Возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости. Плоскость в пространстве – необходимые сведения
Взаимное положение прямой и плоскости определяется количествомобщих точек:
1) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости,
2) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость,
3) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в бесконечность, то прямая и плоскость параллельны.
Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга, называются позиционными задачами.
Прямая принадлежащая плоскости рассматривалась ранее.
Прямая параллельна плоскости , если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, необходимо в плоскости задать любую прямую и параллельно ей провести требуемую.
Рис. 1.53 Рис. 1.54 Рис.1.55
Пусть через точку А (рис. 1.53) необходимо провести прямую АВ , параллельную плоскости Q , заданную треугольником CDF. Для этого через фронтальную проекцию точки а / точки А проведем фронтальную проекцию а / в / искомой прямой параллельно фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Р, например, прямой CD (а / в / !! с / д / ). Через горизонтальную проекцию а точки А параллельно сд проводим горизонтальную проекцию ав искомой прямой АВ (ав11 сд). Прямая АВ параллельна плоскости Р, заданной треугольником CDF.
Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна плоскости. Рассмотрим свойства проекций такой прямой.
Рис. 1.56 Рис. 1.57
Прямая перпендикулярна плоскости (частный случай пересечения прямой с плоскостью) если она перпендикулярна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Для построения проекций перпендикуляра к плоскости, находящейся в общем положении, этого недостаточно без преобразования проекций. Поэтому вводят дополнительное условие: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся главным линиям (для построения проекций используется условие проецирования прямого угла). В этом случае: горизонтальная и фронтальная проекции перпендикуляра перпендикулярны соответственно горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали данной плоскости общего положения (рис. 1.54). При задании плоскости следами проекции перпендикуляра перпендикулярны соответственно фронтальная – фронтальному следу, горизонтальная – горизонтальному следу плоскости (рис. 1.55).
Пересечение прямой с проецирующей плоскостью. Рассмотрим прямую, пересекающую плоскость , когда плоскость находится в частном положении.
Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций (проецирующая плоскость), проецируется на нее в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна находиться соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая пересекает эту плоскость (рис.1.56).
На рисунке 1.56 фронтальная проекция точки К пересечения прямой АВ с треугольником СDE определяется в пересечении их фронтальных проекций, т.к. треугольник СDE проецируется на фронтальную плоскость в виде прямой линии. Находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью (она лежит на горизонтальной проекции прямой). Способом конкурирующих точек, определяем видимость прямой АВ относительно плоскости треугольника СDE на горизонтальной плоскости проекций.
На рисунке 1.59 изображена горизонтально-проецирующая плоскость P и прямая общего положения АВ . Т.к. плоскость Р перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то все, что в ней находится, на горизонтальную плоскость проекций проецируется на ее след, в том числе и точка ее пересечения с прямой АВ . Следовательно, на комплексном чертеже имеем горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью Р . По принадлежности точки прямой, находим фронтальную проекцию точки пересечения прямой АВ с плоскость Р . Определяем видимость прямой на фронтальной плоскости проекций.
Рис. 1.58 Рис. 1.59
На рисунке 1.58 дан комплексный чертеж построения проекций точки пересечения прямой АВ с плоскостью горизонтального уровня G . Фронтальный след плоскости G является ее фронтальной проекцией. Фронтальная проекция точки пересечения плоскости G с прямой АВ определятся в пересечении фронтальной проекции прямой и фронтального следа плоскости. Имея фронтальную проекцию точки пересечения, находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой АВ с плоскостью G .
На рисунке 1.57 изображена плоскость общего положения, заданная треугольником CDE и фронтально-проецирующая прямая АВ ? пересекающая плоскость в точке K. Фронтальная проекция точки – k / совпадает с точками a / и b / . Для построения горизонтальной проекции точки пересечения проведем через точку K в плоскости CDE прямую (например, 1-2 ). Построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка K является точкой пересечения прямых AB и 1-2. То есть точка K одновременно принадлежит прямой AB и плоскости треугольника и, следовательно, является точкой их пересечения.
Пересечение двух плоскостей. Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.
Пересечение проецирующих плоскостей. Две плоскости могут быть параллельны между собой или пересекаться. Рассмотрим случаи взаимного пересечения плоскостей.
Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям, следовательно, необходимо и достаточно найти эти две точки, принадлежащей линии пересечения двух заданных плоскостей.
Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Эти точки и определяют линию пересечения плоскостей. Для нахождения каждой из этих двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна (или параллельна) к какой-либо плоскости проекций, то построение проекции линии их пересечения упрощается.
Рис. 1.60 Рис. 1.61
Если плоскости, заданны следами, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей попарно: прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т.е. их линией пересечения.
Рассмотрим частные случаи расположения одной (или обеих) из пересекающихся плоскостей.
На комплексном чертеже (рис.1.60) изображены горизонтально-проецирующие плоскости P и Q. Тогда горизонтальная проекция их линии пересечения вырождается в точку, а фронтальная проекция – в прямую, перпендикулярную оси оx.
На комплексном чертеже (рис. 1.61) изображены плоскости частного положения: плоскость Р перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (горизонтально-проецирующая плоскость) и плоскость Q - плоскость горизонтального уровня. В этом случая, горизонтальная проекция их линии пересечения совпадет с горизонтальным следом плоскости Р , а фронтальная – с фронтальным следом плоскости Q .
В случае задания плоскостей следами легко установить, что эти плоскости пересекаются: если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости пересекаются между собой.
Изложенное относится к плоскостям, заданных пересекающимися следами. Если же обе плоскости имеют на горизонтальной и фронтальной плоскостях следы, параллельные друг другу, то эти плоскости могут быть параллельны либо пересекаться. О взаимном положении таких плоскостей можно судить, построив третью проекцию (третий след). Если следы обеих плоскостей на третьей проекции так же параллельны, то плоскости параллельны между собой. Если следы на третьей плоскости пересекаются, то заданные в пространстве плоскости пересекаются.
На комплексном чертеже (рис.1.62) изображены фронтально-проецирующие плоскости, заданные треугольником АВС и DEF . Проекция линии пересечения на фронтальной плоскости проекций – точка, т.е. так как треугольники перпендикулярны фронтальной плоскости проекций, то и их линия пересечения так же перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Следовательно горизонтальная проекции линии пересечения треугольников (12 ) перпендикулярна оси оx. Видимость элементов треугольников на горизонтальной плоскости проекции определяется с помощью конкурирующих точек (3,4).
На комплексном чертеже (рис. 1.63) заданы две плоскости: одна из которых треугольником АВС общего положения, другая – треугольником DEF перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, т.е. находящийся в частном положении (фронтально-проецирующий). Фронтальная проекция линии пересечения треугольников (1 / 2 / ) находится исходя из общих точек, одновременно принадлежащих обоим треугольникам (все, что находится во фронтально- проецирующем треугольнике DEF на фронтальной проекции выльется в линию – проекцию его на фронтальную плоскость, в том числе и линия его пересечения с треугольником АВС. По принадлежности точек пересечения сторонам треугольника АВС , находим горизонтальную проекцию линии пересечения треугольников. Способом конкурирующих точек определяем видимость элементов треугольников на горизонтальной плоскости проекций.
Рис. 1.63 Рис. 1.64
На рисунке 1.64 дан комплексный чертеж двух плоскостей, заданных треугольником общего положения АВС и горизонтально-проецирующая плоскость Р , заданная следами. Так как плоскость Р – горизонтально- проецирующая, то все, что в ней находится, в том числе и линия ее пересечения с плоскостью треугольника АВС , на горизонтальной проекции совпадет с ее
горизонтальным следом. Фронтальную проекцию линии пересечения данных плоскостей находим из условия принадлежности точек элемента (сторонам) плоскости общего положения.
В случае задания плоскостей общего положения не следами, то для получения линии пересечения плоскостей последовательно находится точка встречи стороны одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Если плоскости общего положения заданы не треугольниками, то линию ппересечения таких плоскостей можно найти путем введения поочередно двух вспомогательных секущих плоскостей – проецирующих (для задания плоскостей треугольниками) или уровня для всех других случаев.
Пересечение прямой общего положения с плоскость общего положения. Ранее были рассмотрены случаи пересечения плоскостей, когда одна из них являлась проецирующей. На основе этого мы можем найти точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, путем введения дополнительной проецирующей плоскости-посредника.
Прежде чем рассматривать пересечение плоскостей общего положения, рассмотрим пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения.
Для нахождения точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения необходимо:
1) прямую заключить во вспомогательную проецирующую плоскость,
2) найти линию пересечения заданной и вспомогательных плоскостей,
определить общую точку, принадлежащую одновременно двум плоскостям (это их линия пересечения) и прямой.
Рис. 1.65 Рис. 1.66
Рис. 1.67 Рис. 1.68
На комплексном чертеже (рис. 1.65) изображен треугольник СDE общего положения и прямая АВ общего положения. Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью, заключим прямую АВ Q . Найдем линию пересечения (12 ) плоскости- посредника Q и заданной плоскости СDE . При построении горизонтально проекции линии пересечения найдется общая точка К , одновременно принадлежащая двум плоскостям и заданной прямой АВ . Из принадлежности точки прямой находим фронтальную проекцию точки пересечения прямой с заданной плоскостью. Видимость элементов прямой на плоскостях проекций, определяем с помощью конкурирующих точек.
На рисунке 1.66 показан пример нахождения точки встречи прямой АВ , являющейся горизонталью (прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций) и плоскости Р , общего положения, заданной следами. Для нахождения точки их пересечения, прямая АВ заключается в горизонтально- проецирующую плоскость Q. Далее поступают, как и в выше изложенном примере.
Для нахождения точки встречи горизонтально-проецирующей прямой АВ с плоскостью общего положения (рис. 1.67), через точку встречи прямой с плоскостью (ее горизонтальная проекция совпадает с горизонтальной проекцией самой прямой) проводим горизонталь (т.е. привязываем точку пересечения прямой с плоскостью в плоскость Р ). Найдя фронтальную проекцию проведенной горизонтали в плоскости Р , отмечаем фронтальную проекцию точки встречи прямой АВ с плоскостью Р.
Для нахождения линии пересечения плоскостей общего положения, заданных следами достаточно отметить две общие точки, одновременно принадлежащие обеим плоскостям. Такими точками являются точки пересечения их следов (рис.1.68).
Для нахождения линии пересечения плоскостей общего положения, заданных двумя треугольниками (рис. 1.69), последовательно находим точку
встречи стороны одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Взяв любые две стороны из любого треугольника, заключив их в проецирующие плоскости посредники, находятся две точки, одновременно принадлежащие обоим треугольникам – линия их пересечения.
На рисунке 1.69 дан комплексный чертеж треугольников ABC и DEF общего положения. Для нахождения линии пересечения данных плоскостей:
1. Заключаем сторону ВС треугольника АВС во фронтально- проецирующую плоскость S (выбор плоскостей совершенно произвольный).
2. Находим линию пересечения плоскости S и плоскости DEF – 12 .
3. Отмечаем горизонтальную проекцию точки встречи (общая точка двух треугольников) К из пересечения 12 и ВС и находим ее фронтальную проекцию на фронтальной проекции прямой ВС.
4. Проводим вторую вспомогательную проецирующую плоскость Q через сторону DF треугольника DEF .
5. Находим линию пересечения плоскости Q и треугольника АВС – 3 4.
6. Отмечаем горизонтальную проекцию точки L , являющейся точкой встречи стороны DF c плоскостью треугольника АВС и находим ее фронтальную проекцию.
7. Соединяем одноименные проекции точек К и L. К L – линя пересечения плоскостей общего положения, заданных треугольниками АВС и DEF .
8. Способом конкурирующих точек определяем видимость элементов треугольников на плоскостях проекций.
Так как выше изложенное действительно и для главных линий параллельных плоскостей, то можно сказать, что плоскости параллельны, если параллельны их одноименные следы (рис. 1.71).
На рисунке 1.72 показано построение плоскости параллельной заданной и проходящей через точку А. В первом случае через точку А проведена прямая (фронталь), параллельная заданной плоскости G . Тем самым проведена плоскость Р содержащая прямую параллельную заданной плоскости G и параллельная ей. Во втором случае через точку А проведена плоскость, заданная главными линиями из условия параллельности этих линий заданной плоскости G .
Взаимно-перпендикулярные плоскости. Если одна плоскость содержит
хотя бы одну прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие
плоскости перпендикулярны. На рисунке 1.73 показаны взаимно перпендикулярные плоскости. На рисунке 1.74 показано построение плоскости, перпендикулярной заданной через точку А, используя условие перпендикулярности прямой (в данном случае главных линий) плоскости.
В первом случае через точку А проведена фронталь, перпендикулярная плоскости Р , построен ее горизонтальный след и через него проведен горизонтальный след плоскости Q , перпендикулярно горизонтальному следу плоскости Р . Через полученную точку схода следов Q X проведен фронтальный след плоскости Q перпендикулярно фронтальному следу плоскости Р .
Во втором случае в плоскости треугольника проведены горизонталь ВЕ и фронталь BF и через заданную точку А задаем плоскость пересекающимися прямыми (главными линиями), перпендикулярную плоскости треугольника. Для этого проводим через точку А горизонталь и фронталь. Горизонтальную проекцию горизонтали искомой плоскости (N ) проводим перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали треугольника, фронтальную проекцию фронтали новой плоскости (M ) – перпендикулярно фронтальной проекции фронтали треугольника.
Стереометрия
Взаимное расположение прямых и плоскостей
В пространстве
Параллельность прямых и плоскостей
Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямая и плоскость называются параллельными , если они не пересекаются.
Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.
Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися .
Признак параллельности прямой и плоскости . Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Признак параллельности плоскостей . Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.
Теоремыо параллельных прямых и параллельных плоскостях.
1. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
3. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.
4. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.
5. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.
6. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.
8. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Углы между прямыми и плоскостями
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (угол на рис. 1).
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными соответственно данным скрещивающимся прямым.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой. Полуплоскости называются гранями , прямая – ребром двугранного угла.
Линейным углом двугранного угла называется угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру (угол на рис. 2).
Градусная (радианная) мера двугранного угла равна градусной (радианной) мере его линейного угла.
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.
Две плоскости называются перпендикулярными , если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости . Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Признак перпендикулярности двух плоскостей . Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях.
1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
3. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
4. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Перпендикуляр и наклонная
Теорема . Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то:
1) наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше;
3) равные наклонные имеют равные проекции;
4) из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.
Теорема о трех перпендикулярах . Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной (рис.3).
Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Построение.
1. На плоскости a проводим прямую а .
3. В плоскости b через точку А проведем прямую b , параллельную прямой а .
4. Построена прямая b параллельная плоскости a .
Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости a , так как она параллельна прямой а , принадлежащей плоскости a .
Исследование. Задача имеет бесконечное множество решений, так как прямая а в плоскости a выбирается произвольно.
Пример 2. Определите, на каком расстоянии от плоскости находится точка А , если прямая АВ пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки А до точки В , принадлежащей плоскости, равно см?
Решение. Сделаем рисунок (рис. 5):
АС – перпендикуляр к плоскости a , АВ – наклонная, угол АВС – угол между прямой АВ и плоскостью a . Треугольник АВС – прямоугольный так как АС – перпендикуляр. Искомое расстояние от точки А до плоскости – это катет АС прямоугольного треугольника. Зная угол и гипотенузу см найдем катет АС :
Ответ: 3 см.
Пример 3. Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка, удаленная от каждой из вершин треугольника на 13 см, если основание и высота треугольника равны по 8 см?
Решение. Сделаем рисунок (рис. 6). Точка S удалена от точек А , В и С на одинаковое расстояние. Значит, наклонные SA , SB и SC равные, SO – общий перпендикуляр этих наклонных. По теореме о наклонных и проекциях АО = ВО = СО.
Точка О – центр окружности описанной около треугольника АВС . Найдем ее радиус:
где ВС – основание;
AD – высота данного равнобедренного треугольника.
Находим стороны треугольника АВС из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:
Теперь находим ОВ :
Рассмотрим треугольник SOB : SB = 13 см, ОВ = = 5 см. Находим длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора:
Ответ: 12 см.
Пример 4. Даны параллельные плоскости a и b . Через точку М , не принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и b , которые пересекают a в точках А 1 и В 1 , а плоскость b – в точках А 2 и В 2 . Найти А 1 В 1 , если известно, что МА 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 В 2 = 25 см.
Решение. Так как в условии не сказано, как расположена относительно обеих плоскостей точка М , то возможны два варианта: (рис. 7, а) и (рис. 7, б). Рассмотрим каждый из них. Две пересекающиеся прямые а и b задают плоскость. Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости a и b по параллельным прямым А 1 В 1 и А 2 В 2 согласно теореме 5 о параллельных прямых и параллельных плоскостях.
Треугольники МА 1 В 1 и МА 2 В 2 подобны (углы А 2 МВ 2 и А 1 МВ 1 – вертикальные, углы МА 1 В 1 и МА 2 В 2 – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А 1 В 1 и А 2 В 2 и секущей А 1 А 2). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
Вариант а):
Вариант б):
Ответ: 10 см и 50 см.
Пример 5. Через точку А плоскости g проведена прямая АВ , образующая с плоскостью угол a . Через прямую АВ проведена плоскость r , образующая с плоскостью g угол b . Найти угол между проекцией прямой АВ на плоскость g и плоскостью r .
Решение. Сделаем рисунок (рис. 8). Из точки В опустим перпендикуляр на плоскость g . Линейный угол двугранного угла между плоскостями g и r – это угол Прямая AD DBC , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как и По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость r перпендикулярна плоскости треугольника DBC , так как она проходит через прямую AD . Искомый угол построим, опустив перпендикуляр из точки С на плоскость r , обозначим его Найдем синус этого угла прямоугольного треугольника САМ . Введем вспомогательный отрезок а = ВС . Из треугольника АВС : Из треугольника ВМС найдем
Тогда искомый угол
Ответ:
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Через точку проведите прямую перпендикулярную двум заданным скрещивающимся прямым.
1.2. Определите, сколько различных плоскостей можно провести:
1) через три различные точки;
2) через четыре различные точки, никакие три из которых не лежат на одной плоскости?
1.3. Через вершины треугольника АВС , лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А 1 , В 1 , С 1 . Докажите равенство треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 .
1.4. Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен перпендикуляр АМ к его плоскости.
1) докажите, что треугольники MBC и MDC – прямоугольные;
2) укажите среди отрезков MB , MC , MD и MA отрезок наибольшей и наименьшей длины.
1.5. Грани одного двугранного угла соответственно параллельны граням другого. Определите, какова зависимость между величинами этих двугранных углов.
1.6. Найдите величину двугранного угла, если расстояние от точки, взятой на одной грани, до ребра в 2 раза больше расстояния от точки до плоскости второй грани.
1.7. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние проведены две равные наклонные, образующие угол 60º. Проекции наклонных взаимно перпендикулярны. Найдите длины наклонных.
1.8. Из вершины В квадрата ABCD восставлен перпендикуляр ВЕ к плоскости квадрата. Угол наклона плоскости треугольника АСЕ к плоскости квадрата равен j , сторона квадрата равна а АСЕ .
II уровень
2.1. Через точку, которая не принадлежит ни одной из двух скрещивающихся прямых, проведите прямую, пересекающую обе данные прямые.
2.2. Параллельные прямые а , b и с не лежат в одной плоскости. Через точку А на прямой а проведены перпендикуляры к прямым b и с , пересекающие их соответственно в точках В и С . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна прямым b и с .
2.3. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС . Катеты треугольника АС = 20 см, ВС = 15 см. Проекция одного из катетов на плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.
2.4. В одной из граней двугранного угла, равного 30º, расположена точка М . Расстояние от нее до ребра угла равно 18 см. Найдите расстояние от проекции точки М на вторую грань до первой грани.
2.5. Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного угла, равного 90º. Расстояние от точек А и В до ребра равны соответственно АА 1 = 3 см, ВВ 1 = 6 см, расстояние между точками на ребре Найдите длину отрезка АВ .
2.6. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а , проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45º и 30º, а между собой угол – 90º. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
2.7. Стороны треугольника равны 15 см, 21 см и 24 см. Точка М удалена от плоскости треугольника на 73 см и находится на одинаковом расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
2.8. Из центра О окружности, вписанной в треугольник АВС , к плоскости треугольника восставлен перпендикуляр ОМ . Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника, если АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОМ = 4 см.
2.9. Расстояния от точки М до сторон и вершины прямого угла соответственно равны 4 см, 7 см и 8 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости прямого угла.
2.10. Через основание АВ равнобедренного треугольника АВС проведена плоскость под углом b к плоскости треугольника. Вершина С удалена от плоскости на расстояние а . Найдите площадь треугольника АВС , если основание АВ равнобедренного треугольника равно его высоте.
III уровень
3.1. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b перегнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите длину отрезка АС .
3.2. Две прямоугольные трапеции с углами в 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие боковые стороны равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.
3.3.Задан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямой CD 1 и плоскостью BDC 1 .
3.4. На ребре АВ куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка Р – середина этого ребра. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C 1 PD и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно а .
3.5. Через сторону AD прямоугольника ABCD проведена плоскость a так, что диагональ BD составляет с этой плоскостью угол 30º. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью a , если АВ = а , AD = b . Определите, при каком соотношении а и b задача имеет решение.
3.6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определенных сторонами треугольника.
Призма. Параллелепипед
Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).
Для произвольной призмы верны формулы :
где l – длина бокового ребра;
H – высота;
P
Q
S бок
S полн
S осн – площадь оснований;
V – объем призмы.
Для прямой призмы верны формулы:
где p – периметр основания;
l – длина бокового ребра;
H – высота.
Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.
Теоремы.
1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:
3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.
Для произвольного параллелепипеда верны формулы:
где l – длина бокового ребра;
H – высота;
P – периметр перпендикулярного сечения;
Q – Площадь перпендикулярного сечения;
S бок – площадь боковой поверхности;
S полн – площадь полной поверхности;
S осн – площадь оснований;
V – объем призмы.
Для прямого параллелепипеда верны формулы:
где p – периметр основания;
l – длина бокового ребра;
H – высота прямого параллелепипеда.
Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:
где p – периметр основания;
H – высота;
d – диагональ;
a,b,c – измерения параллелепипеда.
Для куба верны формулы:
где a – длина ребра;
d – диагональ куба.
Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения параллелепипеда.
Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (3) для данных задачи:
Решая это уравнение относительно k , получим:
Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.
Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.
Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.
Решение . Сделаем рисунок (рис. 3).
Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:
Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА 1 АD : так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :
Теперь вычисляем объем по формуле (1):
Ответ: 192 см 3 .
Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)
Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 DD 1 , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.
Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.
Поскольку , то
Так как то АВ = 6 см.
Тогда периметр основания равен:
Найдем площадь боковой поверхности призмы:
Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:
Находим площадь полной поверхности призмы:
Ответ:
Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).
Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Т.о. Необходимо найти а и h .
Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 СС 1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда
Аналогично для сечения ВВ 1 DD 1 получим:
Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Получим следующее:
Из первых двух равенств выразим и подставим в третье. Получим: то
1.3. В наклонной треугольной призме проведено сечение перпендикулярное боковому ребру равному 12 см. В полученном треугольнике две стороны с длинами см и 8 см образуют угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
1.4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной 4 см и острым углом 60°. Найдите диагонали параллелепипеда, если длина бокового ребра 10 см.
1.5. Основанием прямого параллелепипеда является квадрат с диагональю, равной см. Боковое ребро параллелепипеда 5 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
1.6. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро равное см наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
1.7. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если два ребра и диагональ, исходящие из одной вершины, равны соответственно 11 см, см и 13 см.
1.8. Определите вес каменной колонны, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, с размерами 0,3 м, 0,3 м и 2,5 м, если удельный вес материала равен 2,2 г/см 3 .
1.9. Найдите площадь диагонального сечения куба, если диагональ его грани равна дм.
1.10. Найдите объем куба, если расстояние между двумя его вершинами, не лежащими в одной грани, равно см.
II уровень
2.1. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и высоту призмы, если известно, что одна из вершин верхнего основания проектируется на середину стороны нижнего основания.
2.2. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник ABC со стороной равной 3 см. Вершина A 1 проектируется в центр треугольника ABC. Ребро AA 1 составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2.3. Вычислите объем наклонной треугольной призмы, если стороны основания 7 см, 5 см и 8 см, а высота призмы равна меньшей высоте треугольника-основания.
2.4. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 30°. Найдите угол наклона к плоскости основания.
2.5. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см и 14 см, а диагональ – 15 см. Две боковые грани призмы – квадраты. Найдите площадь полной поверхности призмы.
2.6. Диагонали правильной шестиугольной призмы равны 19см и 21 см. Найдите ее объем.
2.7. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна 8 дм, и она образует с боковыми гранями углы 30° и 40°.
2.8. Диагонали основания прямого параллелепипеда равны 34 см и 38 см, а площади боковых граней 800 см 2 и 1200 см 2 . Найдите объем параллелепипеда.
2.9. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, выходящие из одной вершины, равны 4 см и 5 см и образуют угол в 60°.
2.10. Найдите объем куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно мм.
III уровень
3.1. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Площадь основания 18 см 2 , а диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь сечения.
3.2. В основании призмы лежит квадрат ABCD, все вершины которого равноудалены от вершины A 1 верхнего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Сторона основания 12 см. Постройте сечение призмы плоскостью, проходя через вершину C, перпендикулярно ребру AA 1 и найти его площадь.
3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция. Площадь диагонального сечения и площади параллельных боковых граней соответственно равны 320 см 2 , 176 см 2 и 336 см 2 . Найдите площадь боковой поверхности призмы.
3.4. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 9см 2 , площади боковых граней 18 см 2 , 20 см 2 и 34 см 2 . Найдите объем призмы.
3.5. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.
3.6. Углы, образованные диагональю основания прямоугольного параллелепипеда со стороной основания и диагональю параллелепипеда, равны соответственно a и b. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ равна d.
3.7. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна см 2 . Найдите площадь поверхности куба.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве допускает три случая. Прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Они могут быть параллельны. Наконец, прямая может лежать в плоскости. Выяснение конкретной ситуации для прямой и плоскости зависит от способа их описания.
Предположим, что плоскость π задана общим уравнением π: Ax + By + Cz + D = 0, а прямая L - каноническими уравнениями (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n. Уравнения прямой дают координаты точки M 0 (x 0 ; у 0 ; z 0) на прямой и координаты направляющего вектора s = {l; m; n} этой прямой, а уравнение плоскости - координаты ее нормального вектора n = {A; B; C}.
Если прямая L и плоскость π пересекаются, то направляющий вектор s прямой не параллелен плоскости π. Значит, нормальный вектор n плоскости не ортогонален вектору s, т.е. их скалярное произведение не равно нулю. Через коэффициенты уравнений прямой и плоскости это условие записывается в виде неравенства A1 + Bm + Cn ≠ 0.
Если прямая и плоскость параллельны или прямая лежит в плоскости, то выполняется условие s ⊥ n, которое в координатах сводится к равенству Al + Bm + Cn = 0. Чтобы разделить случаи "параллельны" и "прямая принадлежит плоскости ", нужно проверить, принадлежит ли точка прямой данной плоскости.
Таким образом, все три случая взаимного расположения прямой и плоскости разделяются путем проверки соответствующих условий:
Если прямая L задана своими общими уравнениями:
то проанализировать взаимное расположение прямой и плоскости π можно следующим образом. Из общих уравнений прямой и общего уравнения плоскости составим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Если эта система не имеет решений, то прямая параллельна плоскости. Если она имеет единственное решение, то прямая и плоскость пересекаются в единственной точке. Последнее равносильно тому, что определитель системы (6.6)
отличен от нуля. Наконец, если система (6.6) имеет бесконечно много решений, то прямая принадлежит плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Угол φ между прямой L: (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n и плоскостью π: Ax + By + Cz + D = 0 находится в пределах от 0° (в случае параллельности) до 90° (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). Синус этого угла равен |cosψ|, где ψ - угол между направляющим вектором прямой s и нормальным вектором n плоскости (рис. 6.4). Вычислив косинус угла между двумя векторами через их координаты (см. (2.16)), получим
Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно тому, что нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны. Через координаты векторов это условие записывается в виде двойного равенства
В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве.
Навигация по странице.
Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение.
Простейшими и основными геометрическими фигурами в трехмерном пространстве являются точка, прямая и плоскость. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости . Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.
Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А и Q , прямые а и d . Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ или ВА проходит через точки А и В . Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или .
При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области.
Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения. Переходим к их описанию.
Взаимное расположение плоскости и точки.
Начнем с аксиомы: в каждой плоскости имеются точки. Из нее следует первый вариант взаимного расположения плоскости и точки – точка может принадлежать плоскости. Другими словами, плоскость может проходить через точку. Для обозначения принадлежности какой-либо точки какой-либо плоскости используют символ «». Например, если плоскость проходит через точку А , то можно кратко записать .
Следует понимать, что на заданной плоскости в пространстве имеется бесконечно много точек.
Следующая аксиома показывает, сколько точек в пространстве необходимо отметить, чтобы они определяли конкретную плоскость: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна. Если известны три точки, лежащие в плоскости, то плоскость можно обозначить тремя буквами, соответствующими этим точкам. Например, если плоскость проходит через точки А , В и С , то ее можно обозначить АВС .
Сформулируем еще одну аксиому, которая дает второй вариант взаимного расположения плоскости и точки: имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Итак, точка пространства может не принадлежать плоскости. Действительно, в силу предыдущей аксиомы через три точки пространства проходит плоскость, а четвертая точка может как лежать на этой плоскости, так и не лежать. При краткой записи используют символ «», который равносилен фразе «не принадлежит».
К примеру, если точка А не лежит в плоскости , то используют краткую запись .
Прямая и плоскость в пространстве.
Во-первых, прямая может лежать в плоскости. В этом случае, в плоскости лежат хотя бы две точки этой прямой. Это устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Для краткой записи принадлежности некоторой прямой данной плоскости пользуются символом «». Например, запись означает, что прямая а лежит в плоскости .
Во-вторых, прямая может пересекать плоскость. При этом прямая и плоскость имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. При краткой записи пересечение обозначаю символом «». К примеру, запись означает, что прямая а пересекает плоскость в точке М . При пересечении плоскости некоторой прямой возникает понятие угла между прямой и плоскостью .
Отдельно стоит остановиться на прямой, которая пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Такую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Для краткой записи перпендикулярности используют симовл «». Для более глубокого изучения материала можете обратиться к статье перпендикулярность прямой и плоскости .
Особую значимость при решении задач, связанных с плоскостью, имеет так называемый нормальный вектор плоскости . Нормальным вектором плоскости является любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости.
В-третьих, прямая может быть параллельна плоскости, то есть, не иметь в ней общих точек. При краткой записи параллельности используют символ «». Например, если прямая а параллельна плоскости , то можно записать . Рекомендуем подробнее изучить этот случай, обратившись к статье параллельность прямой и плоскости .
Следует сказать, что прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Прямая в этом случае называется границей полуплоскостей. Любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от граничной прямой.
Взаимное расположение плоскостей.
Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.
Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями . Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей .
Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей , чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей.
Способы задания плоскости.
Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.
Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Если в трехмерном пространстве зафиксирована и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .
Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:
- через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна (смотрите также статью уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку);
- через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (рекомендуем ознакомиться с материалом статьи уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).
Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых . Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.
Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые .
В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.
Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой .
Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать
Взаимное расположение двух прямых
Следующие утверждения выражают необходимые и достаточные признаки взаимного расположения двух прямых в пространстве, заданных каноническими уравнениями
а ) Прямые скрещиваются, т.е. не лежат на одной плоскости.
б ) Прямые пересекаются.
Но векторы и неколлинеарны (иначе их координаты пропорциональны).
в ) Прямые параллельны.
Векторы и коллинеарны, но вектор им неколлинеарен.
г ) Прямые совпадают.
Все три вектора: , коллинеарны.
Доказательство. Докажем достаточность указанных признаков
а ) Рассмотрим вектор и направляющие векторы данных прямых
то эти векторы некомпланарны, следовательно, данные прямые не лежат на одной плоскости.
б ) Если, то векторы компланарны, следовательно, данные прямые лежат в одной плоскости, а так как в случае (б ) направляющие векторы и этих прямых предполагаются неколлинеарными, то прямые пересекаются.
в ) Если направляющие векторы и данных прямых коллинеарны, то прямые или параллельные, или совпадают. В случае (в ) прямые параллельны, т.к. по условию вектор, начало которого находится в точке первой прямой, а конец – в точке второй прямой не коллинеарен и.
г) Если все векторы и коллинеарны, то прямые совпадают.
Необходимость признаков доказывается методом от противного.
Клетеник № 1007
Следующие утверждения дают необходимые и достаточные условия взаимного расположения прямой, заданной каноническими уравнениями
и плоскости, заданной общим уравнением
относительно общей декартовой системы координат.
Плоскость и прямая пересекаются:
Плоскость и прямая параллельны:
Прямая лежит на плоскости:
Докажем сначала достаточность указанных признаков. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:
Подставляя в уравнение (2 (плоскости)) координаты произвольной точки данной прямой, взятые из формул (3), будем иметь:
1. Если, то уравнение (4) имеет относительно t единственное решение:
а значит, данная прямая и данная плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются.
2. Если, то уравнение (4) не удовлетворяется ни при каком значение t , т.е. на данной прямой нет ни одной точки, лежащей на данной плоскости, следовательно, данные прямая и плоскость параллельны.
3. Если, то уравнение (4) удовлетворяется при любом значении t , т.е. все точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит, данная прямая лежит на данной плоскости.
Выведенные нами достаточные условия взаимного расположения прямой и плоскости являются и необходимыми и доказываются сразу методом от противного.
Из доказанного следует необходимое и достаточное условие того, что вектор компланарен плоскости, заданной общим уравнением относительно общей декартовой системы координат.