Знаходження cos. Синус (sin x) та косинус (cos x) – властивості, графіки, формули
ЄДІ на 4? А чи не луснеш від щастя?
Питання, як кажуть, цікаве... Можна, можна здати на 4! І при цьому не луснути... Головна умова – займатися регулярно. Тут – основна підготовка до ЄДІ з математики. З усіма секретами та таємницями ЄДІ, про які Ви не прочитаєте у підручниках... Вивчайте цей розділ, вирішуйте більше завдань із різних джерел – і все вийде! Передбачається, що базовий розділ "З тебе і трійки вистачить!" у вас труднощів не викликає. Але якщо раптом... За посиланнями ходіть, не лінуйтеся!
І почнемо ми з великої та жахливої теми.
Тригонометрія
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Ця тема завдає безліч проблем учням. Вважається однією з найсуворіших. Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс? Що таке числове коло?Варто поставити ці невинні питання, як людина блідне і намагається відвести розмову убік… А даремно. Це прості поняття. І нічим ця тема не складніша за інші. Просто потрібно з самого початку чітко усвідомити відповіді на ці питання. Це дуже важливо. Якщо зрозуміли – тригонометрія вам сподобається. Отже,
Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс?
Почнемо з глибокої давнини. Не хвилюйтеся, всі 20 століть тригонометрії ми пройдемо хвилин за 15. І непомітно для себе, повторимо шматочок геометрії з 8 класу.
Намалюємо прямокутний трикутник зі сторонами а, в, зта кутом х. Ось такий.
Нагадаю, що сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами. а і в- Катети. Їх два. Сторона, що залишилася, називається гіпотенузою. з- Гіпотенуза.
Трикутник та трикутник, подумаєш! Що з нею робити? А ось давні люди знали, що робити! Повторимо їх дії. Виміряємо бік в. На малюнку спеціально клітини намальовані, як у завданнях ЄДІ буває. Сторона вдорівнює чотирьом клітинам. Гаразд. Виміряємо бік а.Три клітини.
А тепер поділимо довжину сторони ана довжину сторони в. Або, як ще кажуть, візьмемо відношення адо в. а/в= 3/4.
Можна навпаки, поділити вна а.Отримаємо 4/3. Можна, можливо вподілити на с.Гіпотенузу зпо клітинах не порахувати, але вона дорівнює 5. Отримаємо в/с= 4/5. Коротше, можна ділити довжини сторін один на одного та отримувати якісь числа.
Ну і що? Який сенс у цьому цікавому занятті? Поки що ніякого. Безглузде заняття, прямо скажемо.)
А тепер зробимо ось що. Збільшимо трикутник. Продовжимо сторони в і зале так, щоб трикутник залишився прямокутним. Кут х, Звісно, не змінюється. Щоб це побачити, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться її (якщо у вас планшет). Сторони а, в і зперетворяться на m, n, k, і, ясна річ, довжини сторін зміняться.
А ось їхні стосунки – ні!
Ставлення а/вбуло: а/в= 3/4, стало m/n= 6/8 = 3/4. Відносини інших відповідних сторін також не зміняться . Можна як завгодно змінювати довжини сторін у прямокутному трикутнику, збільшувати, зменшувати, не змінюючи кута х – відносини відповідних сторін не зміняться . Можна перевірити, а можна повірити давнім людям на слово.
А це вже дуже важливо! Відносини сторін у прямокутному трикутнику ніяк не залежать від довжин сторін (при тому самому вугіллі). Це настільки важливо, що відносини сторін заслужили свої спеціальні назви. Свої імена, так би мовити.) Знайомтеся.
Що таке синус кута х ? Це ставлення протилежного катета до гіпотенузи:
sinx = а/с
Що таке косинус кута х ? Це ставлення прилеглого катета до гіпотенузи:
зosx= в/с
Що таке тангенс кута х ? Це ставлення протилежного катета до прилеглого:
tgx =а/в
Що таке котангенс кута х ? Це ставлення прилеглого катета до протилежного:
ctgx = в/а
Все дуже просто. Синус, косинус, тангенс та котангенс – це деякі числа. Безрозмірні. Просто числа. Для кожного кута – свої.
Навіщо я так занудно все повторюю? Тому, що це потрібно запам `ятати. Залізно запам'ятати. Запам'ятовування можна полегшити. Фраза «Почнемо здалеку…» знайома? Ось і починайте здалеку.
Сінускута – це відношення далекоговід кута катета до гіпотенузи. Косінус- Відношення ближнього до гіпотенузи.
Тангенскута – це відношення далекоговід кута катета до ближнього. Котангенс- Навпаки.
Вже простіше, правда?
Ну а якщо запам'ятати, що в тангенсі та котангенсі сидять тільки катети, а в синусі та косинусі гіпотенуза з'являється, то все стане зовсім просто.
Всю цю славну родину – синус, косинус, тангенс та котангенс називають ще тригонометричними функціями.
А зараз питання на міркування.
Чому ми говоримо синус, косинус, тангенс та котангенс кута?Йдеться про відносини сторін, начебто... При чому тут кут?
Дивимося на другу картинку. Таку саму, як і перша.
Наведіть мишку на картинку. Я змінив кут х. Збільшив його з х до Х.Усі стосунки змінилися! Ставлення а/вбуло 3/4, а відповідне відношення t/встало 6/4.
І всі інші стосунки стали іншими!
Отже, відносини сторін ніяк не залежать від їх довжин (при одному вугіллі х), але різко залежать від цього самого кута! І лише від нього.Тому терміни синус, косинус, тангенс та котангенс відносяться до кутку.Кут тут – головний.
Потрібно залізно усвідомити, що кут нерозривно пов'язаний зі своїми тригонометричними функціями. Кожен кут має свій синус і косинус. І майже у кожного – свій тангенс та котангенс.Це важливо. Вважається, що якщо нам дано кут, то його синус, косинус, тангенс та котангенс нам відомі ! І навпаки. Даний синус, або будь-яка інша тригонометрична функція – це означає, що ми знаємо кут.
Існують спеціальні таблиці, де для кожного кута розписано його тригонометричні функції. Таблиці Брадіса називаються. Вони дуже давно складені. Коли ще не було ні калькуляторів, ні комп'ютерів.
Звісно, тригонометричні функції всіх кутів запам'ятати не можна. Ви повинні знати їх лише для кількох кутів, про це далі буде. Але заклинання « знаю кут – отже, знаю його тригонометричні функції» -працює завжди!
Ось ми й повторили шматочок геометрії із 8-го класу. Воно нам потрібне для ЄДІ? Потрібно. Ось вам своєрідне завдання з ЄДІ. Для вирішення якої достатньо 8-го класу. Дана картинка:
Всі. Більше жодних даних немає. Потрібно знайти довжину катета ВС.
Клітини слабо допомагають, трикутник якось неправильно розташований .... Спеціально, мабуть ... З інформації є довжина гіпотенузи. 8 клітин. Ще навіщось дано кут.
Ось тут треба одразу згадувати про тригонометрію. Є кут, отже, ми знаємо всі його тригонометричні функції. Яку функцію із чотирьох у справу пустити? А подивимося, що нам відомо? Нам відомі гіпотенуза, кут, а знайти треба прилеглийдо цього кута катет! Зрозуміло, косинус треба в справу запускати! Ось і запускаємо. Просто пишемо, за визначенням косинуса (ставлення прилеглогокатета до гіпотенузи):
cosC = ВС/8
Кут С у нас 60 градусів, його косинус дорівнює 1/2. Це знати треба, без жодних таблиць! Стало бути:
1/2 = НД/8
Елементарне лінійне рівняння. Невідоме – НД. Хто призабув, як вирішувати рівняння, прогуляйтеся за посиланням, решта вирішує:
НД = 4
Коли давні люди зрозуміли, що у кожного кута є свій комплект тригонометричних функцій, у них виникло резонне питання. А чи не пов'язані якось синус, косинус, тангенс і котангенс між собою?Тож знаючи одну функцію кута, можна було знайти інші? Чи не обчислюючи сам кут?
Ось такі вони були невгамовні...)
Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута.
Звичайно, синус, косинус, тангенс і котангенс одного й того самого кута пов'язані між собою. Будь-який зв'язок між виразами задається в математиці формулами. У тригонометрії формул – колосальна кількість. Але тут ми розглянемо найголовніші. Ці формули так і називаються: основні тригонометричні тотожності.Ось вони:
Ці формули треба знати залізно. Без них взагалі в тригонометрії робити нема чого. З цих основних тотожностей випливають ще три допоміжні тотожності:
Відразу попереджаю, що останні три формули швидко випадають з пам'яті. Чомусь.) Можна, звичайно, вивести ці формули з перших трьох. Але, у скрутну хвилину... Самі розумієте.)
У стандартних завданнях, типу тих, що наведені нижче, є спосіб обійтися без цих формул, що незапам'ятовуються. І різко зменшити помилкипо забудькуватості, та й у обчисленнях теж. Цей практичний прийом - у Розділі 555, урок "Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута."
У яких завданнях та як використовуються основні тригонометричні тотожності? Найпопулярніше завдання - знайти якусь функцію кута, якщо дана інша. У ЄДІ таке завдання рік у рік присутнє.) Наприклад:
Знайти значення sinx, якщо х – гострий кут, а cosx = 0,8.
Завдання майже елементарне. Шукаємо формулу, де є синус та косинус. Ось вона ця формула:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Підставляємо сюди відому величину, а саме, 0,8 замість косинуса:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Ну і вважаємо, як завжди:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Ось практично і все. Ми вирахували квадрат синуса, залишилося витягти квадратний корінь і відповідь готова! Корінь із 0,36 буде 0,6.
Завдання майже елементарне. Але слово "майже" тут не дарма стоїть ... Справа в тому, що відповідь sinx = - 0,6 теж підходить ... (-0,6) 2 теж 0,36 буде.
Дві різні відповіді виходять. А потрібний один. Другий – неправильний. Як бути!? Та як завжди.) Уважно прочитати завдання. Там навіщось написано: ... якщо х – гострий кут...А в завданнях кожне слово має сенс, так... Ця фраза - і є додаткова інформація до вирішення.
Гострий кут – це кут менше 90°. А у таких кутів всітригонометричні функції - і синус, і косинус, і тангенс з котангенсом - позитивні.Тобто. негативну відповідь ми тут просто відкидаємо. Маємо право.
Власне, восьмикласникам такі тонкощі не потрібні. Вони працюють лише з прямокутними трикутниками, де кути можуть бути лише гострими. І не знають, щасливі, що бувають і негативні кути, і кути в 1000°... І всі ці кошмарні кути мають свої тригонометричні функції і з плюсом, і з мінусом...
А ось старшокласникам без урахування знаку – ніяк. Багато знань множать печалі, так...) І для правильного вирішення завдання обов'язково присутня додаткова інформація (якщо вона необхідна). Наприклад, вона може бути дана таким записом:
Або якось інакше. У прикладах нижче побачите.) Для вирішення таких прикладів потрібно знати, в яку чверть потрапляє заданий кут х і який знак має необхідна тригонометрична функція цієї чверті.
Ці ази тригонометрії розглянуті в уроках що таке тригонометричний круг, відлік кутів на цьому колі, радіальна міра кута. Іноді потрібно знати і таблицю синусів косінусів тангенсів та котангенсів.
Отже, відзначимо найголовніше:
Практичні поради:
1. Запам'ятайте визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Дуже знадобиться.
2. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс та котангенс міцно пов'язані з кутами. Знаємо одне – значить, знаємо й інше.
3. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс і котангенс одного кута пов'язані між собою основними тригонометричними тотожностями. Знаємо одну функцію - отже, можемо (за наявності необхідної додаткової інформації) обчислити решту.
А тепер вирішуємо, як водиться. Спочатку завдання обсягом 8-го класу. Але й старшокласникам теж можна...)
1. Обчислити значення tgА, якщо ctgА = 0,4.
2. β - кут у прямокутному трикутнику. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13.
3. Визначити синус гострого кута х, якщо tgх = 4/3.
4. Знайти значення виразу:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Знайти значення виразу:
(1-cosx)(1+cosx), якщо sinx = 0,3
Відповіді (через точку з комою, безладно):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Вийшло? Чудово! Восьмикласники можуть вже пройти за своїми п'ятірками.)
Чи не все вийшло? Завдання 2 та 3 якось не дуже...? Не біда! Є один гарний прийом для таких завдань. Все вирішується практично взагалі без формул! Ну і, отже, без помилок. Цей прийом в уроці: "Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута" у Розділі 555 описаний. Там же розібрано й решту завдань.
Це були завдання типу ЄДІ, але у урізаному варіанті. ЄДІ – лайт). А зараз майже такі ж завдання, але у повноцінному єгешному вигляді. Для обтяжених знаннями старшокласників.)
6. Знайти значення tgβ, якщо sinβ = 12/13, а
7. Визначити sinх, якщо tgх = 4/3, а х належить інтервалу (-540 °; - 450 °).
8. Знайти значення виразу sinβ·cosβ, якщо ctgβ = 1.
Відповіді (безладно):
0,8; 0,5; -2,4.
Тут у задачі 6 кут заданий якось не дуже однозначно... А в задачі 8 взагалі не заданий! Це спеціально). Додаткова інформація не тільки із завдання береться, а й із голови.) Зате вже якщо вирішили – одне вірне завдання гарантоване!
А як не вирішили? Гм... Ну, тут Розділ 555 допоможе. Там розв'язання всіх цих завдань докладно розписано, важко не розібратися.
У цьому вся уроці дано дуже обмежене поняття тригонометричних функцій. У межах 8 класу. А у старших залишаються питання...
Наприклад, якщо кут х(Дивіться другу картинку на цій сторінці) - зробити тупим!? Трикутник взагалі розвалиться! І як бути? Ні катета не буде, ні гіпотенузи... Зник синус...
Якби давні люди не знайшли вихід із цього становища, не було б у нас зараз ні мобільних телефонів, ні TV, ні електрики. Так Так! Теоретична основа всіх цих речей без тригонометричних функцій – нуль без палички. Але давні люди не підвели. Як вони викрутилися – у наступному уроці.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Косінус- Одна з основних тригонометричних функцій. Косінусом гострого кутау прямокутному трикутнику називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Визначення косинуса прив'язане до прямокутного трикутника, але нерідко кут, косинус якого потрібно визначити, прямокутному трикутнику не розміщений. Як виявити значення косинуса всякого кута ?
Інструкція
1. кутау прямокутному трикутнику потрібно скористатися визначенням косинуса і виявити ставлення прилеглого катета до гіпотенузи: cos? = a/c, де а - Довжина катета, С - Довжина гіпотенузи.
2. Якщо потрібно виявити косинус кутау довільному трикутнику, потрібно скористатися теоремою косінусів: якщо кут гострий: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab); якщо кут тупий: cos? = (с2 - a2 - b2) / (2ab), де а, b - Довжини сторін прилеглих до кута, С - Довжина сторони протилежної куту.
3. Якщо потрібно виявити косинус кутау довільній геометричній фігурі, потрібно визначити величину кутау градусах чи радіанах, а косинус кутавиявити за його величиною за допомогою інженерного калькулятора, таблиць Брадіса або будь-якого іншого математичного застосування.
Косінус- Це базова тригонометрична функція кута. Знання визначати косинус згодиться у векторній алгебрі щодо проекцій векторів на різні осі.
Інструкція
1. Косінусом кута називають відношення катета, що прилягає до кута, до гіпотенузи. Отже, у прямокутному трикутнику ABC (ABC – прямий кут) косинус кута BAC дорівнює відношенню AB до AC. Для кута ACB: cos ACB = BC/AC.
2. Але не завжди кут належить трикутнику, крім того бувають тупі кути, які свідомо не можуть бути у складі прямокутного трикутника. Розглянемо випадок, коли кут заданий променями. Щоб у цьому випадку обчислити косинус кута, надходять далі. До кута прив'язують систему координат, передмова координат вважається від вершини кута, вісь X йде по одній стороні кута, вісь Y будується перпендикулярно до осі X. Після цього будують коло одиничного радіусу з центром у вершині кута. Друга сторона кута перетинає коло в точці A. Опустіть перпендикуляр з точки A на вісь X, позначте точку перетину перпендикуляра з віссю Ax. Тоді вийде прямокутний трикутник AAxO і косинус кута дорівнює AAx/AO. Від того, що коло одиничного радіусу, то AO = 1 і косинус кута дорівнює примітивно AAx.
3. У разі тупого кута проводять ті самі побудови. Косінуступого кута негативний, але він також дорівнює Ax.
Відео на тему
Зверніть увагу!
Косинуси деяких кутів представлені у таблицях Брадіса.
Такі уявлення як синус, косинус, тангенс навряд чи комусь найчастіше зустрічаються у повсякденному житті. Втім, якщо ви сіли вирішувати математичні завдання з сином-старшокласником, добре було б пригадати, що це за уявлення, і як виявити, скажімо, косинус.
Інструкція
Відео на тему
Часто в геометричних (тригонометричних) задачах потрібно виявити косинускута в трикутнику, так як косинускута дозволяє однозначно визначити величину самого кута.
Інструкція
1. Щоб виявити косинускута в трикутнику, довжини сторін якого відомі, можна користуватися теоремою косинусів. Відповідно до цієї теореми, квадрат довжини сторони довільного трикутника дорівнює сумі квадратів 2-х інших сторін без подвоєного добутку довжин цих сторін на косинускута з-поміж них:а?=b?+c?-2*b*c*соs?, де:а, b, з – боку трикутника (вірніше їх довжини),? – кут, протилежний стороні а (його величина).З наведеної рівності легко знаходиться соs?:соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)Приклад 1.Є трикутник зі сторонами а, b , з, рівними 3, 4, 5 мм, відповідно. косинускута, укладеного між великими сторонами.Рішення:За умовою завдання маємо:а=3,b=4,с=5.Позначимо протилежний стороні а кут через?, тоді, згідно з виведеною вище формулою, маємо:соs?=(b?+ c?-а?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0, 8Відповідь: 0,8.
2. Якщо трикутник прямокутний, то знаходження косинуса кута досить знати довжини кожного 2-х різних сторін ( косинуспрямого кута дорівнює 0). Нехай є прямокутний трикутник зі сторонами а, b, с, де с - гіпотенуза. Розглянемо всі варіанти: Приклад 2. Виявити соs? c?=b?+а?,с=v(b?+а?)соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а? -а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а ?) Щоб перевірити правильність отриманої формули, підставимо в неї значення з прикладу 1, тобто.
3. Подібно косинусу прямокутному трикутникув інших випадках: Приклад 3.Знаменити а і с (гіпотенуза і протилежний катет), виявити соs?b?=с?-а?,b=v(c?-а?)соs?=(b?+c?- а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а ?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.Підставляючи значення а=3 і с=5 з першого прикладу, отримуємо:соs?=0,8 .
4. Приклад 4.Вестимы b і з (гіпотенуза і катет). косинусв трикутникуобчислюється по дуже легкої формуле:соs?=b/с.Простота виведеної формули пояснюється елементарно: реально, що належить до куту? катет є проекцією гіпотенузи, тому його довжина дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на со?
Порада 5: Як виявити гострий кут у прямокутному трикутнику
Прямо вугільнийТрикутник, мабуть, - одна з найзнаменитіших, з історичної точки зору, геометричних фігур. Піфагоровим "штанам" конкуренцію може скласти лише "Евріка!" Архімед.
Вам знадобиться
- - креслення трикутника;
- - Лінійка;
- - Транспортир.
Інструкція
1. Як водиться, вершини кутів трикутника позначаються великими латинськими літерами (A, B, C), а протилежні їм сторони невеликими латинськими літерами (a, b, c) або за найменуванням вершин трикутника, що утворюють цю сторону (AC, BC, AB).
2. Сума кутів трикутника складає 180 градусів. У прямокутному трикутникуодин кут (прямий) завжди буде 90 градусів, інші ж гострими, тобто. менше 90 градусів весь. Щоб визначити, який кут у прямокутному трикутникує прямим, виміряйте за допомогою лінійки сторони трикутника і визначте найбільшу. Вона називається гіпотенуза (AB) і знаходиться навпаки прямого кута (C). Інші дві сторони утворюють прямий кут і називаються катетами (AC, BC).
3. Коли визначили, який кут є гострим, ви можете виміряти величину кута за допомогою транспортира, або розрахувати за допомогою математичних формул.
4. Щоб визначити величину кута за допомогою транспортира, поєднайте його вершину (позначимо її літерою А) з особливою позначкою на лінійці в центрі транспортира, катет АС повинен збігатися з верхнім краєм. Зауважте на півкруглій частині транспортира точку, через яку проходить гіпотенуза AB. Значення у цій точці відповідає величині кута в градусах. Якщо на транспортирі вказано 2 величини, то для гострого кута необхідно вибирати меншу, для тупого – велику.
6. Отримане значення виявіть у довідкових таблицях Брадіса та визначте, якому куту відповідає отримане числове значення. Цим способом користувалися наші бабусі.
7. В наш час досить взяти калькулятор з функцією обчислення тригонометричних формул. Скажімо, вбудований калькулятор Windows. Запустіть програму “Калькулятор”, у пункті меню “Вид” віддасте перевагу пункту “Інженерний”. Обчисліть синус бажаного кута, скажімо, sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5
8. Перемкніть калькулятор у режим зворотних функцій, клікнувши по кнопці INV на табло калькулятора, після цього клацніть по кнопці розрахунку функції арксинуса (на табло позначено, як sin мінус першого ступеня). У вікні розрахунку з'явиться подальший напис: asind (0.5) = 30. Тобто. значення бажаного кута – 30 градусів.
Теорема косінусів в математиці частіше кожного застосовується у тому випадку, коли необхідно виявити третю сторону по кутку і двом сторонам. Втім, зрідка умова завдання поставлено навпаки: потрібно виявити кут при заданих трьох сторонах.
Інструкція
1. Уявіть собі, що дано трикутник, у якого відомі довжини 2-х сторін і значення одного кута. Усі кути цього трикутника не рівні один одному, яке сторони також є різними за величиною. Кут? лежить навпаки сторони трикутника, позначеної як AB, яка є основою цієї фігури. Через даний кут, а також через сторони AC і BC, що залишилися, можна виявити ту сторону трикутника, яка невідома, за теоремою косінусів, вивівши на її основі подану нижче формулу: a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, де a = BC, b = AB, c = AC Теорему косінусів навпаки називають узагальненою теоремою Піфагора.
2. Тепер уявіть собі, що дано всі три сторони фігури, але при цьому її кут? невідомий. Знаючи, що формула має вигляд a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, перетворіть цей вираз таким чином, щоб бажаною величиною став кут?: b^2+c^2=2bc*cos?+a ^2.Після цього наведіть показане вище рівняння до дещо іншого виду: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?.Після цього даний вираз слід перетворити на подане нижче: cos?=?b^2+c ^2-a^2/2bc. Залишилося підставити у формулу числа та здійснити обчислення.
3. Щоб виявити косинус кута трикутника, позначеного як?, його потрібно виразити через зворотну тригонометричну функцію, яка називається арккосинусом. Арккосинусом числа m називається таке значення кута?, котрого косинус кута? дорівнює m. Функція y=arccos m є спадною. Уявіть собі, скажімо, що косинус кута? дорівнює одній 2-й. Тоді кут? може бути визначений через арккосинус наступним чином:? = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, де m = 1/2. Аналогичным чином можна знайти й інші кути трикутника при 2-х інших невідомих його сторонах.
4. Якщо кути представлені в радіанах, переведіть їх у градуси, застосовуючи наступне співвідношення: ? радіан = 180 градусів. Пам'ятайте, що переважна більшість інженерних калькуляторів забезпечена ймовірністю перемикання одиниць вимірювання кутів.
Синус та косинус – дві тригонометричні функції, які називають «прямими». Саме їх доводиться обчислювати частіше за інших і для вирішення цього завдання сьогодні кожен з нас має великий вибір варіантів. Нижче наведено кілька особливо примітивних методів.
Інструкція
1. Використовуйте транспортир, олівець та аркуш паперу, якщо інших засобів обчислення немає під рукою. Одне з визначень косинуса дається через гострі кути прямокутному трикутнику – його значення дорівнює співвідношенню між довжиною катета, що лежить навпаки цього кута і довжиною гіпотенузи. Намалюйте трикутник, у якому один із кутів буде прямим (90°), а інший дорівнює куту, косинус якого потрібно обчислити. Довжина сторін при цьому не має значення – намалюйте їх такими, які вам зручніше вимірювати. Виміряйте довжину необхідного катета та гіпотенузи і поділіть перше на друге будь-яким комфортним методом.
2. Скористайтеся ймовірністю визначати значення тригонометричних функцій за допомогою калькулятора, вбудованого в пошукову систему Nigma, якщо у вас є доступ до Інтернету. Скажімо, якщо потрібно обчислити косинус кута в 20°, то завантаживши основну сторінку обслуговування http://nigma.ru, наберіть у полі пошукового запиту «косинус 20 градусів» і натисніть кнопку «Виявити!». Дозволено слово "градусів" опустити, а слово "косинус" замінити на cos - у будь-якому випадку пошуковик покаже підсумок з точністю до 15 знаків пізніше комою (0,939692620785908).
3. Відкрийте стандартну програму-калькулятор, яка встановлюється спільно з операційною системою Windows, якщо немає доступу до Інтернету. Зробити це можна, скажімо, одночасно натиснувши кнопки win і r, після цього ввівши команду calc і клацнувши по кнопці OK. Для обчислення тригонометричних функцій тут передбачено інтерфейс, з найменуванням «інженерний» чи «вчений» (залежно від версії ОС) – виберіть потрібний пункт у розділі «Вид» меню калькулятора. Після цього введіть величину кута в градусах і натисніть кнопку cos в інтерфейсі програми.
Відео на тему
Порада 8: Як визначити кути у прямокутному трикутнику
Прямокутний трикутник характеризується певними співвідношеннями між кутами та сторонами. Знаючи значення одних з них, можна обчислювати інші. І тому застосовуються формули, засновані, своєю чергою, на аксіомах і теоремах геометрії.
Інструкція
1. З найменування прямокутного трикутника ясно, що з його кутів є прямим. Самостійно від цього, є прямокутний трикутник равнобедренным чи ні, у ньому завжди є один кут, рівний 90 градусам. Якщо дано прямокутний трикутник, що є одноразовим і рівнобедреним, то, виходячи з того, що у фігурі є прямий кут, виявіть два кути при його основі. Ці кути рівні між собою, тому кожен з них має значення, що дорівнює:? = 180 ° - 90 ° / 2 = 45 °
2. Крім розглянутого вище, допустимо також інший випадок, коли трикутник є прямокутним, але не є рівнобедреним. У багатьох завданнях кут трикутника дорівнює 30 °, а інший 60 °, від того що сума всіх кутів у трикутнику повинна дорівнювати 180 °. Якщо дана гіпотенуза прямокутного трикутника та його катет, то кут можна виявити з відповідності цих 2-х сторін: sin ?=a/c, де a – катет, протилежний до гіпотенузи трикутника, з – гіпотенуза трикутника Відповідно, ?=arcsin(a/c )Також кут можна знайти і за формулою знаходження косинуса:cos ?=b/c, де b – прилеглий катет до гіпотенузи трикутника
3. Якщо вести лише два катети, то кут? Можна знайти за формулою тангенса. Тангенс цього кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого: tg ?=a/bЗ цього випливає, що? 180 ° - (90 ° +?)
Словом "косинус" називають одну з тригонометричних функцій, яка при написанні позначається як cos. Особливо часто мати з нею справу при вирішенні завдань на знаходження параметрів вірних фігур у геометрії. У таких завданнях величини кутів у вершинах багатокутників позначаються, як правило, великими літерами грецького алфавіту. Якщо мова при цьому йде про прямокутний трикутник, то по одній цій літері рідко можна дізнатися, що з кутів мається на увазі.
Інструкція
1. Якщо величина кута, позначена буквою?, відома з умов завдання, то знаходження значення, відповідного косинусу альфа, можна користуватися стандартним калькулятором ОС Windows. Запускається він через основне меню операційної системи - натисніть кнопку Win, розкрийте в меню розділ "Всі програми", перейдіть в підрозділ "Типові", а потім у секцію "Службові". Там і виявите рядок "Калькулятор" - клацніть його для запуску програми.
2. Натисніть клавіші Alt + 2, щоб переключити інтерфейс програми на «інженерний» (в інших версіях ОС – «вчений») варіант. Після цього введіть величину кута? і клацніть вказівником миші кнопку, позначену літерами cos – калькулятор здійснить обчислення функції та відобразить результат.
3. Якщо обчислити косинус кута? необхідно у прямокутному трикутнику, то, ймовірно, це один із 2-х гострих кутів. При правильному позначенні сторін такого трикутника гіпотенузу (найдовшу сторону) позначають літерою c, а прямий кут, що лежить навпаки, – грецькою літерою?. Дві інші сторони (катети) позначають літерами a і b, а гострі кути, що лежать навпаки, – ? і?. Для величин гострих кутів прямокутного трикутника є співвідношення, які дозволять обчислювати косинус, навіть знаючи величини самого кута.
4. Якщо прямокутному трикутнику вестими довжини сторін b (катета, що належить до куту?) і c (гіпотенузи), то обчислення косинуса? поділіть довжину цього катета на довжину гіпотенузи: cos(?)=b/c.
5. У довільному трикутнику значення косинуса кута? незнайомої величини можна визначити, якщо в умовах дано довжини всіх сторін. Для цього спочатку зведіть у квадрат довжини всіх сторін, потім отримані значення для 2-х сторін, що належать до кута? складіть, а отримане значення для протилежної сторони відніміть від результату. Після цього отриману величину поділіть на подвійний добуток прилеглих до кута довжин? сторін – це буде бажаний косинус кута?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Це рішення випливає з теореми косинусів.
Корисна порада
Математичне позначення косинуса – cos. Значення косинуса може бути більше 1 і менше -1.
Як можна помітити, це коло побудовано в декартовій системі координат. Радіус кола дорівнює одиниці, при цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (у нашому прикладі, це радіус).
Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі та координата по осі. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, оскільки є перпендикуляром до осі.
Чому дорівнює трикутнику? Все вірно. Крім того, нам відомо, що - це радіус одиничного кола, а значить, . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:
А чому дорівнює трикутнику? Ну звичайно, ! Підставимо значення радіуса в цю формулу та отримаємо:
Так, а можеш сказати, які координати має точка, що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що й – це просто числа? Який координаті відповідає? Ну, звісно, координати! А якій координаті відповідає? Все правильно, координаті! Таким чином, точка.
А чому тоді рівні? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що, а.
А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:
Що ж змінилося у цьому прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник: кут (як прилеглий до кута). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:
Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті; значення косинуса кута – координаті; а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.
Вже згадувалося, що початкове становище радіус-вектора - вздовж позитивного спрямування осі. Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.
Отже, ми знаємо, що цілий оберт радіус-вектора по колу становить або. А чи можна повернути радіус-вектор на чи на? Ну звісно, можна! У першому випадку, таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні.
У другому випадку, тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні або.
Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на або (де - будь-яке ціле число), відповідають одному положенню радіус-вектора.
Нижче на малюнку зображено кут. Це зображення відповідає куту тощо. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою або (де – будь-яке ціле число)
Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:
Ось тобі на допомогу одиничне коло:
Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:
Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку відповідає точка з координатами, отже:
Не існує;
Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам відповідають точки з координатами, відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.
Відповіді:
Не існує
Не існує
Не існує
Не існує
Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:
Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:
А ось значення тригонометричних функцій кутів і, наведених нижче в таблиці, необхідно запам'ятати:
Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:
Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (), а також значення тангенсу кута. Знаючи ці значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілочок, тобто:
Знаючи це можна відновити значення. Чисельник « » буде відповідати, а знаменник « » відповідає. Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити і запам'ятати схему зі стрілочками, достатньо пам'ятати всього значення з таблиці.
Координати точки на колі
А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту?
Ну, звісно, можна! Давай виведемо загальну формулу для знаходження координат точки.
Ось, наприклад, перед нами таке коло:
Нам дано, що точка – центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, одержаної поворотом точки на градусів.
Як очевидно з малюнка, координаті точки відповідає довжина відрізка. Довжина відрізка відповідає координаті центру кола, тобто дорівнює. Довжину відрізка можна виразити, використовуючи визначення косинуса:
Тоді маємо, що для точки координат.
За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки. Таким чином,
Отже, у загальному вигляді координати точок визначаються за формулами:
Координати центру кола,
Радіус кола,
Кут повороту вектор радіуса.
Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, оскільки координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:
Ну що, спробуємо ці формули на смак, повправляючись у знаходженні крапок на колі?
1. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.
2. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.
3. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.
4. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.
5. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.
Виникли проблеми у знаходженні координат точки на колі?
Розв'яжи ці п'ять прикладів (або добре розберись у рішенні) і ти навчишся їх знаходити!
1.
Можна зауважити, що. Адже ми знаємо, що відповідає повному обороту початкової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:
2. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:
Можна зауважити, що. Ми знаємо, що відповідає двом повним оборотам початкової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:
Синус та косинус – це табличні значення. Згадуємо їх значення та отримуємо:
Таким чином, потрібна точка має координати.
3. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:
Можна зауважити, що. Зобразимо приклад на малюнку:
Радіус утворює з віссю кути, рівні та. Знаючи, що табличні значення косинуса та синуса рівні, і визначивши, що косинус тут набуває негативного значення, а синус позитивне, маємо:
Докладніше такі приклади розбираються щодо формул приведення тригонометричних функцій у темі .
Таким чином, потрібна точка має координати.
4.
Кут повороту радіуса вектора (за умовою)
Для визначення відповідних знаків синуса та косинуса побудуємо одиничне коло та кут:
Як можна побачити, значення, тобто позитивно, а значення, тобто – негативно. Знаючи табличні значення відповідних тригонометричних функцій, отримуємо, що:
Підставимо отримані значення в нашу формулу і знайдемо координати:
Таким чином, потрібна точка має координати.
5. Для вирішення цього завдання скористаємося формулами у загальному вигляді, де
Координати центру кола (у нашому прикладі,
Радіус кола (за умовою,)
Кут повороту векторного радіуса (за умовою,).
Підставимо всі значення у формулу та отримаємо:
та - табличні значення. Згадуємо та підставляємо їх у формулу:
Таким чином, потрібна точка має координати.
КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Синус кута - це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.
Косинус кута - це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.
Тангенс кута - це відношення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).
Котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (далекого).
Косинус – це відома тригонометрична функція, яка до того ж є ще й однією з основних функцій тригонометрії. Косинус кута в трикутнику прямокутного типу - це відношення прилеглого катета трикутника до гіпотенузи трикутника. Найчастіше визначення косинуса пов'язують із трикутником саме прямокутного типу. Але буває і так, що той кут, для якого необхідно обчислити в трикутнику прямокутного типу косинус, у цьому трикутнику прямокутного типу не розташований. Що тоді робити? Як знайти косинус кута трикутника?
Якщо потрібно обчислити косинус кута саме в трикутнику прямокутного типу, то все дуже просто. Потрібно лише згадати визначення косинуса, у якому криється вирішення цього завдання. Просто потрібно знайти те саме ставлення між прилеглим катетом, а також гіпотенузою трикутника. Справді, тут неважко висловити косинус кута. Формула виглядає так: - cosα = a/c, тут "а" - це довжина катета, а сторона "с", відповідно, довжина гіпотенузи. Наприклад, косинус гострого кута прямокутного трикутника можна знайти за цією формулою.
Якщо Вас цікавить, до чого дорівнює косинус кута в довільному трикутнику, то на допомогу приходить теорема косінусів, якою і варто скористатися в подібних випадках. Теорема косінусів говорить про те, що квадрат сторони трикутника апріорі дорівнює сумі квадратів інших сторін того ж трикутника, але вже без подвоєного добутку цих сторін на косинус того кута, який розташований між ними.
- Якщо у трикутнику необхідно знайти косинус гострого кута, то потрібно скористатися такою формулою: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
- Якщо ж у трикутнику необхідно знайти косинус тупого кута, потрібно скористатися такою формулою: cosα = (з 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Позначення у формулі – а та b – це довжини сторін, які є прилеглими до шуканого кута, с – це довжина сторони, яка є протилежною шуканому куту.
Також косинус кута можна обчислювати за допомогою теореми синусів. Вона свідчить, що це сторони трикутника пропорційні синусам кутів, які протилежні. За допомогою теореми синусів можна обчислювати решту елементів трикутника, маючи відомості лише про дві сторони і вугілля, що є протилежним одній стороні, або ж по двох кутах і одній стороні. Розглянь на прикладі. Умови задачі: а = 1; b = 2; с=3. Кут, який протилежний стороні "А", позначаємо - α, тоді, згідно з формулами, маємо: соsα=(b²+c²-а²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²)/(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Відповідь: 1.
Якщо ж косинус кута потрібно обчислити над трикутнику, а якийсь інший довільної геометричній фігурі, то тут усе стає трохи складніше. Величину кута спочатку потрібно визначити в радіанах або градусах, а вже потім обчислювати косинус за цією величиною. Косинус за числовим значенням визначається за допомогою таблиць Брадіса, інженерних калькуляторів або спеціальних математичних програм.
Спеціальні математичні програми можуть мати такі функції, як автоматичний підрахунок косінусів кутів у тій чи іншій фігурі. Принадність таких додатків полягає в тому, що вони дають правильну відповідь, а користувач не витрачає свого часу на вирішення часом досить складних завдань. З іншого боку, при постійному використанні виключно додатків для розв'язання задач, губляться всі навички по роботі з розв'язанням математичних задач на знаходження косінусів кутів у трикутниках та інших довільних фігурах.
Одним із розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощами, є тригонометрія. Не дивно: щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати висловлювання, вміти застосовувати у обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію за доказом теорем, а це вимагає або розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.
Витоки тригонометрії
Знайомство з цією наукою слід розпочати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, проте спочатку необхідно розібратися, чим займається тригонометрія.
Історично основним об'єктом дослідження цього розділу математичної науки були прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двох сторонах і одному куті або по двох кутах і одній стороні визначати значення всіх параметрів фігури, що розглядається. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть у мистецтві.
Початковий етап
Спочатку люди міркували про взаємини кутів і сторін винятково з прикладу прямокутних трикутників. Потім було відкрито спеціальні формули, дозволили розширити межі вживання у повсякденні даного розділу математики.
Вивчення тригонометрії у школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається у старших класах.
Сферична тригонометрія
Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівень розвитку, формули із синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися у сферичній геометрії, де діють інші правила, а сума кутів у трикутнику завжди більша за 180 градусів. Цей розділ не вивчається в школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, та й поверхня будь-якої іншої планети, є опуклою, а отже, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі «дугоподібною».
Візьміть глобус та нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу - вона набула форми дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних та прикладних сферах.
Прямокутний трикутник
Дещо дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.
Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що за теоремою Піфагора її чисельне значення дорівнює кореню із суми квадратів двох інших сторін.
Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи становитиме 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще давні єгиптяни близько чотирьох із половиною тисяч років тому.
Дві сторони, що залишилися, які утворюють прямий кут, звуться катетами. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів у трикутнику у прямокутній системі координат дорівнює 180 градусів.
Визначення
Нарешті, твердо розуміючи геометричну основу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса та тангенсу кута.
Синусом кута називається відношення протилежного катета (тобто сторони, що знаходиться навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за умовчанням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротшим за гіпотенузу, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до завдання вийшов синус або косинус зі значенням більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірна.
Нарешті, тангенсом кута називається відношення протилежної сторони до прилеглої. Той самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони та множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те саме співвідношення, що і у визначенні тангенса.
Котангенс, відповідно, є відношенням прилеглої до кута сторони до протилежної. Той самий результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.
Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, і можемо зайнятися формулами.
Найпростіші формули
У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? Адже саме це потрібно при вирішенні завдань.
Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Ця формула є прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися про величину кута, а не сторони.
Багато учнів що неспроможні запам'ятати другу формулу, також дуже популярну під час вирішення шкільних завдань: сума одиниці і квадрата тангенса кута дорівнює одиниці, поділеної на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те саме твердження, що й у першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулу абсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс, правила перетворення і кілька базових формул ви будь-якої миті зможете самі вивести необхідні складніші формули на аркуші паперу.
Формули подвійного кута та складання аргументів
Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса та косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус та косинус, а в другому складається попарний добуток синуса та косинуса.
Також є формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - як тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним куту бета.
Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити рівень синуса, косинуса, тангенса альфа.
Теореми
Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів та теорема косінусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а отже, і площу фігури, і величину кожної сторони тощо.
Теорема синусів стверджує, що в результаті розподілу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кута ми отримаємо однакове число. Більше того, це число дорівнюватиме двом радіусам описаного кола, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника.
Теорема косінусів узагальнює теорему Піфагора, проеціруя її будь-які трикутники. Виявляється, із суми квадратів двох сторін відняти їх добуток, помножений на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться рівним квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косінусів.
Помилки з неуважності
Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найпопулярнішими з них.
По-перше, годі було перетворювати прості дроби в десяткові до отримання остаточного результату - можна й відповідь залишити як звичайного дробу, якщо умові не обумовлено зворотне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, проте слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви дарма згаєте час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь із трьох або з двох, адже вони зустрічаються в завданнях на кожному кроці. Те саме стосується заокруглень «некрасивих» чисел.
Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косінусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвійний твір сторін, помножений на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.
По-третє, не плутайте значення для кутів 30 і 60 градусів для синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косінусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте хибний результат.
Застосування
Багато учнів не поспішають братися до вивчення тригонометрії, оскільки розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера чи астронома? Це поняття, завдяки яким можна вирахувати відстань до далеких зірок, передбачити падіння метеорита, відправити дослідницький зонд на іншу планету. Без них не можна збудувати будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це лише очевидні приклади! Адже тригонометрія у тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики та закінчуючи медициною.
На закінчення
Отже, ви синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх у розрахунках та успішно вирішувати шкільні завдання.
Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно вирахувати невідомі. Усього цих параметрів шість: довжини трьох сторін та величини трьох кутів. Вся різниця в завданнях полягає в тому, що даються різні вхідні дані.
Як знайти синус, косинус, тангенс, виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричної задачі стає знаходження коренів звичайного рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звична шкільна математика.