini M; noktasına taşımaya eşdeğerdir. Merkezi bir rastgele değişkenin momentlerine denir. merkezi noktalar.
Tanım 3.15. K. derecenin merkezi anı SV%'ye matematiksel beklenti denir k-inci merkezli rastgele değişkenin derecesi:
Matematiksel beklentinin tanımından şu sonuç çıkıyor:
Açıkçası, herhangi bir rastgele değişken ^ için 1. dereceden merkezi moment sıfıra eşittir: cx= M(?0) = 0.
İkinci merkezi nokta uygulama açısından özellikle önemlidir. 2 ile. Buna dağılım denir.
Tanım 3.16. Varyans SV?, karşılık gelen merkezi büyüklüğün karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır (gösterim) D?)
Varyansı hesaplamak için aşağıdaki formülleri doğrudan tanımdan alabilirsiniz:
Formül (3.4)'ü dönüştürerek aşağıdaki hesaplama formülünü elde edebiliriz: DL;
SV dağılımı bir karakteristiktir dağılım rasgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında saçılması.
Varyans, rastgele bir değişkenin karesi boyutundadır ve bu her zaman uygun değildir. Bu nedenle, açıklık sağlamak amacıyla, dağılımın bir özelliği olarak boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşen bir sayının kullanılması uygundur. Bunu yapmak için dağılımdan özütleyin karekök. Ortaya çıkan değer denir standart sapma rastgele değişken. Bunu a olarak göstereceğiz: a = l/s.
Negatif olmayan SV? için bazen bir karakteristik olarak kullanılır varyasyon katsayısı, standart sapmanın matematiksel beklentiye oranına eşittir:
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bilerek, olası değerlerinin aralığı hakkında yaklaşık bir fikir edinebilirsiniz. Çoğu durumda, % rastgele değişkeninin değerlerinin yalnızca ara sıra M aralığının dışına çıktığını varsayabiliriz; ± İçin. Daha sonra açıklayacağımız bu normal dağılım kuralına denir. üç sigma kuralı.
Beklenti ve varyans, bir rastgele değişkenin en yaygın kullanılan sayısal özellikleridir. Matematiksel beklenti ve dağılımın tanımından, bu sayısal özelliklerin bazı basit ve oldukça açık özellikleri takip eder.
Tek hücrelimatematiksel beklenti ve dağılım özellikleri.
1. Rastgele olmayan bir değerin matematiksel beklentisi İle c değerine eşittir: M(ler) = sn.
Gerçekten de değer olduğundan İle olasılığı 1 olan tek bir değer alırsa M(c) = İle 1 = sn.
2. Rastgele olmayan c miktarının varyansı sıfıra eşittir, yani. D(c) = 0.
Gerçekten mi, Dc = M(s - Mc) 2 = M(s)- c) 2 = M( 0) = 0.
3. Matematiksel beklentinin işareti olarak rastgele olmayan bir çarpan çıkarılabilir: M(c^) = c M(?,).
Ayrık bir SV örneğini kullanarak bu özelliğin geçerliliğini gösterelim.
SV'nin bir dağılım serisiyle verilebilmesine izin verin
Daha sonra
Buradan,
Bu özellik sürekli bir rastgele değişken için benzer şekilde kanıtlanır.
4. Rastgele olmayan çarpan, kare dağılımının işaretinden çıkarılabilir:
Bir rastgele değişkenin momentleri ne kadar çok bilinirse, dağıtım yasasını o kadar ayrıntılı olarak anlarız.
Olasılık teorisinde ve uygulamalarında, 3. ve 4. derecelerin merkezi momentlerine dayalı olarak bir rastgele değişkenin iki sayısal özelliği daha kullanılır - asimetri katsayısı = mx, a 1.0 = mx
a 0,1 = M = m y, a 0,1 = m y (7)
X ve Y rastgele değişkenlerinin matematiksel beklentilerini temsil eder.
Birinci dereceden merkezi momentler doğal olarak sıfıra eşittir.
İkinci derecenin ilk anları:
İkinci dereceden merkezi momentler:
İlk iki an varyansı temsil eder ve üçüncüsü denir kovaryans(veya korelasyon anı) K xy ile gösterilen rastgele değişkenler (X,Y):
Kovaryansın tanımı gereği
Kxy = Kyx (11)
onlar. İndeksler yer değiştirdiğinde kovaryans değişmez.
Rastgele değişkenlerin varyansı şu şekilde düşünülebilir: özel durum kovaryanslar:
onlar. Rastgele değişkenlerin dağılımı "kendisiyle kovaryanstan" başka bir şey değildir. (Bağımsız rastgele değişkenler için kovaryans 0'dır. Bunu kendiniz kanıtlayın).
K xy kovaryansını daha düşük derecelerin başlangıç momentleri cinsinden ifade etmek uygundur:
K xy =a 1,1 -a 1,0 ×a 0,1 veya K xy =M-M[X]×M[Y] (13)
Şu formülü hatırlamakta yarar var: İki rastgele değişkenin kovaryansı, çarpımlarının beklenen değerinden beklenen değerlerinin çarpımına eşittir.
Kovaryans yalnızca rastgele değişkenlerin bağımlılık derecesini değil aynı zamanda (m x ,m y) noktası etrafındaki dağılımları.
Kovaryans boyutu, X ve Y rastgele değişkenlerinin boyutlarının çarpımına eşittir. Yalnızca bağımlılığı karakterize eden boyutsuz bir miktar elde etmek için kovaryans, r.s.'nin çarpımına bölünür. s x y .
r xy =K xy /s x s y (14)
r xy miktarına denir korelasyon katsayısı rastgele değişkenler X ve Y. Bu katsayı yalnızca dereceyi karakterize eder doğrusal bu miktarların bağımlılıkları. Bağımlılık, bir rastgele değişken arttığında diğerinin de artma (veya azalma) eğiliminde olmasıyla ortaya çıkar. İlk durumda, r xy >0 ve şunu söylüyorlar: rastgele değişkenler X ve Y pozitif olarak ilişkilidir, ikinci r xy'de<0, и корреляция отрицательна.
Herhangi bir X ve Y rastgele değişkeni için
İki rastgele değişkenin kovaryansı sıfır ise: K xy =0, bu durumda X ve Y rastgele değişkenlerine denir ilişkisiz, eğer K xy ¹0 ise, o zaman ilişkili.
Rastgele değişkenlerin bağımsızlığından, bunların korelasyonsuz olduğu sonucu çıkar; ancak rastgele değişkenlerin korelasyonsuzluğundan (r xy =0) bağımsızlıkları henüz gelmemektedir. Eğer r xy =0 ise bu sadece şu anlama gelir: doğrusal bağlantı eksikliği rastgele değişkenler arasında; başka herhangi bir bağlantı türü mevcut olabilir.