Skaitinės lygybės, skaitinių lygčių savybės. Kitos svarbios skaitinių lygybių savybės
Gavę bendros informacijos apie lygybes matematikoje, pereiname prie konkretesnių temų. Šiame straipsnyje pateikta medžiaga suteiks supratimą apie skaitinių lygybių savybes.
Kas yra skaitinė lygybė
Pirmą kartą mes susiduriame su skaitinėmis lygybėmis pradinė mokykla, kai įvyksta pažintis su skaičiais ir sąvoka „tas pats“. Tie. primityviausios skaitinės lygybės yra: 2 = 2, 5 = 5 ir kt. O tame studijų lygmenyje mes jas tiesiog vadinome lygybėmis, be specifikacijos, „skaitinėmis“ ir įdėjome į kiekybinę arba eilės reikšmę (kurią neša natūralieji skaičiai). Pavyzdžiui, lygybė 2 = 2 atitiks vaizdą, kuriame yra dvi gėlės ir ant kiekvienos yra dvi kamanės. Arba, pavyzdžiui, dvi eilės, kur Vasya ir Vanya yra antroje eilėje.
Tobulėjant žinioms apie aritmetinius veiksmus, skaitinės lygybės tampa sudėtingesnės: 5 + 7 = 12; 6 - 1 = 5; 2 · 1 = 2; 21: 7 = 3 ir kt. Tada pradedame susidurti su lygybėmis, kurios apima skaitines išraiškas įvairių rūšių. Pavyzdžiui, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 · (4 - (1 + 2)) + 12: 4 - 1 = 4 · 1 + 3 - 1 ir kt. Tada susipažįstame su kitų tipų skaičiais, o skaitinės lygybės įgauna vis įdomesnę ir įvairesnę formą.
1 apibrėžimas
Skaitinė lygybė yra lygybė, kurios abi dalys susideda iš skaičių ir (arba) skaitinių išraiškų.
Skaitinių lygybių savybės
Skaičių lygybių savybių svarbą matematikoje sunku pervertinti: jos daug ką palaiko, lemia darbo su skaitinėmis lygybėmis principą, sprendimo būdus, darbo su formulėmis taisykles ir daug daugiau Akivaizdu, kad reikia detalus skaitinių lygybių savybių tyrimas.
Skaitinių lygybių savybės visiškai atitinka tai, kaip apibrėžiamos operacijos su skaičiais, taip pat su lygių skaičių apibrėžimu per skirtumą: skaičius a lygus skaičiui b tik tais atvejais, kai skirtumas a - b yra nulis. Toliau kiekvienos nuosavybės aprašyme mes atseksime šį ryšį.
Pagrindinės skaitinių lygčių savybės
Pradėkime tyrinėti skaitinių lygybių savybes su trimis pagrindinėmis savybėmis, kurios būdingos visoms lygybėms. Išvardinkime pagrindines skaitinių lygybių savybes:
- refleksyvumo savybė: a = a;
- simetrijos savybė: jei a = b, Tai b = a;
- tranzityvumo savybė: jei a = b Ir b = c, Tai a = c, kur a , b ir c– savavališki skaičiai.
Refleksyvumo savybė reiškia tai, kad skaičius lygus sau pačiam: pavyzdžiui, 6 = 6, − 3 = − 3, 4 3 7 = 4 3 7 ir t.t.
1 įrodymas
Nesunku įrodyti lygybės pagrįstumą a − a = 0 bet kuriam skaičiui a: skirtumas a−a galima parašyti kaip sumą a + (− a), o skaičių sudėjimo savybė suteikia mums galimybę teigti, kad bet koks skaičius a atitinka vienintelį priešingą skaičių − a, o jų suma lygi nuliui.
3 apibrėžimas
Pagal skaitinių lygybių simetrijos savybę: jei skaičius a lygus skaičiui b,
tą skaičių b lygus skaičiui a. Pavyzdžiui, 4 3 = 64
, Tada 64 = 4 3
.
2 įrodymas
Šią savybę galima pateisinti skaičių skirtumu. Būklė a = b atitinka lygybę a − b = 0. Įrodykime tai b − a = 0.
Užrašykime skirtumą b−a formoje − (a − b), remiantis skliaustų, prieš kuriuos rašomas minuso ženklas, atidarymo taisykle. Naujas išraiškos įrašas yra - 0 , o nulio priešingybė yra nulis. Taigi, b − a = 0, taigi: b = a.
4 apibrėžimas
Skaitinių lygybių tranzityvumo savybė teigia, kad du skaičiai yra lygūs vienas kitam, jei jie vienu metu yra lygūs trečiajam skaičiui. Pavyzdžiui, jei 81 = 9 ir 9 = 3 2 , Tai 81 = 3 2 .
Tranzityvumo savybę atitinka ir vienodų skaičių apibrėžimas per skirtumą bei operacijų su skaičiais savybes. Lygybės a = b Ir b = c atitinka lygybes a − b = 0 Ir b − c = 0.
3 įrodymas
Įrodykime lygybę a − c = 0, iš kurios išplauks skaičių lygybė a Ir c. Kadangi pridėjus skaičių su nuliu pats skaičius nekeičiamas, tada a−c rašykime į formą a + 0 − c. Vietoj nulio pakeiskite priešingų skaičių sumą − b Ir b, tada kraštutinė išraiška tampa: a + (− b + b) − c. Sugrupuokime terminus: (a – b) + (b – c). Skliausteliuose esantys skirtumai lygūs nuliui, tada sumai (a – b) + (b – c) yra nulis. Tai įrodo, kad kai a − b = 0 Ir b − c = 0, lygybė yra tiesa a − c = 0, kur a = c.
Kitos svarbios skaitinių lygybių savybės
Aukščiau aptartos pagrindinės skaitinių lygybių savybės yra daugelio papildomų savybių, kurios yra gana vertingos praktiniu požiūriu, pagrindas. Išvardinkime juos:
5 apibrėžimas
Pridėjus tą patį skaičių prie abiejų teisingos skaitinės lygybės pusių (arba iš jų atimant), gauname tikrąją skaitinę lygybę. Užrašykime pažodžiui: jei a = b, Kur a Ir b– Tada kai kurie skaičiai a + c = b + c bet kuriuo c.
4 įrodymas
Kaip pagrindimą užrašome skirtumą (a + c) − (b + c).
Ši išraiška gali būti lengvai konvertuojama į formą (a – b) + (c – c).
Iš a = b pagal sąlygą iš to seka a − b = 0 Ir c − c = 0, Tada (a − b) + (c − c) = 0 + 0 = 0. Tai įrodo (a + c) − (b + c) = 0, vadinasi, a + c = b + c;
6 apibrėžimas
Jei abi tikrosios skaitinės lygybės pusės padauginamos iš bet kurio skaičiaus arba padalijamos iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, tada gauname tikrąją skaitinę lygybę.
Užrašykime pažodžiui: kada a = b, Tai a · c = b · c bet kuriam skaičiui c. Jei c ≠ 0, tada a:c = b:c.
5 įrodymas
Lygybė yra tiesa: a · c − b · c = (a − b) · c = 0 · c = 0, ir iš to išplaukia, kad produktai yra lygūs a · c Ir b c. O dalyba iš ne nulio skaičiaus c gali būti parašyta kaip daugyba iš grįžtamojo skaičiaus 1 c ;
7 apibrėžimas
At a Ir b, skiriasi nuo nulio ir lygūs vienas kitam, jų atvirkštinės vertės taip pat lygios.
Parašykime: kai a ≠ 0, b ≠ 0 ir a = b, Tai 1 a = 1 b. Kraštutinę lygybę nesunku įrodyti: šiuo tikslu padalijame abi lygybės puses a = b skaičiumi, lygiu gaminiui a b ir nelygu nuliui.
Nurodykime dar keletą savybių, kurios leidžia pridėti ir padauginti atitinkamas teisingų skaitinių lygybių dalis:
8 apibrėžimas
Pridėję teisingas skaitines lygybes po termino, gauname tikroji lygybė. Šią savybę galima parašyti taip: jeigu a = b Ir c = d, Tai a + c = b + d bet kokiems skaičiams a, b, c ir d.
6 įrodymas
Pagrįskite naudingą turtą galbūt remiantis anksčiau paminėtomis savybėmis. Žinome, kad prie abiejų tikrosios lygybės pusių galima pridėti bet kokį skaičių.
Lygybės link a = b pridėkime skaičių c, ir į lygybę c = d- numeris b, rezultatas bus teisingos skaitinės lygybės: a + c = b + c Ir c + b = d + b. Kraštutinį rašome tokia forma: b + c = b + d. Iš lygybių a + c = b + c Ir b + c = b + d pagal tranzityvumo savybę seka lygybė a + c = b + d. Ką ir reikėjo įrodyti.
Būtina patikslinti, kad po termino galima sudėti ne tik dvi teisingas skaitines lygybes, bet ir tris ar daugiau;
7 apibrėžimas
Galiausiai aprašome tokią savybę: dviejų tikrųjų skaitinių lygybių padauginimas po termino suteikia tikrą lygybę. Parašykime raidėmis: jei a = b Ir c = d, Tai a · c = b · d.
Įrodymai 7
Šios savybės įrodymas yra panašus į ankstesnio įrodymą. Padauginkite abi lygybės puses iš bet kurio skaičiaus, padauginkite a = bįjungta c, A c = dįjungta b, gauname teisingas skaitines lygybes a · c = b · c Ir c · b = d · b. Parašykime kraštutinį kaip b c = b d. Tranzityvumo savybė leidžia iš lygybės a · c = b · c Ir b c = b d išvesti lygybę a · c = b · d, kurią mums reikėjo įrodyti.
Dar kartą paaiškinkime, kad ši savybė taikoma dviem, trims ar daugiau skaitinių lygybių.
Taigi, galime rašyti: jeigu a = b, Tai a n = b n bet kokiems skaičiams a Ir b, ir bet koks natūralusis skaičius n.
Užbaikime šį straipsnį aiškumo dėlei surinkdami visas svarstomas savybes:
Jei a = b, tai b = a.
Jei a = b ir b = c, tai a = c.
Jei a = b, tai a + c = b + c.
Jei a = b, tai a · c = b · c.
Jei a = b ir c ≠ 0, tai a: c = b: c.
Jei a = b, a = b, a ≠ 0 ir b ≠ 0, tai 1 a = 1 b.
Jei a = b ir c = d, tai a · c = b · d.
Jei a = b, tai a n = b n.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Dabar pažvelkime į šią užduotį išsamiai.
Apsvarstykite kitą piramidės ląstelę.
Žinome, kad 11 yra 7 ir kito nežinomo skaičiaus suma. Akivaizdu, kad antrasis skaičius yra 4, todėl pirmosios eilutės langelį galime užpildyti dešinėje.
Piramidėje liko viena tuščia ląstelė. Jame turi būti skaičius, prie kurio pridėjus 7 turėtų būti gauta 12. Taigi. tuščiame langelyje kairėje pirmoje eilutėje turi būti skaičius 5.
Pažvelkime į antrosios eilutės ląsteles. Turėtų būti du skaičiai, kurių suma turėtų būti lygi 24. Tuo pat metu atkreipkite dėmesį, kad norint gauti reikiamus du skaičius antrame stulpelyje, reikia pridėti 3 ir 5 prie nežinomo skaičiaus, kuris yra pirmosios eilutės vidurinis langelis, tai yra, šių dviejų skaičių skirtumas turi būti lygus 2. Skaičiai 11 ir 13 atitinka šias sąlygas, nes 11 + 13 = 24, o kita vertus, 13 - 11 = 2. Taigi, galime užpildyti 2 eilutės langelius.
Ir belieka surasti paskutinį skaičių pirmoje eilėje. Šį skaičių galima gauti, jei pridėsime jį prie 3 ir gausime 11. Taigi. tai skaičius 8.
Gavęs bendra idėja apie lygybes matematikoje, galime pereiti prie išsamesnio šio klausimo tyrimo. Šiame straipsnyje, pirma, paaiškinsime, kas yra skaitinės lygybės, ir, antra, išnagrinėsime.
Puslapio naršymas.
Kas yra skaitinė lygybė?
Pažintis su skaitinėmis lygybėmis prasideda pačioje pradinėje matematikos mokymosi mokykloje stadijoje. Paprastai tai atsitinka 1-oje klasėje iškart po to, kai tampa žinomi pirmieji skaičiai nuo 1 iki 9 ir po to, kai frazė „tiek pat“ tampa prasminga. Tada atsiranda pirmosios skaitinės lygybės, pavyzdžiui, 1=1, 3=3 ir pan., kurios šiame etape dažniausiai vadinamos tiesiog „skaitinėmis“ lygybėmis be patikslinančio apibrėžimo.
Šiame etape nurodyto tipo lygybėms suteikiama kiekybinė arba eilės reikšmė, kuri įterpiama į . Pavyzdžiui, skaitinė lygybė 3=3 atitiko paveikslėlį, kuriame pavaizduotos dvi medžio šakos, ant kurių sėdi po 3 paukščius. Arba kai mūsų bendražygiai Petya ir Kolya yra treti dviejose eilutėse.
Po studijų aritmetines operacijas, atsiranda įvairesnių skaitinių lygybių įrašų, pvz., 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2 ir kt. Tada pradedame susidurti su dar įdomesnio tipo skaitinėmis lygybėmis, kurių dalyse yra skirtingų dalių, pavyzdžiui, (2+1)+3=2+(1+3) , 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 ir panašiai. Tada įvyksta pažintis su kitų tipų skaičiais, o skaitinės lygybės įgauna vis įvairesnes formas.
Taigi, užtenka plakimo aplink krūmą, laikas pateikti skaitinės lygybės apibrėžimą:
Apibrėžimas.
Skaitinė lygybė yra lygybė, kurios abiejose pusėse yra skaičiai ir (arba) skaitinės išraiškos.
Skaitinių lygybių savybės
Darbo su skaitinėmis lygybėmis principus lemia jų savybės. Ir daug kas yra susieta su skaitinių lygčių savybėmis matematikoje: nuo lygčių sprendimo savybių ir kai kurių lygčių sistemų sprendimo būdų iki darbo su formulėmis, jungiančiomis įvairius dydžius, taisyklių. Tai paaiškina būtinybę detaliai ištirti skaitinių lygybių savybes.
Skaitinių lygybių savybės visiškai atitinka tai, kaip apibrėžiamos operacijos su skaičiais, ir taip pat sutampa su vienodų skaičių nustatymas per skirtumus: skaičius a yra lygus skaičiui b tada ir tik tada, kai skirtumas a−b yra lygus nuliui. Žemiau, aprašydami kiekvieną nuosavybę, atseksime šį ryšį.
Pagrindinės skaitinių lygčių savybės
Vertėtų pradėti skaitinių lygybių savybių apžvalgą trimis pagrindinėmis savybėmis, būdingomis visoms be išimties lygybėms. Taigi, pagrindinės skaitinių lygybių savybės Tai:
- refleksyvumo savybė: a=a ;
- simetrijos savybė: jei a=b, tai b=a;
- ir tranzityvumo savybė: jei a=b ir b=c, tai a=c,
kur a, b ir c yra savavališki skaičiai.
Skaitinių lygybių refleksyvumo savybė reiškia tai, kad skaičius yra lygus sau pačiam. Pavyzdžiui, 5=5, −2=−2 ir t.t.
Nesunku parodyti, kad bet kuriam skaičiui a lygybė a−a=0 yra teisinga. Iš tiesų skirtumą a−a galima perrašyti į sumą a+(−a), o iš skaičių sudėjimo savybių žinome, kad bet kuriam skaičiui a yra unikalus −a, o priešingų skaičių suma lygi nuliui.
Skaičių lygybių simetrijos savybė teigia, kad jei skaičius a yra lygus skaičiui b, tai skaičius b yra lygus skaičiui a. Pavyzdžiui, jei 2 3 = 8 (žr.), tada 8 = 2 3.
Pagrįskime šią savybę skaičių skirtumu. Sąlyga a=b atitinka lygybę a−b=0. Parodykime, kad b−a=0 . Skliaustų atidarymo taisyklė prieš minuso ženklą leidžia perrašyti skirtumą b−a į −(a−b), kuris savo ruožtu yra lygus −0, o skaičius, priešingas nuliui, yra nulis. Todėl b−a=0, o tai reiškia, kad b=a.
Skaitinių lygybių tranzityvumo savybė teigia, kad du skaičiai yra lygūs, kai abu yra lygūs trečiajam skaičiui. Pavyzdžiui, iš lygybių (žr.) ir 4=2 2 išplaukia, kad .
Ši savybė taip pat atitinka vienodų skaičių apibrėžimą pagal skirtumą ir operacijų su skaičiais savybes. Iš tiesų lygybės a=b ir b=c atitinka lygybes a−b=0 ir b−c=0 . Parodykime, kad a−c=0, o tai reikš, kad skaičiai a ir c yra lygūs. Kadangi nulio pridėjimas nekeičia skaičiaus, a-c gali būti perrašytas kaip a+0-c . Pakeiskime nulį priešingų skaičių −b ir b suma, o pastaroji išraiška įgaus formą a+(−b+b)−c. Dabar terminus galite sugrupuoti taip: (a−b)+(b−c) . O skirtumai skliausteliuose yra nuliai, todėl suma (a−b)+(b−c) lygi nuliui. Tai įrodo, kad esant sąlygoms a−b=0 ir b−c=0 yra teisinga lygybė a−c=0, iš kur a=c.
Kitos svarbios savybės
Iš pagrindinių skaitinių lygčių savybių, aptartų ankstesnėje pastraipoje, išplaukia keletas savybių, kurios turi apčiuopiamą praktinę vertę. Pažiūrėkime į juos.
Pradėkime nuo šios savybės: jei prie abiejų tikrosios skaitinės lygybės pusių pridėsite (arba atimsite) tą patį skaičių, gausite tikrąją skaitinę lygybę. Naudojant raides, galima parašyti taip: jei a=b, kur a ir b yra kai kurie skaičiai, tai a+c=b+c bet kuriam skaičiui c.
Norėdami tai pateisinti, apskaičiuokime skirtumą (a+c)−(b+c). Jis gali būti transformuojamas į formą (a−b)+(c−c) . Kadangi a=b pagal sąlygą, tai a−b=0, o c−c=0, tai (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Tai įrodo, kad (a+c)−(b+c)=0, vadinasi, a+c=b+c.
Eikime toliau: jei abi tikrosios skaitinės lygybės pusės padauginamos iš bet kurio skaičiaus arba padalijamos iš skaičiaus, kuris nėra nulis, gausite tikrą skaitinę lygybę. Tai yra, jei a=b, tai a·c=b·c bet kuriam skaičiui c, o jei c yra ne nulis skaičius, tai a:c=b:c.
Iš tiesų, a·c–b·c=(a–b)·c=0·c=0, o tai reiškia sandaugų a·c ir b·c lygybę. O dalyba iš ne nulio skaičiaus c gali būti laikoma daugyba iš 1/c.
Iš analizuojamos skaitinių lygčių savybės išplaukia viena naudinga pasekmė: jei a ir b yra ne nulis ir yra lygūs skaičiai, tai jų atvirkštinės vertės taip pat yra lygios. Tai yra, jei a≠0, b≠0 ir a=b, tai 1/a=1/b. Paskutinę lygybę nesunku įrodyti: tam pakanka abi pradinės lygybės a=b puses padalyti iš nulinio kito skaičiaus, lygaus sandaugai a·b.
Ir apsistokime ties dar dviem savybėmis, kurios leidžia pridėti ir padauginti atitinkamas teisingų skaitinių lygybių dalis.
Jei pridedate teisingas skaitines lygybes po termino, gausite tikrą lygybę. Tai yra, jei a=b ir c=d, tai a+c=b+d bet kokiems skaičiams a, b, c ir d.
Pagrįskime šią skaitinių lygybių savybę, pradėdami nuo mums jau žinomų savybių. Yra žinoma, kad prie abiejų tikrosios lygybės pusių galime pridėti bet kokį skaičių. Lygybėje a=b pridedame skaičių c, o lygybėje c+d pridedame skaičių b, todėl gauname teisingas skaitines lygybes a+c=b+c ir c+b=d+b, iš kurių paskutinį perrašome kaip b+c= b+d . Iš lygybių a+c=b+c ir b+c=b+d pagal tranzityvumo savybę išplaukia lygybė a+c=b+d, kurią reikėjo įrodyti.
Atkreipkite dėmesį, kad po dėmens galima sudėti ne tik dvi teisingas skaitines lygybes, bet ir tris, keturias ir bet kurį baigtinį jų skaičių.
Skaitinių lygybių savybių apžvalgą užbaigiame tokia savybe: padauginus dvi tikrąsias skaitines lygybes iš termino, gaunama tikroji lygybė. Suformuluokime formaliai: jei a=b ir c=d, tai a·c=b·d.
Nurodyto turto įrodymas yra panašus į ankstesnį. Abi lygybės puses galime padauginti iš bet kurio skaičiaus, a=b padauginti iš c, o c=d iš b, gauname teisingas skaitines lygybes a·c=b·c ir c·b=d·b, pastaroji iš kurių perrašome į formą b·c=b·d. Tada pagal tranzityvumo savybę iš lygybių a·c=b·c ir b·c=b·d seka įrodyta lygybė a·c=b·d.
Atkreipkite dėmesį, kad nurodyta savybė galioja padauginus iš trijų ir daugiau tikrosios skaitinės lygybės. Iš šio teiginio išplaukia, kad jei a=b, tai a n =b n bet kokiems skaičiams a ir b ir bet kuriam natūraliajam skaičiui n.
Šio straipsnio pabaigoje į lentelę surašykime visas analizuojamas skaitinių lygybių savybes:
Nuorodos.
- Moro M.I.. Matematika. Vadovėlis 1 klasei. pradžios mokykla Per 2 valandas 1 dalis. (I pusmetis) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6th ed. - M.: Išsilavinimas, 2006. - 112 p.: iliustr.+Pridėti. (2 atskiros l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Algebra: vadovėlis 7 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 240 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019315-3.