Калькулятор онлайн. Розв'язання нерівностей: лінійні, квадратні та дробові
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Що таке "квадратна нерівність"?Не питання!) Якщо взяти будь-якеквадратне рівняння та замінити в ньому знак "=" (рівно) на будь-який значок нерівності ( > ≥ < ≤ ≠ ), вийде квадратна нерівність. Наприклад:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Ну ви зрозуміли...)
Я не дарма тут зв'язав рівняння та нерівності. Справа в тому, що перший крок у вирішенні будь-якогоквадратної нерівності - вирішити рівняння, з якого ця нерівність зроблена.З цієї причини - нездатність вирішувати квадратні рівняння автоматично призводить до повного провалу та в нерівностях. Натяки зрозумілі?) Якщо що, подивіться, як вирішувати будь-які квадратні рівняння. Там все докладно розписано. А у цьому уроці ми займемося саме нерівностями.
Готова для вирішення нерівність має вигляд: ліворуч - квадратний тричлен ax 2 +bx+c, праворуч - нуль.Знак нерівності може бути абсолютно будь-яким. Перші два приклади тут вже готові до вирішення.Третій приклад треба ще підготувати.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, яка називається в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи представлений на малюнку нижче. (На графіці представлена функція y дорівнює k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці.)
Видно, що графік складається із двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить в одному з напрямків дедалі ближче до осей координат. Осі координат у разі називають асимптотами.
Взагалі будь-які прямі лінії, яких нескінченно наближається графік функції, але з досягає їх, називаються асимптотами. У гіперболи, як і параболи, є осі симетрії. Для гіперболи, представленої малюнку вище, це пряма y=x.
Тепер розберемося із двома спільними випадками гіпербол. Графіком функції y = k/x, при k ≠0, буде гіпербола, гілки якої розташовані або в першому і третьому координатних кутах, при k>0, або в другому і четвертому координатних кутах, при k<0.
Основні властивості функції y = k/x при k>0
Графік функції y = k/x при k>0
5. y>0 при x>0; y6. Функція зменшується як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).
10. Область значень функції двох відкритих проміжків (-∞;0) та (0;+∞).
Основні властивості функції y = k/x при k<0
Графік функції y = k/x при k<0
1. Крапка (0; 0) центр симетрії гіперболи.
2. Осі координат – асимптоти гіперболи.
4. Область визначення функції всіх х, крім х=0.
5. y>0 при x0.
6. Функція зростає як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).
7. Функція не обмежена ні знизу, ні згори.
8. Функція не має ні найбільшого, ні найменшого значень.
9. Функція безперервна на проміжку (-∞;0) та на проміжку (0;+∞). Має розрив у точці х = 0.
y (x) = e x, похідна якої дорівнює самій функції.Експоненту позначають так, або.
Число e
Підставою ступеня експоненти є число e. Це ірраціональне число. Воно приблизно рівне
е ≈ 2,718281828459045...
Число e визначається через межу послідовності. Це так званий, друга чудова межа:
.
Також число e можна подати у вигляді ряду:
.
Графік експоненти
Графік експоненти, y = e x.На графіці представлено експонента, еу ступені х.
y (x) = е х
На графіку видно, що експонент монотонно зростає.
Формули
Основні формули такі ж, як і для показової функції з основою ступеня е.
;
;
;
Вираз показової функції з довільною основою ступеня a через експоненту:
.
Приватні значення
Нехай y (x) = e x. Тоді
.
Властивості експоненти
Експонента має властивості показової функції з основою ступеня е > 1 .
Область визначення, безліч значень
Експонента y (x) = e xвизначена всім x .
Її область визначення:
- ∞ < x + ∞
.
Її безліч значень:
0
< y < + ∞
.
Екстремуми, зростання, спадання
Експонента є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні її властивості представлені у таблиці.
Зворотня функція
Зворотним для експонентів є натуральний логарифм.
;
.
Похідна експоненти
Похідна еу ступені хдорівнює еу ступені х
:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >
Інтеграл
Комплексні числа
Дії з комплексними числами здійснюються за допомогою формули Ейлера:
,
де є уявна одиниця:
.
Вирази через гіперболічні функції
;
;
.
Вирази через тригонометричні функції
;
;
;
.
Розкладання в статечний ряд
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео.
Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.
Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Ступінні чи показові рівняння– це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.
Приклади показових рівнянь:
У цьому прикладі число 6 є підставою воно завжди стоїть внизу, а змінна xступенем чи показником.
Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0
Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?
Візьмемо просте рівняння:
2 х = 2 3
Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частина дорівнювали потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:
2 х = 2 3
х = 3
Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.
Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.
Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.
Тепер вирішуємо кілька прикладів:
Почнемо із простого.
Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.
x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2
У прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9.
3 3х - 9 х +8 = 0
Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:
Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.
3 3х = (3 2) х+8
Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 тепер видно що у лівій і правій стороні основи однакові та рівні трійці, отже ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня.
3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.
Дивимося такий приклад:
2 2х + 4 - 10 4 х = 2 4
Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.
4 х = (2 2) х = 2 2х
І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m:
2 2х+4 = 2 2х 2 4
Додаємо до рівняння:
2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24
Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:
2 2х (2 4 - 10) = 24
Порахуємо вираз у дужках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Усі рівняння ділимо на 6:
Представимо 4 = 2 2:
2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.
Розв'яжемо рівняння:
9 х - 12 * 3 х +27 = 0
Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х
Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0
Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо:
Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2
Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:
t 2 - 12t + 27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
Повертаємось до змінної x.
Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х
Стало бути,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.
На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання, що цікавлять, ми Вам обов'язково відповімо.
Вступайте до групи
Порівнювати величини та кількості при вирішенні практичних завдань доводилося ще з давніх часів. Тоді ж з'явилися і такі слова, як більше і менше, вище і нижче, легше і важче, тихіше і голосніше, дешевше і дорожче, що позначають результати порівняння однорідних величин.
Поняття більше і менше виникли у зв'язку з рахунком предметів, виміром та порівнянням величин. Наприклад, математики Стародавньої Греції знали, що сторона будь-якого трикутника менша за суму двох інших сторін і що проти більшого кута в трикутнику лежить велика сторона. Архімед, займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших діаметра.
Символічно записувати співвідношення між числами та величинами за допомогою знаків > та b. Записи, у яких два числа з'єднані одним із знаків: > (більше), З числовими нерівностями ви зустрічалися й у молодших класах. Знаєте, що нерівності можуть бути вірними, а можуть бути й невірними. Наприклад, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) правильна числова нерівність, 0,23 > 0,235 - неправильна числова нерівність.
Нерівності, до яких входять невідомі, можуть бути вірними за одних значень невідомих і невірними за інших. Наприклад, нерівність 2x+1>5 правильна при х = 3, а при х = -3 - неправильна. Для нерівності з одним невідомим можна поставити завдання вирішити нерівність. Завдання розв'язання нерівностей практично ставляться і вирішуються не рідше, ніж завдання розв'язання рівнянь. Наприклад, багато економічних проблем зводяться до дослідження та вирішення систем лінійних нерівностей. Багато розділах математики нерівності зустрічаються частіше, ніж рівняння.
Деякі нерівності є єдиним допоміжним засобом, що дозволяє довести або спростувати існування певного об'єкта, наприклад, кореня рівняння.
Числові нерівності
Ви вмієте порівнювати цілі числа, десяткові дроби. Знаєте правила порівняння звичайних дробів із однаковими знаменниками, але різними чисельниками; з однаковими чисельниками, але різними знаменниками. Тут ви навчитеся порівнювати будь-які два числа за допомогою знаходження знака їх різниці.
Порівняння чисел широко застосовується практично. Наприклад, економіст порівнює планові показники з фактичними, лікар порівнює температуру хворого з нормальною, токар порівнює розміри деталі, що виточується, з еталоном. У таких випадках порівнюються деякі числа. Внаслідок порівняння чисел виникають числові нерівності.
Визначення.Число а більше від числа b, якщо різниця а-b позитивна. Число а менше від числа b, якщо різниця а-b негативна.
Якщо більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а Отже, нерівність а > b означає, що різницю а - b позитивна, тобто. а - b > 0. Нерівність а Для будь-яких двох чисел а і b з наступних трьох співвідношень a > b, a = b, a Порівняти числа а і b - означає з'ясувати, який із знаків >, = або Теорема.Якщо a > b та Ь > с, то а > с.
Теорема.Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Слідство.Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.
Теорема.Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.
Слідство.Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.
Ви знаєте, що числові рівності можна почленно складати та множити. Далі ви навчитеся виконувати аналогічні дії з нерівностями. Вміння почленно складати і множити нерівності часто застосовуються практично. Ці дії допомагають вирішувати завдання оцінювання та порівняння значень виразів.
При вирішенні різних завдань часто доводиться складати або множити почленно ліві та праві частини нерівностей. При цьому іноді кажуть, що нерівності складаються чи множаться. Наприклад, якщо турист пройшов у перший день понад 20 км, а в другий – понад 25 км, то можна стверджувати, що за два дні він пройшов понад 45 км. Так само якщо довжина прямокутника менше 13 см, а ширина менше 5 см, то можна стверджувати, що площа цього прямокутника менше 65 см2.
При розгляді цих прикладів застосовувалися такі теореми про складання та множення нерівностей:
Теорема.При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака: якщо а > b і c > d, то a + c > b + d.
Теорема.При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака: якщо а > b, c > d і а, b, с, d – позитивні числа, то ac > bd.
Нерівності зі знаком > (більше) і 1/2, 3/4 b, c Поряд зі знаками строгих нерівностей > і Точно так само нерівність \(a \geq b \) означає, що число а більше або дорівнює b, тобто а не менше b.
Нерівності, що містять знак (geq) або знак (leq), називають нестрогими. Наприклад, \ (18 \ geq 12 , \; 11 \ leq 12 \) - Нестрогі нерівності.
Усі властивості суворих нерівностей справедливі й у нестрогих нерівностей. При цьому якщо для суворих нерівностей протилежними вважалися знаки і Ви знаєте, що для вирішення ряду прикладних завдань доводиться складати математичну модель у вигляді рівняння або системи рівнянь. Далі ви дізнаєтеся, що математичними моделями на вирішення багатьох завдань є нерівності з невідомими. Буде введено поняття розв'язання нерівності та показано, як перевірити, чи є дане число рішенням конкретної нерівності.
Нерівності виду
\(ax > b, \quad ax у яких а та b - задані числа, а x - невідоме, називають лінійними нерівностями з одним невідомим.
Визначення.Рішенням нерівності з одним невідомим називається значення невідомого, у якому ця нерівність звертається у правильне числове нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.
Вирішення рівнянь ви здійснювали шляхом приведення їх до найпростіших рівнянь. Аналогічно при розв'язанні нерівностей їх прагнуть за допомогою властивостей призвести до найпростіших нерівностей.
Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною
Нерівності виду
\(ax^2+bx+c >0 \) і (ax^2+bx+c де x - змінна, a, b і c - деякі числа і \(a \neq 0 \), називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.
Розв'язання нерівності
\(ax^2+bx+c >0 \) або \(ax^2+bx+c можна розглядати як знаходження проміжків, у яких функція \(y= ax^2+bx+c \) набуває позитивних або негативних значень Для цього достатньо проаналізувати, як розташований графік функції \(y= ax^2+bx+c \) в координатній площині: куди спрямовані гілки параболи - вгору або вниз, чи перетинає парабола вісь x і якщо перетинає, то в яких точках.
Алгоритм розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною:
1) знаходять дискримінант квадратного тричлена (ax^2+bx+c) і з'ясовують, чи має тричлен коріння;
2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осі x і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору при a > 0 або вниз при a 0 або в нижній при a 3) знаходять на осі x проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі x (якщо вирішують нерівність \(ax^2+bx+c >0 \)) або нижче осі x (якщо вирішують нерівність
\(ax^2+bx+c Розв'язання нерівностей методом інтервалів
Розглянемо функцію
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
Область визначення цієї функції є безліч всіх чисел. Нулями функції служать числа -2, 3, 5. Вони розбивають область визначення функції на проміжки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) і \( (5; + \ infty) \)
З'ясуємо, які знаки цієї функції у кожному із зазначених проміжків.
Вираз (х + 2) (х - 3) (х - 5) є твір трьох множників. Знак кожного з цих множників у розглянутих проміжках зазначений у таблиці:
Взагалі, нехай функція задана формулою
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
де x-змінна, а x 1, x 2, ..., x n - не рівні один одному числа. Числа x 1 , x 2 ..., x n є нулями функції. У кожному проміжку, на який область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється.
Ця властивість використовується для вирішення нерівностей виду
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) де x 1 , x 2 , ..., x n - не рівні один одному числа
Розглянутий спосіб Розв'язання нерівностей називають методом інтервалів.
Наведемо приклади розв'язання нерівностей шляхом інтервалів.
Вирішити нерівність:
\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, що нулями функції f(x) = x(0,5-x)(x+4) є точки \(x=0, \; x= \frac(1)(2) , \;x=-4 \)Наносимо на числову вісь нулі функції та обчислюємо знак на кожному проміжку:
Вибираємо проміжки, на яких функція менша або дорівнює нулю і записуємо відповідь.
Відповідь:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)