Kūgio pjūvių teorijos studija. Pamoka „Kūgio tūris Duotas tiesus apskritas kūgis, kurio viršūnė m
Tegu pateiktas dešinysis apskritas cilindras, kurio horizontalioji projekcijų plokštuma lygiagreti jo pagrindui. Kai plokštuma kerta cilindrą bendra pozicija(manome, kad plokštuma nesikerta su cilindro pagrindais) susikirtimo linija yra elipsė, pati pjūvis yra elipsės formos, jos horizontali projekcija sutampa su cilindro pagrindo projekcija, o priekinė taip pat turi elipsės formą. Bet jei pjovimo plokštuma sudaro 45 ° kampą su cilindro ašimi, tada pjūvis, turintis elipsės formą, yra projektuojamas apskritimu į tą projekcijos plokštumą, į kurią pjūvis yra pasviręs tuo pačiu kampu.
Jei pjovimo plokštuma susikerta šoninis paviršius cilindras ir vienas iš jo pagrindų (8.6 pav.), tada susikirtimo linija turi nepilnos elipsės (elipsės dalies) formą. Horizontali pjūvio projekcija šiuo atveju yra apskritimo dalis (pagrindo projekcija), o priekinė dalis yra elipsės dalis. Plokštuma gali būti statmena bet kuriai projekcijos plokštumai, tada pjūvis į šią projekcijos plokštumą bus projektuojamas tiesia linija (sekantinės plokštumos pėdsako dalis).
Jei cilindrą kerta plokštuma, lygiagreti generatrix, tai susikirtimo linijos su šoniniu paviršiumi yra tiesios, o pati pjūvis turi stačiakampio formą, jei cilindras yra tiesus, arba lygiagretainio, jei cilindras yra pasviręs.
Kaip žinote, ir cilindras, ir kūgis yra suformuoti iš linijuotų paviršių.
Linijuojamo paviršiaus ir plokštumos susikirtimo linija (pjovimo linija) bendruoju atveju yra tam tikra kreivė, kuri sudaroma iš generatorių susikirtimo taškų su sekanti plokštuma.
Tegul tai duota tiesus apskritas kūgis. Ją kertant su plokštuma, susikirtimo linija, priklausomai nuo plokštumos vietos, gali būti tokia: trikampis, elipsė, apskritimas, parabolė, hiperbolė (8.7 pav.).
Trikampis gaunamas, kai pjovimo plokštuma, kertanti kūgį, eina per jo viršūnę. Šiuo atveju susikirtimo su šoniniu paviršiumi linijos yra tiesios linijos, susikertančios kūgio viršuje, kurios kartu su pagrindo susikirtimo linija sudaro trikampį, suprojektuotą ant projekcinių plokštumų su iškraipymu. Jei plokštuma kerta kūgio ašį, tai atkarpoje gaunamas trikampis, kuriame kampas su viršūne, sutampančia su kūgio viršūne, bus didžiausias duoto kūgio trikampio atkarpoms. Šiuo atveju atkarpa į horizontalią projekcijos plokštumą (ji lygiagreti jos pagrindui) projektuojama tiesia atkarpa.
Plokštumos ir kūgio susikirtimo linija bus elipsė, jei plokštuma nėra lygiagreti nė vienam iš kūgio generatorių. Tai prilygsta faktui, kad plokštuma kerta visus generatorius (visą šoninį kūgio paviršių). Jei pjovimo plokštuma lygiagreti kūgio pagrindui, tada susikirtimo linija yra apskritimas, pati pjūvis projektuojama į horizontalią projekcijos plokštumą be iškraipymų, o į frontalinę plokštumą - kaip tiesi atkarpa.
Susikirtimo linija bus parabolė, kai sekanti plokštuma lygiagreti tik vienai kūgio generatrix. Jei pjovimo plokštuma yra lygiagreti dviem generatoriams vienu metu, tada susikirtimo linija yra hiperbolė.
Nupjautas kūgis gaunamas, jei dešinįjį apskritą kūgį kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui ir statmena kūgio ašiai, o viršutinė dalis yra atmesta. Tuo atveju, kai horizontalioji projekcinė plokštuma lygiagreti nupjauto kūgio pagrindams, šie pagrindai projektuojami į horizontaliąją projekcijos plokštumą neiškraipydami koncentriniais apskritimais, o frontalioji projekcija yra trapecija. Kai nupjautą kūgį kerta plokštuma, priklausomai nuo jo vietos, pjūvio linija gali būti trapecijos, elipsės, apskritimo, parabolės, hiperbolės arba vienos iš šių kreivių, kurių galai yra sujungti kreivių, dalis. tiesi linija.
Įvadas
Tyrimo temos aktualumas. Kūgio pjūviai jau buvo žinomi matematikams Senovės Graikija(pavyzdžiui, Menechmu, IV a. pr. Kr.); šių kreivių pagalba buvo išspręstos kai kurios konstravimo problemos (kubo padvigubinimas ir pan.), kurios pasirodė nepasiekiamos naudojant paprasčiausias piešimo priemones – kompasus ir liniuotes. Pirmuosiuose tyrimuose, kuriuos pasiekėme, graikų geometrijai gaudavo kūginius pjūvius, nubrėždami pjovimo plokštumą, statmeną vienam iš generatorių, o priklausomai nuo atidarymo kampo kūgio viršuje (t. y. didžiausio kampo tarp generatorių vienos ertmės), susikirtimo linija pasirodė esanti elipsė, jei šis kampas smailus, tai parabolė, jei stačiakampis, ir hiperbolė, jei jis bukas. Išsamiausias šioms kreivėms skirtas darbas buvo Apolonijaus Pergos (apie 200 m. pr. Kr.) „Kūgio pjūviai“. Tolesnė kūgio pjūvių teorijos pažanga siejama su kūrimu XVII a. nauji geometriniai metodai: projekciniai (prancūzų matematikai J. Desargues, B. Pascal) ir ypač koordinatiniai (prancūzų matematikai R. Descartes, P. Fermat).
Susidomėjimą kūginėmis pjūviais visada palaikė tai, kad šios kreivės dažnai atsiranda įvairiuose gamtos reiškiniuose ir žmogaus veikla. Moksle kūginiai pjūviai įgijo ypatingą reikšmę po to, kai vokiečių astronomas I. Kepleris atrado iš stebėjimų, o anglų mokslininkas I. Niutonas teoriškai pagrindė planetų judėjimo dėsnius, iš kurių vienas teigia, kad planetos ir kometos. saulės sistema juda išilgai kūginių pjūvių, kurių viename iš židinių yra Saulė. Toliau pateikiami pavyzdžiai susiję su tam tikro tipo kūgio pjūviais: įstrižai į horizontą sviedinys ar akmuo apibūdina parabolę (teisingą kreivės formą šiek tiek iškreipia oro pasipriešinimas); kai kuriuose mechanizmuose naudojamos elipsinės pavaros („elipsinė pavara“); hiperbolė tarnauja kaip atvirkštinio proporcingumo grafikas, dažnai stebimas gamtoje (pavyzdžiui, Boyle-Mariotte dėsnis).
Tikslas:
Kūgio pjūvių teorijos studija.
Tyrimo tema:
Kūginės sekcijos.
Tyrimo tikslas:
Teoriškai ištirti kūginių pjūvių ypatybes.
Studijų objektas:
Kūginės sekcijos.
Studijų dalykas:
Kūginių pjūvių istorinė raida.
1. Kūginių pjūvių formavimas ir jų rūšys
Kūgio pjūviai yra linijos, susidarančios dešiniojo apskrito kūgio pjūvyje su skirtingomis plokštumomis.
Atkreipkite dėmesį, kad kūginis paviršius yra paviršius, susidarantis judant tiesia linija, kuri visą laiką eina per fiksuotą tašką (kūgio viršų) ir visą laiką kerta fiksuotą kreivę – kreivę (mūsų atveju apskritimą). ).
Klasifikuojant šias linijas pagal slenkančių plokštumų padėties pobūdį kūgio generatorių atžvilgiu, gaunamos trijų tipų kreivės:
I. Kreivės, sudarytos iš kūgio atkarpos plokštumų, kurios nėra lygiagrečios nė vienam iš generatorių. Tokios kreivės bus įvairūs apskritimai ir elipsės. Šios kreivės vadinamos elipsinėmis kreivėmis.
II. Kreivės, kurias sudaro kūgio pjūvis plokštumose, kurių kiekviena lygiagreti vienai iš kūgio generatrix (1b pav.). Tokios kreivės bus tik parabolės.
III. Kreivės, kurias sudaro kūgio pjūvis, plokštumos, kurių kiekviena lygiagreti kai kuriems dviem generatoriams (1c pav.). tokios kreivės bus hiperbolės.
Nebegali būti IV tipo kreivių, nes negali būti plokštumos, lygiagrečios trims kūgio generatoriams vienu metu, nes nėra trijų pačių kūgio generatorių toje pačioje plokštumoje.
Atkreipkite dėmesį, kad kūgis gali būti perkirstas plokštumos ir taip, kad atkarpoje būtų gautos dvi tiesės. Norėdami tai padaryti, per kūgio viršų reikia nubrėžti sekantines plokštumas.
2. Elipsė
Kūginių pjūvių savybėms tirti svarbios dvi teoremos:
1 teorema. Duotas tiesus apskritas kūgis, kurį išskaido plokštumos b 1, b 2, b 3, statmenos jo ašiai. Tada visi kūgio generatorių segmentai tarp bet kurios apskritimų poros (gautos pjūviu su duotomis plokštumomis) yra lygūs vienas kitam, t.y. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d ir kt. ir B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d ir kt. Teorema 2. Jeigu duotas sferinis paviršius ir koks nors taškas S yra už jo ribų, tai iš taško S į rutulio paviršių nubrėžtos liestinių atkarpos bus lygios viena kitai, t.y. SA 1 = SA 2 = SA 3 ir tt
2.1 Pagrindinė elipsės savybė
Išpjauname dešinį apskritą kūgį, kurio plokštuma kerta visus jo generatorius.Pjūvyje gauname elipsę. Nubrėžkime plokštumai statmeną plokštumą per kūgio ašį.
Į kūgį įrašome du rutulius taip, kad, esantys priešingose plokštumos pusėse ir liesdami kūginį paviršių, kiekvienas iš jų tam tikru momentu paliestų plokštumą.
Tegul vienas rutulys liečia plokštumą taške F 1 ir palieskite kūgį išilgai apskritimo C 1, o kitas - taške F 2 ir palieskite kūgį išilgai apskritimo C 2 .
Paimkite savavališką elipsės tašką P.
Tai reiškia, kad visos apie tai padarytos išvados galios bet kuriame elipsės taške. Nubraižykime kūgio OR generatrix ir pažymėkime taškus R 1 ir R 2, kuriuose jis liečia sukonstruotus rutuliukus.
Sujunkite tašką P su taškais F 1 ir F 2 . Tada PF 1 = PR 1 ir PF 2 = PR 2, nes PF 1, PR 1 yra liestinės, nubrėžtos iš taško P į vieną rutulį, o PF 2, PR 2 yra liestinės, nubrėžtos iš taško P į kitą rutulį (2 teorema). . Sudėjus abi lygybes po termino, randame
PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)
Šis ryšys rodo, kad savavališko elipsės taško P atstumų (РF 1 ir РF 2) suma iki dviejų taškų F 1 ir F 2 yra pastovi šios elipsės vertė (ty ji nepriklauso nuo padėties elipsės taško P).
Taškai F 1 ir F 2 vadinami elipsės židiniais. Taškai, kuriuose tiesė F 1 F 2 kerta elipsę, vadinami elipsės viršūnėmis. Atkarpa tarp viršūnių vadinama pagrindine elipsės ašimi.
R 1 R 2 generatrix segmento ilgis yra lygus didžiajai elipsės ašiai. Tada pagrindinė elipsės savybė formuluojama taip: savavališko elipsės taško P atstumų iki jo židinių F 1 ir F 2 suma yra pastovi šios elipsės vertė, lygus ilgiui jo pagrindinė ašis.
Atkreipkite dėmesį, kad jei elipsės židiniai sutampa, tai elipsė yra apskritimas, t.y. perimetras - ypatinga byla elipsė.
2.2 Elipsės lygtis
Norėdami parašyti elipsės lygtį, elipsę turime laikyti taškų, turinčių tam tikrą savybę, apibūdinančią šį lokusą, lokusu. Paimkime pagrindinę elipsės savybę kaip jos apibrėžimą: Elipsė yra taškų lokusas plokštumoje, kurios atstumų iki dviejų fiksuotų šios plokštumos taškų F 1 ir F 2, vadinamų židiniais, suma yra pastovi reikšmė, lygi jos pagrindinės ašies ilgis.
Tegul atkarpos ilgis F 1 F 2 \u003d 2c, o pagrindinės ašies ilgis yra 2a. Norėdami gauti kanoninę elipsės lygtį, pasirenkame Dekarto koordinačių sistemos pradžią O atkarpos F 1 F 2 viduryje ir nukreipiame ašis Ox ir Oy, kaip parodyta 5 paveiksle. (Jei židiniai sutampa, tada O sutampa su F 1 ir F 2, o už ašies Ox gali būti laikoma bet kokia ašis, einanti per O). Tada pasirinktoje koordinačių sistemoje taškai F 1 (c, 0) ir F 2 (-c, 0). Akivaizdu, kad 2a > 2c, t.y. a>c. Tegul M(x, y) yra elipsei priklausančios plokštumos taškas. Tegu МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Pagal elipsės apibrėžimą, lygybė
r 1 +r 2 =2а (2) būtinas ir pakankama būklė taško M (x, y) vieta duotoje elipsėje. Naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę, gauname
r 1 =, r 2 =. Grįžkime prie lygybės (2):
Perkelkime vieną šaknį į dešinę lygybės pusę ir pakelkime kvadratą:
Sumažinus gauname:
Pateikiame panašius, sumažiname 4 ir išskiriame radikalą:
Mes kvadratu
Atidarykite skliaustus ir sutrumpinkite iki:
iš kur gauname:
(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)
Atkreipkite dėmesį, kad a 2 -c 2 >0. Iš tiesų, r 1 + r 2 yra dviejų trikampio F 1 MF 2 kraštinių suma, o F 1 F 2 yra jo trečioji kraštinė. Todėl r 1 +r 2 > F 1 F 2, arba 2а>2с, t.y. a>c. Pažymėkite a 2 -c 2 \u003d b 2. (3) lygtis atrodys taip: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Atlikime transformaciją, kuri perkelia elipsės lygtį į kanoninę (pažodžiui: paimtą kaip pavyzdį) formą, ty abi lygties dalis padaliname iš a 2 b 2:
(4) - kanoninė elipsės lygtis.
Kadangi (4) lygtis yra (2*) lygties algebrinė pasekmė, tai bet kurio elipsės taško M x ir y koordinatės taip pat tenkins (4) lygtį. Kadangi „papildomos šaknys“ gali atsirasti atliekant algebrines transformacijas, susijusias su radikalų pašalinimu, būtina įsitikinti, kad bet kuris taškas M, kurio koordinatės atitinka (4) lygtį, yra šioje elipsėje. Tam pakanka įrodyti, kad kiekvieno taško dydžiai r 1 ir r 2 tenkina ryšį (2). Taigi, tegul taško M x ir y koordinatės tenkina (4) lygtį. Pakeitus y 2 reikšmę iš (4) į išraišką r 1 , po paprastų transformacijų gauname, kad r 1 =. Nuo tada r 1 =. Panašiai matome, kad r 2 =. Taigi nagrinėjamam taškui M r 1 =, r 2 =, t.y. r 1 + r 2 \u003d 2a, todėl taškas M yra elipsėje. Dydžiai a ir b vadinami atitinkamai didžiąja ir mažąja elipsės pusašiais.
2.3 Elipsės formos pagal jos lygtį tyrimas
Naudodami ją nustatykite elipsės formą kanoninė lygtis.
1. (4) lygtis turi x ir y tik lyginiais laipsniais, taigi, jei taškas (x, y) priklauso elipsei, tai taškai (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Iš to išplaukia, kad elipsė yra simetriška ašims Ox ir Oy, taip pat taškui O (0,0), kuris vadinamas elipsės centru.
2. Raskite elipsės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Sudėjus y \u003d 0, randame du taškus A 1 (a, 0) ir A 2 (-a, 0), kuriuose Ox ašis kerta elipsę. Į (4) lygtį padėję x=0, randame elipsės susikirtimo taškus su Oy ašimi: B 1 (0, b) ir. B 2 (0, - b) Taškai A 1, A 2, B 1, B 2 vadinami elipsės viršūnėmis.
3. Iš (4) lygties seka, kad kiekvienas kairėje pusėje esantis narys neviršija vieneto, t.y. yra nelygybės ir arba ir. Todėl visi elipsės taškai yra stačiakampio, kurį sudaro tiesios linijos, viduje.
4. (4) lygtyje neneigiamų narių suma ir lygi vienetui. Todėl vienam terminui didėjant mažės kitas, t.y. Jei x didėja, tai y mažėja ir atvirkščiai.
Iš to, kas pasakyta, matyti, kad elipsė turi formą, parodytą Fig. 6 (ovali uždara kreivė).
Atkreipkite dėmesį, kad jei a = b, tada (4) lygtis bus x 2 + y 2 = a 2 . Tai yra apskritimo lygtis. Elipsę galima gauti iš apskritimo, kurio spindulys yra a, jei jis vieną kartą suspaustas išilgai Oy ašies. Su tokiu susitraukimu taškas (x; y) pateks į tašką (x; y 1), kur. Pakeitę apskritimą į lygtį, gauname elipsės lygtį: .
Įveskime dar vieną elipsės formą apibūdinantį dydį.
Elipsės ekscentriškumas yra židinio nuotolio 2c ir pagrindinės ašies ilgio 2a santykis.
Ekscentriškumas paprastai žymimas e: e = Kadangi c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.
Iš paskutinės lygybės nesunku gauti geometrinę elipsės ekscentriškumo interpretaciją. Labai mažiems skaičiams a ir b yra beveik lygūs, tai yra, elipsė yra arti apskritimo. Jei jis artimas vienybei, tai skaičius b yra labai mažas, palyginti su skaičiumi a, o elipsė yra stipriai pailgėjusi išilgai pagrindinės ašies. Taigi elipsės ekscentriškumas apibūdina elipsės pailgėjimo matą.
3. Hiperbolė
3.1 Pagrindinė hiperbolės savybė
Tyrinėdami hiperbolę konstrukcijomis, panašiomis į elipsės tyrimui atliktas konstrukcijas, nustatome, kad hiperbolė turi panašių savybių kaip elipsės.
Tiesų apskritimo kūgį nupjaukime plokštuma b, kertančia abi jo plokštumas, t.y. lygiagrečiai dviem jo generatoriams. Skerspjūvis yra hiperbolė. Per kūgio ašį ST nubrėžkime plokštumą ASB, statmeną plokštumai b.
Įskirkime į kūgį du rutuliukus – vieną į vieną jo ertmę, kitą į kitą taip, kad kiekvienas iš jų liestų kūginį paviršių ir atsiskyrimo plokštumą. Tegul pirmasis rutulys palies plokštumą b taške F 1 ir palieskite kūginį paviršių išilgai apskritimo UґVґ. Leiskite antrajam rutuliui liesti plokštumą b taške F 2 ir liesti kūginį paviršių išilgai apskritimo UV.
Hiperbolėje pasirenkame savavališką tašką M. Per jį nubrėžkime kūgio MS generatorių ir pažymime taškus d ir D, kuriuose jis liečia pirmąjį ir antrąjį rutulius. Tašką M sujungiame su taškais F 1, F 2, kuriuos vadinsime hiperbolės židiniais. Tada MF 1 =Md, nes abi atkarpos liečia pirmąjį rutulį, nubrėžtą iš taško M. Panašiai MF 2 =MD. Iš pirmos lygybės atėmus terminą antrosios, randame
MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,
kur dD yra pastovi reikšmė (kaip kūgio generatorius su bazėmis UґVґ ir UV), nepriklausoma nuo hiperbolės taško M pasirinkimo. P ir Q pažymėkite taškus, kuriuose tiesė F 1 F 2 kerta hiperbolę. Šie taškai P ir Q vadinami hiperbolės viršūnėmis. Atkarpa PQ vadinama tikrąja hiperbolės ašimi. Elementariosios geometrijos metu įrodyta, kad dD=PQ. Todėl MF 1 -MF 2 =PQ.
Jei taškas M bus toje hiperbolės šakoje, šalia kurios yra židinys F 1, tai MF 2 -MF 1 =PQ. Tada galiausiai gauname МF 1 -MF 2 =PQ.
Hiperbolės savavališko taško M atstumų nuo jo židinių F 1 ir F 2 skirtumo modulis yra pastovi reikšmė, lygi tikrosios hiperbolės ašies ilgiui.
3.2 Hiperbolės lygtis
Paimkime pagrindinę hiperbolės savybę kaip jos apibrėžimą: Hiperbolė yra taškų lokusas plokštumoje, kurios atstumų skirtumo iki dviejų fiksuotų šios plokštumos taškų F 1 ir F 2, vadinamų židiniais, modulis yra konstanta. vertė lygi jos tikrosios ašies ilgiui.
Tegul atkarpos ilgis F 1 F 2 \u003d 2c, o tikrosios ašies ilgis yra 2a. Norėdami išvesti kanoninę hiperbolės lygtį, atkarpos F 1 F 2 viduryje pasirenkame Dekarto koordinačių sistemos pradžią O ir nukreipiame ašis Ox ir Oy, kaip parodyta 5 paveiksle. Tada pasirinktoje koordinačių sistemoje taškai F 1 (c, 0) ir F 2 (-s, 0). Aišku 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство
r 1 -r 2 \u003d 2a (5) yra būtina ir pakankama sąlyga taško M (x, y) vietai šioje hiperbolėje. Naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę, gauname
r 1 =, r 2 =. Grįžkime prie lygybės (5):
Padėkime abi lygties puses kvadratu
(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2
Sumažinus gauname:
2 хс=4а 2 ±4а-2 хс
±4a=4a 2 -4 xs
a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2
x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)
Atkreipkite dėmesį, kad c 2 -a 2 >0. Pažymėkite c 2 -a 2 =b 2 . (6) lygtis atrodys taip: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Atliekame transformaciją, kuri perkelia hiperbolės lygtį į kanoninę formą, ty padalijame abi lygties dalis iš a 2 b 2: (7) - kanoninė hiperbolės lygtis, dydžiai a ir b yra atitinkamai tikroji ir įsivaizduojama hiperbolės pusašys.
Turime įsitikinti, kad (7) lygtis, gauta lygties (5*) algebrinėmis transformacijomis, neįgijo naujų šaknų. Norėdami tai padaryti, pakanka įrodyti, kad kiekviename taške M, kurio koordinatės x ir y atitinka (7) lygtį, reikšmės r 1 ir r 2 tenkina santykį (5). Vykdydami argumentus, panašius į tuos, kurie buvo pateikti išvedant elipsės formulę, randame šias r 1 ir r 2 išraiškas:
Taigi nagrinėjamam taškui M turime r 1 -r 2 =2a, todėl jis yra ant hiperbolės.
3.3 Hiperbolės lygties tyrimas
Dabar pabandykime, remdamiesi (7) lygtimi, susidaryti supratimą apie hiperbolės vietą.
1. Visų pirma, (7) lygtis parodo, kad hiperbolė yra simetriška abiejų ašių atžvilgiu. Tai paaiškinama tuo, kad į kreivės lygtį įtraukiami tik lyginiai koordinačių laipsniai. 2. Dabar pažymime plokštumos sritį, kurioje bus kreivė. Hiperbolės lygtis, išspręsta y atžvilgiu, turi tokią formą:
Tai rodo, kad y visada egzistuoja, kai x 2? a 2. Tai reiškia, kad x? a ir už x? - ir y ordinatė bus tikroji, o už - a Be to, didėjant x (ir didesniam a), y ordinatė taip pat visą laiką augs (ypač iš to matyti, kad kreivė negali būti banguota, t. y. tokia, kad didėjant x abscisei, y-ordinatė arba didėja, arba mažėja) . 3. Hiperbolės centras yra taškas, kurio atžvilgiu kiekvienas hiperbolės taškas turi sau simetrišką tašką. Taškas O(0,0), pradžia, kaip ir elipsės, yra kanoninės lygties pateiktos hiperbolės centras. Tai reiškia, kad kiekvienas hiperbolės taškas turi simetrišką hiperbolės tašką taško O atžvilgiu. Tai išplaukia iš hiperbolės simetrijos ašių Ox ir Oy atžvilgiu. Bet kuri hiperbolės styga, einanti per jos centrą, vadinama hiperbolės skersmeniu. 4. Hiperbolės susikirtimo taškai su tiese, kurioje yra jos židiniai, vadinami hiperbolės viršūnėmis, o atkarpa tarp jų – tikrąja hiperbolės ašimi. Šiuo atveju tikroji ašis yra x ašis. Atkreipkite dėmesį, kad tikroji hiperbolės ašis dažnai vadinama atkarpa 2a ir pačia tiesia linija (Jaučio ašimi), ant kurios ji yra. Raskite hiperbolės susikirtimo taškus su Oy ašimi. Y ašies lygtis yra x=0. Pakeitę x = 0 į (7) lygtį, gauname, kad hiperbolė neturi susikirtimo taškų su Oy ašimi. Tai suprantama, nes 2a pločio juostoje, dengiančioje Oy ašį, nėra hiperbolės taškų. Tiesė, statmena realiajai hiperbolės ašiai ir einanti per jos centrą, vadinama įsivaizduojama hiperbolės ašimi. Šiuo atveju jis sutampa su y ašimi. Taigi, terminų, kurių x 2 ir y 2 hiperbolės lygtyje (7), vardikliuose yra tikrosios ir įsivaizduojamos hiperbolės pusašių kvadratai. 5. Hiperbolė kerta tiesę y = kx, kai k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет. Įrodymas Norint nustatyti hiperbolės ir tiesės y = kx susikirtimo taškų koordinates, reikia išspręsti lygčių sistemą Pašalinus y, gauname arba Jei b 2 -k 2 a 2 0, tai yra, k, gautos lygties, taigi ir sprendinių sistemos, nėra. Tiesios linijos su lygtimis y= ir y= - vadinamos hiperbolės asimptotėmis. Jei b 2 -k 2 a 2 >0, tai yra k< система имеет два решения: Todėl kiekviena tiesi linija, einanti per pradžią, su nuolydžiu k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы. 6. Optinė hiperbolės savybė: optiniai spinduliai, sklindantys iš vieno hiperbolės židinio, atsispindintys nuo jo, tarsi sklinda iš antrojo židinio. Hiperbolės ekscentriškumas yra židinio nuotolio 2c ir jos tikrosios ašies ilgio 2a santykis? 3.4 Konjuguota hiperbolė Kartu su hiperbole (7) nagrinėjama vadinamoji konjuguota hiperbolė jos atžvilgiu. Konjuguota hiperbolė apibrėžiama kanonine lygtimi. Ant pav. 10 parodyta hiperbolė (7) ir jos konjuguota hiperbolė. Konjuguota hiperbolė turi tas pačias asimptotes kaip ir duotoji, bet F 1 (0, c), 4. Parabolė
4.1 Pagrindinė parabolės savybė Nustatykime pagrindines parabolės savybes. Išpjaukime stačią apskritą kūgį, kurio viršūnė S, plokštuma, lygiagrečia vienam iš jo generatorių. Skyriuje gauname parabolę. Per kūgio ašį ST nubrėžkime plokštumai statmeną plokštumą ASB (11 pav.). Jame gulinti generatrix SA bus lygiagreti plokštumai. Įtraukime kūgio sferinį paviršių, liečiantį kūgį išilgai apskritimo UV ir plokštumos liestinę taške F. Per tašką F nubrėžkime tiesę, lygiagrečią generatoriui SA. Jo susikirtimo tašką su generatoriumi SB pažymėkime P. Taškas F vadinamas parabolės židiniu, taškas P – jos viršūne, o tiesė PF, einanti per viršūnę ir židinį (ir lygiagreti generatricei). SA) vadinama parabolės ašimi. Parabolė neturės antrosios viršūnės – PF ašies susikirtimo taško su generatrix SA: šis taškas „eina į begalybę“. Pavadinkime kryptį (išvertus reiškia „vadovas“) plokštumos susikirtimo su plokštuma, kurioje yra apskritimas UV, tiesę q 1 q 2. Paimkite savavališką parabolės tašką M ir sujunkite jį su kūgio viršūne S. Tiesė MS paliečia rutulį taške D, esančiame ant apskritimo UV. Sujungiame tašką M su židiniu F ir statmeną MK nuleidžiame iš taško M į kryptį. Tada paaiškėja, kad savavališko parabolės taško M atstumai iki židinio (MF) ir krypties (MK) yra lygūs vienas kitam (pagrindinė parabolės savybė), t.y. MF = MK. Įrodymas: МF=MD (kaip rutulio liestinės iš vieno taško). Kampą tarp bet kurios kūgio generatricos ir ST ašies pažymėkime q. Projektuokime segmentus MD ir MK į ST ašį. Atkarpa MD sudaro projekciją į ST ašį, lygią MDcosc, nes MD yra ant kūgio generatoriaus; atkarpa MK sudaro projekciją į ST ašį, lygią MKsoc, nes atkarpa MK yra lygiagreti generatoriui SA. (Iš tiesų, kryptis q 1 q 1 yra statmena plokštumai ASB. Todėl tiesė PF kerta kryptį taške L stačiu kampu. Tačiau tiesės MK ir PF yra toje pačioje plokštumoje, o MK taip pat statmena į kryptį). Abiejų atkarpų MK ir MD projekcijos į ST ašį yra lygios viena kitai, nes vienas iš jų galų - taškas M - yra bendras, o kiti du D ir K yra statmenoje ST ašiai plokštumoje (1 pav.). ). Tada МDcosц = MKsоsц arba МD = MK. Todėl MF=MK. 1 nuosavybė.(Parabolės židinio savybė). Atstumas nuo bet kurio parabolės taško iki pagrindinės stygos vidurio yra lygus jo atstumui iki krypties. Įrodymas. Taškas F – linijos QR ir pagrindinės stygos susikirtimo taškas. Šis taškas yra simetrijos ašyje Oy. Iš tiesų, trikampiai RNQ ir ROF yra sutampa, kaip ir stačiakampiai trikampiai trikampiai su ankstyvomis kojelėmis (NQ=OF, OR=RN). Todėl, kad ir kokį tašką N paimtume, išilgai jo sukonstruota tiesė QR susikirs su pagrindine styga jos viduryje F. Dabar aišku, kad trikampis FMQ yra lygiašonis. Iš tiesų atkarpa MR yra ir šio trikampio vidurinė, ir aukštis. Tai reiškia, kad MF = MQ. 2 nuosavybė.(Optinė parabolės savybė). Bet kuri parabolės liestinė sudaro vienodus kampus su židinio spinduliu, nubrėžtu į liestinės tašką, ir spinduliu, kuris ateina iš liestinės taško ir nukreiptas kartu su ašimi (arba spinduliai, išeinantys iš vieno židinio, atsispindėję nuo parabolės, nukryps lygiagrečiai ašiai). Įrodymas. Taškui N, esančiam ant pačios parabolės, yra teisinga lygybė |FN|=|NH|, o taško N", esančio vidinėje parabolės srityje, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём: |FM"|=|M"K"|>|M"K"|, tai yra, taškas M" yra išorinėje parabolės srityje. Taigi, visa tiesė l, išskyrus tašką M, yra išorinėje srityje, tai yra, vidinė parabolės sritis yra vienoje l pusėje, o tai reiškia, kad l yra parabolės liestinė. Tai įrodo parabolės optinę savybę: kampas 1 yra lygus kampui 2, nes l yra kampo FMK bisektorius. 4.2 Parabolės lygtis Remdamiesi pagrindine parabolės savybe, suformuluojame jos apibrėžimą: parabolė yra visų plokštumos taškų, kurių kiekvienas yra vienodai nutolęs nuo tam tikro taško, vadinamo židiniu, ir tam tikros tiesės, vadinamos kryptine linija, rinkinys. . Atstumas nuo židinio F iki krypties vadinamas parabolės parametru ir žymimas p (p > 0). Norėdami gauti parabolės lygtį, pasirenkame Oxy koordinačių sistemą taip, kad Oxy ašis eitų per židinį F statmenai krypties kryptimi nuo krypties iki F, o pradžia O būtų viduryje tarp židinio ir krypties. (12 pav.). Pasirinktoje sistemoje židinys yra F(, 0), o krypties lygtis yra x=- arba x+=0. Tegul m (x, y) yra savavališkas parabolės taškas. Sujunkite tašką M su F. Nubrėžkite atkarpą MH statmenai krypčiai. Pagal parabolės apibrėžimą MF = MH. Naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę, randame: Todėl, padalydami kvadratu abi lygties puses, gauname tie. (8) (8) lygtis vadinama kanonine parabolės lygtimi. 4.3 Parabolės formų pagal jos lygtį tyrimas 1. (8) lygtyje kintamasis y įtrauktas į lyginį laipsnį, o tai reiškia, kad parabolė yra simetriška Ox ašiai; x ašis yra parabolės simetrijos ašis. 2. Kadangi c > 0, iš (8) išplaukia, kad x>0. Todėl parabolė yra y ašies dešinėje. 3. Tegu x \u003d 0, tada y \u003d 0. Todėl parabolė eina per pradžią. 4. Neribotai didėjant x, modulis y taip pat didėja neribotai. Parabolė y 2 \u003d 2 px turi tokią formą (formą), kaip parodyta 13 paveiksle. Taškas O (0; 0) vadinamas parabolės viršūne, atkarpa FM \u003d r – taško M židinio spinduliu. . Lygtys y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) taip pat apibrėžia paraboles. 1.5. Kūginių pjūvių katalogo nuosavybė .
Čia įrodome, kad kiekvieną neapskritą (neišsigimusią) kūginę pjūvį galima apibrėžti kaip taškų M aibę, kurios atstumo MF nuo fiksuoto taško F ir atstumo MP nuo fiksuotos tiesės d, kurios nekerta, santykis. taškas F lygus pastoviai reikšmei e: čia F – kūgio pjūvio židinys, tiesė d – kryptis, o santykis e – ekscentriškumas. (Jei taškas F priklauso tiesei d, tai sąlyga nustato taškų aibę, kuri yra tiesių pora, t. y. išsigimusi kūgio pjūvis; jei e = 1, ši tiesių pora susilieja į vieną tiesę. tai apsvarstykite kūgį, susidarantį sukantis tiesei l aplink ją susikertančią tiesės p taške O, o su l sudaro kampą b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности). Į kūgį, liečiantį plokštumą p taške F ir liečiantį kūgį išilgai apskritimo S, įbrėžkime rutulį K. Plokštumos p susikirtimo su apskritimo S plokštuma y liniją pažymime d. Dabar sujungkime savavališką tašką M, esantį ant plokštumos p ir kūgio susikirtimo tiesės A, su kūgio viršūne O ir su tašku F, o statmeną MP numeskime iš M į tiesę d; Taip pat E pažymėkite kūgio generatoriaus MO susikirtimo tašką su apskritimu S. Be to, MF = ME, kaip dviejų rutulio K liestinių atkarpos, nubrėžtos iš vieno taško M. Be to, atkarpa ME su kūgio ašimi p sudaro pastovų (t. y. nepriklausomą nuo taško M pasirinkimo) kampą 6, o atkarpa MP sudaro pastovų kampą β; todėl šių dviejų atkarpų projekcijos į p ašį yra atitinkamai lygios ME cos b ir MP cos c. Tačiau šios projekcijos sutampa, nes atkarpos ME ir MP turi bendrą kilmę M, o jų galai yra y plokštumoje, statmenoje p ašiai. Todėl ME cos b = MP cos c arba, kadangi ME = MF, MF cos b = MP cos c, iš to išplaukia, kad Taip pat nesunku parodyti, kad jei plokštumos p taškas M nepriklauso kūgiui, tai. Taigi kiekvieną dešiniojo apskrito kūgio atkarpą galima apibūdinti kaip plokštumos taškų rinkinį, kuriam. Kita vertus, keisdami kampų b ir c reikšmes, ekscentriškumui galime suteikti bet kokią reikšmę e > 0; Be to, atsižvelgiant į panašumą, nesunku suprasti, kad atstumas FQ nuo židinio iki krypties yra tiesiogiai proporcingas rutulio K spinduliui r (arba atstumui d plokštumos p nuo viršūnės O kūgis). Galima parodyti, kad tinkamai pasirinkę atstumą d, galime suteikti atstumui FQ bet kokią reikšmę. Todėl kiekvieną taškų M aibę, kurios atstumų nuo M iki fiksuoto taško F ir iki fiksuotos tiesės d santykis turi pastovią reikšmę, galima apibūdinti kaip kreivę, gautą dešiniojo apskritimo kūgio atkarpoje lėktuvas. Tai įrodo, kad (neišsigimusios) kūginės pjūviai taip pat gali būti apibrėžti šiame poskyryje aptariama savybe. Ši kūginių pjūvių savybė vadinama jais katalogo nuosavybė. Aišku, jei c > b, tai e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Kita vertus, nesunku pastebėti, kad jei s > 6, tai plokštuma p kerta kūgį išilgai uždaros ribos linijos; jei c = b, tai plokštuma p kerta kūgį išilgai neribotos tiesės; jei įeina< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17). Kūgio pjūvis, kuriam e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 vadinamas hiperbole. Elipsėse taip pat yra apskritimas, kurio negalima nurodyti katalogo ypatybe; kadangi apskritime santykis virsta 0 (nes šiuo atveju β \u003d 90º), sąlyginai laikoma, kad apskritimas yra kūgio pjūvis, kurio ekscentricitetas yra 0. 6. Elipsė, hiperbolė ir parabolė kaip kūginiai pjūviai kūgio pjūvio elipsės hiperbolė Senovės graikų matematikas Menechmas, atradęs elipsę, hiperbolę ir parabolę, apibrėžė juos kaip apskrito kūgio atkarpas plokštuma, statmena vienam iš generatorių. Gautas kreives jis pavadino smailaus kampo, stačiakampio ir bukojo kampo kūgių atkarpomis, priklausomai nuo kūgio ašinio kampo. Pirmoji, kaip matysime toliau, yra elipsė, antroji – parabolė, trečioji – viena hiperbolės šaka. Pavadinimus „elipsė“, „hiperbolė“ ir „parabolė“ įvedė Apolonijus. Beveik visiškai (7 iš 8 knygų) Apolonijaus kūrinys „Apie kūginius pjūvius“ atiteko mums. Šiame darbe Apolonijus atsižvelgia į abi kūgio aukštus ir kerta kūgį su plokštumomis, kurios nebūtinai yra statmenos vienam iš generatorių. Teorema. Bet kurio tiesaus apskrito kūgio pjūvis plokštuma (nepereinančia per jos viršūnę) nusako kreivę, kuri gali būti tik hiperbolė (4 pav.), parabolė (5 pav.) arba elipsė (6 pav.). Be to, jei plokštuma kerta tik vieną kūgio plokštumą ir išilgai uždaros kreivės, tada ši kreivė yra elipsė; jei plokštuma išilgai atviros kreivės kerta tik vieną plokštumą, tai ši kreivė yra parabolė; jei pjovimo plokštuma kerta abi kūgio plokštumas, tai pjūvyje susidaro hiperbolė. Elegantišką šios teoremos įrodymą 1822 m. pasiūlė Dandelinas, naudodamas sferas, kurios dabar vadinamos Dandelino sferomis. Pažvelkime į šį įrodymą. Įtraukime į kūgį du rutulius, liečiančius pjūvio П plokštumą iš skirtingų pusių. F1 ir F2 pažymėkite šios plokštumos ir sferų sąlyčio taškus. Paimkime savavališką tašką M kūgio pjūvio tiesėje pagal plokštumą P. Kūgio generatoriuje, einančioje per M, pažymime taškus P1 ir P2, esančius ant apskritimo k1 ir k2, išilgai kurių rutuliai liečia kūgis. Aišku, kad MF1=MP1 kaip dviejų liestinių atkarpos pirmajai sferai, išeinančiai iš M; panašiai, MF2 = MP2. Todėl MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Atkarpos P1P2 ilgis yra vienodas visiems mūsų atkarpos taškams M: tai nupjauto kūgio, apriboto lygiagrečiomis plokštumomis 1 ir 11, kuriose yra apskritimai k1 ir k2, generatorius. Todėl kūgio pjūvio linija pagal plokštumą P yra elipsė su židiniais F1 ir F2. Šios teoremos pagrįstumą galima nustatyti ir remiantis bendra pozicija, kad antros eilės paviršiaus susikirtimas su plokštuma yra antros eilės tiesė. Literatūra
1. Atanasjanas L.S., Bazylevas V.T. Geometrija. Per 2 valandas 1 dalis. Pamoka fizikos ir matematikos studentams. ped. bendražygis-M.: Švietimas, 1986 m. 2. Bazylev V.T. ir tt Geometrija. Proc. pašalpa fizikos I kurso studentams. - mat. faktai ped. in. - bendražygis-M .: Išsilavinimas, 1974 m. 3. Pogorelovas A.V. Geometrija. Proc. 7-11 ląstelių. vid. mokykla - 4-asis leidimas-M.: Švietimas, 1993 m. 4. Matematikos istorija nuo seniausių laikų iki pradžios XIXšimtmečius. Juškevičius A.P. - M.: Nauka, 1970 m. 5. Boltyansky V.G. Optinės savybės elipsė, hiperbolė ir parabolė. // Kvantinė. - 1975. - Nr. 12. - Su. 19-23. 6. Efremovas N.V. Trumpas kursas analitinė geometrija. - M: Nauka, 6 leidimas, 1967. - 267 p. Kūginių pjūvių samprata. Kūgio pjūviai – plokštumų ir kūgių sankirtos. Kūginių pjūvių tipai. Kūginių sekcijų konstrukcija. Kūgio pjūvis yra taškų, kurie tenkina antros eilės lygtį, vieta. santrauka, pridėta 2008 10 05 Apolonijaus „kūginiai pjūviai“. Stačiakampio sukimosi kūgio atkarpos kreivės lygties išvedimas. Parabolės, elipsės ir hiperbolės lygties išvedimas. Kūginių pjūvių nekintamumas. Tolimesnis vystymas kūginių pjūvių teorija Apolonijaus darbuose. santrauka, pridėta 2010-02-04 Koncepcija ir istorijos nuoroda apie kūgį, jo elementų ypatybes. Kūgio formavimo ypatybės ir kūginių pjūvių tipai. Dandelin sferos konstrukcija ir jos parametrai. Kūginių pjūvių savybių taikymas. Kūgio paviršių plotų skaičiavimai. pristatymas, pridėtas 2012-04-08 Matematinė kreivės samprata. Antrosios eilės kreivės bendroji lygtis. Apskritimo, elipsės, hiperbolės ir parabolės lygtys. Hiperbolės simetrijos ašys. Parabolės formos tyrimas. Trečios ir ketvirtos eilės kreivės. Anjesi garbanos, Dekarto lakštas. baigiamasis darbas, pridėtas 2011-10-14 Apžvalga ir charakteristikos įvairių metodų daugiabriaunių atkarpų konstravimas, jų stipriųjų ir silpnųjų pusių nustatymas. Pagalbinių pjūvių metodas kaip universalus daugiakampių pjūvių konstravimo metodas. Problemų sprendimo tyrimo tema pavyzdžiai. pristatymas, pridėtas 2014-01-19 Antrosios eilės kreivės bendroji lygtis. Elipsės, apskritimo, hiperbolės ir parabolės lygčių sudarymas. Hiperbolės ekscentriškumas. Parabolės židinys ir kryptis. transformacija bendroji lygtisį kanoninę formą. Kreivės tipo priklausomybė nuo invariantų. pristatymas, pridėtas 2014-11-10 Trikampio geometrijos elementai: izogoninė ir izotominė konjugacija, žymūs taškai ir linijos. Su trikampiu susiję kūgiai: kūginių pjūvių savybės; apie trikampį apibrėžti ir jame įbrėžti kūginiai kūgiai; taikymas problemų sprendimui. Kursinis darbas, pridėtas 2012-06-17 Elipsė, hiperbolė, parabolė kaip antros eilės kreivės, naudojamos aukštoji matematika. Antrosios eilės kreivės sąvoka – tai tiesė plokštumoje, kurią kai kuriose Dekarto koordinačių sistemoje nusako lygtis. Pascamlio teorema ir Brianchono teorema. santrauka, pridėta 2011-01-26 Apie kubo padvigubinimo problemos kilmę (viena iš penkių žinomų antikos problemų). Pirmasis žinomas bandymas išspręsti problemą – Archit of Tarentum sprendimas. Problemų sprendimas senovės Graikijoje po Archyto. Sprendimai naudojant kūginius Menechmo ir Eratosteno pjūvius. santrauka, pridėta 2014-04-13 Pagrindiniai kūgio sekcijos tipai. Pjūvis, sudarytas iš plokštumos, einančios per kūgio ašį (ašinę) ir per jo viršūnę (trikampis). Pjūvio formavimas ašiai lygiagrečia (parabolė), statmena (apskritimas), o ne statmena (elipsė) plokštuma. Diagnostinis darbas susideda iš dviejų dalių, iš kurių 19 užduočių. 1 dalyje yra 8 užduotys Pagrindinis lygis Sunkumai su trumpais atsakymais. 2 dalyje yra 4 padidinto sunkumo užduotys su trumpu atsakymu ir 7 padidinto ir aukštus lygius Sunkumai su išsamiu atsakymu. V cilindras \u003d S pagrindinis. h 2 pavyzdys Duotas dešinysis apskritas kūgis ABC lygiakraštis, BO = 10. Raskite kūgio tūrį. Sprendimas Raskite kūgio pagrindo spindulį. C \u003d 60 0, B = 30 0, Tegul OS = a, tada BC = 2 a. Pagal Pitagoro teoremą: Atsakymas: . 3 pavyzdys. Apskaičiuokite figūrų tūrius, susidariusius sukant nurodytas linijas ribojamus plotus. y2 = 4x; y = 0; x=4. Integravimo ribos a = 0, b = 4. V= |
=32π Užduotys 1 variantas 1. Cilindro ašinė pjūvis yra kvadratas, kurio įstrižainė yra 4 dm. Raskite cilindro tūrį. 2. Tuščiavidurio rutulio išorinis skersmuo 18 cm, sienelės storis 3 cm Raskite rutulio sienelių tūrį. X
figūra, apribota tiesėmis y 2 =x, y=0, x=1, x=2. 2 variantas 1. Trijų rutuliukų spindulys yra 6 cm, 8 cm, 10 cm.Nustatykite rutulio, kurio tūris lygus šių rutuliukų tūrių sumai, spindulį. 2. Kūgio pagrindo plotas 9 cm 2, plotas viso paviršiaus jo 24 cm2. Raskite kūgio tūrį. 3. Apskaičiuokite kūno, susidarančio sukantis aplink O ašį, tūrį X figūra, apribota tiesėmis y 2 =2x, y=0, x=2, x=4. 1. Parašykite kūnų tūrių savybes. 2. Parašykite formulę apsisukimo kūno aplink Oy ašį tūriui apskaičiuoti. TEKSTAS PAMOKOS PAAIŠKINIMAS: Toliau studijuojame kietosios geometrijos skyrių „Revoliucijos kūnas“. Revoliucijos kūnai yra: cilindrai, kūgiai, rutuliai. Prisiminkime apibrėžimus. Aukštis – atstumas nuo figūros ar kūno viršaus iki figūros (kūno) pagrindo. Kitu atveju segmentas, jungiantis figūros viršų ir apačią ir statmenas jai. Atminkite, kad norėdami rasti apskritimo plotą, padauginkite pi iš spindulio kvadrato. Apskritimo plotas lygus. Prisiminkite, kaip rasti apskritimo plotą, žinant skersmenį? Nes įdėkime į formulę: Kūgis taip pat yra revoliucijos kūnas. Kūgis (tiksliau, apskritas kūgis) yra kūnas, susidedantis iš apskritimo - kūgio pagrindo, taško, kuris nėra šio apskritimo plokštumoje - kūgio viršaus ir visų atkarpų, jungiančių jo viršūnę. kūgis su pagrindo taškais. Susipažinkime su kūgio tūrio nustatymo formule. Teorema. Kūgio tūris lygus trečdaliui pagrindo ploto, padauginto iš aukščio. Įrodykime šią teoremą. Duota: kūgis, S yra jo pagrindo plotas, h yra kūgio aukštis Įrodykite: V= Įrodymas: Apsvarstykite kūgį, kurio tūris V, pagrindo spindulys R, aukštis h ir viršūnė taške O. Įveskime ašį Ox per OM, kūgio ašį. Savavališka kūgio pjūvis plokštuma, statmena x ašiai, yra apskritimas, kurio centras yra taškas M1 - šios plokštumos susikirtimo su ašimi Ox taškas. Šio apskritimo spindulį pažymėkime R1, o skerspjūvio plotą S(x), kur x yra taško M1 abscisė. Iš panašumo stačiųjų trikampių OM1A1 ir OMA (ے OM1A1 \u003d ے OMA - tiesios linijos, ےMOA - bendras, o tai reiškia, kad trikampiai yra panašūs dviem kampais) iš to išplaukia, kad Paveikslėlyje parodyta, kad OM1=x, OM=h arba iš kur pagal proporcijos savybę randame R1 = . Kadangi atkarpa yra apskritimas, tada S (x) \u003d πR12, pakeiskite ankstesne R1 išraiška, pjūvio plotas yra lygus pi er kvadrato sandaugos x kvadrato ir aukščio kvadrato santykiui: Taikykime pagrindinę formulę apskaičiuojant kūnų tūrius, kai a=0, b=h, gauname išraišką (1) Kadangi kūgio pagrindas yra apskritimas, kūgio pagrindo plotas S bus lygus pi er kvadratui kūno tūrio apskaičiavimo formulėje pi er kvadrato reikšmę pakeičiame pagrindo plotu ir gauname, kad kūgio tūris yra lygus trečdaliui ploto sandaugos. nuo pagrindo ir aukščio Teorema įrodyta. Teoremos išvada (nupjauto kūgio tūrio formulė) Nupjauto kūgio, kurio aukštis yra h, tūris V ir pagrindų S ir S1 plotai apskaičiuojamas pagal formulę Ve yra lygus trečdaliui pelenų, padaugintų iš pagrindų plotų ir pagrindo plotų sandaugos kvadratinės šaknies sumos. Problemų sprendimas Statusis trikampis su 3 cm ir 4 cm kojomis sukasi aplink hipotenuzę. Nustatykite gauto kūno tūrį. Kai trikampis sukasi aplink hipotenuzę, gauname kūgį. Sprendžiant šią problemą svarbu suprasti, kad galimi du atvejai. Kiekviename iš jų taikome kūgio tūrio nustatymo formulę: kūgio tūris lygus trečdaliui pagrindo ir aukščio sandaugos Pirmuoju atveju piešinys atrodys taip: pateikiamas kūgis. Tegul spindulys r = 4, aukštis h = 3 Pagrindo plotas yra lygus spindulio kvadrato π sandaugai Tada kūgio tūris yra lygus trečdaliui sandaugos iš π padauginto iš spindulio kvadrato ir aukščio. Pakeiskite reikšmę formulėje, paaiškėja, kad kūgio tūris yra 16π. Antruoju atveju taip: duotas kūgis. Tegul spindulys r = 3, aukštis h = 4 Kūgio tūris lygus trečdaliui pagrindo ploto, padauginto iš aukščio: Pagrindo plotas lygus sandaugai π padauginus iš spindulio kvadrato: Tada kūgio tūris yra lygus trečdaliui sandaugos iš π padauginto iš spindulio kvadrato ir aukščio: Pakeiskite reikšmę formulėje, paaiškėja, kad kūgio tūris yra 12π. Atsakymas: Kūgio V tūris yra 16 π arba 12 π 2 uždavinys. Duotas 6 cm spindulio dešinysis apskritas kūgis, kampas BCO = 45 . Raskite kūgio tūrį. Sprendimas: šiai užduočiai pateikiamas paruoštas brėžinys. Parašykime kūgio tūrio nustatymo formulę: Išreiškiame jį pagrindo R spinduliu: Pagal konstrukciją randame h \u003d BO, - stačiakampį, nes kampas BOC=90 (trikampio kampų suma), kampai prie pagrindo lygūs, todėl trikampis ΔBOC yra lygiašonis, o BO=OC=6 cm.
tie. iš jo įdubimo pusės.Panašūs dokumentai
Dėl vykdymo diagnostinis darbas matematikoje skiriama 3 valandos 55 minutės (235 minutės).
1-12 užduočių atsakymai rašomi sveikuoju arba galutiniu skaičiumi dešimtainė trupmena. Darbo tekste įrašykite skaičius atsakymų laukeliuose, o po to perkelkite į atsakymų formą Nr. 1. Atliekant 13-19 užduotis, reikia užsirašyti pilnas sprendimas ir atsakymas atsakymų lape numeris 2.
Visos formos užpildytos ryškiai juodu rašalu. Leidžiama naudoti želinius, kapiliarinius ar plunksnakočius.
Atlikdami užduotis galite naudoti juodraštį. Įrašų projektai neįskaičiuojami vertinant darbą.
Taškai, kuriuos gaunate už atliktas užduotis, yra sumuojami.
Linkime sėkmės!Užduočių sąlygos
a) Įrodykite, kad gautas trikampis yra bukas.
b) Raskite atstumą nuo centro O kūgio pagrindas iki pjūvio plokštumos.
a) Įrodykite MN = AC.
b) Rasti OS, jei trikampio kraštinės ABC yra 5, 5 ir 8.
a) Ar žaidimas gali tęstis lygiai tris ėjimus?
b) Ar yra du pradiniai skaičiai, kad žaidimas truks mažiausiai 9 ėjimus?
c) Anya atliko pirmąjį ėjimą žaidime. Raskite didžiausią įmanomą gautų dviejų skaičių sandaugos ir sandaugos santykį