Net ir funkcionuoti. Kaip atpažinti lygines ir nelygines funkcijas
2020 m. liepą NASA pradeda ekspediciją į Marsą. Erdvėlaivis pristatys į Marsą elektroninę laikmeną su visų užsiregistravusių ekspedicijos dalyvių pavardėmis.
Jei šis įrašas išsprendė jūsų problemą arba jums jis tiesiog patiko, pasidalykite nuoroda į jį su draugais socialiniuose tinkluose.
Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.
Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. iki šablono pradžios (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir esate pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.
Dar viena Naujųjų metų išvakarės... šaltas oras ir snaigės ant lango stiklo... Visa tai paskatino vėl parašyti apie... fraktalus, ir ką apie tai žino Volframas Alfa. Yra įdomus straipsnis šia tema, kuriame yra dvimačių fraktalų struktūrų pavyzdžių. Čia pažiūrėsime daugiau sudėtingų pavyzdžių trimačiai fraktalai.
Fraktalas gali būti vizualiai pavaizduotas (apibūdintas) kaip geometrinė figūra arba kūnas (tai reiškia, kad abu yra rinkinys, šiuo atveju taškų rinkinys), kurių detalės turi tokią pačią formą kaip ir pati pradinė figūra. Tai yra, tai yra į save panašus statinys, kurio detales nagrinėjant padidinus pamatysime tokią pat formą kaip ir be padidinimo. Tuo tarpu įprasto atveju geometrinė figūra(ne fraktalas), priartinus pamatysime detales, kurios yra paprastesnės formos nei pati originali figūra. Pavyzdžiui, esant pakankamai dideliam padidinimui, dalis elipsės atrodo kaip tiesios linijos segmentas. Taip neatsitinka su fraktalais: jiems padidėjus, mes vėl pamatysime tą pačią sudėtingą formą, kuri bus kartojama vėl ir vėl su kiekvienu padidėjimu.
Fraktalų mokslo įkūrėjas Benoit Mandelbrot savo straipsnyje Fraktalai ir menas vardan mokslo rašė: „Fraktalai yra geometrinės figūros, kurių detalės yra tokios pat sudėtingos, kaip ir bendra forma bus padidintas iki visumos dydžio, jis atrodys kaip visuma arba tiksliai, o gal su nedidele deformacija“.
net jei visiems \(x\) iš jo apibrėžimo srities teisinga: \(f(-x)=f(x)\) .
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas \(y\) ašiai:
Pavyzdys: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) yra lyginė, nes \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) vadinama nelygine, jei visoms \(x\) iš jos apibrėžimo srities teisinga: \(f(-x)=-f(x) \) .
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei:
Pavyzdys: funkcija \(f(x)=x^3+x\) yra keista, nes \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcijos, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės, vadinamos funkcijomis bendras vaizdas. Tokia funkcija visada gali būti vienareikšmiškai pavaizduota kaip lyginės ir nelyginės funkcijos suma.
Pavyzdžiui, funkcija \(f(x)=x^2-x\) yra lyginės funkcijos \(f_1=x^2\) ir nelyginės \(f_2=-x\) suma.
\(\juodas trikampis dešinysis\) Kai kurios savybės:
1) Dviejų to paties pariteto funkcijų sandauga ir koeficientas yra lyginė funkcija.
2) Dviejų skirtingų paritetų funkcijų sandauga ir koeficientas - nelyginė funkcija.
3) Lyginių funkcijų suma ir skirtumas – lyginė funkcija.
4) Nelyginių funkcijų suma ir skirtumas – nelyginė funkcija.
5) Jei \(f(x)\) yra lyginė funkcija, tada lygtis \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) turi unikalią šaknį tada ir tik tada, kai \( x =0\) .
6) Jei \(f(x)\) yra lyginė arba nelyginė funkcija, o lygtis \(f(x)=0\) turi šaknį \(x=b\), tada ši lygtis būtinai turės sekundę šaknis \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) vadinama periodine \(X\), jei tam tikram skaičiui \(T\ne 0\) galioja: \(f(x)=f( x+T) \) , kur \(x, x+T\in X\) . Mažiausias \(T\), kuriam ši lygybė tenkinama, vadinamas pagrindiniu (pagrindiniu) funkcijos periodu.
U periodinė funkcija bet koks skaičius \(nT\) , kur \(n\in \mathbb(Z)\) taip pat bus taškas.
Pavyzdys: bet koks trigonometrinė funkcija yra periodiškas;
funkcijoms \(f(x)=\sin x\) ir \(f(x)=\cos x\) pagrindinis periodas yra lygus \(2\pi\), funkcijoms \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) ir \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) pagrindinis laikotarpis yra lygus \(\pi\) .
Norėdami sudaryti periodinės funkcijos grafiką, galite pavaizduoti jos grafiką bet kuriame \(T\) ilgio atkarpoje (pagrindinis periodas); tada visos funkcijos grafikas užbaigiamas perkeliant sukonstruotą dalį sveiku skaičiumi periodų į dešinę ir į kairę:
\(\blacktriangleright\) Funkcijos \(f(x)\) domenas \(D(f)\) yra rinkinys, susidedantis iš visų argumento \(x\) reikšmių, kurioms funkcija turi prasmę (yra apibrėžta).
Pavyzdys: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) turi apibrėžimo sritį: \(x\in
1 užduotis #6364
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Kokiomis parametro reikšmėmis \(a\) veikia lygtis
turi vieną sprendimą?
Atminkite, kad kadangi \(x^2\) ir \(\cos x\) - net funkcijos, tada jei lygtis turi šaknį \(x_0\) , ji taip pat turės šaknį \(-x_0\) .
Iš tiesų, tegul \(x_0\) yra šaknis, tai yra, lygybė \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) yra teisinga. Pakaitalas \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .
Taigi, jei \(x_0\ne 0\) , tai lygtis jau turės bent dvi šaknis. Todėl \(x_0=0\) . Tada:
Gavome dvi parametro \(a\) reikšmes. Atminkite, kad naudojome faktą, kad \(x=0\) yra būtent pradinės lygties šaknis. Bet mes niekada nepasinaudojome tuo, kad jis vienintelis. Todėl turite pakeisti gautas parametro \(a\) reikšmes į pradinę lygtį ir patikrinti, kuriai konkrečiai \(a\) šaknis \(x=0\) tikrai bus unikali.
1) Jei \(a=0\) , tada lygtis bus \(2x^2=0\) . Akivaizdu, kad ši lygtis turi tik vieną šaknį \(x=0\) . Todėl reikšmė \(a=0\) mums tinka.
2) Jei \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tada lygtis įgis tokią formą \ Perrašome lygtį į formą \ Kadangi \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , tada \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Vadinasi, lygties (*) dešinės pusės reikšmės priklauso segmentui \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .
Kadangi \(x^2\geqslant 0\) , tada kairioji lygties pusė (*) yra didesnė arba lygi \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Taigi lygybė (*) gali būti teisinga tik tada, kai abi lygties pusės yra lygios \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Tai reiškia, kad \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Todėl reikšmė \(a=-\mathrm(tg)\,1\) mums tinka .
Atsakymas:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
2 užduotis #3923
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienai funkcijos \ grafikas
simetriškas kilmei.
Jei funkcijos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu, tada tokia funkcija yra nelyginė, tai yra, \(f(-x)=-f(x)\) galioja bet kuriam \(x\) iš apibrėžimo srities funkcijos. Taigi reikia rasti tas parametrų reikšmes, kurioms \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(lygiuotas) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end (sulygiuotas)\]
Paskutinė lygtis turi būti įvykdyta visoms \(x\) iš apibrėžimo srities \(f(x)\) , todėl \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .
Atsakymas:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
3 užduotis #3069
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \ turi 4 sprendinius, kur \(f\) yra lyginė periodinė funkcija su periodu \(T=\dfrac(16)3\) apibrėžta visoje skaičių eilutėje ir \(f(x)=ax^2\) \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Prenumeratorių užduotis)
4 užduotis #3072
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Raskite visas \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \
turi bent vieną šaknį.
(Prenumeratorių užduotis)
Perrašykime lygtį į formą \ ir apsvarstykime dvi funkcijas: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ir \(f(x)=3|x-7a|-6|x |-a ^2+7a\) .
Funkcija \(g(x)\) yra lyginė ir turi minimalų tašką \(x=0\) (ir \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) \(x>0\) mažėja, o \(x0\) antrasis modulis bus atidarytas teigiamai (\(|x|=x\)), todėl, nepaisant atidarius pirmąjį modulį, \(f(x)\) bus lygus \(kx+A\) , kur \(A\) yra išraiška iš \(a\) , o \(k\) yra lygi į \(-9 \) arba \(-3\) . Kai \(x0\) . Tada lygtis įgaus formą \ Palaipsniui išrašysime sąlygas, kurioms esant pradinė lygtis turės šešis sprendinius.
pastebėti, kad kvadratinė lygtis\((*)\) gali turėti daugiausiai du sprendimus. Bet kuri kubinė lygtis \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) gali turėti ne daugiau kaip tris sprendinius. Todėl, jei lygtis \((*)\) turi du skirtingus sprendinius (teigiamas!, nes \(t\) turi būti didesnis už nulį) \(t_1\) ir \(t_2\) , tada padarius atvirkščiai pakeitimas, gauname: \[\left[\begin(surinkta)\begin(sulygintas) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x ^3-3x ^2+4)=t_2\pabaiga(sulygiuota)\pabaiga(surinkta)\dešinė.\] Kadangi teigiamas skaičius tam tikru mastu gali būti pavaizduotas kaip \(\sqrt2\), pavyzdžiui, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada pirmoji populiacijos lygtis bus perrašyta kaip \ Kaip jau minėjome , bet kuri kubinė lygtis turi daugiausia tris sprendinius, todėl kiekviena aibės lygtis turės daugiausia tris sprendinius. Tai reiškia, kad visame rinkinyje bus ne daugiau kaip šeši sprendimai.
Tai reiškia, kad tam, kad pradinė lygtis turėtų šešis sprendinius, kvadratinė lygtis \((*)\) turi turėti du skirtingus sprendinius, o kiekviena gauta kubinė lygtis (iš aibės) turi turėti tris skirtingus sprendinius (o ne vieną viena lygtis turėtų sutapti su bet kuria – antrosios sprendimu!)
Akivaizdu, kad jei kvadratinė lygtis \((*)\) turi vieną sprendinį, tada negausime šešių pradinės lygties sprendinių.
Taigi sprendimo planas tampa aiškus. Taškas po taško surašykime sąlygas, kurios turi būti įvykdytos.
1) Kad lygtis \((*)\) turėtų du skirtingus sprendinius, jos diskriminantas turi būti teigiamas: \
2) Taip pat būtina, kad abi šaknys būtų teigiamos (nes \(t>0\) ). Jei dviejų šaknų sandauga yra teigiama, o jų suma teigiama, tada ir pačios šaknys bus teigiamos. Todėl jums reikia: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a