Як дізнатися площу трикутника формула. Як знайти площу трикутника
Трикутник - це така геометрична фігура, яка складається з трьох прямих, що з'єднуються в точках, що не лежать на одній прямій. Точки з'єднання прямих – це вершини трикутника, які позначаються латинськими літерами (наприклад, A, B, C). Прямі трикутники, що з'єднуються, називаються відрізками, які також прийнято позначати латинськими літерами. Розрізняють такі типи трикутників:
- Прямокутний.
- Тупокутний.
- Гострокутний.
- Різнобічний.
- Рівносторонній.
- Рівностегновий.
Загальні формули для обчислення площі трикутника
Формула площі трикутника по довжині та висоті
S = a * h / 2,
де а – це довжина сторони трикутника, площу якого потрібно знайти, h-довжина проведеної до основи висоти.
Формула Герону
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
де - це квадратний корінь, p-напівпериметр трикутника, a, b, c - це довжина кожної сторони трикутника. Напівпериметр трикутника можна обчислити за формулою p=(a+b+c)/2.
Формула площі трикутника за величиною кута та довжиною відрізка
S = (a*b*sin(α))/2,
де b, c - це довжина сторін трикутника, sin (α) - синус кута між двома сторонами.
Формула площі трикутника по радіусу вписаного кола та трьом сторонам
S=p*r,
де p-це напівпериметр трикутника, площу якого потрібно знайти, r-радіус вписаної в цей трикутник кола.
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного навколо нього кола
S = (a * b * c) / 4 * R,
де a,b,c-це величина довжини кожної сторони трикутника, R-радіус описаної навколо трикутника кола.
Формула площі трикутника за декартовими координатами точок
Декартові координати точок - це координати в системі xOy, де x-це абсциса, y-ордината. Декартовою системою координат xOy на площині називають взаємно перпендикулярні числові осі Oх і Oy із загальним початком відліку в точці О. Якщо задані координати точок на цій площині у вигляді A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3) ), то можна обчислити площу трикутника за такою формулою, яка отримана з векторного добутку двох векторів.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) |
де || позначає модуль.
Як знайти площу прямокутного трикутника
Прямокутний трикутник – це трикутник, у якого один кут становить 90 градусів. Такий кут трикутника може бути лише один.
Формула площі прямокутного трикутника за двома катетами
S = a * b / 2,
де a, b – це довжина катетів. Катетами називаються сторони, що належать до прямого кута.
Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та гострого кута
S = a * b * sin (α) / 2,
де a, b – це катети трикутника, а sin(α) – це синус кута, в якому перетинаються прямі a, b.
Формула площі прямокутного трикутника по катету та протилежному куту
S = a*b/2*tg(β),
де a, b – це катети трикутника, tg(β) – це тангенс кута, де з'єднуються катети a, b.
Як обчислити площу рівнобедреного трикутника
Рівностегновим називається такий трикутник, який має дві рівні сторони. Ці сторони називаються бічними, а інша сторона є основою. Для обчислення площі рівнобедреного трикутника можна використовувати одну з таких формул.
Основна формула для обчислення площі рівнобедреного трикутника
S=h*c/2,
де с - це основа трикутника, h-це висота трикутника, опущеного до основи.
Формула рівнобедреного трикутника збоку та основи
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
де с - основа трикутника, a- величина однієї з бічних сторін рівнобедреного трикутника.
Як знайти площу рівностороннього трикутника
Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі рівностороннього трикутника можна використати таку формулу:
S = (√3 * a * a) / 4,
де a-це довжина сторони рівностороннього трикутника.
Наведені вище формули дозволять обчислити потрібну площу трикутника. Важливо пам'ятати, що для обчислення помилки трикутників потрібно враховувати тип трикутника та доступні дані, які можна використовувати для обчислення.
Щоб визначити площу трикутника, можна скористатися різними формулами. З усіх способів найлегший і найчастіше застосовуваний - це множення висоти на довжину основи з наступним розподілом отриманого результату на два. Однак цей метод далеко не єдиний. Нижче ви зможете прочитати, як знайти площу трикутника, використовуючи різні формули.
Окремо ми розглянемо способи обчислення площі специфічних видів трикутника – прямокутного, рівнобедреного та рівностороннього. Кожну формулу ми супроводжуємо коротким поясненням, яке допоможе зрозуміти її суть.
Універсальні способи знаходження площі трикутника
У наведених нижче формулах використовуються спеціальні позначення. Ми розшифруємо кожне з них:
- a, b, c – довжини трьох сторін розглянутої нами фігури;
- r – радіус кола, яке може бути вписано в наш трикутник;
- R – радіус того кола, яке може бути описано навколо нього;
- α - величина кута, утвореного сторонами b та с;
- β - величина кута між a та c;
- γ - величина кута, утвореного сторонами а та b;
- h – висота нашого трикутника, опущена з кута на сторону а;
- p – половина суми сторін a, b та с.
Логічно зрозуміло, чому можна знаходити площу трикутника цим способом. Трикутник легко добудовується до паралелограма, в якому одна сторона трикутника виконуватиме роль діагоналі. Площа паралелограма знаходиться множенням довжини однієї з сторін на значення висоти, проведеної до неї. Діагональ поділяє цей умовний паралелограм на 2 однакові трикутники. Отже, цілком очевидно, що площа нашого вихідного трикутника має дорівнювати половині площі цього допоміжного паралелограма.
S = ½ a · b · sin γ
Відповідно до цієї формули, площа трикутника знаходиться множенням довжин двох сторін, тобто а і b, на синус утвореного ними кута. Ця формула логічно виводиться із попередньої. Якщо опустити висоту з кута β на бік b, то, згідно з властивостями прямокутного трикутника, при множенні довжини сторони на синус кута γ отримуємо висоту трикутника, тобто h.
Площа розглянутої фігури знаходимо шляхом множення половини радіусу кола, яке в нього можна вписати, на його периметр. Іншими словами, знаходимо твір напівпериметра на радіус згаданого кола.
S = a · b · с/4R
Згідно з цією формулою, необхідну нам величину можна знайти шляхом поділу твору сторін фігури на 4 радіуси кола навколо неї описаної.
Ці формули універсальні, оскільки дозволяють визначити площу будь-якого трикутника (різностороннього, рівнобедреного, рівностороннього, прямокутного). Можна це зробити і за допомогою складніших обчислень, на яких ми докладно зупинятися не станемо.
Площі трикутників зі специфічними властивостями
Як знайти площу прямокутного трикутника? Особливістю цієї постаті є те, що дві її сторони одночасно є її висотами. Якщо а і b є катетами, а з стає гіпотенузою, то площу знаходимо так:
Як знайти площу рівнобедреного трикутника? У ньому дві сторони з довжиною і одна сторона з довжиною b. Отже, його площу визначити можна шляхом поділу на 2 твори квадрата сторони, а на синус кута γ.
Як знайти площу рівностороннього трикутника? У ньому довжина всіх сторін дорівнює а, а величина всіх кутів – α. Його висота дорівнює половині добутку довжини сторони на корінь квадратний з 3. Щоб знайти площу правильного трикутника, потрібно квадрат сторони а помножити на корінь квадратний з 3 і розділити на 4.
Площа трикутника. У багатьох завданнях геометрії пов'язаних з обчисленням площ використовуються формули площі трикутника. Їх є кілька, тут ми розглянемо основні.Перерахувати ці формули було б надто просто і користі жодної. Ми розберемо походження основних формул, що використовуються найчастіше.
Перед тим як ознайомитися з висновком формул обов'язково перегляньте статтю про .Після вивчення матеріалу ви легко зможете відновити формули в пам'яті (якщо раптом вони «вилетять» в потрібний вам момент).
Перша формула
Діагональ паралелограма розбиває його на два рівні за площею трикутника:
Отже площа трикутника дорівнюватиме половині площі паралелограма:
Площа трикутника формула
* Тобто, якщо нам буде відома будь-яка сторона трикутника і висота опущена на цю сторону, то ми завжди зможемо обчислити площу цього трикутника.
Формула друга
Як вже було викладено у статті про площу паралелограма формула має вигляд:
Площа трикутника дорівнює половині його площі, отже :
* Тобто якщо будуть відомі будь-які дві сторони у трикутнику та кут між ними, ми завжди зможемо обчислити площу такого трикутника.
Формула Герона (третя)
Цю формулу виводити складно і вам це ні до чого. Подивіться, яка вона красива, можна сказати, що сама запам'ятовується.
*Якщо дані три сторони трикутника, то за даною формулою ми завжди можемо обчислити його площу.
Формула четверта
де r- Радіус вписаного кола
*Якщо відомі три сторони трикутника і радіус вписаного в нього кола, то ми завжди можемо знайти площу цього трикутника.
Формула п'ята
де R- Радіус описаного кола.
*Якщо відомі три сторони трикутника та радіус описаного біля нього кола, то ми завжди можемо знайти площу такого трикутника.
Виникає питання: якщо відомі три сторони трикутника, то чи не простіше його площу знайти за формулою Герона!
Так, буває простіше, але не завжди, іноді виникає складність. Це з вилученням кореня. Крім того, дані формули дуже зручно застосовувати в задачах, де дана площа трикутника, його сторони і потрібно знайти радіус вписаного або описаного кола. Такі завдання є у складі ЄДІ.
Давайте окремо розглянемо формулу:
Вона є окремим випадком формули площі багатокутника, в який вписано коло:
Розглянемо її з прикладу п'ятикутника:
З'єднаємо центр кола з вершинами даного п'ятикутника та опустимо з центру перпендикуляри до його сторін. Отримаємо п'ять трикутників, при чому опущені перпендикуляри є радіусами вписаного кола:
Площа п'ятикутника дорівнює:
Тепер зрозуміло, що якщо йдеться про трикутник, то дана формула набуває вигляду:
Формула шоста
Як ви можете пам'ятати зі шкільної програми з геометрії, трикутник - це фігура, утворена з трьох відрізків, що з'єднуються трьома точками, що не лежать на одній прямій. Трикутник утворює три кути, звідси і назва фігури. Визначення може бути іншим. Трикутник можна також назвати багатокутником з трьома кутами, відповідь буде так само вірною. Трикутники діляться за кількістю рівних сторін та за величиною кутів у фігурах. Так виділяють такі трикутники, як рівнобедрений, рівносторонній і різнобічний, а також прямокутний, гострокутний і тупокутний, відповідно.
Формул обчислення площі трикутника дуже багато. Вибирати, як знайти площу трикутника, тобто. якою формулою скористатися, лише вам. Але варто відзначити лише деякі позначення, які використовуються в багатьох формулах обчислення площі трикутника. Отже, запам'ятовуйте:
S – це площа трикутника,
a, b, c – це сторони трикутника,
h – це висота трикутника,
R – це радіус описаного кола,
p – це напівпериметр.
Ось основні позначення, які можуть стати вам у нагоді, якщо ви абсолютно забули курс геометрії. Нижче будуть наведені найбільш зрозумілі та нескладні варіанти обчислення невідомої та загадкової площі трикутника. Це не складно і знадобиться як вам у домашніх потребах, так і для допомоги своїм дітям. Згадаймо, як обчислити площу трикутника простіше простого:
У нашому випадку площа трикутника дорівнює: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв. Пам'ятайте, що площа вимірюється квадратних сантиметрах (кв.см.).
Прямокутний трикутник та його площа.
Прямокутний трикутник - це трикутник, у якого один кут дорівнює 90 градусів (тому називається прямим). Прямий кут утворюють дві перпендикулярні лінії (у випадку з трикутником – два перпендикулярні відрізки). У прямокутному трикутнику прямий кут може лише один, т.к. сума всіх кутів одного будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів. Виходить, що 2 інших кута повинні ділити між собою 90 градусів, що залишилися, наприклад 70 і 20, 45 і 45 і т.д. Отже, основне ви згадали, залишилося дізнатися, як знайти площу прямокутного трикутника. Уявимо, що перед нами такий прямокутний трикутник, і нам необхідно знайти його площу S.
1. Найпростіший спосіб визначення площі прямокутного трикутника обчислюється за такою формулою:
У нашому випадку площа прямокутного трикутника дорівнює: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.
У принципі, більше не потрібно вивіряння площі трикутника іншими методами, т.к. у побуті знадобиться і допоможе лише цей. Але існують і варіанти виміру площі трикутника через гострі кути.
2. Для інших способів обчислення необхідно мати таблицю косінусів, синусів та тангенсів. Поміркуйте самі, ось які варіанти обчислення площ прямокутного трикутника ще можна використовувати:
Ми вирішили скористатися першою формулою і з невеликими помарками (креслили в блокноті та використовували стару лінійку та транспортир), але у нас вийшов правильний розрахунок:
S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). У нас вийшли такі результати 3,6 = 3,7, але з урахуванням зсуву клітин цей нюанс нам можна пробачити.
Рівностегновий трикутник та його площа.
Якщо перед вами стоїть завдання обчислити формулу рівнобедреного трикутника, то найпростіше скористатися головною і як вважається класичною формулою площі трикутника.
Але для початку перед тим, як знайти площу рівнобедреного трикутника, дізнаємося, що це за фігура така. Рівностегновим трикутником називається трикутник, у якого дві сторони мають однакову довжину. Ці дві сторони називаються бічними, третя сторона називається основою. Не плутайте рівнобедрений трикутник із рівностороннім, тобто. правильним трикутником, у якого всі три сторони рівні. У такому трикутнику немає особливих тенденцій до кутів, точніше до їхньої величини. Однак кути в основі в рівнобедреному трикутнику рівні, але відрізняються від кута між рівними сторонами. Отже, першу і головну формулу ви вже знаєте, залишилося дізнатися, які формули визначення площі рівнобедреного трикутника відомі.
Визначення трикутника
Трикутник- це геометрична фігура, яка утворюється в результаті перетину трьох відрізків, кінці яких не лежать на одній прямій. У будь-якого трикутника є три сторони, три вершини та три кути.
Онлайн-калькулятор
Трикутники бувають різних видів. Наприклад, існує рівносторонній трикутник (той, у якого всі сторони рівні), рівнобедрений (у ньому рівні дві сторони) і прямокутний (у якому один із кутів прямий, тобто дорівнює 90 градусів).
Площа трикутника можна знайти різними способами залежно від того, які елементи фігури відомі за умовою завдання, чи то кути, довжини, чи взагалі радіуси кіл, пов'язаних з трикутником. Розглянемо кожен спосіб окремо із прикладами.
Формула площі трикутника на основі та висоті
S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS =2 1 ⋅ a ⋅h,
A a a- основа трикутника;
h h h- Висота трикутника, проведена до даної основи a.
Знайти площу трикутника, якщо відома довжина його основи, що дорівнює 10 (див.) і висота, проведена до цієї основи, дорівнює 5 (див.).
Рішення
A = 10 a = 10 a =1
0
h = 5 h = 5 h =5
Підставляємо у формулу для площі та отримуємо:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S =2
1
⋅
1
0
⋅
5
=
2
5
(Див. кв.)
Відповідь: 25 (див. кв.)
Формула площі трикутника по довжинах усіх сторін
S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S =p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ,
A, b, c a, b, c a, b, c- Довжини сторін трикутника;
p p p- половина суми всіх сторін трикутника (тобто половина периметра трикутника):
P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 (a +b +c)
Ця формула називається формулою Герона.
прикладЗнайти площу трикутника, якщо відомі довжини трьох сторін, рівні 3 (див.), 4 (див.), 5 (див.).
Рішення
A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
Знайдемо половину периметра p p p:
P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ⋅ 1 2 = 6
Тоді, за формулою Герона, площа трикутника:
S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5)) = \ sqrt (36) = 6S =6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) = 3 6 = 6 (Див. кв.)
Відповідь: 6 (див. кв.)
Формула площі трикутника по одній стороні та двом кутам
S = a 2 2 ⋅ sin β sin ? \sin(\beta+\gamma))S =2 a 2 ⋅ sin (β + γ )sin β sin γ ,
A a a- Довжина сторони трикутника;
β , γ \beta, \gamma β
,
γ
- кути, що прилягають до сторони a a a.
Дано сторону трикутника, що дорівнює 10 (див.) і два кути, що прилягають до неї, по 30 градусів. Знайти площу трикутника.
Рішення
A = 10 a = 10 a =1
0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β
=
3
0
∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ
=
3
0
∘
За формулою:
S = 1 0 2 2 ⋅ sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1) (2 \ sqrt (3)) \ approx14.4S =2 1 0 2 ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ = 5 0 ⋅ 2 3 1 ≈ 1 4 . 4 (Див. кв.)
Відповідь: 14.4 (див. кв.)
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S = frac (a cdot b cdot c) (4R)S =4 Ra ⋅ b ⋅ c ,
A, b, c a, b, c a, b, c- Сторони трикутника;
R R R- радіус описаного кола навколо трикутника.
Числа візьмемо з другого нашого завдання та додамо до них радіус R R Rкола. Нехай він дорівнюватиме 10 (див.).
Рішення
A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R =1
0
S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S =4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 4 0 6 0 = 1 . 5 (Див. кв.)
Відповідь: 1.5 (див. кв.)
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
S = p ⋅ r S = p cdot r
p p
p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)
a, b, c a, b, c
прикладНехай радіус вписаного кола дорівнює 2 (див.). Довжини сторін візьмемо із попереднього завдання.
Рішення
a = 3 a = 3
p = 3 + 4 + 5 2 = 6 p=\frac(3+4+5)(2)=6
S = 6 ⋅ 2 = 12 S = 6 \ cdot 2 = 12
Відповідь: 12 (див. кв.)
Формула площі трикутника по обидва боки та кут між ними
S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)
b, c b, c
α \alpha
прикладСторони трикутника дорівнюють 5 (див.) і 6 (див.), кут між ними дорівнює 30 градусів. Знайти площу трикутника.
Рішення
b = 5 b = 5
S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5
Відповідь: 7.5 (див. кв.)