Najděte největší nebo nejmenší hodnotu funkce. Největší a nejmenší hodnota funkce

Největší a nejmenší hodnoty funkce

koncepty matematická analýza. Hodnota získaná funkcí v některém bodě množiny, na které je tato funkce definována, se nazývá největší (nejmenší) hodnota v této množině, pokud funkce nemá větší (menší) hodnotu v žádném jiném bodě množiny. N. a n. h. F. ve srovnání s jejími hodnotami ve všech dostatečně blízkých bodech se nazývají extrémy (resp. maxima a minima) funkce. N. a n. h. f., dané na segmentu, lze dosáhnout buď v bodech, kde je derivace rovna nule, nebo v bodech, kde neexistuje, nebo na koncích segmentu. Spojitá funkce daná na segmentu nutně dosahuje svých maximálních a minimálních hodnot; pokud je uvažována spojitá funkce na intervalu (tj. segment s vyloučenými konci), pak mezi jeho hodnotami na tomto intervalu nemusí být maximum ani minimum. Například funkce na = X, daný na intervalu , dosahuje největší a nejmenší hodnoty, v tomto pořadí, at X= 1 a X= 0 (tj. na koncích segmentu); pokud vezmeme v úvahu tuto funkci na intervalu (0; 1), pak mezi jejími hodnotami na tomto intervalu není ani největší, ani nejmenší, protože pro každou x0 vždy je bod tohoto intervalu ležící vpravo (vlevo) x0 a taková, že hodnota funkce v tomto bodě bude větší (respektive menší) než v bodě x0. Podobné příkazy platí pro funkce několika proměnných. Viz také Extreme.

Velký sovětská encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. 1969-1978 .

Podívejte se, co jsou "největší a nejmenší hodnoty funkce" v jiných slovnících:

Velký encyklopedický slovník

Pojmy matematické analýzy. Hodnota získaná funkcí v nějakém bodě množiny, na které je tato funkce definována, se nazývá největší (nejmenší) na této množině, pokud v žádném jiném bodě funkce nemá větší (menší) ... ... encyklopedický slovník

Pojmy z matematiky. analýza. Volá se hodnota, kterou má funkce v určitém bodě množiny, přičemž tato funkce je dána. největší (nejmenší) na této množině, pokud v žádném jiném bodě funkce nemá větší (menší) hodnotu ... Přírodní věda. encyklopedický slovník

MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ FUNKCE- respektive největší a nejmenší hodnoty funkce ve srovnání s jejími hodnotami ve všech dostatečně blízkých bodech. Vysoké a nízké body se nazývají extrémní body... Velká polytechnická encyklopedie

Největší a tedy i nejmenší hodnoty funkce, která nabývá skutečných hodnot. Zavolá se bod definičního oboru příslušné funkce, ve kterém zaujímá maximum nebo minimum. respektive maximální bod nebo minimální bod ... ... Matematická encyklopedie

Ternární funkce v teorii funkčních systémů a ternární logice je funkcí typu, kde je ternární množina a je nezáporné celé číslo, které se nazývá arita nebo lokalita funkce. Prvky sady jsou digitální ... ... Wikipedie

Reprezentace booleovských funkcí normálními formami (viz Normální formy booleovských funkcí). nejjednodušší s ohledem na určitou míru složitosti. Obvykle se složitostí normální formy rozumí počet písmen v ní. V tomto případě se nejjednodušší forma nazývá ... ... Matematická encyklopedie

Funkce, která přijímá nekonečně malé přírůstky, protože argument se zvyšuje nekonečně. Jednohodnotová funkce f (x) se nazývá spojitá pro hodnotu argumentu x0, pokud pro všechny hodnoty argumentu x, které se dostatečně málo liší od x0 ... Velká sovětská encyklopedie

- (Latinské maximum a minimum, doslova největší a nejmenší) (Math.), největší a nejmenší hodnoty funkce ve srovnání s jejími hodnotami v dostatečně blízkých bodech. Na obrázku má funkce y \u003d f (x) maximum v bodech x1 a x3 a v bodě x2 ... ... encyklopedický slovník

- (z latinského maxima a minima, největšího a nejmenšího) (matematické), největší a nejmenší hodnoty funkce ve srovnání s jejími hodnotami v dostatečně blízkých bodech. Vysoké a nízké body se nazývají extrémní body... Moderní encyklopedie

Nechť je funkce $z=f(x,y)$ definována a spojitá v nějaké omezené uzavřené doméně $D$. Nechť má daná funkce v této oblasti konečné parciální derivace prvního řádu (možná s výjimkou konečného počtu bodů). K nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce dvou proměnných v dané uzavřené oblasti jsou zapotřebí tři kroky jednoduchého algoritmu.

Algoritmus pro nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce $z=f(x,y)$ v uzavřené doméně $D$.

1. Najděte kritické body funkce $z=f(x,y)$, které patří do oblasti $D$. Vypočítejte funkční hodnoty v kritických bodech.
2. Prozkoumejte chování funkce $z=f(x,y)$ na hranici oblasti $D$ nalezením bodů možných maximálních a minimálních hodnot. Vypočítejte funkční hodnoty v získaných bodech.
3. Z hodnot funkcí získaných v předchozích dvou odstavcích vyberte největší a nejmenší.

Co jsou kritické body? zobrazit/skrýt

Pod kritické body implikují body, kde jsou obě parciální derivace prvního řádu rovny nule (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ a $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) nebo alespoň jedna parciální derivace neexistuje.

Často se nazývají body, ve kterých jsou parciální derivace prvního řádu rovny nule stacionární body. Stacionární body jsou tedy podmnožinou kritických bodů.

Příklad #1

Najděte maximální a minimální hodnoty funkce $z=x^2+2xy-y^2-4x$ v uzavřené oblasti ohraničené čarami $x=3$, $y=0$ a $y=x +1 $.

Budeme postupovat podle výše uvedeného, ​​ale nejprve se budeme zabývat zakreslením dané oblasti, kterou označíme písmenem $D$. Jsou nám dány rovnice tří přímek, které tuto oblast omezují. Přímka $x=3$ prochází bodem $(3;0)$ rovnoběžně s osou y (osa Oy). Přímka $y=0$ je rovnicí osy úsečky (osa Ox). Abychom sestrojili přímku $y=x+1$, najdeme dva body, kterými tuto přímku nakreslíme. Místo $x$ můžete samozřejmě nahradit několik libovolných hodnot. Například dosazením $x=10$ dostaneme: $y=x+1=10+1=11$. Našli jsme bod $(10;11)$ ležící na přímce $y=x+1$. Je však lepší najít ty body, kde se přímka $y=x+1$ protíná s přímkami $x=3$ a $y=0$. proč je to lepší? Protože jednou ranou položíme pár ptáčků: dostaneme dva body za sestrojení přímky $y=x+1$ a zároveň zjistíme, v jakých bodech tato přímka protíná další přímky, které danou přímku spojují plocha. Přímka $y=x+1$ protíná přímku $x=3$ v bodě $(3;4)$ a přímka $y=0$ - v bodě $(-1;0)$. Abych nezahlcoval průběh řešení pomocnými vysvětlivkami, uvedu otázku získání těchto dvou bodů do poznámky.

Jak byly získány body $(3;4)$ a $(-1;0)$? zobrazit/skrýt

Začněme od průsečíku přímek $y=x+1$ a $x=3$. Souřadnice požadovaného bodu patří k prvnímu i druhému řádku, takže k nalezení neznámých souřadnic musíte vyřešit systém rovnic:

$$ \left \( \začátek(zarovnáno) & y=x+1;\\ & x=3. \end(zarovnáno) \vpravo. $$

Řešení takového systému je triviální: dosazením $x=3$ do první rovnice dostaneme: $y=3+1=4$. Bod $(3;4)$ je požadovaný průsečík přímek $y=x+1$ a $x=3$.

Nyní najdeme průsečík přímek $y=x+1$ a $y=0$. Opět skládáme a řešíme soustavu rovnic:

$$ \left \( \začátek(zarovnáno) & y=x+1;\\ & y=0. \end(zarovnáno) \vpravo. $$

Dosazením $y=0$ do první rovnice dostaneme: $0=x+1$, $x=-1$. Bod $(-1;0)$ je požadovaný průsečík přímek $y=x+1$ a $y=0$ (osa úsečky).

Vše je připraveno k vytvoření výkresu, který bude vypadat takto:

Otázka poznámky se zdá zřejmá, protože z obrázku je vidět vše. Je však třeba připomenout, že kresba nemůže sloužit jako důkaz. Obrázek je pouze ilustrativní pro názornost.

Naše plocha byla stanovena pomocí rovnic přímek, které ji omezují. Je zřejmé, že tyto čáry definují trojúhelník, ne? Nebo to není zcela zřejmé? Nebo možná máme jinou oblast ohraničenou stejnými čarami:

Samozřejmě podmínka říká, že oblast je uzavřená, takže zobrazený obrázek je špatně. Abychom se ale vyhnuli takovýmto nejasnostem, je lepší definovat regiony podle nerovností. Zajímá nás část roviny nacházející se pod přímkou ​​$y=x+1$? Dobře, takže $y ≤ x+1$. Naše oblast by se měla nacházet nad čarou $y=0$? Skvělé, takže $y ≥ 0 $. Mimochodem, poslední dvě nerovnosti lze snadno spojit do jedné: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \začátek(zarovnáno) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(zarovnáno) \vpravo. $$

Tyto nerovnosti definují doménu $D$ a definují ji jednoznačně, bez jakýchkoliv nejasností. Ale jak nám to pomůže v otázce na začátku poznámky pod čarou? To také pomůže :) Musíme zkontrolovat, zda bod $M_1(1;1)$ patří do oblasti $D$. Dosadíme $x=1$ a $y=1$ do systému nerovností, které definují tuto oblast. Pokud jsou obě nerovnosti splněny, pak bod leží uvnitř oblasti. Pokud není splněna alespoň jedna z nerovností, pak bod kraji nepatří. Tak:

$$ \left \( \begin(zarovnáno) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnáno) \right. \;\; \left \( \begin(zarovnáno) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnáno) \right.$$

Obě nerovnosti jsou pravdivé. Bod $M_1(1;1)$ patří do oblasti $D$.

Nyní je na řadě prozkoumat chování funkce na hranici definičního oboru, tzn. jít do. Začněme přímkou ​​$y=0$.

Přímka $y=0$ (osa úsečky) omezuje oblast $D$ za podmínky $-1 ≤ x ≤ 3$. Dosaďte $y=0$ do dané funkce $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Výsledná substituční funkce jedné proměnné $x$ bude označena jako $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nyní pro funkci $f_1(x)$ potřebujeme najít největší a nejmenší hodnotu na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Najděte derivaci této funkce a přirovnejte ji k nule:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Hodnota $x=2$ patří segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, takže do seznamu bodů přidáme také $M_2(2;0)$. Navíc vypočítáme hodnoty funkce $z$ na koncích segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, tzn. v bodech $M_3(-1;0)$ a $M_4(3;0)$. Mimochodem, pokud by bod $M_2$ do uvažovaného segmentu nepatřil, pak by v něm samozřejmě nebylo potřeba počítat hodnotu funkce $z$.

Vypočítejme tedy hodnoty funkce $z$ v bodech $M_2$, $M_3$, $M_4$. Souřadnice těchto bodů můžete samozřejmě dosadit do původního výrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Například pro bod $M_2$ dostaneme:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4,$$

Výpočty se však dají trochu zjednodušit. K tomu je třeba si připomenout, že na segmentu $M_3M_4$ máme $z(x,y)=f_1(x)$. Napíšu to podrobně:

\začátek(zarovnáno) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (zarovnáno)

Takových podrobných zápisů samozřejmě většinou není potřeba a v budoucnu začneme všechny výpočty zapisovat stručněji:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3,$$

Nyní se otočme na přímku $x=3$. Tato čára ohraničuje doménu $D$ za podmínky $0 ≤ y ≤ 4$. Dosaďte $x=3$ do dané funkce $z$. V důsledku takové substituce dostaneme funkci $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Pro funkci $f_2(y)$ potřebujete najít největší a nejmenší hodnotu na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Najděte derivaci této funkce a přirovnejte ji k nule:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Hodnota $y=3$ patří segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, takže k bodům nalezeným dříve přičteme $M_5(3;3)$. Navíc je nutné vypočítat hodnotu funkce $z$ v bodech na koncích segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, tzn. v bodech $M_4(3;0)$ a $M_6(3;4)$. V bodě $M_4(3;0)$ jsme již vypočítali hodnotu $z$. Vypočítejme hodnotu funkce $z$ v bodech $M_5$ a $M_6$. Dovolte mi připomenout, že na segmentu $M_4M_6$ máme $z(x,y)=f_2(y)$, tedy:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (zarovnáno)

A nakonec zvažte poslední hranici $D$, tj. řádek $y=x+1$. Tato čára ohraničuje oblast $D$ za podmínky $-1 ≤ x ≤ 3$. Dosazením $y=x+1$ do funkce $z$ získáme:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Opět máme funkci jedné proměnné $x$. A znovu musíte najít největší a nejmenší hodnoty této funkce na segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$. Najděte derivaci funkce $f_(3)(x)$ a přirovnejte ji k nule:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Hodnota $x=1$ patří do intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Pokud $x=1$, pak $y=x+1=2$. Přidáme $M_7(1;2)$ do seznamu bodů a zjistíme, jaká je v tomto bodě hodnota funkce $z$. Body na koncích segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, tzn. body $M_3(-1;0)$ a $M_6(3;4)$ byly uvažovány dříve, hodnotu funkce jsme v nich již našli.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3,$$

Druhý krok řešení je dokončen. Máme sedm hodnot:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3,$$

Pojďme se obrátit na. Výběrem největších a nejmenších hodnot z čísel získaných ve třetím odstavci budeme mít:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6,$$

Problém je vyřešen, zbývá jen napsat odpověď.

Odpovědět: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Příklad č. 2

Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce $z=x^2+y^2-12x+16y$ v oblasti $x^2+y^2 ≤ 25$.

Nejprve postavíme výkres. Rovnice $x^2+y^2=25$ (toto je hraniční čára dané oblasti) definuje kružnici se středem v počátku (tj. v bodě $(0;0)$) a poloměrem 5. Nerovnice $x^2 +y^2 ≤ 25$ vyhovuje všem bodům uvnitř a na uvedeném kruhu.

Budeme jednat. Pojďme najít parciální derivace a zjistit kritické body.

$$ \frac(\částečné z)(\částečné x)=2x-12; \frac(\částečné z)(\částečné y)=2y+16. $$

Neexistují body, ve kterých by nalezené parciální derivace neexistovaly. Zjistíme, v jakých bodech jsou obě parciální derivace současně rovny nule, tzn. najít stacionární body.

$$ \left \( \begin(zarovnáno) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(zarovnáno) \right. \;\; \left \( \begin(zarovnáno) & x =6;\\ & y=-8.\end(zarovnáno) \vpravo.$$

Dostali jsme stacionární bod $(6;-8)$. Nalezený bod však nepatří do oblasti $D$. To je snadné ukázat, aniž byste se museli uchýlit ke kreslení. Zkontrolujeme, zda platí nerovnost $x^2+y^2 ≤ 25$, která definuje naši doménu $D$. Pokud $x=6$, $y=-8$, pak $x^2+y^2=36+64=100$, tzn. nerovnost $x^2+y^2 ≤ 25$ není splněna. Závěr: bod $(6;-8)$ nepatří do oblasti $D$.

Uvnitř $D$ tedy nejsou žádné kritické body. Pojďme dál, do. Potřebujeme vyšetřit chování funkce na hranici dané oblasti, tzn. na kruhu $x^2+y^2=25$. Můžete samozřejmě vyjádřit $y$ pomocí $x$ a výsledný výraz pak dosadit do naší funkce $z$. Z kruhové rovnice dostaneme: $y=\sqrt(25-x^2)$ nebo $y=-\sqrt(25-x^2)$. Dosazením například $y=\sqrt(25-x^2)$ do dané funkce získáme:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Další řešení bude zcela shodné se studiem chování funkce na hranici regionu v předchozím příkladu č.1. Zdá se mi však v této situaci rozumnější použít Lagrangeovu metodu. Zajímá nás pouze první část této metody. Po aplikaci první části Lagrangeovy metody získáme body, ve kterých a prozkoumáme funkci $z$ na minimální a maximální hodnoty.

Skládáme Lagrangeovu funkci:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Najdeme parciální derivace Lagrangeovy funkce a sestavíme odpovídající soustavu rovnic:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \začátek (zarovnáno) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(zarovnáno) \ vpravo. \;\; \left \( \začátek(zarovnáno) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( zarovnáno)\vpravo.$$

Abychom tento systém vyřešili, rovnou označme $\lambda\neq -1$. Proč $\lambda\neq -1$? Zkusme dosadit $\lambda=-1$ do první rovnice:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Výsledný rozpor $0=6$ říká, že hodnota $\lambda=-1$ je neplatná. Výstup: $\lambda\neq -1$. Vyjádřeme $x$ a $y$ pomocí $\lambda$:

\begin(zarovnáno) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (zarovnáno)

Věřím, že je zde zřejmé, proč jsme konkrétně stanovili podmínku $\lambda\neq -1$. To bylo provedeno, aby se výraz $1+\lambda$ vešel do jmenovatelů bez interference. To znamená, abyste měli jistotu, že jmenovatel je $1+\lambda\neq 0$.

Získané výrazy pro $x$ a $y$ dosadíme do třetí rovnice soustavy, tzn. v $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Z výsledné rovnosti vyplývá, že $1+\lambda=2$ nebo $1+\lambda=-2$. Máme tedy dvě hodnoty parametru $\lambda$, a to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Podle toho dostaneme dva páry hodnot $x$ a $y$:

\begin(zarovnáno) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (zarovnáno)

Získali jsme tedy dva body možného podmíněného extrému, tzn. $M_1(3;-4)$ a $M_2(-3;4)$. Najděte hodnoty funkce $z$ v bodech $M_1$ a $M_2$:

\začátek(zarovnáno) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (zarovnáno)

Měli bychom vybrat největší a nejmenší hodnoty z těch, které jsme získali v prvním a druhém kroku. Ale v tomto případě je výběr malý :) Máme:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odpovědět: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125 $.

V tomto článku budu mluvit o algoritmus pro nalezení největší a nejmenší hodnoty funkce, minimální a maximální body.

Z teorie budeme určitě potřebovat derivační tabulka A pravidla diferenciace. Vše je na této desce:

Algoritmus pro nalezení největších a nejmenších hodnot.

Připadá mi jednodušší to vysvětlit konkrétní příklad. Zvážit:

Příklad: Nalézt nejvyšší hodnotu funkce y=x^5+20x^3–65x na segmentu [–4;0].

Krok 1. Vezmeme derivát.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Krok 2 Hledání extrémních bodů.

extrémní bod pojmenujeme takové body, ve kterých funkce dosáhne své maximální nebo minimální hodnoty.

Abychom našli extrémní body, je nutné porovnat derivaci funkce s nulou (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Nyní vyřešíme tuto bikvadratickou rovnici a nalezené kořeny jsou naše extrémní body.

Takové rovnice řeším nahrazením t = x^2, pak 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Zmenšíme rovnici o 5, dostaneme: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Provedeme opačnou substituci x^2 = t:

X_(1 a 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 a 4) = ±sqrt(-13) (vylučujeme, pod kořenem nelze záporná čísla(pokud samozřejmě nemluvíme o komplexních číslech)

Celkem: x_(1) = 1 a x_(2) = -1 - to jsou naše extrémní body.

Krok 3 Určujeme největší a nejmenší hodnotu.

Substituční metoda.

V podmínce jsme dostali segment [b][–4;0]. Bod x=1 není v tomto segmentu zahrnut. Takže to nezvažujeme. Ale kromě bodu x=-1 musíme uvažovat i levou a pravou hranici našeho segmentu, tedy body -4 a 0. K tomu dosadíme všechny tyto tři body do původní funkce. Všimněte si, že původní je ten, který je uveden v podmínce (y=x^5+20x^3–65x), někteří začnou dosazovat do derivace...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To znamená, že maximální hodnota funkce je [b]44 a je dosažena v bodech [b]-1, což se nazývá maximální bod funkce na segmentu [-4; 0].

Rozhodli jsme se a dostali odpověď, jsme skvělí, můžete si odpočinout. Ale přestaň! Nezdá se vám, že počítání y(-4) je nějak moc složité? V podmínkách omezeného času je lepší použít jinou metodu, říkám tomu takto:

Přes intervaly stálosti.

Tyto mezery najdeme pro derivaci funkce, tedy pro naši bikvadratickou rovnici.

Dělám to následujícím způsobem. Kreslím směrovou čáru. Nastavil jsem body: -4, -1, 0, 1. I přes to, že 1 v daném segmentu není zahrnuta, je třeba si ji přesto poznamenat, abychom správně určili intervaly stálosti. Vezměme nějaké číslo mnohonásobně větší než 1, řekněme 100, mentálně ho dosaďte do naší bikvadratické rovnice 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. I když nic nepočítáme, je zřejmé, že v bodě 100 funkce má znaménko plus. To znamená, že pro intervaly od 1 do 100 má znaménko plus. Při průchodu 1 (jdeme zprava doleva) funkce změní znaménko na mínus. Při průchodu bodem 0 si funkce zachová své znaménko, protože to je pouze hranice segmentu, nikoli kořen rovnice. Při průchodu přes -1 funkce opět změní znaménko na plus.

Z teorie víme, že kde je derivace funkce (a nakreslili jsme to pro ni) změní znaménko z plus na mínus (v našem případě bod -1) funkce dosáhne jeho lokální maximum (y(-1)=44, jak bylo vypočteno dříve) na tomto segmentu (to je logicky velmi jasné, funkce přestala narůstat, jelikož dosáhla maxima a začala klesat).

V souladu s tím, kde derivace funkce změní znaménko z mínus na plus, dosaženo lokální minimum funkce. Ano, ano, také jsme našli bod lokálního minima, což je 1 a y(1) je minimální hodnota funkce na intervalu, řekněme od -1 do +∞. Upozorňujeme, že se jedná pouze o MÍSTNÍ MINIMUM, tedy minimum na určitém segmentu. Protože skutečná (globální) funkce minima dosáhne někde tam, v -∞.

Podle mého názoru je první metoda jednodušší teoreticky a druhá je jednodušší z hlediska aritmetické operace, ale mnohem obtížnější z hlediska teorie. Někdy skutečně nastanou případy, kdy funkce nezmění znaménko při průchodu kořenem rovnice, a skutečně se můžete s těmito lokálními, globálními maximy a minimy splést, i když to budete muset stejně dobře ovládat, pokud máte v plánu vstoupit technická univerzita(a proč jinak předat profilová zkouška a vyřešit tento problém). Ale praxe a jen praxe vás naučí, jak takové problémy jednou provždy vyřešit. A cvičit můžete na našem webu. Tady .

Pokud máte nějaké dotazy, nebo vám něco není jasné, určitě se ptejte. Rád vám odpovím, a udělám změny, doplnění článku. Pamatujte, že tyto stránky tvoříme společně!

Obrázky níže ukazují, kde může funkce dosáhnout své nejmenší a největší hodnoty. Na levém obrázku jsou nejmenší a největší hodnoty fixovány v bodech lokálního minima a maxima funkce. Na pravém obrázku - na koncích segmentu.

Pokud je funkce y = F(X) spojitě na intervalu [ A, b], pak dosáhne na tento segment nejméně A nejvyšší hodnoty . To se, jak již bylo zmíněno, může stát buď v extrémní body nebo na koncích segmentu. Proto najít nejméně A největší hodnoty funkce , spojité na segmentu [ A, b], musíte vypočítat jeho hodnoty ve všech kritické body a na koncích segmentu a poté vyberte nejmenší a největší z nich.

Nechť je například potřeba určit maximální hodnotu funkce F(X) na segmentu [ A, b]. Chcete-li to provést, najděte všechny jeho kritické body ležící na [ A, b] .

kritický bod se nazývá bod, ve kterém funkce definována a ji derivát je buď nula, nebo neexistuje. Poté byste měli vypočítat hodnoty funkce v kritických bodech. A nakonec je třeba porovnat hodnoty funkce v kritických bodech a na koncích segmentu ( F(A) A F(b)). Největší z těchto čísel bude největší hodnota funkce na intervalu [A, b] .

Problém najít nejmenší hodnoty funkce .

Společně hledáme nejmenší a největší hodnoty funkce

Příklad 1. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu [-1, 2] .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce. Přirovnejte derivaci k nule () a získejte dva kritické body: a . K nalezení nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu stačí vypočítat její hodnoty na koncích segmentu a v bodě , protože bod nepatří do segmentu [-1, 2]. Tyto funkční hodnoty jsou následující: , , . Z toho vyplývá, že nejmenší funkční hodnota(označeno červeně na grafu níže), rovné -7, je dosaženo na pravém konci segmentu - v bodě , a největší(na grafu také červená), je v kritickém bodě rovna 9,-.

Je-li funkce spojitá v určitém intervalu a tento interval není segmentem (ale je např. intervalem; rozdíl mezi intervalem a segmentem: hraniční body intervalu se do intervalu nezahrnují, ale hraniční body segmentu jsou zahrnuty v segmentu), pak mezi hodnotami funkce nemusí být nejmenší a největší. Takže například funkce znázorněná na obrázku níže je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá největší hodnotu.

Pro jakýkoli interval (uzavřený, otevřený nebo nekonečný) však platí následující vlastnost spojitých funkcí.

Pro samokontrolu během výpočtů můžete použít online kalkulačka derivátů .

Příklad 4. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu [-1, 3] .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce jako derivaci kvocientu:

.

Srovnáme derivaci s nulou, což nám dá jedničku kritický bod: . Patří do intervalu [-1, 3] . Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Porovnejme tyto hodnoty. Závěr: rovná se -5/13, v bodě a největší hodnotu v bodě rovna 1.

Pokračujeme ve společném hledání nejmenší a největší hodnoty funkce

Jsou učitelé, kteří na téma hledání nejmenší a největší hodnoty funkce nedávají studentům příklady složitější, než jsou právě uvažované, tedy takové, ve kterých je funkcí polynom nebo zlomek, čitatel a jejichž jmenovatelem jsou polynomy. Ale nebudeme se omezovat na takové příklady, protože mezi učiteli jsou milovníci toho, aby studenti přemýšleli v plném rozsahu (tabulka derivátů). Proto bude použit logaritmus a goniometrická funkce.

Příklad 8. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce jako derivát produktu :

Derivaci srovnáme s nulou, což dává jeden kritický bod: . Patří do segmentu. Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Výsledek všech akcí: funkce dosáhne své minimální hodnoty, rovno 0, v bodě a v bodě a největší hodnotu rovná E² , v bodě .

Pro samokontrolu během výpočtů můžete použít online kalkulačka derivátů .

Příklad 9. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce:

Přirovnejte derivaci k nule:

Jediný kritický bod patří segmentu. Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Závěr: funkce dosáhne své minimální hodnoty, rovno , v bodě a největší hodnotu, rovno , v bodě .

V aplikovaných extrémních úlohách je hledání nejmenších (největších) funkčních hodnot zpravidla redukováno na hledání minima (maxima). Větší praktický zájem však nemají samotná minima nebo maxima, ale hodnoty argumentu, při kterých se jich dosahuje. Při řešení aplikovaných problémů vzniká další obtíž - sestavení funkcí, které popisují uvažovaný jev nebo proces.

Příklad 10 Nádrž o objemu 4, která má tvar kvádru se čtvercovou základnou a je nahoře otevřená, musí být pocínována. Jaké by měly být rozměry nádrže, aby byla pokryta co nejmenším množstvím materiálu?

Řešení. Nechat X- základní strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, PROTI- jeho objem. Plocha nádrže je vyjádřena vzorcem, tj. je funkcí dvou proměnných. Vyjádřit S jako funkce jedné proměnné používáme skutečnost, že , odkud . Dosazení nalezeného výrazu h do vzorce pro S:

Prozkoumejme tuto funkci pro extrém. Je definován a diferencovatelný všude v ]0, +∞[ , a

.

Srovnáme derivaci s nulou () a najdeme kritický bod. Navíc v , derivace neexistuje, ale tato hodnota není zahrnuta v definiční oblasti, a proto nemůže být extrémním bodem. Takže, - jediný kritický bod. Zkontrolujme to na přítomnost extrému pomocí druhého dostatečné znamení. Pojďme najít druhou derivaci. Když je druhá derivace větší než nula (). To znamená, že když funkce dosáhne minima . Protože tohle minimum - jediný extrém této funkce, je to její nejmenší hodnota. Takže strana základny nádrže by měla být rovna 2 m a její výška.

Pro samokontrolu během výpočtů můžete použít

Je dána funkce, která je definovaná a spojitá na nějakém intervalu. Je potřeba najít největší (nejmenší) hodnotu funkce na tomto intervalu.

Teoretický základ.
Věta (druhá Weierstrassova věta):

Pokud je funkce definovaná a spojitá v uzavřeném intervalu, pak v tomto intervalu dosahuje své maximální a minimální hodnoty.

Funkce může dosáhnout svých maximálních a minimálních hodnot buď ve vnitřních bodech intervalu, nebo na jeho hranicích. Pojďme si ukázat všechny možné možnosti.

Vysvětlení:
1) Funkce dosáhne své maximální hodnoty na levé hranici intervalu v bodě , a své minimální hodnoty na pravé hranici intervalu v bodě .
2) Funkce dosáhne své maximální hodnoty v bodě (toto je maximální bod) a své minimální hodnoty na pravé hranici intervalu v bodě.
3) Funkce dosáhne své maximální hodnoty na levém okraji intervalu v bodě , a své minimální hodnoty v bodě (toto je minimální bod).
4) Funkce je na intervalu konstantní, tzn. dosahuje svých minimálních a maximálních hodnot v libovolném bodě intervalu a minimální a maximální hodnoty jsou si navzájem rovné.
5) Funkce dosáhne své maximální hodnoty v bodě , a minimální hodnoty v bodě (přesto, že funkce má na tomto intervalu maximum i minimum).
6) Funkce dosáhne své maximální hodnoty v bodě (toto je maximální bod) a své minimální hodnoty v bodě (toto je minimální bod).
Komentář:

„Maximální“ a „maximální hodnota“ jsou různé věci. Vyplývá to z definice maxima a intuitivního chápání slovního spojení „maximální hodnota“.

Algoritmus pro řešení problému 2.



4) Vyberte ze získaných hodnot největší (nejmenší) a zapište odpověď.

Příklad 4:

Určete největší a nejmenší hodnotu funkce na segmentu.
Řešení:
1) Najděte derivaci funkce.

2) Najděte stacionární body (a body, které jsou podezřelé z extrému) řešením rovnice . Věnujte pozornost bodům, kde neexistuje žádná oboustranná konečná derivace.

3) Vypočítejte hodnoty funkce ve stacionárních bodech a na hranicích intervalu.

4) Vyberte ze získaných hodnot největší (nejmenší) a zapište odpověď.

Funkce na tomto segmentu dosáhne své maximální hodnoty v bodě se souřadnicemi .

Funkce na tomto segmentu dosáhne své minimální hodnoty v bodě se souřadnicemi .

Správnost výpočtů si můžete ověřit pohledem na graf zkoumané funkce.


Komentář: Funkce dosáhne své maximální hodnoty v maximálním bodě a minimální hodnoty na hranici segmentu.

Speciální případ.

Předpokládejme, že chcete najít maximální a minimální hodnotu nějaké funkce na segmentu. Po provedení prvního odstavce algoritmu, tj. výpočtu derivátu je zřejmé, že například na celém uvažovaném segmentu nabývá pouze záporných hodnot. Pamatujte, že pokud je derivace záporná, funkce je klesající. Zjistili jsme, že funkce je klesající na celém intervalu. Tuto situaci ukazuje graf č. 1 na začátku článku.

Funkce na intervalu klesá, tzn. nemá žádné extrémní body. Z obrázku je vidět, že funkce bude mít nejmenší hodnotu na pravém okraji segmentu a největší hodnotu na levém. pokud je derivace na intervalu všude kladná, pak je funkce rostoucí. Nejmenší hodnota je na levém okraji segmentu, největší je na pravé straně.