Finden Sie die Fläche der Figur, die durch den Graphen gebildet wird. Bestimmtes Integral
Berechnung der Fläche einer Figur Dies ist vielleicht eines der schwierigsten Probleme in der Flächentheorie. In der Schulgeometrie lernen sie, die Flächen von geometrischen Grundformen wie zum Beispiel Dreieck, Raute, Rechteck, Trapez, Kreis usw. zu finden. Allerdings muss man sich oft mit der Berechnung der Flächen komplexerer Figuren auseinandersetzen. Bei der Lösung solcher Probleme ist es sehr praktisch, die Integralrechnung zu verwenden.
Definition.
Krummliniges Trapez eine Figur G wird aufgerufen, begrenzt durch die Linien y = f(x), y = 0, x = a und x = b, und die Funktion f(x) ist stetig auf dem Segment [a; b] und ändert sein Vorzeichen darauf nicht (Abb. 1). Die Fläche eines krummlinigen Trapezes kann mit S(G) bezeichnet werden.
Das bestimmte Integral ʃ a b f(x)dx für die auf der Strecke [a; b] und ist die Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.
Das heißt, um die Fläche der Figur G zu finden, die durch die Linien y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a und x \u003d b begrenzt ist, muss das bestimmte Integral ʃ berechnet werden a b f (x) dx.
Auf diese Weise, S(G) = ʃ ein b f(x)dx.
Ist die Funktion y = f(x) auf [a; b], dann kann die Fläche des krummlinigen Trapezes durch die Formel gefunden werden S(G) = -ʃ ein b f(x)dx.
Beispiel 1
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird y \u003d x 3; y = 1; x = 2.
Lösung.
Die gegebenen Linien bilden die Figur ABC, die schraffiert dargestellt ist Reis. 2.
Die gewünschte Fläche ist gleich der Differenz zwischen den Flächen des krummlinigen Trapezes DACE und des Quadrats DABE.
Mit der Formel S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) finden wir die Integrationsgrenzen. Dazu lösen wir ein System aus zwei Gleichungen:
(y \u003d x 3,
(j = 1.
Somit haben wir x 1 \u003d 1 - die Untergrenze und x \u003d 2 - die Obergrenze.
Also, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (Quadrateinheiten).
Antwort: 11/4 qm. Einheiten
Beispiel 2
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y \u003d √x begrenzt ist; y = 2; x = 9.
Lösung.
Die gegebenen Geraden bilden die Figur ABC, die nach oben durch den Graphen der Funktion begrenzt wird
y \u003d √x und von unten der Graph der Funktion y \u003d 2. Die resultierende Figur wird durch Schraffur angezeigt Reis. 3.
Die gesuchte Fläche ist gleich S = ʃ a b (√x - 2). Lassen Sie uns die Integrationsgrenzen finden: b = 9, um a zu finden, lösen wir das System von zwei Gleichungen:
(y = √x,
(j = 2.
Somit haben wir, dass x = 4 = a die untere Grenze ist.
Also, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (quadratische Einheiten).
Antwort: S = 2 2/3 qm. Einheiten
Beispiel 3
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.
Lösung.
Zeichnen wir die Funktion y \u003d x 3 - 4x für x ≥ 0. Dazu finden wir die Ableitung y ':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 bei х = ±2/√3 ≈ 1,1 sind kritische Punkte.
Wenn wir die kritischen Punkte auf der reellen Achse zeichnen und die Vorzeichen der Ableitung platzieren, erhalten wir, dass die Funktion von Null auf 2/√3 abnimmt und von 2/√3 auf plus unendlich ansteigt. Dann ist x = 2/√3 der Minimalpunkt, der Minimalwert der Funktion y ist min = -16/(3√3) ≈ -3.
Bestimmen wir die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen:
wenn x \u003d 0, dann y \u003d 0, was bedeutet, dass A (0; 0) der Schnittpunkt mit der Oy-Achse ist;
wenn y \u003d 0, dann x 3 - 4x \u003d 0 oder x (x 2 - 4) \u003d 0 oder x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, von wo x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nicht geeignet, weil x ≥ 0).
Die Punkte A(0; 0) und B(2; 0) sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Ox-Achse.
Die angegebenen Linien bilden die OAB-Figur, die schraffiert dargestellt ist Reis. vier.
Da die Funktion y \u003d x 3 - 4x dann einen negativen Wert (0; 2) annimmt
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Wir haben: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, von wo aus S \u003d 4 Quadratmeter sind. Einheiten
Antwort: S = 4 qm. Einheiten
Beispiel 4
Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Parabel y \u003d 2x 2 - 2x + 1, die geraden Linien x \u003d 0, y \u003d 0 und die Tangente an diese Parabel am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d begrenzt ist 2.
Lösung.
Zuerst bilden wir die Gleichung der Tangente an die Parabel y \u003d 2x 2 - 2x + 1 am Punkt mit der Abszisse x₀ \u003d 2.
Da die Ableitung y' = 4x - 2 ist, erhalten wir für x 0 = 2 k = y'(2) = 6.
Finden Sie die Ordinate des Berührungspunkts: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Daher hat die Tangentengleichung die Form: y - 5 \u003d 6 (x - 2) oder y \u003d 6x - 7.
Lassen Sie uns eine Figur bauen, die durch Linien begrenzt ist:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - Parabel. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: A(0; 1) - mit der Oy-Achse; mit der Ox-Achse - es gibt keine Schnittpunkte, weil die Gleichung 2x 2 - 2x + 1 = 0 hat keine Lösungen (D< 0). Найдем вершину параболы:
xb \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, dh der Scheitelpunkt des Parabelpunkts B hat die Koordinaten B (1/2; 1/2).
Die Figur, deren Fläche bestimmt werden soll, ist also schraffiert dargestellt Reis. 5.
Wir haben: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Finden Sie die Koordinaten von Punkt D aus der Bedingung:
6x - 7 = 0, d.h. x \u003d 7/6, dann DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
Wir finden die Fläche des Dreiecks DBC mit der Formel S ADBC = 1/2 · DC · BC. Auf diese Weise,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 sq. Einheiten
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (Quadrateinheiten).
Schließlich erhalten wir: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (Quadrateinheiten).
Antwort: S = 1 1/4 Quadrat. Einheiten
Wir haben Beispiele überprüft Finden der Flächen von Figuren, die durch gegebene Linien begrenzt sind. Um solche Probleme erfolgreich zu lösen, müssen Sie in der Lage sein, Linien und Graphen von Funktionen auf einer Ebene zu erstellen, die Schnittpunkte von Linien zu finden, eine Formel anzuwenden, um die Fläche zu finden, was die Fähigkeit und Fähigkeiten zur Berechnung bestimmter Integrale impliziert.
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Die Aufgabe ist eine schulische Aufgabe, die Sie jedoch fast zu 100% in Ihrem Studium der höheren Mathematik erfüllen werden. Deshalb in aller Ernsthaftigkeit Wir werden ALLE Beispiele behandeln, und das erste, was Sie tun müssen, ist, sich damit vertraut zu machen Anwendung Funktionsgraphen die Technik der Konstruktion elementarer Graphen aufzufrischen. …Es gibt? Exzellent! Eine typische Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Beispiel 10
.
Und erster großer Schritt Lösungen besteht einfach darin Zeichnung erstellen. Davon abgesehen empfehle ich folgende Reihenfolge: Erste Es ist besser, alles zu bauen gerade(falls vorhanden) und nur nach – Parabeln, Hyperbel, Graphen anderer Funktionen.
Bei unserer Aufgabe: gerade definiert die Achse gerade parallel zur Achse und Parabel ist symmetrisch um die Achse , dafür finden wir mehrere Bezugspunkte:
Es ist wünschenswert, die gewünschte Figur zu schraffieren:
Zweite Phase ist zu richtig komponieren und richtig rechnen bestimmtes Integral. Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über Achse, also ist der erforderliche Bereich:
Antworten:
Nachdem die Aufgabe abgeschlossen ist, ist es hilfreich, sich den Entwurf anzusehen
und sehen, ob die Antwort realistisch ist.
Und wir zählen "mit dem Auge" die Anzahl der schattierten Zellen - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es scheint zu stimmen. Es ist ganz klar, dass, wenn wir beispielsweise 20 Quadrateinheiten hatten, offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht wurde - 20 Zellen passen eindeutig nicht in die konstruierte Figur, höchstens ein Dutzend. Fällt die Antwort negativ aus, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.
Beispiel 11
Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur und Achse
Wir wärmen uns schnell auf (notwendigerweise!) Und betrachten die „Spiegel“ -Situation - wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter Achse:
Beispiel 12
Berechnen Sie die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzte Fläche der Figur.
Lösung: Finden Sie mehrere Referenzpunkte für die Konstruktion des Exponenten:
und führen Sie die Zeichnung aus und erhalten Sie eine Figur mit einer Fläche von ungefähr zwei Zellen:
Wenn das krummlinige Trapez lokalisiert ist nicht höher Achse , dann kann ihre Fläche durch die Formel gefunden werden: .
In diesem Fall:
Antworten: - gut, sehr, sehr ähnlich der Wahrheit.
In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und deshalb bewegen wir uns von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen:
Beispiel 13
Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.
Lösung: Zuerst müssen Sie die Zeichnung vervollständigen, wobei wir uns besonders für die Schnittpunkte der Parabel und der Linie interessieren, da es welche geben wird Integrationsgrenzen. Sie können sie auf zwei Arten finden. Der erste Weg ist der analytische. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
auf diese Weise:
Würde analytische Methode besteht in seiner Richtigkeit, a Mangel- in Dauer(und in diesem Beispiel haben wir immer noch Glück). Daher ist es bei vielen Problemen gewinnbringender, Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, während die Integrationsgrenzen wie „von selbst“ gefunden werden.
Mit einer geraden Linie ist alles klar, aber um eine Parabel zu bauen, ist es bequem, ihren Scheitelpunkt zu finden, dafür nehmen wir die Ableitung und setzen sie mit Null gleich:
- Dies ist der Punkt, an dem sich die Spitze befindet. Und aufgrund der Symmetrie der Parabel finden wir die restlichen Bezugspunkte nach dem „links-rechts“-Prinzip:
Machen wir eine Zeichnung:
Und jetzt die Arbeitsformel: wenn auf dem Intervall etwas kontinuierlich Funktion größer als oder gleich kontinuierlich Funktionen, dann kann der Bereich der Figur, der durch die Graphen dieser Funktionen und Liniensegmente begrenzt wird, durch die Formel gefunden werden:
Hier muss nicht mehr darüber nachgedacht werden, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse, sondern grob gesagt es spielt eine Rolle, welcher der beiden Graphen OBEN ist.
In unserem Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet, und daher muss von subtrahiert werden
Die Fertigstellung der Lösung könnte so aussehen:
Auf dem Segment: , nach der entsprechenden Formel:
Antworten:
Es sei darauf hingewiesen, dass die zu Beginn des Absatzes betrachteten einfachen Formeln Sonderfälle der Formel sind . Da die Achse durch die Gleichung gegeben ist, wird eine der Funktionen Null sein, und je nachdem, ob das krummlinige Trapez oben oder unten liegt, erhalten wir entweder die Formel
Und nun ein paar typische Aufgabenstellungen für eine eigenständige Lösung
Beispiel 14
Finden Sie den Bereich der durch Linien begrenzten Figuren:
Lösung mit Zeichnungen und kurzen Kommentaren am Ende des Buches
Bei der Lösung des betrachteten Problems passiert manchmal ein lustiger Vorfall. Die Zeichnung wurde korrekt erstellt, das Integral wurde korrekt gelöst, aber aufgrund von Unaufmerksamkeit ... fand den Bereich der falschen Figur, so hat sich dein gehorsamer Diener mehrfach geirrt. Hier ist ein realer Fall:
Beispiel 15
Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur
Lösung: Machen wir eine einfache Zeichnung,
der Trick davon ist das der erforderliche Bereich ist grün schattiert(Beachten Sie genau den Zustand - wie begrenzt die Figur ist!). In der Praxis tritt jedoch aufgrund von Unaufmerksamkeit häufig ein „Fehler“ auf, bei dem Sie den grau schattierten Bereich der Figur finden müssen! Eine besondere Heimtücke ist, dass die Linie bis zur Achse unterzeichnet werden kann und wir dann die gewünschte Figur überhaupt nicht sehen.
Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als darin die Fläche der Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet wird. Wirklich:
1) auf dem Segment über der Achse befindet sich ein gerader Liniengraph;
2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Diagramm einer Hyperbel.
Es ist ganz klar, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten):
Antworten:
Und ein informatives Beispiel für eine eigenständige Lösung:
Beispiel 16
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch Linien begrenzt wird , , und Koordinatenachsen.
Also systematisieren wir die wichtigen Punkte dieser Aufgabe:
Auf dem ersten Schritt Studieren Sie die Bedingung SORGFÄLTIG - WELCHE Funktionen werden uns gegeben? Auch hier passieren Fehler, insbesondere Bogen zu Die Tangente wird oft mit dem Bogentangens verwechselt. Das gilt übrigens auch für andere Aufgaben, bei denen der Arcustangens auftritt.
Des Weiteren Die Zeichnung muss RICHTIG ausgeführt werden. Besser erst bauen gerade(falls vorhanden), dann Graphen anderer Funktionen (falls vorhanden J). Letztere sind in vielen Fällen rentabler zu bauen Punkt für Punkt- Finden Sie mehrere Ankerpunkte und verbinden Sie sie sorgfältig mit einer Linie.
Aber hier können die folgenden Schwierigkeiten auf der Lauer liegen. Erstens ist es nicht immer aus der Zeichnung ersichtlich Integrationsgrenzen- Dies geschieht, wenn sie gebrochen sind. Auf mathprofi.ru unter einschlägiger Artikel Ich habe ein Beispiel mit einer Parabel und einer Geraden betrachtet, bei denen einer ihrer Schnittpunkte aus der Zeichnung nicht ersichtlich ist. In solchen Fällen sollten Sie die analytische Methode anwenden, wir stellen die Gleichung auf:
und seine Wurzeln finden:
– untere Integrationsgrenze, – Obergrenze.
Nachdem die Zeichnung erstellt wurde, analysieren Sie die resultierende Figur - werfen Sie noch einmal einen Blick auf die vorgeschlagenen Funktionen und prüfen Sie, ob DIES eine Figur ist. Dann analysieren wir seine Form und Lage, es kommt vor, dass das Gebiet ziemlich kompliziert ist und dann sollte es in zwei oder sogar drei Teile geteilt werden.
Wir bilden ein bestimmtes Integral oder mehrere Integrale gemäß der Formel haben wir alle Hauptvarianten oben analysiert.
Wir lösen ein bestimmtes Integral(s). Gleichzeitig kann es sich als ziemlich kompliziert herausstellen, und dann wenden wir einen Phasenalgorithmus an: 1) Finde die Stammfunktion und überprüfe sie durch Differentiation, 2) Wir verwenden die Newton-Leibniz-Formel.
Das Ergebnis ist nützlich, um es zu überprüfenüber Software / Online-Dienste, oder einfach nach Zellenzeichnung „schätzen“. Aber beides ist nicht immer machbar, deshalb sind wir in jeder Phase der Entscheidung äußerst aufmerksam!
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Mit den besten Wünschen, Alexander Emelin
In dieser Lektion lernen wir, wie man rechnet Bereiche mit flachen Figuren, die genannt werden krummlinige Trapeze .
Beispiele für solche Figuren sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Einerseits ist es extrem einfach, die Fläche einer flachen Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu finden. Wir sprechen über den Bereich der Figur, der von oben durch eine bestimmte Kurve begrenzt wird, von unten - durch die Abszissenachse ( Ochse), und links und rechts sind einige gerade Linien. Die Einfachheit ist das das bestimmte Integral der Funktion, der die Kurve gegeben ist, und es gibt die Fläche einer solchen Figur(krummliniges Trapez).
Um die Fläche einer Figur zu berechnen, benötigen wir:
- Bestimmtes Integral der Funktion, die die Kurve definiert , der das krummlinige Trapez von oben begrenzt. Und hier kommt die erste signifikante Nuance: Ein krummliniges Trapez kann nicht nur von oben, sondern auch von unten durch eine Kurve begrenzt werden . Wie ist in diesem Fall vorzugehen? Einfach, aber wichtig zu merken: das Integral wird in diesem Fall mit einem Minuszeichen gebildet .
- Grenzen der Integration a und b, die wir aus den Liniengleichungen finden, die die Figur links und rechts begrenzen: x = a , x = b, wo a und b- Zahlen.
Getrennt davon einige weitere Nuancen.
Die Kurve, die das krummlinige Trapez von oben (oder unten) begrenzt, muss sein Graph einer kontinuierlichen und nicht negativen Funktion j = f(x) .
X-Werte müssen zum Segment gehören [a, b] . Das heißt, dass zum Beispiel Linien wie ein Abschnitt eines Pilzes nicht berücksichtigt werden, bei denen das Bein perfekt in dieses Segment passt und die Kappe viel breiter ist.
Seitensegmente können zu Spitzen degenerieren . Wenn Sie eine solche Figur in der Zeichnung gesehen haben, sollte Sie dies nicht verwirren, da dieser Punkt immer einen eigenen Wert auf der x-Achse hat. Mit den Integrationsgrenzen ist also alles in Ordnung.
Jetzt können Sie mit Formeln und Berechnungen fortfahren. Also die Gegend s krummliniges Trapez kann durch die Formel berechnet werden
Wenn f(x) ≤ 0 (der Graph der Funktion befindet sich unterhalb der Achse Ochse), dann Fläche eines gekrümmten Trapezes kann mit der Formel berechnet werden
Es gibt auch Fälle, in denen sowohl die obere als auch die untere Grenze der Figur jeweils Funktionen sind j = f(x) und j = φ (x) , dann wird die Fläche einer solchen Figur nach der Formel berechnet
. (3)
Probleme lösen wir gemeinsam
Beginnen wir mit Fällen, in denen die Fläche einer Figur mit Formel (1) berechnet werden kann.
Beispiel 1Ochse) und direkt x = 1 , x = 3 .
Lösung. Als j = 1/x> 0 auf dem Segment , dann wird die Fläche des krummlinigen Trapezes durch die Formel (1) gefunden:
.
Beispiel 2 Finden Sie den Bereich der Figur, der durch den Graphen der Funktion begrenzt ist , gerade Linie x= 1 und die x-Achse ( Ochse ).
Lösung. Das Ergebnis der Anwendung von Formel (1):
Wenn, dann s= 1/2; wenn, dann s= 1/3 usw.
Beispiel 3 Finden Sie den Bereich der Figur, der durch den Graphen der Funktion, die x-Achse ( Ochse) und direkt x = 4 .
Lösung. Die der Problemstellung entsprechende Figur ist ein krummliniges Trapez, bei dem das linke Segment zu einem Punkt degeneriert ist. Die Integrationsgrenzen sind 0 und 4. Da wir nach Formel (1) die Fläche des krummlinigen Trapezes finden:
.
Beispiel 4 Suchen Sie den Bereich der Figur, der durch die Linien , , begrenzt ist und sich im 1. Viertel befindet.
Lösung. Um Formel (1) zu verwenden, stellen wir die Fläche der Figur dar, die durch die Bedingungen des Beispiels gegeben ist, als Summe der Flächen eines Dreiecks OAB und krummliniges Trapez ABC. Bei der Berechnung der Fläche eines Dreiecks OAB die Integrationsgrenzen sind die Abszissen der Punkte Ö und EIN, und für die Figur ABC- Abszissen von Punkten EIN und C (EIN ist der Schnittpunkt der Geraden OA und Parabeln und C- Schnittpunkt der Parabel mit der Achse Ochse). Wenn wir gemeinsam (als System) die Gleichungen einer Geraden und einer Parabel lösen, erhalten wir (die Abszisse des Punktes EIN) und (die Abszisse eines weiteren Schnittpunktes der Geraden und der Parabel, der für die Lösung nicht benötigt wird). In ähnlicher Weise erhalten wir , (Abszissen von Punkten C und D). Jetzt haben wir alles, um den Bereich der Figur zu finden. Wir finden:
Beispiel 5 Finden Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes ACDB, wenn die Gleichung der Kurve CD und Abszisse EIN und B jeweils 1 und 2.
Lösung. Wir drücken diese Gleichung der Kurve durch Y aus: Die Fläche des krummlinigen Trapezes wird durch die Formel (1) gefunden:
.
Kommen wir zu Fällen, in denen die Fläche einer Figur mit Formel (2) berechnet werden kann.
Beispiel 6 Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Parabel und die x-Achse begrenzt ist ( Ochse ).
Lösung. Diese Zahl befindet sich unterhalb der x-Achse. Um seine Fläche zu berechnen, verwenden wir daher Formel (2). Die Integrationsgrenzen sind die Abszissen und Schnittpunkte der Parabel mit der Achse Ochse. Folglich,
Beispiel 7 Finde den Bereich zwischen der x-Achse ( Ochse) und zwei benachbarte Sinuswellen.
Lösung. Die Fläche dieser Figur kann durch die Formel (2) ermittelt werden:
.
Lassen Sie uns jeden Begriff einzeln finden:
.
.
Schließlich finden wir den Bereich:
.
Beispiel 8 Finden Sie die Fläche der Figur, die zwischen der Parabel und der Kurve eingeschlossen ist.
Lösung. Lassen Sie uns die Gleichungen der Linien in Y ausdrücken:
Die Fläche gemäß Formel (2) wird erhalten als
,
wo a und b- Abszissen von Punkten EIN und B. Wir finden sie, indem wir die Gleichungen gemeinsam lösen:
Schließlich finden wir den Bereich:
Und schließlich gibt es Fälle, in denen die Fläche einer Figur mit Formel (3) berechnet werden kann.
Beispiel 9 Finden Sie die Fläche der Figur, die zwischen den Parabeln eingeschlossen ist und .
Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur.
Lösung.
Wir finden die Schnittpunkte der gegebenen Geraden. Dazu lösen wir das Gleichungssystem:
Um die Abszissen der Schnittpunkte der gegebenen Linien zu finden, lösen wir die Gleichung:
Wir finden: x 1 = -2, x 2 = 4.
Diese Linien, die eine Parabel und eine gerade Linie sind, schneiden sich also an Punkten EIN(-2; 0), B(4; 6).
Diese Linien bilden eine geschlossene Figur, deren Fläche nach der obigen Formel berechnet wird:
Nach der Newton-Leibniz-Formel finden wir:
Finden Sie die Fläche einer von einer Ellipse begrenzten Fläche.
Lösung.
Aus der Ellipsengleichung für den I-Quadranten haben wir . Von hier erhalten wir gemäß der Formel
Wenden wir die Substitution an x = a Sünde t, dx = a cos t dt. Neue Integrationsgrenzen t = α und t = β werden aus den Gleichungen 0 = bestimmt a Sünde t, a = a Sünde t. Kann gestellt werden α = 0 und β = π /2.
Wir finden ein Viertel der benötigten Fläche
Von hier S = pab.
Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figurj = - x 2 + x + 4 undj = - x + 1.
Lösung.
Finden Sie die Schnittpunkte der Linien j = -x 2 + x + 4, j = -x+ 1, gleich den Ordinaten der Linien: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 bzw x 2 - 2x- 3 = 0. Finden Sie die Wurzeln x 1 = -1, x 2 = 3 und ihre entsprechenden Ordinaten j 1 = 2, j 2 = -2.
Unter Verwendung der Figurenflächenformel erhalten wir
Finden Sie die von der Parabel eingeschlossene Flächej = x 2 + 1 und direktx + j = 3.
Lösung.
Lösen des Gleichungssystems
Finden Sie die Abszissen der Schnittpunkte x 1 = -2 und x 2 = 1.
Vorausgesetzt j 2 = 3 - x und j 1 = x 2 + 1, basierend auf der Formel, die wir erhalten
Berechnen Sie die Fläche, die in der Bernoulli-Lemniskate enthalten istr 2 = a 2 cos 2 φ .
Lösung.
Im Polarkoordinatensystem der Bereich der Figur, der durch den Bogen der Kurve begrenzt wird r = f(φ ) und zwei Polarradien φ 1 = ʅ und φ 2 = ʆ , wird durch das Integral ausgedrückt
Aufgrund der Symmetrie der Kurve bestimmen wir zunächst ein Viertel der gewünschten Fläche
Daher ist die Gesamtfläche S = a 2 .
Berechnen Sie die Bogenlänge eines Asteroidenx 2/3 + j 2/3 = a 2/3 .
Lösung.
Wir schreiben die Gleichung des Astroiden in der Form
(x 1/3) 2 + (j 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Lasst uns x 1/3 = a 1/3 cos t, j 1/3 = a 1/3 Sünde t.
Von hier aus erhalten wir die parametrischen Gleichungen des Astroiden
x = a kostet 3 t, j = a Sünde 3 t, (*)
wo 0 ≤ t ≤ 2π .
Wegen der Symmetrie der Kurve (*) genügt es, ein Viertel der Bogenlänge zu finden L entsprechend der Parameteränderung t von 0 bis π /2.
Wir bekommen
dx = -3a cos 2 t Sünde t dt, dy = 3a Sünde 2 t cos t dt.
Ab hier finden wir
Integrieren des resultierenden Ausdrucks im Bereich von 0 bis π /2, erhalten wir
Von hier L = 6a.
Finden Sie den Bereich, der von der Spirale von Archimedes begrenzt wirdr = aφ und zwei Radiusvektoren, die Polarwinkeln entsprechenφ 1 undφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Lösung.
Von einer Kurve begrenzter Bereich r = f(φ ) wird nach der Formel berechnet , wobei α und β - Änderungsgrenzen des Polarwinkels.
So bekommen wir
(*)
Aus (*) folgt, dass der von der Polachse und der ersten Windung der Archimedes-Spirale ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
In ähnlicher Weise finden wir den Bereich, der von der Polachse und der zweiten Windung der Archimedes-Spirale begrenzt wird ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Die erforderliche Fläche ist gleich der Differenz dieser Flächen
Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, das durch Rotation um eine Achse entstehtOchse durch Parabeln begrenzte Figurj = x 2 undx = j 2 .
Lösung.
Lösen wir das Gleichungssystem
und bekomme x 1 = 0, x 2 = 1, j 1 = 0, j 2 = 1, daher die Schnittpunkte der Kurven Ö(0; 0), B(elf). Wie in der Figur zu sehen ist, ist das gewünschte Volumen des Rotationskörpers gleich der Differenz zwischen den beiden Volumen, die durch Rotation um die Achse gebildet werden Ochse krummlinige Trapeze OCBA und ODBA:
Berechnen Sie die durch die Achse begrenzte FlächeOchse und sinusförmigj = Sündex auf Segmenten: a); b) .
Lösung.
a) Auf dem Segment die Funktion sin x behält das Vorzeichen, und daher durch die Formel, vorausgesetzt j= Sünde x, wir finden
b) Funktion sin auf dem Segment xändert das Vorzeichen. Für die richtige Lösung des Problems ist es notwendig, das Segment in zwei Teile zu teilen und [ π , 2π ], wobei die Funktion jeweils ihr Vorzeichen behält.
Gemäß der Vorzeichenregel auf dem Segment [ π , 2π ]-Bereich wird mit einem Minuszeichen belegt.
Als Ergebnis ist die gewünschte Fläche gleich
Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der von der Oberfläche begrenzt wird, die sich aus der Drehung der Ellipse ergibtum die Hauptachsea .
Lösung.
Da die Ellipse symmetrisch zu den Koordinatenachsen ist, reicht es aus, das durch Rotation um die Achse gebildete Volumen zu finden Ochse Bereich OAB, gleich einem Viertel der Fläche der Ellipse, und verdoppeln Sie das Ergebnis.
Bezeichnen wir das Volumen des Rotationskörpers durch v x; dann, basierend auf der Formel, haben wir , wobei 0 und a- Abszissen von Punkten B und EIN. Aus der Gleichung der Ellipse finden wir . Von hier
Somit ist das benötigte Volumen gleich . (Wenn sich die Ellipse um die Nebenachse dreht b, das Volumen des Körpers ist )
Finden Sie die von Parabeln begrenzte Flächej 2 = 2 px undx 2 = 2 py .
Lösung.
Zuerst finden wir die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabeln, um das Integrationsintervall zu bestimmen. Durch Transformieren der ursprünglichen Gleichungen erhalten wir und . Wenn wir diese Werte gleichsetzen, erhalten wir oder x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Wir finden die Wurzeln der Gleichungen:
In Anbetracht der Tatsache, dass der Punkt EIN der Schnittpunkt der Parabeln liegt im ersten Viertel, dann die Integrationsgrenzen x= 0 und x = 2p.
Der gewünschte Bereich wird durch die Formel gefunden
Bestimmtes Integral. Wie man die Fläche einer Figur berechnet
Wir wenden uns nun der Betrachtung von Anwendungen der Integralrechnung zu. In dieser Lektion analysieren wir eine typische und häufigste Aufgabe. Wie man ein bestimmtes Integral verwendet, um die Fläche einer ebenen Figur zu berechnen. Schließlich diejenigen, die in der höheren Mathematik nach Sinn suchen – mögen sie ihn finden. Man weiß nie. Im wirklichen Leben müssen Sie ein Sommerhaus mit elementaren Funktionen annähern und seine Fläche mit einem bestimmten Integral finden.
Um das Material erfolgreich zu beherrschen, müssen Sie:
1) Verstehen Sie das unbestimmte Integral zumindest auf einem mittleren Niveau. Daher sollten Dummies zuerst die Lektion lesen Nicht.
2) Die Newton-Leibniz-Formel anwenden und das bestimmte Integral berechnen können. Mit bestimmten Integralen auf der Seite können Sie herzliche, freundschaftliche Beziehungen aufbauen Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.
Tatsächlich benötigen Sie nicht so viel Wissen über das unbestimmte und bestimmte Integral, um den Bereich einer Figur zu finden. Die Aufgabe "Fläche mit einem bestimmten Integral berechnen" beinhaltet immer das Erstellen einer Zeichnung, so dass Ihr Wissen und Ihre zeichnerischen Fähigkeiten ein viel relevanteres Thema sind. In dieser Hinsicht ist es nützlich, die Erinnerung an die Graphen der wichtigsten Elementarfunktionen aufzufrischen und zumindest eine Gerade, eine Parabel und eine Hyperbel bilden zu können. Dies kann (viele brauchen es) mit Hilfe von methodischem Material und einem Artikel über geometrische Transformationen von Graphen erfolgen.
Eigentlich kennt jeder das Problem, den Bereich mit einem bestimmten Integral zu finden, seit der Schule, und wir gehen dem Schullehrplan ein wenig voraus. Dieser Artikel existiert vielleicht überhaupt nicht, aber Tatsache ist, dass das Problem in 99 von 100 Fällen auftritt, wenn ein Student von einem verhassten Turm mit Begeisterung gequält wird, um einen Kurs in höherer Mathematik zu meistern.
Die Materialien dieses Workshops werden einfach, detailliert und mit einem Minimum an Theorie präsentiert.
Beginnen wir mit einem krummlinigen Trapez.
Krummliniges Trapez wird eine flache Figur genannt, die durch die Achse , gerade Linien und den Graphen einer Funktion begrenzt wird, die auf einem Segment stetig ist, das in diesem Intervall das Vorzeichen nicht ändert. Lassen Sie diese Figur lokalisieren nicht weniger Abszisse:
Dann Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral. Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele Ich sagte, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzugeben. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral die FLÄCHE.
Also, Das bestimmte Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral . Der Integrand definiert eine Kurve in der Ebene, die sich über der Achse befindet (wer möchte, kann die Zeichnung vervollständigen), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.
Beispiel 1
Dies ist eine typische Aufgabenstellung. Der erste und wichtigste Moment der Entscheidung ist die Konstruktion einer Zeichnung. Außerdem muss die Zeichnung gebaut werden RECHTS.
Beim Erstellen einer Blaupause empfehle ich die folgende Reihenfolge: Erste es ist besser, alle Linien (falls vorhanden) und nur zu konstruieren nach- Parabeln, Hyperbeln, Graphen anderer Funktionen. Funktionsgraphen sind rentabler zu erstellen Punkt für Punkt, mit der Technik der punktweisen Konstruktion finden Sie im Referenzmaterial Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Dort finden Sie auch Material, das in Bezug auf unsere Lektion sehr nützlich ist - wie man schnell eine Parabel baut.
Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Machen wir eine Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):
Ich werde kein krummliniges Trapez schraffieren, es ist offensichtlich, von welchem Bereich wir hier sprechen. Die Lösung geht so weiter:
Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über Achse, deshalb:
Antworten:
Wer hat Schwierigkeiten, das bestimmte Integral zu berechnen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden , siehe Vorlesung Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.
Nachdem die Aufgabe erledigt ist, ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir „mit dem Auge“ die Anzahl der Zellen in der Zeichnung - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es scheint wahr zu sein. Es ist ganz klar, wenn wir die Antwort beispielsweise 20 Quadrateinheiten hätten, dann wurde offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht - 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die fragliche Zahl, höchstens ein Dutzend. Fällt die Antwort negativ aus, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.
Beispiel 2
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , und die Achse begrenzt wird
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.
Was tun, wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter der Achse?
Beispiel 3
Berechnen Sie die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzte Fläche der Figur.
Lösung: Machen wir eine Zeichnung:
Wenn das krummlinige Trapez lokalisiert ist unter Achse(oder zumindest nicht höher gegebene Achse), dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:
In diesem Fall:
Aufmerksamkeit! Verwechseln Sie die beiden Arten von Aufgaben nicht:
1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.
2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu finden, dann ist die Fläche immer positiv! Deshalb kommt in der eben betrachteten Formel das Minus vor.
In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.
Beispiel 4
Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.
Lösung: Zuerst müssen Sie die Zeichnung vervollständigen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Parabel und der Linie finden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische. Wir lösen die Gleichung:
Daher die untere Integrationsgrenze, die obere Integrationsgrenze.
Es ist am besten, diese Methode nach Möglichkeit nicht zu verwenden..
Es ist viel rentabler und schneller, die Linien Punkt für Punkt zu bauen, während die Integrationsgrenzen wie „von selbst“ herausgefunden werden. Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik für verschiedene Diagramme wird ausführlich in der Hilfe besprochen Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal immer noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die Thread-Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.
Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück: Es ist vernünftiger, zuerst eine Gerade und dann erst eine Parabel zu konstruieren. Machen wir eine Zeichnung:
Ich wiederhole, dass bei der punktweisen Konstruktion die Integrationsgrenzen meistens „automatisch“ herausgefunden werden.
Und jetzt die Arbeitsformel: Wenn es eine kontinuierliche Funktion im Intervall gibt größer als oder gleich eine kontinuierliche Funktion, dann kann die Fläche der Figur, die durch die Graphen dieser Funktionen und geraden Linien begrenzt ist, durch die Formel gefunden werden:
Hier muss nicht mehr darüber nachgedacht werden, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse und grob gesagt Es ist wichtig, welches Diagramm OBEN ist(relativ zu einem anderen Diagramm), und welches ist UNTEN.
In dem betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet und daher abgezogen werden muss
Die Fertigstellung der Lösung könnte so aussehen:
Die gewünschte Figur wird von oben durch eine Parabel und von unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment nach der entsprechenden Formel:
Antworten:
Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel . Da die Achse durch die Gleichung gegeben ist, befindet sich auch der Graph der Funktion nicht höher Achsen, dann
Und jetzt ein paar Beispiele für eine eigenständige Lösung
Beispiel 5
Beispiel 6
Finden Sie den Bereich der Figur, der von den Linien , umschlossen ist.
Bei der Lösung von Problemen zur Berechnung der Fläche mit einem bestimmten Integral passiert manchmal ein lustiger Zwischenfall. Die Zeichnung wurde korrekt erstellt, die Berechnungen waren korrekt, aber aufgrund von Unaufmerksamkeit ... fand den Bereich der falschen Figur, so hat es dein gehorsamer Diener mehrfach vermasselt. Hier ist ein realer Fall:
Beispiel 7
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.
Lösung: Machen wir zuerst eine Zeichnung:
…Eh, die Zeichnung ist Mist geworden, aber alles scheint lesbar zu sein.
Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert.(Beachten Sie genau den Zustand - wie begrenzt die Figur ist!). In der Praxis tritt jedoch aufgrund von Unaufmerksamkeit häufig ein „Fehler“ auf, bei dem Sie den grün schattierten Bereich der Figur finden müssen!
Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als darin die Fläche der Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet wird. Wirklich:
1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein gerader Liniengraph;
2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Hyperbeldiagramm.
Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:
Antworten:
Kommen wir zu einer weiteren sinnvollen Aufgabe.
Beispiel 8
Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur,
Lassen Sie uns die Gleichungen in einer "Schul" -Form präsentieren und eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung durchführen:
Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: .
Aber was ist die untere Grenze? Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was? Kann sein ? Aber wo ist die Garantie, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit gemacht wird, das kann sich durchaus herausstellen. Oder rooten. Was wäre, wenn wir die Grafik überhaupt nicht richtig hinbekommen hätten?
In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Integrationsgrenzen analytisch verfeinern.
Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Linie und der Parabel finden.
Dazu lösen wir die Gleichung:
,
Wirklich, .
Die weitere Lösung ist trivial, Hauptsache nicht in Substitutionen und Vorzeichen verwechseln, die Berechnungen hier sind nicht die einfachsten.
Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:
Antworten:
Nun, zum Abschluss der Lektion werden wir zwei Aufgaben als schwieriger betrachten.
Beispiel 9
Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur , ,
Lösung: Zeichne diese Figur in die Zeichnung ein.
Verdammt, ich habe vergessen, den Zeitplan zu unterschreiben und das Bild neu zu machen, sorry, nicht Hotz. Keine Zeichnung, kurz gesagt, heute ist ein Tag =)
Für eine Punkt-für-Punkt-Konstruktion ist es notwendig, das Aussehen der Sinuskurve zu kennen (und im Allgemeinen ist es nützlich zu wissen Graphen aller elementaren Funktionen) sowie einige Sinuswerte, in denen sie zu finden sind trigonometrische Tabelle. In einigen Fällen (wie in diesem Fall) ist es erlaubt, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der Graphen und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden müssen.
Hier gibt es keine Probleme mit den Integrationsgrenzen, sie folgen direkt aus der Bedingung: - „x“ wechselt von Null auf „pi“. Wir treffen eine weitere Entscheidung:
Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über der Achse, daher: