100'ün kökü nedir? Yüzün karekökü nedir? Kare kökü nasıl seversin? Temiz
"Ticaret" devrimi
Komkov Sergey 26.12.2012
Rusya'nın DTÖ'ye yakın zamanda katılımının arka planında, ticaret (ve her şeyden önce dış ticaret) ilişkileri sisteminde önde gelen Rus üniversitesi olan Rus Devlet Teknik Üniversitesi'nin yıkılması ve rektörünün görevden alınması, ünlü politikacı Sergei Baburin, sadece aptallık gibi görünmüyor. Bütün bunlar önceden planlanmış bir provokasyona çok benzer.
Görünüşe göre Dünya Ticaret Örgütü ve çoğunlukla ABD burada oynuyor Esas rol, ciddi endişeliydi Olası sonuçlar Rusya'nın bu organizasyonuna giriş.
Ama sonra Rusya'da uzun zamandır ve başarılı bir şekilde yetiştirdikleri ve besledikleri organizasyonun faaliyet gösterdiğini zamanla hatırladılar - Yüksek Lisans Ekonomi. 1992'de Dünya Bankası'nın parasıyla ülkemizdeki milletin tüm entelektüel potansiyelini yok etmek için yaratılan oydu. Liderliği altında, bu alandaki ana kolektif “etki ajanı” olan Rusya Eğitim ve Bilim Bakanlığı bugün faaliyet gösteriyor.
Yeni bakan bakanın - eğitim türleri ve yönleri arasında zorlukla ayrım yapan Bay Livanov'un aptallığı ve beceriksizliği hakkında çok ve durmadan konuşabilirsiniz. Ama kendi içinde Bay Livanov, asasız mutlak bir sıfırdır. Ağzından, her açıldığında, bir sonraki saçmalık kesinlikle dışarı fırlayacaktır. Arkasında daha renkli figürler beliriyor. Örneğin, ülkemizdeki tüm ekonomik dönüşümlerin ana "ideoloğu" ABD vatandaşı Yevgeny Yasin ve uşağı, EYO'nun rektörü Yaroslav Kuzminov.
EYO temelinde aktif olarak çalışan Dünya Bankası'ndan Amerikalı danışmanların önerisiyle, Rus üniversitelerinin sözde “izlenmesi” için kriterleri oluşturan onlardı.
Ve bu "kriterlere" göre, en önemli Rus yüksek öğretim kurumlarının "verimsiz" kategorisine girdiği hiç kimse için bir sır değil. Zengin bir geçmişe ve geleneklere sahip, büyük bir yaratıcı potansiyele sahip üniversiteler. Örneğin, Moskova Mimarlık Enstitüsü, Rusya Devlet Beşeri Bilimler Üniversitesi, Edebiyat Enstitüsü.
Rusya Devlet Ticaret ve Ekonomi Üniversitesi - RGTEU bu kategoriye girdi. Her ne kadar göstergelerinin çoğuna göre, bu üniversite aniden katılmaya karar verdiği “Pleshka” ya yüz puan verebilir. Ve her şeyden önce, dış ticaret sistemi için uzman yetiştirme konularında.
RGTEU'nun yalnızca büyük uluslararası bağlantıları yoktur. Ticaret gelişiminin özelliklerini kapsamlı bir şekilde inceler. yabancı ülkeler. Bu üniversitenin duvarları içinde dünyanın önde gelen ekonomik ve siyasi şahsiyetleri, büyükelçiler yabancı devletler. Bu üniversitenin fahri doktorları dünyanın önde gelen liderleridir. Örneğin, Fidel Castro ve Hugo Chavez.
Ve bunlar, bildiğiniz gibi, Amerika'nın "yeminli dostları". Yani böyle tehlikeli bir yok etmek için araçlar Eğitim kurumu. Böylece, Tanrı korusun Rusya, “doğru yolu” kapatmaz ve Amerikan müşterilerinin çıkarlarına ihanet etmez.
Ve Rusya'da ve sınırlarının çok ötesinde tanınmış bir politikacı ve bilim adamı olan rektörün kişiliği, boğazdaki bir kemik gibi Amerikalı amcalarımızda duruyordu.
Sergei Baburin, Rusya Devlet Dumasının önceki kompozisyonunda başkan yardımcılığını işgal eden parlamento muhalefetinin liderlerinden sadece biri değildi. Sovyet sonrası alanda Rusya'nın yeni politikasının aktif bir destekçisiydi. 2006 yılında Abhazya halkının en derin siyasi krizden çıkmasına aktif olarak yardım eden oydu. Bu arada, yine aynı aptal ve hükümet yetkililerinin ve Rusya cumhurbaşkanlığı yönetiminin Amerikan danışmanlarının iradesine itaatkar tarafından yönlendirildi.
Sergei Baburin'in çabaları sayesinde, Sergei Bagapş liderliğindeki ilerici güçler Abhazya'da üstünlüğü ele geçirdi. Ve 2008'den beri Abhazya, Rusya'nın Kuzey Kafkasya'daki ana stratejik ortağı haline geldi.
Böyle bir pozisyon, sağlam, dengeli bir vatanseverliğin ifadesidir. Bu nedenle, birkaç yıldır Baburin, Rusya Tüm Halk Birliği'nin başkanıdır ve yıllık geleneksel Rus Yürüyüşlerinin organizatörüdür. Gamalı haçlı, faşist sloganlı “Rusya sadece Ruslar içindir!” Ve meselelerde Rus ulusal çıkarlarını gözetme talepleri ile ülkenin tüm nüfusu için oldukça anlaşılır konuşmalar dış politika ve kendi halkına verdiği sosyal sözleri yerine getirir.
Ama ofislerde yerleşik Amerikan uşaklarının sevmediği şey de tam olarak budur. Rus hükümeti. Çünkü onlar için bizim şartlarımıza uyma zorunluluğu ulusal çıkarlar yüreğe bıçak gibi.
Böylece birinin aklına bir taşla iki kuş birden vurmak geldi: Hem Rusya'nın başarılı dış ticareti için uzmanlar yetiştiren üniversite, hem de vatansever rektörü.
Genellikle aptallar bu tür eylemler için en uygun olanlardır. Çünkü bildiğiniz gibi aslında ne yaptıklarını bilmiyorlar. Ancak bu özel durumda, ciddi hatalarla dolu çok ciddi bir hata olduğu ortaya çıkabilir. sosyal sonuçlar tüm ülke için.
Devlete ait pisliklere kıs kıs gülen ve her haksız eylemde kendilerini tamamen haklı gören memurlarımız, en basit gerçeği unuttular: genç ruhlar ve genç dürtüler üzerinde hiçbir güçleri yok.
1960'ların sonunda Fransa'da General de Gaulle hükümetini ortadan kaldıran bu türden dürtülerdi. Orada da her şey görünüşte zararsız şeylerle başladı. Ve genel kaos, isyanlar, yanan arabalar ve ofislerle sona erdi.
Gençler (özellikle örgütlü öğrenci gençlik) iktidarda olan ve bu nedenle bundan çok rahatsız olan bir grup iflas etmiş muhalefet politikacısı değildir. Öğrenci gençliği her zaman ve her zaman ana unsurlardan biri olmuştur. itici güçler devrim. Ve bugünün gençliği kuralın bir istisnası değildir. Aksine tam tersi. Toplumda ortaya çıkan sosyal adaletsizliğe ve eşitsizliğe özellikle duyarlı, en dik ve en radikal adımları atabilecek olan günümüz gençliğidir. Ve hükümet güç kullanmaya çalışırsa, bu onun için ölümcül olacaktır. Çünkü gençlik bunun için onu asla affetmeyecektir.
Bay Livanov ve ortakları, sorunu zorla çözmeye başlama niyetlerini açıkladıklarında Yüksek öğretimÜniversiteleri kapatıp birleştirerek aslında kendi kararlarına imza attılar. Hangi derin güçleri yükselttiklerini düşünmeye bile tenezzül etmediler. Ve sadece bugün kendilerini Eğitim ve Bilim Bakanlığı'nda lider konumlarda bulanlar için değil, her şey için trajik bir şekilde sona erecek. Rus liderliği genel olarak. Çünkü yerel olarak bastırılan bir gençlik isyanı bile unutulup gitmez. Yenilenmiş bir güçle olgunlaşır. Ama nerede ve ne zaman vuracağını kimse tahmin edemez.
Dolayısıyla RSTEU'daki olaylar yalnızca ilk bakışta bir tür “ticaret devrimi” gibi görünüyor. Aslında, kazananların olmayacağı daha sert ve daha kanlı bir toplumsal savaşın habercisidirler.
Kaybeden zaten biliniyor. Burası bizim Anavatanımız. Hala bazen gururla Rusya olarak adlandırdığımız bir ülke.
Bu nedenle, Eğitim ve Bilim Bakanlığı liderliğinin günümüzde tek bir eğitim kurumu ve tek bir rektör ile ilgili eylemleri, başka bir devlet adına ve yararına bir toplumsal savaşı kışkırtma olarak değerlendirilebilir.
Ve bunun adı: Ulusal İhanet.
karekök nedir?
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Bu kavram çok basittir. Doğal, derdim. Matematikçiler her eylem için bir tepki bulmaya çalışırlar. Toplama var, çıkarma var. Çarpma var, bölme var. Kareleme var ... Yani ayrıca var karekök çıkarma! Bu kadar. Bu hareket ( karekök almak) matematikte şu simgeyle gösterilir:
Simgenin kendisi denir güzel dünya "radikal".
Kök nasıl çıkarılır? düşünmek daha iyidir örnekler.
9'un karekökü nedir? Ve hangi sayının karesi bize 9 verecek? 3 kare bize 9 verir! Şunlar:
Sıfırın karekökü nedir? Sorun değil! Hangi sayının karesi sıfır verir? Evet, kendisi sıfır veriyor! Anlamına geliyor:
Yakalanmış karekök nedir? sonra düşünürüz örnekler:
Cevaplar (kargaşa içinde): 6; bir; dört; 9; 5.
Karar verilmiş? Gerçekten, çok daha kolay!
Ama... Kökleri olan bir görev gördüğünde insan ne yapar?
İnsan özlemeye başlar... Köklerin sadeliğine ve hafifliğine inanmaz. Biliyor gibi görünse de karekök nedir...
Bunun nedeni, bir kişinin kökleri incelerken birkaç önemli noktayı göz ardı etmesidir. Sonra bu hevesler acımasızca sınavlardan ve sınavlardan intikam alıyor...
Birinci nokta. Kökler görerek tanınmalıdır!
49'un karekökü nedir? Yedi? Doğru! Yedi olduğunu nereden bildin? Yedi kare ve 49 var mı? Doğru şekilde! Lütfen bunu not al kökü çıkar 49 kişiden ters işlemi yapmak zorunda kaldık - kare 7! Ve kaçırmadığımızdan emin olun. Ya da kaçırabilirler...
Zorluk orada yatıyor kök çıkarma. kare alma herhangi bir sayı herhangi bir sorun olmadan mümkündür. Sayıyı bir sütunda kendisiyle çarpın - hepsi bu. Ama için kök çıkarma bu kadar basit ve sorunsuz bir teknoloji yoktur. hesap vermek almak cevaplayın ve kare alarak isabet için kontrol edin.
Bu kompleks Yaratıcı süreç- bir cevap seçimi - büyük ölçüde basitleştirilmiş hatırlamak popüler sayıların kareleri Çarpım tablosu gibi. Diyelim ki 4 ile 6'yı çarpmanız gerekiyorsa - dördü 6 kez toplamazsınız, değil mi? Cevap hemen ortaya çıkıyor 24. Her ne kadar herkeste olmasa da, evet ...
Köklerle özgür ve başarılı bir çalışma için 1'den 20'ye kadar olan sayıların karelerini bilmek yeterlidir. orada ve geri.Şunlar. Hem 11'in karesini hem de 121'in karekökünü kolayca söyleyebilmelisiniz. Bu ezberlemeyi başarmanın iki yolu vardır. Birincisi kareler tablosunu öğrenmek. Bu örneklerle çok yardımcı olacaktır. İkincisi, daha fazla örnek çözmektir. Kareler tablosunu hatırlamak harika.
Ve hesap makinesi yok! Yalnızca doğrulama için. Aksi takdirde sınavda acımasızca yavaşlarsınız...
Yani, karekök nedir Ve nasıl kökleri çıkarmak- Bence anlaşılabilir. Şimdi onları NEDEN çıkarabileceğinizi öğrenelim.
İkinci nokta. Kök, seni tanımıyorum!
Hangi sayılardan karekök alabilirsiniz? Evet, hemen hemen hepsi. ne olduğunu anlamak daha kolay yasaktır onları çıkarın.
Bu kökü hesaplamaya çalışalım:
Bunu yapmak için, karesi bize -4 verecek bir sayı almalısınız. seçiyoruz.
Ne seçilmedi? 2 2 +4 verir. (-2) 2 tekrar +4 verir! İşte bu... Karesi alındığında bize negatif bir sayı verecek hiçbir sayı yoktur! Rakamları bilmeme rağmen. Ama sana söylemeyeceğim.) Üniversiteye git ve kendin öğren.
Aynı hikaye herhangi bir negatif sayı ile olacaktır. Sonuç olarak:
Negatif bir sayının karekök işaretinin altında olduğu bir ifade - mantıklı değil! Bu yasaklanmış bir işlemdir. Sıfıra bölmek kadar yasak. Bu gerçeği aklınızda tutun! Veya başka bir deyişle:
karekökleri negatif sayılarçıkarılamaz!
Ama geri kalan her şeyden - yapabilirsiniz. Örneğin, hesaplamak mümkündür
İlk bakışta, bu çok zor. Kesirleri alın, ancak kareyi alın ... Endişelenme. Köklerin özelliklerini ele aldığımızda, bu tür örnekler aynı kareler tablosuna indirgenecektir. Hayat daha kolay olacak!
Tamam kesirler. Ama yine de şöyle ifadelerle karşılaşıyoruz:
Önemli değil. Hepsi aynı. İkinin karekökü, karesi alındığında bize bir ikili verecek olan sayıdır. Sadece sayı tamamen eşit değil ... İşte burada:
İlginçtir ki bu kesir hiç bitmez... Bu tür sayılara irrasyonel denir. Kareköklerde, bu en yaygın şeydir. Bu arada, bu yüzden köklü ifadelere denir. mantıksız. Her zaman böyle sonsuz bir kesir yazmanın sakıncalı olduğu açıktır. Bu nedenle, yerine sonsuz kesir böyle bırakın:
Örneği çözerken, çıkarılamayan bir şey alırsanız, örneğin:
sonra öyle bırakıyoruz. Cevap bu olacak.
Simgelerin altında ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir.
Tabii eğer sayının kökü alınırsa düz, öyle yapmalısın. Formdaki görevin cevabı, örneğin
oldukça eksiksiz bir cevap.
Ve elbette, yaklaşık değerleri hafızadan bilmeniz gerekir:
Bu bilgi, karmaşık görevlerde durumu değerlendirmeye çok yardımcı olur.
Üçüncü nokta. En kurnaz.
Köklerle çalışmadaki ana kafa karışıklığı, sadece bu hevesle ortaya çıkıyor. Kendinden şüphe eden odur... Bu hevesle doğru dürüst başa çıkalım!
Başlamak için, yine dördünün karekökünü çıkarıyoruz. Ne, seni bu kökle zaten yakaladım mı?) Hiçbir şey, şimdi ilginç olacak!
4'ün karesine hangi sayı gelecek? Şey, iki, iki - Memnun olmayan cevaplar duyuyorum ...
Doğru. İki. Ama aynı zamanda eksi iki 4 kare verecek... Bu arada cevap
doğru ve cevap
en büyük hata. Bunun gibi.
Anlaşma nedir?
Nitekim, (-2) 2 = 4. Ve dördün karekökünün tanımı altında eksi iki oldukça uygun ... Bu da dördün karekökü.
Fakat! Okul matematik dersinde kare kökleri dikkate almak gelenekseldir. sadece negatif olmayan sayılar! Yani sıfır ve hepsi olumlu. Hatta özel bir terim icat edildi: numaradan a- bu negatif olmayan karesi olan sayı a. Aritmetik karekök çıkarılırken olumsuz sonuçlar basitçe atılır. Okulda, tüm karekökler - aritmetik. Özellikle belirtilmemiş olsa da.
Tamam, bu anlaşılabilir. Olumsuz sonuçlarla uğraşmamak daha da iyi... Henüz kafa karışıklığı değil.
Karışıklık, ikinci dereceden denklemleri çözerken başlar. Örneğin, aşağıdaki denklemi çözmeniz gerekir.
Denklem basit, cevabı yazıyoruz (öğretildiği gibi):
Bu cevap (bu arada oldukça doğru) sadece kısaltılmış bir gösterimdir. iki Yanıtlar:
Dur dur! Biraz daha yüksek karekökün bir sayı olduğunu yazdım Her zaman negatif olmayan! Ve işte cevaplardan biri - olumsuz! Düzensizlik. Bu, köklere güvensizliğe neden olan ilk (ama son değil) sorundur... Gelin bu sorunu çözelim. Cevapları (tamamen anlamak için!) şöyle yazalım:
Parantezler cevabın özünü değiştirmez. parantez ile ayırdım işaretler itibaren kök. Şimdi kökün kendisinin (parantez içinde) hala negatif olmayan bir sayı olduğu açıkça görülüyor! Ve işaretler denklemi çözmenin sonucu. Sonuçta, herhangi bir denklemi çözerken yazmalıyız tüm x, orijinal denklemde değiştirildiğinde doğru sonucu verecektir. Beşin (pozitif!) kökü, hem artı hem de eksi denklemimiz için uygundur.
Bunun gibi. Eğer sen sadece karekökünü al herhangi bir şeyden Her zaman almak bir negatif olmayan sonuç. Örneğin:
Çünkü bu - aritmetik karekök.
Ama eğer karar verirsen ikinci dereceden denklem, tip:
sonra Her zaman ortaya çıkıyor iki cevap (artı ve eksi ile):
Çünkü bu bir denklemin çözümüdür.
Ümit etmek, karekök nedir Puanlarınızla doğru anladınız. Şimdi köklerle neler yapılabileceğini, özelliklerinin neler olduğunu bulmaya devam ediyor. Ve geçici hevesler ve su altı kutuları nelerdir ... pardon taşlar!)
Bütün bunlar - sonraki derslerde.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Okuryazarlığın bir göstergesi olan birçok bilgi arasında alfabe ilk sırada yer almaktadır. Bir sonraki, aynı "işaret" öğesi, toplama-çarpma becerileri ve bunlara bitişik, ancak anlam olarak ters, çıkarma-bölmenin aritmetik işlemleridir. Uzak okul çocukluğunda öğrenilen beceriler gece gündüz sadakatle hizmet eder: TV, gazete, SMS ve okuduğumuz, yazdığımız, saydığımız, eklediğimiz, çıkardığımız, çarptığımız her yerde. Ve söyle bana, ülke dışında sık sık hayata kök salmak zorunda kaldın mı? Örneğin 12345 sayısının karekökü gibi eğlenceli bir problem... Toz mataralarda hala barut var mı? Yapabilir miyiz? Evet, daha kolay bir şey yok! Hesap makinem nerede ... Ve onsuz, el ele, zayıf mı?
İlk önce, ne olduğunu açıklayalım - bir sayının karekökü. Genel olarak konuşursak, "bir sayıdan kök çıkarmak", bir güce yükseltmenin tersi aritmetik işlemi yapmak anlamına gelir - burada yaşam uygulamasında karşıtların birliğine sahipsiniz. Diyelim ki bir kare, bir sayının kendi başına bir çarpımıdır, yani okulda öğrettikleri gibi, X * X = A veya başka bir gösterimde X2 = A ve kelimelerle - “X kare eşittir A”. O zaman ters problem şuna benzer: A sayısının karekökü, karesi alındığında A'ya eşit olan X sayısıdır.
Kare kökü çıkarma
İtibaren okul kursu aritmetik, ilk dördü kullanarak herhangi bir hesaplamanın yapılmasına yardımcı olan "bir sütunda" hesaplama yöntemlerini bilir. Aritmetik işlemler. Ne yazık ki ... Kare için ve sadece kare için değil, bu tür algoritmaların kökleri mevcut değil. Ve bu durumda, hesap makinesi olmadan karekök nasıl çıkarılır? Karekök tanımına dayanarak, yalnızca bir sonuç vardır - karesi kök ifadesinin değerine yaklaşan ardışık sayıların sıralanmasıyla sonucun değerini seçmek gerekir. Sadece ve her şey! Bir veya iki saat geçmeden, herhangi bir karekök olan bir "sütun" ile çarpmanın iyi bilinen yöntemi kullanılarak hesaplanabilir. Becerileriniz varsa, bunun için birkaç dakika yeterlidir. Oldukça gelişmiş olmayan bir hesap makinesi veya PC kullanıcısı bile bunu bir çırpıda yapar - ilerleme.
Ancak cidden, karekök hesaplaması genellikle “topçu çatalı” tekniği kullanılarak yapılır: ilk önce, karesi yaklaşık olarak kök ifadesine karşılık gelen bir sayı alırlar. "Bizim karemiz" bu ifadeden biraz daha küçük olursa daha iyi olur. Sonra sayıyı kendi beceri-anlayışlarına göre düzeltirler, örneğin iki ile çarparlar ve ... tekrar karesini alırlar. Sonuç, kök altındaki sayıdan daha büyükse, art arda orijinal sayıyı ayarlayarak, kök altındaki "meslektaşına" yavaş yavaş yaklaşır. Gördüğünüz gibi - hesap makinesi yok, yalnızca "bir sütunda" sayma yeteneği. Elbette, karekökü hesaplamak için birçok bilimsel gerekçeli ve optimize edilmiş algoritma vardır, ancak "evde kullanım" için yukarıdaki teknik, sonuca %100 güven verir.
Evet, neredeyse unutuyordum, artan okuryazarlığımızı doğrulamak için daha önce belirtilen 12345 sayısının karekökünü hesaplıyoruz. Adım adım yapıyoruz:
1. Tamamen sezgisel olarak X=100 alın. Hesaplayalım: X * X = 10000. Sezgi en üstte - sonuç 12345'ten az.
2. Tamamen sezgisel olarak X = 120'yi deneyelim. Sonra: X * X = 14400. Ve yine, sezgiyle, sıra - sonuç 12345'ten fazladır.
3. Yukarıda, 100 ve 120'lik bir “çatal” elde edilir, yeni sayıları seçelim - 110 ve 115. Sırasıyla 12100 ve 13225 alıyoruz - çatal daralıyor.
4. "Belki" X = 111'i deniyoruz. X * X = 12321 elde ederiz. Bu sayı zaten 12345'e oldukça yakındır. İstenilen kesinliğe uygun olarak, elde edilen sonuçta “montaj” devam ettirilebilir veya durdurulabilir. Bu kadar. Söz verildiği gibi - her şey çok basit ve hesap makinesi olmadan.
Biraz tarih...
kullanmayı düşünüyorum Karekök 800 yıl boyunca hala Pisagorlular, okulun öğrencileri ve Pisagor'un takipçileri. ve tam orada, sayılar alanında yeni keşiflerle "karşılaştık". Ve nereden geldi?
1. Kökün çıkarılmasıyla ilgili problemin çözümü, sonucu yeni bir sınıfın sayıları şeklinde verir. Mantıksız, başka bir deyişle "mantıksız" olarak adlandırıldılar, çünkü. tam sayı olarak yazılmazlar. Bu türün en klasik örneği 2'nin kareköküdür. Bu durum, bir kenarı 1'e eşit olan bir karenin köşegeninin hesaplanmasına karşılık gelir - işte burada, Pisagor okulunun etkisi. Kenarların çok belirli bir birim boyutuna sahip bir üçgende, hipotenüsün "sonu olmayan" bir sayı ile ifade edilen bir boyutu olduğu ortaya çıktı. Böylece matematikte ortaya çıktı
2. Bu matematiksel işlemin bir tane daha yakalama içerdiği ortaya çıktı - kökün çıkarılması, hangi sayının, pozitif veya negatif, kök ifadesinin hangi kare olduğunu bilmiyoruz. Bu belirsizlik, bir işlemin çift sonucu yazılır.
Bu fenomenle ilgili problemlerin incelenmesi, matematiksel fizikte büyük pratik öneme sahip olan karmaşık bir değişken teorisi olarak adlandırılan matematikte bir yön haline geldi.
Kökün tanımının - radikal - "Evrensel Aritmetiğinde" aynı her yerde bulunan I. Newton tarafından kullanılması ve kökün modern yazım biçiminin 1690'dan beri Frenchman Roll'un "Cebir El Kitabı" kitabından bilinmesi ilginçtir. ".
Oldukça sık, problemleri çözerken, çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. Kare kök. Birçok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve tüm örneği çözmeye başlar. Hiçbir durumda bu yapılmamalıdır! Bunun iki nedeni vardır:
- Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metinde;
- Bu köklerin neredeyse sözlü olarak ele alındığı bir algoritma var.
Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz gelebilir. Ama bu derse dikkat ederseniz, karşı en güçlü silahı alacaksınız. Karekök.
Yani algoritma:
- Yukarıda ve aşağıda istenen kökü 10'un katları ile sınırlayın. Böylece, arama aralığını 10 sayıya indireceğiz;
- Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacakları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacaktır;
- Bu 1-2 sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıya eşit olan bunların kökü olacaktır.
Bu algoritmayı pratikte uygulamadan önce, her bir adıma ayrı ayrı bakalım.
Kök kısıtlaması
Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında olduğunu bulmamız gerekiyor. Sayıların on'un katı olması son derece arzu edilir:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Bir dizi sayı elde ederiz:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Bu rakamlar bize ne veriyor? Çok basit: sınırlar elde ederiz. Örneğin 1296 sayısını alın. 900 ile 1600 arasındadır. Bu nedenle kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:
[Şekil başlığı]
Aynısı, karekökünü bulabileceğiniz diğer sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:
[Şekil başlığı]Böylece, anlaşılmaz bir sayı yerine, orijinal kökün bulunduğu çok özel bir aralık elde ederiz. Aramanın kapsamını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.
Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması
Yani, 10 numaramız var - kök için adaylar. Bir sütunda karmaşık düşünme ve çarpma olmadan onları çok hızlı bir şekilde aldık. Devam etme zamanı.
İster inanın ister inanmayın, şimdi aday sayısını ikiye indireceğiz - ve yine karmaşık hesaplamalar yapmadan! Özel kuralı bilmek yeterlidir. İşte burada:
Karenin son basamağı sadece son basamağa bağlıdır orijinal numara.
Başka bir deyişle, karenin son basamağına bakmak yeterlidir - ve orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.
Son sırada olabilen sadece 10 rakam vardır. Kare olduklarında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Bu tablo, kökü hesaplamaya yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi, ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Gördüğünüz gibi, son rakam her iki durumda da aynıdır. Bu da örneğin 3364'ün kökünün mutlaka 2 veya 8 ile bittiği anlamına gelir. Öte yandan, bir önceki paragraftaki kısıtlamayı hatırlıyoruz. Alırız:
[Şekil başlığı]Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ancak sonuçta, kök 50 ile 60 arasındadır ve üzerinde 2 ve 8 ile biten sadece iki sayı vardır:
[Şekil başlığı]Bu kadar! Tüm olası köklerden sadece iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda, çünkü son rakam 5 veya 0 olabilir. Ve sonra kökler için tek aday kalacak!
Son Hesaplamalar
Yani 2 aday numaramız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nereden biliyorsun? Cevap açık: iki sayının karesini alın. Karesi alınan orijinal sayıyı verecek ve kök olacaktır.
Örneğin, 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Bunların karesini alalım:
52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.
Bu kadar! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplam ve farkın kareleri formülünü kullandım. Bu sayede bir sütundaki sayıları çarpmanıza bile gerek kalmadı! Bu, hesaplamaların başka bir optimizasyon seviyesidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)
Kök Hesaplama Örnekleri
Teori elbette iyidir. Ama pratikte test edelim.
[Şekil başlığı]
İlk olarak, 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Sadece kök 4 veya 6 ile biterse iki sayı alırız:
Her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmak için kalır:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Harika! İlk kare orijinal sayıya eşit çıktı. Yani bu kök.
Bir görev. Kare kökü hesaplayın:
[Şekil başlığı]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Son sayıya bakalım:
1369 → 9;
33; 37.
karesini alalım:
33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.
İşte cevap: 37.
Bir görev. Kare kökü hesaplayın:
[Şekil başlığı]
Sayıyı sınırlıyoruz:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Son sayıya bakalım:
2704 → 4;
52; 58.
karesini alalım:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Cevabı aldık: 52. Artık ikinci sayının karesinin alınması gerekmeyecek.
Bir görev. Kare kökü hesaplayın:
[Şekil başlığı]
Sayıyı sınırlıyoruz:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Son sayıya bakalım:
4225 → 5;
65.
Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye tek bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenen kök. Ama yine de karesini alıp kontrol edelim:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Her şey doğru. Cevabı yazıyoruz.
Çözüm
Ne yazık ki, daha iyi değil. Nedenlerine bir göz atalım. İki tane var:
- İster GIA ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, herhangi bir normal matematik sınavında hesap makinesi kullanmak yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi taşıdıkları için sınavdan kolayca atılabilirler.
- Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Kökler gibi olmayan - onlar iki asal sayılar katlanamaz. Ve kesirleri görünce genellikle histerikleşirler.
Hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce öğrenciler ve öğretmenler karekökleri elle hesaplardı. Bir sayının karekökünü manuel olarak hesaplamanın birkaç yolu vardır. Bazıları sadece yaklaşık bir çözüm sunarken, diğerleri kesin bir cevap verir.
adımlar
asal çarpanlara ayırma
- Örneğin, 400'ün karekökünü (manuel olarak) hesaplayın. Önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 100'ün katıdır, yani 25'e bölünebilir - bu bir kare sayıdır. 400'ü 25'e bölmek size 16 verir. 16 sayısı da bir kare sayıdır. Böylece 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına, yani 25 x 16 = 400'e bölünebilir.
- Bu şu şekilde yazılabilir: √400 = √(25 x 16).
-
Bazı terimlerin çarpımının karekökü, her terimin karekökünün çarpımına eşittir, yani √(a x b) = √a x √b. Bu kuralı kullanın ve her kare faktörün karekökünü alın ve cevabı bulmak için sonuçları çarpın.
- Örneğimizde, 25 ve 16'nın karekökünü alın.
- √(25 x 16)
- √25 x √16
- 5 x 4 = 20
- Örneğimizde, 25 ve 16'nın karekökünü alın.
-
Radikal sayı iki kare çarpana ayırmazsa (ve çoğu durumda yapar), tam cevabı bir tamsayı olarak bulamayacaksınız. Ancak, kök sayıyı bir kare faktöre ve sıradan bir faktöre (tüm karekökün alınamayacağı bir sayı) ayırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. O zaman kare faktörünün karekökünü alacaksın ve sıradan faktörün kökünü alacaksın.
- Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare çarpana ayrılamaz, ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Problemi aşağıdaki gibi çözün:
- = √(49 x 3)
- = √49 x √3
- = 7√3
- Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare çarpana ayrılamaz, ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Problemi aşağıdaki gibi çözün:
-
Gerekirse kökün değerini değerlendirin. Artık kökün değerini (yaklaşık bir değer bulun), kök sayıya en yakın (sayı çizgisinin her iki tarafında) kare sayıların köklerinin değerleriyle karşılaştırarak değerlendirebilirsiniz. Kökün değerini şu şekilde alacaksınız: ondalık kesir, kök işaretinin arkasındaki sayı ile çarpılmalıdır.
- Örneğimize geri dönelim. Kök sayısı 3'tür. Buna en yakın kare sayılar 1 (√1 = 1) ve 4 (√4 = 2) sayılarıdır. Böylece, √3 değeri 1 ile 2 arasındadır. √3 değeri muhtemelen 2'ye 1'den daha yakın olduğundan, tahminimiz: √3 = 1.7'dir. Bu değeri kök işaretindeki sayı ile çarpıyoruz: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Hesaplamaları bir hesap makinesinde yaparsanız, cevabımıza oldukça yakın olan 12.13 elde edersiniz.
- Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin, √35'i düşünün. Kök sayısı 35'tir. Buna en yakın kare sayılar 25 (√25 = 5) ve 36 (√36 = 6) sayılarıdır. Böylece √35 değeri 5 ile 6 arasındadır. √35 değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğu için (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), √35'in biraz daha küçük olduğunu söyleyebiliriz. 6. Hesap makinesiyle kontrol etmek bize 5.92 cevabını verir - haklıydık.
- Örneğimize geri dönelim. Kök sayısı 3'tür. Buna en yakın kare sayılar 1 (√1 = 1) ve 4 (√4 = 2) sayılarıdır. Böylece, √3 değeri 1 ile 2 arasındadır. √3 değeri muhtemelen 2'ye 1'den daha yakın olduğundan, tahminimiz: √3 = 1.7'dir. Bu değeri kök işaretindeki sayı ile çarpıyoruz: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Hesaplamaları bir hesap makinesinde yaparsanız, cevabımıza oldukça yakın olan 12.13 elde edersiniz.
-
Diğer yol - kök sayısını asal çarpanlara ayır . Asal çarpanlar sadece 1'e ve kendilerine bölünebilen sayılardır. yazmak asal faktörler arka arkaya ve özdeş faktör çiftlerini bulun. Bu tür faktörler kökün işaretinden çıkarılabilir.
- Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Kök sayısını asal faktörlere ayırırız: 45 \u003d 9 x 5 ve 9 \u003d 3 x 3. Böylece, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). Kök işaretinden 3 alınabilir: √45 = 3√5. Şimdi √5 tahmin edebiliriz.
- Başka bir örnek düşünün: √88.
- = √(2 x 44)
- = √ (2 x 4 x 11)
- = √ (2 x 2 x 2 x 11). Üç çarpan 2'niz var; birkaç tane al ve onları kökün işaretinden çıkar.
- = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Şimdi √2 ve √11'i değerlendirebilir ve yaklaşık bir cevap bulabiliriz.
Karekökü manuel olarak hesaplama
Sütun bölmeyi kullanma
-
Bu yöntem, uzun bölme işlemine benzer bir işlem içerir ve doğru cevap verir.İlk önce, sayfayı ikiye bölen dikey bir çizgi çizin ve ardından dikey çizgiye sayfanın sağına ve üst kenarının biraz altına yatay bir çizgi çizin. Şimdi kök sayıyı, ondalık noktadan sonraki kesirli kısımdan başlayarak sayı çiftlerine bölün. Böylece 79520789182.47897 sayısı "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" şeklinde yazılır.
- Örneğin 780.14 sayısının karekökünü hesaplayalım. İki çizgi çizin (resimde gösterildiği gibi) ve sol üstteki sayıyı "7 80, 14" olarak yazın. Soldan ilk rakamın eşleşmemiş bir rakam olması normaldir. Cevap (kök verilen numara) sağ üstte yazılacaktır.
-
Soldan ilk sayı çifti (veya bir sayı) verildiğinde, karesi söz konusu sayı çiftinden (veya bir sayıdan) küçük veya ona eşit olan en büyük n tamsayısını bulun. Başka bir deyişle, soldan ilk sayı çiftine (veya tek sayıya) en yakın, ancak ondan küçük olan kare sayıyı bulun ve bu kare sayının karekökünü alın; n sayısını alacaksınız. Bulunan n'yi sağ üst köşeye ve sağ alt köşeye n karesini yazın.
- Bizim durumumuzda soldaki ilk sayı 7 olacaktır. Sonraki, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
-
Az önce bulduğunuz n sayısının karesini soldaki ilk sayı çiftinden (veya bir sayıdan) çıkarın. Hesaplamanın sonucunu çıkarılan sayının altına yazın (n sayısının karesi).
- Örneğimizde, 3'ü elde etmek için 7'den 4'ü çıkarın.
-
İkinci sayı çiftini not edin ve önceki adımda elde edilen değerin yanına yazın. Ardından sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu sağ alta "_×_=" ekleyerek yazın.
- Örneğimizde ikinci sayı çifti "80"dir. 3'ten sonra "80" yazın. Ardından sağ üstteki sayıyı ikiye katlayınca 4 çıkıyor. Sağ alttan "4_×_=" yazın.
-
Sağdaki boşlukları doldurun.
- Bizim durumumuzda, tire yerine 8 sayısını koyarsak, 48 x 8 \u003d 384, yani 380'den fazladır. Bu nedenle, 8 çok büyük bir sayıdır, ancak 7 iyidir. Kısa çizgi yerine 7 yazın ve şunu elde edin: 47 x 7 \u003d 329. Sağ üstten 7 yazın - bu, 780.14 sayısının istenen karekökündeki ikinci basamaktır.
-
Ortaya çıkan sayıyı soldaki geçerli sayıdan çıkarın. Bir önceki adımın sonucunu soldaki mevcut sayının altına yazın, farkı bulun ve çıkarılan sayının altına yazın.
- Örneğimizde, 51'e eşit olan 380'den 329'u çıkarın.
-
4. adımı tekrarlayın. Yıkılan sayı çifti orijinal sayının kesirli kısmıysa, tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını (virgül) sağ üstten istenen karekök içine koyun. Solda, sonraki sayı çiftini aşağı taşıyın. Sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu sağ alta "_×_=" ekleyerek yazın.
- Örneğimizde, yıkılacak bir sonraki sayı çifti 780.14 sayısının kesirli kısmı olacaktır, bu nedenle tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını sağ üstten istenen karekök içine koyun. 14'ü yıkın ve sol alt köşeye yazın. Sağ üst (27) iki katı 54, bu nedenle sağ altta "54_×_=" yazın.
-
5. ve 6. adımları tekrarlayın. Bul onu en büyük sayıçarpım sonucunun soldaki mevcut sayıdan küçük veya ona eşit olması için sağdaki tire yerine (tire yerine aynı sayıyı kullanmanız gerekir).
- Örneğimizde, soldaki mevcut sayıdan (5114) daha küçük olan 549 x 9 = 4941. Sağ üst köşeye 9 yazın ve çarpmanın sonucunu soldaki geçerli sayıdan çıkarın: 5114 - 4941 = 173.
-
Karekök için daha fazla ondalık basamak bulmanız gerekiyorsa, soldaki geçerli sayının yanına bir çift sıfır yazın ve 4, 5 ve 6. adımları tekrarlayın. ondalık).
Süreci anlamak
-
S sayısının ilk Sa rakam çiftini düşünün (örneğimizde Sa = 7) ve karekökünü bulun. Bu durumda, karekökün aranan değerinin ilk basamağı A, karesi S a'dan küçük veya ona eşit olan bir basamak olacaktır (yani, A² eşitsizliğini sağlayan böyle bir A arıyoruz). ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
- Diyelim ki 88962'yi 7'ye bölmemiz gerekiyor; burada ilk adım benzer olacaktır: bölünebilir sayı 88962'nin (8) ilk basamağını düşünüyoruz ve 7 ile çarpıldığında 8'e eşit veya daha küçük bir değer veren en büyük sayıyı seçiyoruz. eşitsizliğin doğru olduğu bir d sayısı: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
Bu yöntemde ustalaşmak için, karekökünü S karesinin alanı olarak bulmanız gereken sayıyı hayal edin. Bu durumda, böyle bir karenin L kenarının uzunluğunu arayacaksınız. L² = S olan L değerini hesaplayın.
Cevabınızdaki her rakam için bir harf girin. L değerindeki (istenen karekök) ilk basamağı A ile belirtin. B ikinci basamak, C üçüncü basamak vb.
Her bir baştaki rakam çifti için bir harf belirleyin. S değerindeki ilk basamak çiftini S a ile, ikinci basamak çiftini S b ile belirtin, vb.
Bu yöntemin uzun bölme ile bağlantısını açıklayınız. Bölme işleminde olduğu gibi, bölünebilir sayının yalnızca bir sonraki basamağıyla ilgilendiğimizde, karekökü hesaplarken sırayla bir çift basamakla çalışırız (kare kök değerinde sonraki bir basamağı elde etmek için) .
Kök sayısını, kare sayılar olan faktörlere ayırın. Kök numarasına bağlı olarak, yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, tüm karekökün alınabileceği sayılardır. Çarpanlar, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin, 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğu için 25, 36, 49 sayıları kare sayılardır, çünkü √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kare çarpanları kare sayılar olan faktörlerdir. İlk olarak, kök sayıyı kare çarpanlara ayırmaya çalışın.