Skaičių eilutės: apibrėžimai, savybės, konvergencijos kriterijai, pavyzdžiai, sprendimai. Padidinto sudėtingumo skaitinės eilutės Pakankami teigiamo ženklo eilučių konvergencijos kriterijai
Šiame straipsnyje surinkta ir susisteminta informacija, reikalinga norint išspręsti beveik bet kokį skaičių eilučių pavyzdį, pradedant eilutės sumos nustatymu ir baigiant jos konvergencijos tyrimu.
Straipsnio apžvalga.
Pradėkime nuo teigiamo ženklo, kintamo ženklo serijos apibrėžimų ir konvergencijos sąvokos. Tada apsvarstykite standartines eilutes, tokias kaip harmoninė seka, apibendrinta harmoninė seka, ir prisiminkite formulę, kaip rasti be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą. Po to pereiname prie konvergencinių eilučių savybių, apsistojame ties būtinomis eilučių konvergencijos sąlygomis ir pateikiame pakankamas sąlygas eilučių konvergencijai. Teoriją praskiesime spręsdami tipinius pavyzdžius su išsamiais paaiškinimais.
Puslapio naršymas.
Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos.
Turime skaitinę seką , kur .
Štai skaitinės sekos pavyzdys: .
Skaičių serija yra formos skaitinės sekos narių suma .
Kaip skaičių serijos pavyzdį galime pateikti be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios vardiklis q = -0,5, sumą: .
yra vadinami bendras skaičių serijos narys arba k-asis serijos narys.
Ankstesniame pavyzdyje bendras skaičių serijos terminas yra .
Dalinė skaičių eilutės suma yra formos suma, kur n yra kai kurie natūralusis skaičius. dar vadinama n-ąja skaičių serijos daline suma.
Pavyzdžiui, ketvirtoji dalinė serijos suma yra .
Dalinės sumos sudaryti begalinę skaičių sekos dalinių sumų seką.
Mūsų serijoje n-oji dalinė suma randama pagal geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumos formulę , tai yra, turėsime tokią dalinių sumų seką: .
Skaičių eilutė vadinama susiliejantys, jei yra baigtinė dalinių sumų sekos riba. Jei skaitinės serijos dalinių sumų sekos riba neegzistuoja arba yra begalinė, tai serija vadinama skiriasi.
Konvergentinių skaičių eilutės suma vadinama jos dalinių sumų sekos riba, tai yra, .
Todėl mūsų pavyzdyje serija susilieja, o jo suma lygi šešiolikai trečdalių: .
Divergentinės serijos pavyzdys yra geometrinės progresijos, kurios vardiklis didesnis nei vienas, suma: . N-oji dalinė suma pateikiama pagal , o dalinių sumų riba yra begalinė: .
Kitas skirtingų skaičių serijos pavyzdys yra formos suma. Šiuo atveju n-oji dalinė suma gali būti apskaičiuojama kaip . Dalinių sumų riba yra begalinė .
Sumos vaizdas paskambino harmoninė skaitinė serija .
Sumos vaizdas , kur s yra šiek tiek tikras numeris, vadinamas apibendrinta harmoninių skaičių serija.
Aukščiau pateiktų apibrėžimų pakanka toliau nurodytiems labai dažnai vartojamiems teiginiams pagrįsti, rekomenduojame juos atsiminti.
SERIJA HARMONIC YRA Skirtinga.
Įrodykime harmoninių serijų skirtumą.
Tarkime, kad serija susilieja. Tada yra baigtinė jo dalinių sumų riba. Šiuo atveju galime rašyti ir , o tai mus veda į lygybę .
Iš kitos pusės,
Šios nelygybės nekelia abejonių. Šiuo būdu, . Gauta nelygybė mums sako, kad lygybė negalima pasiekti, o tai prieštarauja mūsų prielaidai apie harmoninių eilučių konvergenciją.
Išvada: harmonikų serija skiriasi.
TIPO GEOMETRINĖS EIGA SU VADIKLIU q SUMMA YRA KONVERGENTINĖ SKAIČIŲ EILA IF , IR SKIRTINĖ EILA AT .
Įrodykime tai.
Žinome, kad pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma randama pagal formulę .
Kai sąžininga
kuri rodo skaitinių eilučių konvergenciją.
Jei q = 1, turime skaičių seriją . Jo dalinės sumos randamos kaip , o dalinių sumų riba yra begalinė , kuris šiuo atveju rodo serijos skirtumą.
Jei q \u003d -1, tada skaičių serija bus tokia forma . Dalinės sumos įgyja nelyginio n ir lyginio n reikšmę. Iš to galime daryti išvadą, kad dalinių sumų riba neegzistuoja ir eilutės skiriasi.
Kai sąžininga
kuri rodo skaitinių eilučių divergenciją.
GENERALIZUOTA ARMONINĖ SERIJA KONVERGĖJA s > 1 IR DIVERS UŽ .
Įrodymas.
Jei s = 1, gauname harmonikų seką, o aukščiau mes nustatėme jos skirtumą.
At s nelygybė galioja visiems natūraliems k . Dėl harmoninių eilučių divergencijos galima teigti, kad jos dalinių sumų seka yra neribota (nes nėra baigtinės ribos). Tada skaitinių eilučių dalinių sumų seka yra tuo labiau neribota (kiekvienas šios serijos narys yra didesnis už atitinkamą harmonikų serijos narį), todėl apibendrinta harmoninė eilutė skiriasi ties s.
Belieka įrodyti s > 1 eilučių konvergenciją.
Parašykime skirtumą:
Aišku, tada
Parašykime gautą nelygybę, kai n = 2, 4, 8, 16, …
Naudojant šiuos rezultatus, su pradine skaitine eilute galima atlikti šiuos veiksmus:
Išraiška yra geometrinės progresijos suma, kurios vardiklis yra . Kadangi svarstome atvejį, kai s > 1, tada . Štai kodėl
. Taigi apibendrintų harmoninių eilučių dalinių sumų seka, kai s > 1, didėja ir tuo pačiu metu iš viršaus ribojama reikšme , todėl turi ribą, kuri rodo eilučių konvergenciją. Įrodymas baigtas.
Skaičių eilutė vadinama teigiamas ženklas jei visi jo terminai yra teigiami, tai yra, .
Skaičių eilutė vadinama pakaitomis jei jos gretimų terminų ženklai skiriasi. Kintamoji skaičių serija gali būti parašyta kaip arba , kur .
Skaičių eilutė vadinama pakaitomis jei jame yra begalinis skaičius teigiamų ir neigiamų narių.
Kintamoji skaičių serija yra ypatingas kintamosios serijos atvejis.
gretas
yra atitinkamai teigiami, kintamieji ir kintamieji.
Kintamoje eilutėje yra absoliučios ir sąlyginės konvergencijos sąvoka.
absoliučiai konvergencija, jei jos narių absoliučių verčių serija suartėja, tai yra, teigiamo ženklo skaitinė eilutė suartėja.
Pavyzdžiui, skaičių eilutės ir absoliučiai sutampa, nes serija suartėja , kuri yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma.
Kintamoji serija vadinama sąlyginai konvergencinis jei serija skiriasi ir serija suartėja.
Sąlygiškai konvergencinės skaičių eilutės pavyzdys yra eilutė . Skaičių serija , sudarytas iš absoliučių pradinės serijos narių verčių, skiriasi, nes yra harmoningas. Tuo pačiu metu pradinė serija yra konvergentinė, kurią lengva nustatyti naudojant . Taigi, skaitmeninių ženklų kintamoji serija sąlygiškai konvergencinis.
Konvergencinių skaitinių eilučių savybės.
Pavyzdys.
Įrodykite skaitinių eilučių konvergenciją.
Sprendimas.
Parašykime seriją kita forma . Skaičių eilutės konverguoja, nes apibendrintos harmoninės eilutės konverguoja, kai s > 1, o dėl antrosios konvergentinių skaičių eilučių savybės suartės ir eilutės su skaitiniu koeficientu.
Pavyzdys.
Ar skaičių eilutės susilieja?
Sprendimas.
Pakeiskime originalią seriją: . Taigi, mes gavome dviejų skaitinių eilučių sumą ir , ir kiekviena iš jų konverguoja (žr. ankstesnį pavyzdį). Todėl dėl trečiosios konvergencinių skaitinių eilučių savybės suartėja ir pradinė eilutė.
Pavyzdys.
Įrodykite skaičių eilučių konvergenciją ir apskaičiuokite jo sumą.
Sprendimas.
Šią skaičių seriją galima pavaizduoti kaip dviejų eilučių skirtumą:
Kiekviena iš šių eilučių yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma, todėl konvergencinė. Trečioji konvergentinių eilučių savybė leidžia teigti, kad pradinė skaitinė eilutė konverguoja. Apskaičiuokime jo sumą.
Pirmasis eilutės narys yra vienas, o atitinkamos geometrinės progresijos vardiklis yra 0,5, todėl .
Pirmasis serijos narys yra 3, o atitinkamos be galo mažėjančios geometrinės progresijos vardiklis yra 1/3, taigi .
Iš gautų rezultatų suraskime pradinės skaičių serijos sumą:
Būtina eilutės konvergencijos sąlyga.
Jei skaičių eilutė suartėja, tai jos k-ojo nario riba lygi nuliui: .
Tiriant bet kokias konvergencijos skaitines eilutes, pirmiausia reikia patikrinti, ar įvykdyta būtina konvergencijos sąlyga. Šios sąlygos nesilaikymas rodo skaitinių eilučių skirtumą, tai yra, jei , tai serija skiriasi.
Kita vertus, reikia suprasti, kad šios sąlygos nepakanka. Tai yra, lygybės įvykdymas nerodo skaitinių eilučių konvergencijos. Pavyzdžiui, harmonikų serijai būtina sąlyga konvergencija tenkinama, o eilutė skiriasi.
Pavyzdys.
Išnagrinėkite skaičių eilutes konvergencijai.
Sprendimas.
Patikrinkime būtiną skaitinių eilučių konvergencijos sąlygą:
Riba n-asis skaitinės eilutės narys nėra lygus nuliui, todėl eilutė skiriasi.
Pakankamos sąlygos teigiamo ženklo eilučių konvergencijai.
Kai naudojate pakankamai funkcijų, kad galėtumėte tirti skaitines eilutes konvergencijai, nuolat turite susidurti su , todėl rekomenduojame, jei kyla sunkumų, peržiūrėti šį skyrių.
Būtina ir pakankama sąlyga teigiamo ženklo skaičių eilučių konvergencijai.
Ženklo teigiamų skaičių eilučių konvergencijai būtina ir pakanka, kad jo dalinių sumų seka būtų ribojama.
Pradėkime nuo serijų palyginimo funkcijų. Jų esmė yra lyginant tiriamas skaitines eilutes su eilėmis, kurių konvergencija arba divergencija yra žinoma.
Pirmas, antras ir trečias palyginimo ženklai.
Pirmasis eilučių palyginimo ženklas.
Tegul ir yra dvi teigiamo ženklo skaitinės eilutės ir nelygybė galioja visiems k = 1, 2, 3, ... Tada eilučių konvergencija reiškia konvergenciją , o eilutės skirtumai reiškia skirtumą .
Pirmoji palyginimo funkcija naudojama labai dažnai ir yra labai galingas įrankis skaitinių eilučių konvergencijai tyrimas. Pagrindinė problema yra tinkamos serijos parinkimas palyginimui. Palyginimo eilutė paprastai (bet ne visada) parenkama taip, kad jos k-ojo nario eksponentas yra lygus skirtumui tiriamos skaičių eilutės k-ojo nario skaitiklio ir vardiklio rodikliai. Pavyzdžiui, tegul , skirtumas tarp skaitiklio ir vardiklio rodiklių yra 2 - 3 = -1, todėl palyginimui pasirenkame eilutę su k-tu nariu, tai yra harmonine seka. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
Pavyzdys.
Nustatykite eilučių konvergenciją arba divergenciją.
Sprendimas.
Kadangi eilučių bendrojo nario riba lygi nuliui, tai būtina eilutės konvergencijos sąlyga tenkinama.
Nesunku pastebėti, kad nelygybė galioja visiems natūraliems k . Žinome, kad harmonikų serija skiriasi, todėl pagal pirmąjį palyginimo ženklą skiriasi ir pradinė serija.
Pavyzdys.
Išnagrinėkite skaičių eilutes konvergencijai.
Sprendimas.
Skaičių eilučių konvergencijos būtinoji sąlyga yra įvykdyta, nes . Akivaizdu, kad nelygybė bet kuriai gamtinei k vertei. Serija konverguoja, nes apibendrinta harmonikų serija suartėja, kai s > 1. Taigi pirmasis eilučių palyginimo ženklas leidžia teigti pradinių skaitinių eilučių konvergenciją.
Pavyzdys.
Nustatykite skaičių eilučių konvergenciją arba divergenciją.
Sprendimas.
, todėl skaitinių eilučių konvergencijos būtinoji sąlyga yra įvykdyta. Kurią eilutę pasirinkti palyginimui? Skaičių serija siūlo save ir, norėdami nustatyti s, atidžiai išnagrinėjame skaitinę seką. Skaitmeninės sekos sąlygos didėja link begalybės. Taigi, pradedant nuo kurio nors skaičiaus N (būtent nuo N = 1619 ), šios sekos nariai bus didesni už 2 . Pradedant nuo šio skaičiaus N , galioja nelygybė . Skaičių eilutė konverguoja dėl pirmosios konvergentinių eilučių savybės, nes ji gaunama iš konvergentinės eilutės atmetus pirmuosius N - 1 narius. Taigi, pagal pirmąjį palyginimo ženklą, eilutė yra konverguojanti, o dėl pirmosios konvergencinių skaitinių eilučių savybės eilutės taip pat suartės.
Antrasis palyginimo ženklas.
Leiskite ir būti teigiamos skaitinės eilutės. Jei , tai eilučių konvergencija reiškia konvergenciją . Jei , tada skaitinės serijos skirtumai reiškia skirtumą .
Pasekmė.
Jei ir , tai vienos eilutės konvergencija reiškia kitos konvergenciją, o divergencija reiškia skirtumą.
Konvergencijos eilutes nagrinėjame naudodami antrąjį palyginimo kriterijų. Paimkime konvergencinę seriją kaip seriją. Raskime skaitinės eilutės k-ųjų narių santykio ribą:
Taigi, pagal antrąjį palyginimo kriterijų, skaitinių eilučių konvergencija reiškia pradinių eilučių konvergenciją.
Pavyzdys.
Ištirkite skaičių eilučių konvergenciją.
Sprendimas.
Patikrinkime reikiamą eilučių konvergencijos sąlygą . Sąlyga įvykdyta. Norėdami pritaikyti antrąjį palyginimo ženklą, paimkime harmonines serijas. Raskime k-ųjų narių santykio ribą:
Vadinasi, pradinės serijos divergencija išplaukia iš harmoninių serijų skirtumo pagal antrąjį palyginimo kriterijų.
Informacijai pateikiame trečiąjį serijų palyginimo kriterijų.
Trečias palyginimo ženklas.
Leisti ir būti teigiamos skaitinės eilutės. Jei sąlyga tenkinama nuo tam tikro skaičiaus N, tai eilučių konvergencija reiškia konvergenciją, o eilutės divergencija – divergenciją.
D'Alemberto ženklas.
komentuoti.
d'Alemberto ženklas galioja, jei riba yra begalinė, tai yra, jei , tada serija suartėja, jei , tada serija skiriasi.
Jei , tai d'Alembert testas nesuteikia informacijos apie eilučių konvergenciją ar divergenciją, todėl reikia atlikti papildomus tyrimus.
Pavyzdys.
Išnagrinėkite skaičių eilutes konvergencijai pagal d'Alembert.
Sprendimas.
Patikrinkime būtinos skaitinių eilučių konvergencijos sąlygos įvykdymą, ribą apskaičiuojame taip:
Sąlyga įvykdyta.
Naudokime d'Alemberto ženklą:
Taigi serija susilieja.
Koši radikalus ženklas.
Leisti būti teigiamo ženklo skaičių serija. Jei , tada serija suartėja, jei , tada serija skiriasi.
komentuoti.
Koši radikalus testas galioja, jei riba yra begalinė, tai yra, jei , tada serija suartėja, jei , tada serija skiriasi.
Jei , tai Cauchy radikalų testas nesuteikia informacijos apie eilučių konvergenciją arba divergenciją, todėl reikia atlikti papildomus tyrimus.
Paprastai pakankamai lengva pamatyti atvejus, kai geriausia naudoti radikalų Cauchy testą. Būdingas atvejis, kai bendras skaičių serijos narys yra eksponentinis galios išraiška. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
Pavyzdys.
Ištirkite teigiamo ženklo skaičių eilutes konvergencijai, naudodami radikalųjį Cauchy testą.
Sprendimas.
. Radikaliu Koši testu gauname .
Todėl serija susilieja.
Pavyzdys.
Ar skaičių eilutės susilieja? .
Sprendimas.
Naudokime radikalų Cauchy testą , todėl skaičių eilutė suartėja.
Integralus Cauchy testas.
Leisti būti teigiamo ženklo skaičių serija. Sudarykime ištisinio argumento y = f(x) funkciją, panašią į funkciją . Tegul funkcija y = f(x) yra teigiama, tolydi ir mažėjanti intervale , kur ). Tada konvergencijos atveju netinkamas integralas suartina tirtas skaičių eilutes. Jeigu netinkamas integralas skiriasi, tada skiriasi ir originali serija.
Tikrindami funkcijos y = f(x) mažėjimą per intervalą, skyriuje pateikta teorija gali būti naudinga.
Pavyzdys.
Išnagrinėkite skaičių eilutes su teigiamais konvergencijos terminais.
Sprendimas.
Būtina eilučių konvergencijos sąlyga įvykdyta, nes . Panagrinėkime funkciją. Jis yra teigiamas, nuolatinis ir mažėjantis intervale. Šios funkcijos tęstinumas ir pozityvumas nekelia abejonių, tačiau pakalbėkime apie sumažėjimą šiek tiek išsamiau. Raskime išvestinę:
. Jis yra neigiamas intervale, todėl funkcija šiame intervale mažėja.
Apsvarstykite teigiamų skaičių seriją.
Jei yra riba, tada:
a) Iš eilės skiriasi. Be to, gauta vertė gali būti nulis arba neigiama.
b) Iš eilės susilieja. Visų pirma, serija sutampa su .
c) Kada Raabės ženklas atsakymo neduoda.
Mes sudarome ribą ir kruopščiai supaprastiname trupmeną:
Taip, vaizdas, švelniai tariant, nemalonus, bet manęs jau nenustebino. lopitalios taisyklės, o pirma mintis, kaip vėliau paaiškėjo, pasirodė teisinga. Bet pirmiausia apie valandą „įprastais“ metodais sukau ir sukau ribą, tačiau netikrumo nenorėjo panaikinti. O vaikščiojimas ratu, kaip rodo patirtis, yra tipiškas ženklas, kad pasirinktas netinkamas sprendimo būdas.
Teko kreiptis į rusą liaudies išmintis: "Jei visa kita nepavyksta, perskaitykite instrukcijas." Ir kai atsiverčiau 2-ąjį Fichtenholtzo tomą, savo didžiuliam džiaugsmui atradau identiškos serijos studiją. Ir tada sprendimas vyko pagal modelį:
Nes skaitinė seka yra laikomas specialiu funkcijos atveju, tada riboje atliksime pakaitalą: . Jei tada .
Kaip rezultatas:
Dabar turiu funkcijos riba ir taikomas L'Hopital taisyklė. Diferencijavimo procese reikia imtis eksponentinės funkcijos išvestinė, kurį techniškai patogu rasti atskirai nuo pagrindinio sprendimo:
Būkite kantrūs, nes mes čia atvykome - Barmaley perspėjo straipsnio pradžioje =) =)
L'Hopital taisyklę naudoju du kartus:
skiriasi.
Sugaišta daug laiko, bet mano vartai atlaikė!
Įdomumo dėlei Excel programoje suskaičiavau 142 eilutės terminus (daugiau skaičiavimo galios neužteko) ir atrodo (bet ne griežtai teoriškai garantuota!), Šiai eilutei netenkina net būtinas konvergencijos kriterijus. Galite pamatyti puikų rezultatą čia >>> Po tokių nesėkmių neatsispyriau pagundai išbandyti ribą tokiu pat mėgėjišku būdu.
Naudokite sveikatai, sprendimas yra teisėtas!
Ir tai yra jūsų dramblys:
20 pavyzdys
Ištirkite eilučių konvergenciją
Jei tau sekasi idėjos šią pamoką, tada nagrinėkite šį pavyzdį! Tai daug paprastesnis nei ankstesnis ;-)
Mūsų kelionė baigėsi ryškia nata, ir tikiuosi, kad visi paliko nepamirštamą įspūdį. Norintys tęsti banketą gali eiti į puslapį Paruoštos užduotys aukštojoje matematikoje ir atsisiųskite archyvą su papildomomis užduotimis šia tema.
Linkime sėkmės!
Sprendimai ir atsakymai:
2 pavyzdys: Sprendimas: palyginkite šią eilutę su konvergentine eilute. Visiems natūraliems skaičiams nelygybė yra teisinga, o tai reiškia, kad, palyginus, tiriama eilutė susilieja kartu su šalia .
4 pavyzdys: Sprendimas: palyginkite šią seriją su skirtingomis harmonikų serijomis. Mes naudojame limito palyginimo kriterijų:
(begalinio mažumo ir riboto skaičiaus sandauga yra be galo maža seka)
skiriasi kartu su harmonikų serija.
5 pavyzdys: Sprendimas: bendrojo nario dauginamąją konstantą imame už sumos ribų, eilutės konvergencija arba divergencija nuo jos nepriklauso:
Palyginkime šią eilutę su konverguojančia be galo mažėjančia geometrine progresija. Seka yra ribojama: , todėl nelygybė galioja visiems natūraliems skaičiams. Ir todėl, remiantis palyginimo testu, tiriama serija susilieja kartu su šalia .
8 pavyzdys: Sprendimas: palyginkite šią eilutę su besiskiriančiomis eilutėmis (bendras terminas daugiklio konstanta neturi įtakos eilučių konvergencijai ar divergencijai). Mes naudojame limitų palyginimo kriterijų ir puikią ribą:
Gaunamas baigtinis skaičius, kuris nėra nulis, o tai reiškia, kad tiriama serija skiriasi kartu su šalia .
13 pavyzdys: Sprendimas
Taigi, tiriama serija susilieja.
14 pavyzdys: Sprendimas: naudokite d'Alembert ženklą:
Be galo mažus pakeiskime lygiaverčiais: už .
Naudojame antrą svarbią ribą: .
Todėl tiriama serija skiriasi.
Padauginkite ir padalinkite iš adjungtinės išraiškos:
Gaunamas baigtinis skaičius, kuris nėra nulis, o tai reiškia, kad tiriama serija skiriasi kartu su šalia .
20 pavyzdys: Sprendimas: patikrinkite reikiamą eilučių konvergencijos sąlygą. Skaičiuodami, naudodami tipinę techniką, suorganizuojame 2-ą nepaprastą ribą:
Taigi, tiriama serija skiriasi.
aukštoji matematika neakivaizdinių studijų studentams ir ne tik >>>
(Eiti į pagrindinį puslapį)
Tais atvejais, kai d'Alembert ir Cauchy ženklai neduoda rezultato, kartais ženklai, pagrįsti palyginimu su kitomis serijomis, kurios susilieja arba skiriasi „lėčiau“ nei geometrinės progresijos serija, gali duoti teigiamą atsakymą.
Pateiksime be įrodymų keturių sudėtingesnių eilučių konvergencijos kriterijų formuluotę. Šių kriterijų įrodymai taip pat pagrįsti 1–3 (2.2 ir 2.3 teoremos) palyginimo teoremomis iš tiriamų eilučių su kai kuriomis eilėmis, kurių konvergencija arba divergencija jau nustatyta. Šiuos įrodymus galima rasti, pavyzdžiui, pagrindiniame G. M. Fikhtengol'tso vadovėlyje (2 t.).
2.6 teorema. Raabės ženklas. Jei teigiamų skaičių serijos nariams, pradedant nuo kurio nors skaičiaus M, nelygybė
(Rn £ 1), "n ³ M, (2.10)
tada serija suartėja (diverga).
Raabės ženklas ribojančia forma. Jei pirmiau pateiktos serijos sąlygos atitinka sąlygą
Pastaba 6. Palyginus d'Alembert ir Raabe testus, pamatytume, kad antrasis yra daug stipresnis už pirmąjį.
Jei serija turi limitą
tada Raabe seka turi ribą
Taigi, jei d'Alembert testas duoda atsakymą į eilučių konvergencijos ar divergencijos klausimą, tai Raabe testas taip pat duoda atsakymą, ir šiuos atvejus apima tik dvi iš galimų R reikšmių: +¥ ir -¥. Visi kiti baigtinio R ¹ 1 atvejai, kai Raabe testas teigiamai atsako į eilučių konvergencijos arba divergencijos klausimą, atitinka atvejį D = 1, t. y. atvejį, kai d'Alembert testas neduoda teigiamas atsakymas į eilučių konvergencijos ar divergencijos klausimą.
2.7 teorema. Kummer ženklas. Tegu (сn) yra savavališka teigiamų skaičių seka. Jei teigiamų skaičių serijos nariams, pradedant nuo kurio nors skaičiaus M, nelygybė
(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)
tada serija susilieja .
Kummero testas ribojančia forma. Jei pirmiau nurodytoms serijoms yra limitas
tada serija susilieja .
Iš Kummero testo, kaip išvados, nesunku gauti įrodymų d'Alembert'o, Raabe'o ir Bertrand'o testams. Pastaroji gaunama, jei laikysime seką (сn)
cn=nln n, "n н N,
kuriam serialas
skiriasi (šios serijos skirtumai bus parodyti šio skyriaus pavyzdžiuose).
2.8 teorema. Bertrano kriterijus ribojančia forma. Jei teigiamų skaičių serijos nariams Bertrano seka
(2.12)
(Rn yra Raabe seka) turi ribą
tada serija suartėja (diverga).
Žemiau suformuluojame Gauso testą - galingiausią pritaikomumo sričių sekoje, išdėstytų didėjimo tvarka pagal serijos konvergencijos kriterijus: d'Alembert, Raabe ir Bertrand. Gauso testas apibendrina visą ankstesnių testų galią ir leidžia tirti daug sudėtingesnes eilutes, tačiau, kita vertus, jo taikymas reikalauja subtilesnių tyrimų, kad būtų gautas asimptotinis gretimų serijos terminų santykio išplėtimas. į antrąją mažumo eilę .
2.9 teorema. Gauso ženklas. Jei teigiamų skaičių serijos nariams, pradedant nuo kurio nors skaičiaus M, lygybė
, "n ³ M, (2.13)
kur l ir p yra konstantos, o tn yra ribojama reikšmė.
a) jei l > 1 arba l = 1 ir p > 1, eilutė konverguoja;
b) už l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.
2.5. Koši-Maklaurino integralinis testas,
„Teleskopinis“ Koši ir Ermakovo ženklas
Aukščiau nagrinėti eilučių konvergencijos kriterijai yra pagrįsti palyginimo teoremomis ir yra pakankami, t.y., jei tam tikros serijos požymio sąlygos yra tenkinamos, galima daryti tam tikrus teiginius apie jos elgesį, tačiau jei požymio sąlygos yra nėra patenkintas, tada nieko negalima teigti apie serijų konvergenciją, ji gali ir suartėti, ir skirtis.
Koši – Maklerino integralo testas skiriasi nuo anksčiau ištirtų turiniu, yra būtinas ir pakankamas, taip pat forma, paremtas begalinės sumos (serijos) palyginimu su begaliniu (netinkamu) integralu, ir parodo natūralų ryšį tarp serijų teorija ir integralų teorija. Šis tarpusavio ryšys nesunkiai atsekamas ir palyginimo kriterijų pavyzdžiu, kurių analogai vyksta netinkamiems integralams, o jų formuluotės beveik pažodžiui sutampa su eilių formuluotėmis. Visiška analogija taip pat pastebima formuluojant pakankamus savavališkų skaitinių eilučių konvergencijos kriterijus, kurie bus nagrinėjami kitame skyriuje, ir netinkamų integralų konvergencijos kriterijus, pvz., Abelio ir Dirichlet konvergencijos kriterijus.
Žemiau taip pat pateiksime „teleskopinį“ Koši kriterijų ir pradinį eilučių konvergencijos kriterijų, gautą rusų matematiko V.P. Ermakovas; Ermakovo testas turi maždaug tokią pat apimtį kaip Koši – Maklerino integralo testas, tačiau formuluotėje nėra integralinio skaičiavimo terminų ir sąvokų.
2.10 teorema. Cauchy-Maclaurin ženklas. Teigiamų skaičių serijos nariams, pradedant nuo tam tikro skaičiaus M, lygybė
kur funkcija f(x) yra neneigiama ir nedidėjanti pustiesėje (x ³ M). Skaičių eilutė konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja netinkamas integralas
Tai yra, serija susilieja, jei yra riba
, (2.15)
ir serija skiriasi, jei riba yra I = +¥.
Įrodymas. Remiantis 3 pastaba (žr. § 1), akivaizdu, kad neprarandant bendrumo galime daryti prielaidą, kad M = 1, nes, atmetę (M – 1) serijos narius ir padarę pakaitalą k = (n – M + 1), apsvarstysime seriją , kuriai
, ,
ir, atitinkamai, į integralo svarstymą.
Be to, pastebime, kad neneigiama ir nedidėjanti pusiau tiesė (x ³ 1) funkcija f(x) atitinka Riemann integralumo sąlygas bet kuriame baigtiniame intervale, todėl yra prasminga atsižvelgti į atitinkamą netinkamą integralą. .
Pereikime prie įrodymo. Bet kuriame segmente, kurio vieneto ilgis m £ x £ m + 1, nes f(x) nedidėja, nelygybė
Integruojant jį per segmentą ir naudojant atitinkamą ypatybę apibrėžtasis integralas, gauname nelygybę
, . (2.16)
Susumavus šias nelygybes terminais nuo m = 1 iki m = n, gauname
Kadangi f (x) yra neneigiama funkcija, integralas
yra nemažėjanti tęstinė argumento A funkcija. Tada
, .
Iš čia ir iš nelygybės (15) išplaukia, kad:
1) jei aš< +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм apribota, t.y., eilutė suartėja;
2) jei I = +¥ (t. y. netinkamas integralas skiriasi),
tada nemažėjanti dalinių sumų seka taip pat yra neribota, t.y., eilutė skiriasi.
Kita vertus, žymėdami , iš nelygybės (16) gauname:
1) jei S< +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³ 1 существует номер n такой, что n + 1 ³ А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £ S, а следовательно, , t.y., integralas konverguoja;
2) jei S = +¥ (t. y. serija skiriasi), tada bet kuriam pakankamai dideliam A egzistuoja n £ A, kad I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥), t.y. integralas išsiskiria. Q.E.D.
Pateiksime dar du įdomesnius konvergencijos kriterijus be įrodymų.
2.11 teorema. „Teleskopinis“ Koši ženklas. Teigiama skaitinė eilutė, kurios terminai monotoniškai mažėja, konverguoja tada ir tik tada, kai eilutė konverguoja.
2.12 teorema. Ermakovo ženklas. Tegu teigiamos skaitinės eilutės nariai yra tokie, kad, pradedant nuo kurio nors skaičiaus M0, lygybės
an = ¦(n), "n ³ М0,
kur funkcija ¦(x) yra vientisa, teigiama ir monotoniškai mažėja kaip x ³ M0.
Tada, jei yra toks skaičius M ³ M0, kad visiems x ³ M būtų nelygybė
,
tada serija suartėja (diverga).
2.6. Konvergencijos kriterijų taikymo pavyzdžiai
Naudojant 2 teoremą, nesunku ištirti šių eilučių konvergenciją
(a > 0, b ³ 0; "a, b Î R).
Jei £ 1, tada pažeidžiamas būtinas konvergencijos kriterijus (2 savybė) (žr. § 1).
,
todėl serija skiriasi.
Jei a > 1, tada сn tenkina įvertį , iš kurio dėl geometrinės progresijos eilučių konvergencijos išplaukia nagrinėjamos eilutės konvergencija.
konverguoja pagal 1 palyginimo testą (2.2 teorema), nes turime nelygybę
,
o serija susilieja kaip geometrinės progresijos seka.
Parodykime kelių eilučių divergenciją, kuri išplaukia iš 2 palyginimo kriterijaus (2.2 teoremos 1 išvada). Eilė
skiriasi, nes
.
skiriasi, nes
.
skiriasi, nes
.
(p > 0)
skiriasi, nes
.
konverguoja pagal d'Alembert testą (2.4 teorema). Tikrai
.
konverguoja pagal d'Alembert testą. Tikrai
.
.
suartėja Koši teste (2.5 teorema). Tikrai
.
Pateiksime Raabės kriterijaus taikymo pavyzdį. Apsvarstykite seriją
,
kur žymėjimas (k)!! reiškia visų lyginių (nelyginių) skaičių sandaugą nuo 2 iki k (nuo 1 iki k), jei k yra lyginis (nelyginis). Naudodami d'Alembert testą gauname
Taigi d'Alembert testas neleidžia daryti konkretaus teiginio apie eilučių konvergenciją. Taikome Raabe ženklą:
todėl serija susilieja.
Pateiksime Koši – Maklerino integralo testo taikymo pavyzdžius.
Apibendrinta harmonikų serija
konverguoja arba diverguoja kartu su netinkamu integralu
Akivaizdu, kad I< +¥ при p >1 (integralas konverguoja) ir I = +¥, kai p £ 1 (diverga). Taigi pradinė serija taip pat konverguoja, kai p > 1, ir skiriasi, kai p £ 1.
skiriasi kartu su netinkamu integralu
taigi integralas išsiskiria.
|
§ 3. Ženklų kintamoji skaičių serija
3.1. Absoliuti ir sąlyginė eilučių konvergencija
Šiame skyriuje nagrinėjame serijų, kurių nariai yra realieji skaičiai su savavališku ženklu, savybes.
Apibrėžimas 1. Skaičių serija
vadinama absoliučiai konvergentine, jei eilutė konverguoja
Apibrėžimas 2. Skaičių eilutė (3.1) laikoma sąlyginai konvergentiška arba neabsoliučiai konvergentiška, jei eilutė (3.1) konverguoja, o eilutė (3.2) skiriasi.
3.1 teorema. Jei serija absoliučiai susilieja, tada ji suartėja.
Įrodymas. Pagal Koši kriterijų (1.1 teorema) absoliuti eilučių (3.1) konvergencija yra lygiavertė ryšių įvykdymui.
" e > 0, $ M > 0 taip, kad " n > M, " p ³ 1 Þ
(3.3)
Kadangi žinoma, kad kelių skaičių sumos modulis neviršija jų modulių sumos („trikampio nelygybė“), tai iš (3.3) seka nelygybė (galioja tiems patiems skaičiams kaip ir (3.3), skaičiai e , M, n, p)
Paskutinės nelygybės įvykdymas reiškia Koši kriterijaus sąlygų įvykdymą eilutei (3.1), todėl ši eilutė konverguoja.
Išvada 1. Tegul eilutės (3.1) suartėja absoliučiai. Iš teigiamų eilutės (3.1) narių, pernumeruodami juos eilės tvarka (kaip jie atsiranda didinant indeksą), sudarykime teigiamą skaitinę eilutę
, (uk = ). (3.4)
Panašiai iš serijos (3.1) neigiamų narių modulių, pernumeruodami juos eilės tvarka, sudarome šias teigiamas skaitines eilutes:
, (vm = ). (3.5)
Tada (3.3) ir (3.4) eilutės susilieja.
Jei eilučių (3.1), (3.3), (3.4) sumas pažymėsime atitinkamai raidėmis A, U, V, tai formulė
A = U - V. (3.6)
Įrodymas. Eilučių (3.2) sumą pažymėkime A*. Pagal 2.1 teoremą gauname, kad visos (3.2) eilučių dalinės sumos yra ribojamos skaičiumi A*, o kadangi eilučių (3.4) ir (3.5) dalinės sumos gaunamos susumavus kai kuriuos dalinės eilutės dėmenis. eilučių sumos (3.2), akivaizdu, kad jos labiau apribotos A*. Tada, įvesdami atitinkamą žymėjimą, gauname nelygybes
;
iš kurių, remiantis 2.1 teorema, eilutės (3.4) ir (3.5) susilieja.
(3.7)
Kadangi skaičiai k ir m priklauso nuo n, akivaizdu, kad kaip n ® ¥, k ® ¥ ir m ® ¥ vienu metu. Tada lygybę (3.7) perėję į ribą (visos ribos egzistuoja dėl 3.1 teoremos ir kaip įrodyta aukščiau), gauname
y., lygybė (3.6) įrodyta.
Išvada 2. Tegul eilutė (3.1) suartėja sąlygiškai. Tada eilutės (3.4) ir (3.5) skiriasi, o sąlyginai konvergencinių eilučių formulė (3.6) nėra teisinga.
Įrodymas. Jei laikysime n-ąją dalinę eilutės (3.1) sumą, tai, kaip ir ankstesniame įrodyme, ją galima parašyti
(3.8)
Kita vertus, n-ajai dalinei eilutės (3.2) sumai galima panašiai parašyti išraišką
(3.9)
Tarkime priešingai, t. y. tegul bent viena iš (3.3) arba (3.4) eilučių susilieja. Tada iš (3.8) formulės, atsižvelgiant į eilučių (3.1) konvergenciją, seka, kad antroji eilučių (atitinkamai (3.5) arba (3.4)) konverguoja kaip dviejų konvergencinių eilučių skirtumas. Bet tada formulė (3.9) reiškia eilutės (3.2) konvergenciją, ty absoliučią eilutės (3.1) konvergenciją, kuri prieštarauja teoremos sąlygai jos konvergencijai.
Taigi iš (3.8) ir (3.9) išplaukia, kad nuo
Q.E.D.
Pastaba 1. Asociacinė savybė serijoms. Begalinės serijos suma iš esmės skiriasi nuo baigtinio elementų skaičiaus sumos tuo, kad ji apima perėjimą prie ribos. Todėl įprastos baigtinių sumų savybės serijoms dažnai pažeidžiamos arba jos išsaugomos tik esant tam tikroms sąlygoms.
Taigi baigtinėms sumoms galioja asociatyvinis (asociacinis) dėsnis, būtent: suma nesikeičia, jei sumos elementai sugrupuoti bet kokia tvarka
Apsvarstykite savavališką skaičių serijos (3.1) terminų grupavimą (be permutacijos). Pažymėkite didėjančią skaičių seką
ir įveskite užrašą
Tada pirmiau nurodytu metodu gautas serijas galima parašyti kaip
Toliau pateiktoje teoremoje be įrodymų surinkti keli svarbūs teiginiai, susiję su asociatyvinė savybė eilučių.
3.2 teorema.
1. Jei eilutė (3.1) susilieja ir turi sumą A (pakanka sąlyginės konvergencijos), tai savavališka (3.10) formos eilutė suartėja ir turi tokią pačią sumą A. Tai yra, konvergencinė eilutė turi derinio savybę.
2. (3.10) formos eilučių konvergencija nereiškia (3.1) eilučių konvergencijos.
3. Jei eilutė (3.10) gaunama specialiu grupavimu, kad kiekvienoje iš skliaustų yra tik vieno ženklo nariai, tai šios eilutės (3.10) konvergencija reiškia eilutės (3.1) konvergenciją.
4. Jei eilutė (3.1) yra teigiama ir kuri nors (3.10) formos eilutė jai konverguoja, tai eilutė (3.1) konverguoja.
5. Jei serijos (3.1) narių seka yra be galo maža (t. y. an) ir kiekvienos grupės narių skaičius, serijos (3.10) narys, ribojamas viena konstanta M (t. y. nk –nk–). 1 £ M, "k = 1, 2,...), tada eilučių (3.10) konvergencija reiškia eilučių (3.1) konvergenciją.
6. Jei eilutė (3.1) konverguoja sąlygiškai, tai be permutacijos visada galima sugrupuoti eilutės narius taip, kad gauta eilutė (3.10) būtų absoliučiai konverguojanti.
2 pastaba. Komutacinė savybė serijoms. Baigtinėms skaitinėms sumoms galioja komutacinis (komutacinis) dėsnis, būtent: suma nesikeičia keičiant terminus
kur (k1, k2, …, kn) yra savavališka natūraliųjų skaičių (1, 2,…, n) aibės permutacija.
Pasirodo, panaši savybė galioja absoliučiai konvergentinėms eilutėms, o ne sąlyginai konvergentinėms eilutėms.
Tebūna natūraliųjų skaičių aibės atvaizdavimas vienas su vienu: N ® N, t.y., kiekvienas natūralusis skaičius k atitinka unikalų natūraliąjį skaičių nk, o aibė be tarpų atkuria visą natūraliąją skaičių seką. Pažymėkime eilutes, gautas iš (3.1) serijos naudojant savavališką permutaciją, atitinkančią aukščiau pateiktą atvaizdavimą, taip:
Komutacinių eilučių savybių taikymo taisyklės atsispindi toliau pateiktose 3.3 ir 3.4 teoremose be įrodymų.
3.3 teorema. Jei serija (3.1) absoliučiai konverguoja, tai eilutė (3.11), gauta savavališkai keičiant eilučių (3.1) sąlygas, taip pat absoliučiai suartėja ir turi tokią pat sumą kaip ir pradinė eilutė.
3.4 teorema. Riemano teorema. Jei eilutė (3.1) konverguoja sąlygiškai, tada šios eilutės sąlygas galima pertvarkyti taip, kad jos suma būtų lygi bet kuriam duotam skaičiui D (baigtinis arba begalinis: ±¥) arba būtų neapibrėžtas.
Remiantis 3.3 ir 3.4 teoremomis, nesunku nustatyti, kad sąlyginė eilučių konvergencija atsiranda dėl abipusio panaikinimo n-asis augimas dalinė suma kaip n ® ¥, prie sumos pridedant teigiamus arba neigiamus narius, todėl sąlyginė eilutės konvergencija iš esmės priklauso nuo eilutės sąlygų eilės. Absoliuti eilučių konvergencija yra spartaus absoliučių eilučių terminų verčių sumažėjimo rezultatas
ir nepriklauso nuo jų tvarkos.
3.2. Kintamoji eilutė. Leibnizo ženklas
Tarp kintamų serijų išsiskiria svarbi specifinė serijų klasė - kintamos serijos.
3 apibrėžimas. Tegul yra teigiamų skaičių seka bп > 0, "n н N. Tada formos serija
vadinama kintama eilute. Formos (3.12) serijoms galioja šis teiginys.
5 teorema. Leibnizo testas. Jei seka, sudaryta iš kintamos serijos (3.8) terminų absoliučių verčių, monotoniškai sumažėja iki nulio
bn > bn+1, "n н N; (3.13)
tada tokia kintamoji eilutė (3.12) vadinama Leibnizo eilute. Leibnizo serija visada susilieja. Likusiai Leibnizo serijai
yra sąmata
rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nнN. (3.14)
Įrodymas. Parašykime savavališką dalinę eilutės (3.12) sumą su lyginiu formos narių skaičiumi
Pagal sąlygą (3.13) kiekvienas iš šios išraiškos dešinėje esančių skliaustų yra teigiamas skaičius, todėl k didėjant seka monotoniškai didėja. Kita vertus, bet kuris B2k sekos narys gali būti parašytas kaip
B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,
ir kadangi pagal sąlygą (3.13) kiekvienoje paskutinės lygybės skliausteliuose yra teigiamas skaičius, nelygybė akivaizdžiai galioja
B2k< b1, "k ³ 1.
Taigi, turime monotoniškai didėjančią ir apribotą iš viršaus seką , o tokia seka, pagal gerai žinomą teoremą iš ribų teorijos, turi baigtinę ribą
B2k–1 = B2k + b2k,
ir atsižvelgiant į tai, kad bendras serijos narys (pagal teoremos hipotezę) linkęs į nulį kaip n ® ¥, gauname
Taigi įrodėme, kad eilutė (3.12) suartėja esant sąlygai (3.13) ir jos suma lygi B.
Įrodykime įvertį (3.14). Aukščiau buvo parodyta, kad dalinės lygios eilės B2k sumos, monotoniškai didėjančios, linksta į ribą B, serijų sumą.
Apsvarstykite dalines nelyginės eilės sumas
B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).
Iš šios išraiškos akivaizdu (kadangi sąlyga (3.13) tenkinama), kad seka mažėja ir, remiantis tuo, kas buvo įrodyta aukščiau, linksta į savo ribą B iš viršaus. Taigi mes įrodėme nelygybę
0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)
Jei dabar atsižvelgsime į likusią serijos dalį (3.12)
kaip naują kintamą eilutę su pirmuoju terminu bп+1, tada šiai eilutei, remiantis nelygybe (3.15), galime rašyti atitinkamai lyginiams ir nelyginiams indeksams,
r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,
r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.
Taigi įrodėme, kad likusi Leibnizo eilutės dalis visada turi savo pirmojo nario ženklą ir yra mažesnė už ją absoliučia verte, t. y. jai tenkina įvertis (3.14). Teorema įrodyta.
3.3. Savavališkų skaičių eilučių konvergencijos požymiai
Šiame poskyryje be įrodymų pateikiame pakankamus konvergencijos kriterijus skaitinėms eilėms, kurių terminai yra savavališki realieji skaičiai (bet kokio ženklo), be to, šie kriterijai tinka ir sudėtingų dėmenų serijoms.
2) seka yra seka, konverguojanti į nulį (bп ® 0 kaip n ® ¥) su ribotu pokyčiu.
Tada eilutė (3.16) suartėja.
3.9 teorema. Dirichlet ženklas. Tegul skaičių eilutės (3.16) sąlygos tenkina sąlygas:
eilučių dalinių sumų seka yra ribojama (nelygybės (3.17));
2) seka yra monotoninė seka, konverguojanti į nulį (bп ® 0 kaip n ®¥).
Tada eilutė (3.16) suartėja.
3.10 teorema. Antrasis apibendrintas Abelio ženklas. Tegul skaičių eilutės (3.16) sąlygos tenkina sąlygas:
1) eilutė suartėja;
2) seka yra savavališka seka su ribotais pokyčiais.
Tada eilutė (3.16) suartėja.
3.11 teorema. Abelio ženklas. Tegul skaičių eilutės (3.16) sąlygos tenkina sąlygas:
1) eilutė suartėja;
2) seka yra monotoniškai apribota seka.
Tada eilutė (3.16) suartėja.
3.12 teorema. Koši teorema. Jei eilutės ir susilieja absoliučiai, o jų sumos atitinkamai lygios A ir B, tada eilutė, sudaryta iš visų aibj formos sandaugų (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) , sunumeruotas bet kokia tvarka , taip pat absoliučiai konverguoja ir jo suma lygi AB.
3.4. Pavyzdžiai
Pirmiausia panagrinėkime keletą absoliučios eilučių konvergencijos pavyzdžių. Toliau darome prielaidą, kad kintamasis x gali būti bet koks realusis skaičius.
2) skiriasi ties |x| > e tuo pačiu d'Alembert pagrindu;
3) skiriasi |x| = e pagal d'Alembert testą neribota forma, nes
dėl to, kad eksponentinė seka vardiklyje siekia savo ribą, monotoniškai didėja,
(¹ 0 yra tikrasis skaičius)
1) absoliučiai konverguoja |x/a|< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5);
2) skiriasi ties |x/a| ³ 1, ty |x| ³ |a|, nes tokiu atveju pažeidžiamas būtinas konvergencijos kriterijus (2 savybė (žr. § 1))
|
Ribinės formos formuluotė
komentuoti. Jeigu Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc
nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): R=1, tada Raabe kriterijus neatsako į klausimą apie eilučių konvergenciją.
Įrodymas
Įrodymas pagrįstas apibendrinto palyginimo kriterijaus, lyginant su apibendrinta harmonikų serija, naudojimu
taip pat žr
- D'Alembert konvergencijos testas yra panašus testas, pagrįstas gretimų terminų santykiu.
Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Raabės ženklas"
Literatūra
- Archipovas, G. I., Sadovnichijus, V. A., Chubarikovas, V. N. Matematinės analizės paskaitos: Universitetų vadovėlis ir ped. universitetai / Red. V. A. Sadovnichy. - M .: Aukštoji mokykla, 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4..
- - straipsnis iš Matematinės enciklopedijos
Nuorodos
- Weissteinas, Ericas W.(anglų kalba) Wolfram MathWorld svetainėje.
|