Funkcijų grafikai ir jų formulės kaip išspręsti. Pagrindinės elementarios funkcijos: jų savybės ir grafikai
Žinios pagrindinės elementarios funkcijos, jų savybės ir grafikai ne mažiau svarbu, nei žinoti daugybos lentelę. Jie yra tarsi pamatas, ant jų viskas remiasi, viskas iš jų pastatyta ir viskas jiems priklauso.
Šiame straipsnyje išvardijame visas pagrindines elementarias funkcijas, pateikiame jų grafikus ir pateikiame be išvedimų ir įrodymų. pagrindinių elementariųjų funkcijų savybės pagal schemą:
- funkcijos elgsena apibrėžimo srities ribose, vertikalios asimptotės (jei reikia, žr. straipsnio funkcijos lūžio taškų klasifikaciją);
- lyginis ir nelyginis;
- išgaubtumo (išgaubtumo į viršų) ir įgaubtumo (išgaubtumo žemyn) intervalai, vingio taškai (jei reikia, žr. straipsnio funkciją išgaubtumas, išgaubimo kryptis, vingio taškai, išgaubtumo ir vingio sąlygos);
- įstrižai ir horizontalūs asimptotai;
- funkcijų vienetiniai taškai;
- specialios kai kurių funkcijų savybės (pavyzdžiui, trigonometrinių funkcijų mažiausias teigiamas periodas).
Jei jus domina arba, galite eiti į šiuos teorijos skyrius.
Pagrindinės elementarios funkcijos yra: pastovi funkcija (konstanta), n-ojo laipsnio šaknis, laipsnio funkcija, eksponentinė, logaritminė funkcija, trigonometrinė ir atvirkštinė trigonometrinės funkcijos.
Puslapio naršymas.
Nuolatinė funkcija.
pastovi funkcija yra pateikta visų realiųjų skaičių aibėje pagal formulę , kur C yra tikrasis skaičius. Konstanta funkcija kiekvienai realiajai nepriklausomo kintamojo x reikšmei priskiria tą pačią priklausomo kintamojo y reikšmę – reikšmę С. Pastovi funkcija taip pat vadinama konstanta.
Pastovios funkcijos grafikas yra tiesė, lygiagreti x ašiai ir einanti per tašką, kurio koordinatės (0,C) . Pavyzdžiui, parodykime pastovių funkcijų y=5 , y=-2 ir grafikus, kurios žemiau esančiame paveikslėlyje atitinkamai atitinka juodą, raudoną ir mėlyną linijas.
Pastovios funkcijos savybės.
- Apibrėžimo sritis: visa realiųjų skaičių rinkinys.
- Nuolatinė funkcija yra lygi.
- Reikšmių diapazonas: aibė, susidedanti iš vieno skaičiaus C .
- Pastovi funkcija yra nedidėjanti ir nemažėjanti (todėl ji yra pastovi).
- Nėra prasmės kalbėti apie konstantos išgaubimą ir įgaubimą.
- Asimptoto nėra.
- Funkcija eina per tašką (0,C) koordinačių plokštuma.
N-ojo laipsnio šaknis.
Apsvarstykite pagrindinę elementariąją funkciją, kurią pateikia formulė , kur n yra natūralusis skaičius, didesnis nei vienas.
N-ojo laipsnio šaknis n yra lyginis skaičius.
Pradėkime nuo n-osios šaknies funkcijos lygioms šaknies eksponento n reikšmėms.
Pavyzdžiui, pateikiame paveikslėlį su funkcijų grafikų vaizdais ir , jie atitinka juodas, raudonas ir mėlynas linijas.
Lyginio laipsnio šaknies funkcijų grafikai turi panašią formą kitoms rodiklio reikšmėms.
Lyginio n laipsnio šaknies savybės.
N-ojo laipsnio šaknis n yra nelyginis skaičius.
N-ojo laipsnio šakninė funkcija su nelyginiu šaknies n eksponentu yra apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, pateikiame funkcijų grafikus ir , juodos, raudonos ir mėlynos kreivės atitinka jas.
Kitoms nelyginėms šaknies eksponento reikšmėms funkcijos grafikai atrodys panašiai.
Nelyginio n laipsnio n-ojo šaknies savybės.
Maitinimo funkcija.
Galios funkcija pateikiama formos formule .
Apsvarstykite laipsnio funkcijos grafikų tipą ir laipsnio funkcijos savybes, priklausomai nuo eksponento reikšmės.
Pradėkime nuo galios funkcijos su sveikuoju rodikliu a . Šiuo atveju laipsnio funkcijų grafikų forma ir funkcijų savybės priklauso nuo lyginio ar nelyginio eksponento, taip pat nuo jo ženklo. Todėl pirmiausia nagrinėjame laipsnio funkcijas nelyginėms teigiamoms eksponento a reikšmėms, tada lyginėms teigiamoms, tada nelyginėms neigiamoms rodikliams ir galiausiai lyginėms neigiamoms a.
Laipsninių funkcijų su trupmeniniais ir neracionaliais rodikliais savybės (taip pat ir tokių laipsnių funkcijų grafikų tipas) priklauso nuo laipsnio a reikšmės. Pirmiausia juos nagrinėsime, kai a yra nuo nulio iki vieneto, antra, kai a yra didesnis už vienetą, trečia, kai a yra nuo minus vieno iki nulio ir ketvirta, kai a yra mažesnis už minus vieną.
Šio poskyrio pabaigoje, siekiant išsamumo, aprašome laipsnio funkciją su nuliniu eksponentu.
Galios funkcija su nelyginiu teigiamu eksponentu.
Apsvarstykite galios funkciją su nelyginiu teigiamu eksponentu, ty su a=1,3,5,….
Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti galios funkcijų grafikai – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija, – žalia linija. A=1 turime tiesinė funkcija y=x.
Laipsninės funkcijos su nelyginiu teigiamu eksponentu savybės.
Galios funkcija su net teigiamu eksponentu.
Apsvarstykite galios funkciją su lyginiu teigiamu eksponentu, tai yra, jei a=2,4,6,… .
Kaip pavyzdį paimkime galios funkcijų grafikus – juoda linija, – mėlyna linija, – raudona linija. Jei a=2, turime kvadratinę funkciją, kurios grafikas yra kvadratinė parabolė.
Laipsninės funkcijos su lygiu teigiamu eksponentu savybės.
Galios funkcija su nelyginiu neigiamu eksponentu.
Pažvelkite į eksponentinės funkcijos grafikus nelyginėms neigiamoms eksponento reikšmėms, ty \u003d -1, -3, -5, ....
Paveiksle kaip pavyzdžiai rodomi eksponentinių funkcijų grafikai - juoda linija, - mėlyna linija, - raudona linija, - žalia linija. Turime a=-1 atvirkštinis proporcingumas, kurio grafikas yra hiperbolė.
Laipsninės funkcijos su nelyginiu neigiamu rodikliu savybės.
Galios funkcija su lygiu neigiamu eksponentu.
Pereikime prie galios funkcijos, kai a=-2,-4,-6,….
Paveiksle parodyti galios funkcijų grafikai - juoda linija, - mėlyna linija, - raudona linija.
Laipsninės funkcijos su lyginiu neigiamu rodikliu savybės.
Laipsnio funkcija su racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu, kurio reikšmė didesnė už nulį ir mažesnė už vienetą.
Pastaba! Jei a yra teigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurie autoriai laiko intervalą galios funkcijos sritimi. Kartu nustatyta, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Dabar daugelio vadovėlių apie algebrą ir analizės pradžią autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Laikysimės būtent tokio požiūrio, tai yra, laipsnio funkcijų sritis su trupmeniniais teigiamais eksponentais laikysime aibe . Kad išvengtumėte nesutarimų, raginame mokinius sužinoti apie jūsų mokytojo požiūrį į šį subtilų dalyką.
Apsvarstykite galios funkciją su racionaliuoju arba neracionaliuoju rodikliu a , ir .
Pateikiame galios funkcijų grafikus a=11/12 (juoda linija), a=5/7 (raudona linija), (mėlyna linija), a=2/5 (žalia linija).
Laipsnio funkcija, kurios racionalusis arba neracionalusis rodiklis yra didesnis nei vienas.
Apsvarstykite galios funkciją su ne sveikuoju racionaliuoju arba neracionaliuoju eksponentu a , ir .
Pateiksime formulėmis pateiktų laipsnių funkcijų grafikus (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos ir žalios linijos).
>Kitoms eksponento a reikšmėms funkcijos grafikai atrodys panašiai.
Galios funkcijos savybės .
Galios funkcija, kurios tikrasis rodiklis yra didesnis nei minus vienas ir mažesnis už nulį.
Pastaba! Jei a yra neigiama trupmena su nelyginiu vardikliu, kai kurie autoriai laiko intervalą . Kartu nustatyta, kad rodiklis a yra neredukuojama trupmena. Dabar daugelio vadovėlių apie algebrą ir analizės pradžią autoriai NEAPSIBRĖŽIA galios funkcijų su eksponentu trupmenos su nelyginiu vardikliu neigiamoms argumento reikšmėms. Mes laikysimės kaip tik tokio požiūrio, tai yra, laipsnio funkcijų sritis su trupmeniniais neigiamais eksponentais laikysime atitinkamai aibe. Kad išvengtumėte nesutarimų, raginame mokinius sužinoti apie jūsų mokytojo požiūrį į šį subtilų dalyką.
Pereiname prie galios funkcijos , kur .
Kad gerai suprastume galios funkcijų grafikų tipą, pateikiame funkcijų grafikų pavyzdžius (atitinkamai juodos, raudonos, mėlynos ir žalios kreivės).
Laipsninės funkcijos su eksponentu a , savybės.
Galios funkcija, kurios realusis rodiklis nėra sveikasis skaičius, kuris yra mažesnis nei minus vienas.
Pateiksime galios funkcijų grafikų pavyzdžius , jie pavaizduoti atitinkamai juodomis, raudonomis, mėlynomis ir žaliomis linijomis.
Laipsninės funkcijos, kurios ne sveikasis skaičius neigiamas rodiklis yra mažesnis už minus vienetą, savybės.
Kai a=0 ir turime funkciją – tai tiesi linija, iš kurios taškas (0; 1) neįtraukiamas (išraiška 0 0 buvo sutarta neteikti jokios reikšmės).
Eksponentinė funkcija.
Viena iš pagrindinių elementariųjų funkcijų yra eksponentinė funkcija.
Tvarkaraštis eksponentinė funkcija, kur ir paima skirtingos rūšies priklausomai nuo pagrindo vertės a. Išsiaiškinkime.
Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė įgauna reikšmę nuo nulio iki vieneto, tai yra, .
Pavyzdžiui, pateikiame eksponentinės funkcijos grafikus, kai a = 1/2 – mėlyna linija, a = 5/6 – raudona linija. Eksponentinės funkcijos grafikai turi panašią išvaizdą kitoms bazės reikšmėms iš intervalo .
Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra mažesnė už vieną, savybės.
Mes kreipiamės į atvejį, kai eksponentinės funkcijos bazė yra didesnė už vienetą, tai yra, .
Kaip iliustraciją pateikiame eksponentinių funkcijų grafikus – mėlyną liniją ir – raudoną liniją. Kitoms bazės reikšmėms, didesnėms nei viena, eksponentinės funkcijos grafikai atrodys panašiai.
Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra didesnė už vienetą, savybės.
Logaritminė funkcija.
Kita pagrindinė elementari funkcija yra logaritminė funkcija , kur , . Logaritminė funkcija apibrėžiama tik teigiamoms argumento reikšmėms, ty .
Logaritminės funkcijos grafikas įgauna skirtingą formą, priklausomai nuo bazės a reikšmės.
Pradėkime nuo atvejo, kai .
Pavyzdžiui, pateikiame logaritminės funkcijos grafikus, kai a = 1/2 – mėlyna linija, a = 5/6 – raudona linija. Kitoms bazės reikšmėms, neviršijančioms vienos, logaritminės funkcijos grafikai atrodys panašiai.
Logaritminės funkcijos, kurios bazė yra mažesnė už vieną, savybės.
Pereikime prie atvejo, kai logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už vieną ().
Parodykime logaritminių funkcijų grafikus – mėlyna linija, – raudona linija. Kitoms bazės reikšmėms, didesnėms nei viena, logaritminės funkcijos grafikai atrodys panašiai.
Logaritminės funkcijos, kurios bazė yra didesnė už vienetą, savybės.
Trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai.
Visos trigonometrinės funkcijos (sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas) yra pagrindinės elementarios funkcijos. Dabar apsvarstysime jų grafikus ir išvardinsime jų savybes.
Trigonometrinės funkcijos turi koncepciją periodiškumas(funkcijos reikšmių pasikartojimas skirtingoms argumento reikšmėms, kurios skiriasi viena nuo kitos laikotarpio reikšme , kur T yra taškas), todėl į trigonometrinių funkcijų savybių sąrašą buvo įtrauktas elementas „Mažiausias teigiamas laikotarpis“. Be to, kiekvienai trigonometrinei funkcijai nurodysime argumento reikšmes, kurioms esant atitinkama funkcija išnyksta.
Dabar panagrinėkime visas trigonometrines funkcijas eilės tvarka.
Sinuso funkcija y = sin(x) .
Pavaizduokime funkcijų grafikas sinusas, jis vadinamas "sinuso banga".
Sinuso funkcijos y = sinx savybės.
Kosinuso funkcija y = cos(x) .
Kosinuso funkcijos grafikas (ji vadinama "kosinusu") atrodo taip:
Kosinuso funkcijos savybės y = cosx .
Liestinės funkcija y = tg(x) .
Tangentinės funkcijos grafikas (ji vadinama tangentoidu) atrodo taip:
Funkcijos savybių liestinė y = tgx .
Kotangentinė funkcija y = ctg(x) .
Nubraižykime kotangentinės funkcijos grafiką (ji vadinama „kotangentoide“):
Kotangentinės funkcijos savybės y = ctgx .
Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai.
Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos (arcsine, arccosinus, arctangent ir arccotangent) yra pagrindinės elementarios funkcijos. Dažnai dėl priešdėlio „lankas“ atvirkštinės trigonometrinės funkcijos vadinamos lanko funkcijomis. Dabar apsvarstysime jų grafikus ir išvardinsime jų savybes.
Arksininė funkcija y = arcsin(x) .
Nubraižykime arcsininę funkciją:
Funkcijos savybės arccotangent y = arcctg(x) .Bibliografija.
- Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. švietimo įstaigų.
- Vygodskis M.Ya. Elementariosios matematikos vadovas.
- Novoselovas S.I. Algebra ir elementarios funkcijos.
- Tumanovas S.I. Elementarioji algebra. Saviugdos vadovas.
Tiesinė funkcija yra y=kx+b formos funkcija, kur x yra nepriklausomas kintamasis, k ir b yra bet kokie skaičiai.
Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija.
1. Norėdami nubraižyti funkcijų grafiką, mums reikia dviejų funkcijos grafikui priklausančių taškų koordinačių. Norėdami juos rasti, turite paimti dvi x reikšmes, pakeisti jas į funkcijos lygtį ir iš jų apskaičiuoti atitinkamas y reikšmes.
Pavyzdžiui, norint nubraižyti funkciją y= x+2, patogu imti x=0 ir x=3, tada šių taškų ordinatės bus lygios y=2 ir y=3. Gauname taškus A(0;2) ir B(3;3). Sujungkime juos ir gaukime funkcijos y= x+2 grafiką:
2.
Formulėje y=kx+b skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu:
jei k>0, tai funkcija y=kx+b didėja
jei k
Koeficientas b parodo funkcijos grafiko poslinkį išilgai OY ašies:
jei b>0, tai funkcijos y=kx+b grafikas gaunamas iš funkcijos y=kx grafiko, perkeliant b vienetus aukštyn išilgai OY ašies
jei b
Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti funkcijų y=2x+3 grafikai; y = ½x+3; y=x+3
Atkreipkite dėmesį, kad visose šiose funkcijose koeficientas k Virš nulio, ir funkcijos yra didėja. Be to, kuo didesnė k reikšmė, tuo didesnis tiesės polinkio kampas į teigiamą OX ašies kryptį.
Visose funkcijose b=3 - ir matome, kad visi grafikai kerta OY ašį taške (0;3)
Dabar apsvarstykite funkcijų y=-2x+3 grafikus; y=- ½ x+3; y=-x+3
Šį kartą visose funkcijose koeficientas k mažiau nei nulis ir funkcijos mažinti. Koeficientas b=3, o grafikai, kaip ir ankstesniu atveju, kerta OY ašį taške (0;3)
Panagrinėkime funkcijų y=2x+3 grafikus; y = 2x; y = 2x-3
Dabar visose funkcijų lygtyse koeficientai k yra lygūs 2. Ir gavome tris lygiagrečias tieses.
Tačiau koeficientai b yra skirtingi, ir šie grafikai kerta OY ašį skirtinguose taškuose:
Funkcijos y=2x+3 (b=3) grafikas kerta OY ašį taške (0;3)
Funkcijos y=2x (b=0) grafikas kerta OY ašį taške (0;0) - pradžios taške.
Funkcijos y=2x-3 (b=-3) grafikas kerta OY ašį taške (0;-3)
Taigi, jei žinome koeficientų k ir b požymius, tai iš karto galime įsivaizduoti, kaip atrodo funkcijos y=kx+b grafikas.
Jeigu k 0
Jeigu k>0 ir b>0, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:
Jeigu k>0 ir b, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:
Jeigu k, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:
Jeigu k=0, tada funkcija y=kx+b virsta funkcija y=b ir jos grafikas atrodo taip:
Funkcijos y=b grafiko visų taškų ordinatės lygios b Jei b = 0, tada funkcijos y=kx (tiesioginis proporcingumas) grafikas eina per pradžią:
3. Atskirai pažymime lygties x=a grafiką.Šios lygties grafikas yra lygiagreti OY ašiai tiesė, kurios visų taškų abscisė x=a.
Pavyzdžiui, lygties x=3 grafikas atrodo taip:
Dėmesio! Lygtis x=a nėra funkcija, todėl atitinka vieną argumento reikšmę skirtingos reikšmės funkcija, kuri neatitinka funkcijos apibrėžimo.
4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlyga:
Funkcijos y=k 1 x+b 1 grafikas yra lygiagretus funkcijos y=k 2 x+b 2 grafikui, jei k 1 =k 2
5. Sąlyga, kad dvi tiesios linijos būtų statmenos:
Funkcijos y=k 1 x+b 1 grafikas yra statmenas funkcijos y=k 2 x+b 2 grafikui, jei k 1 *k 2 =-1 arba k 1 =-1/k 2
6. Funkcijos y=kx+b grafiko susikirtimo taškai su koordinačių ašimis.
su OY ašimi. Bet kurio taško, priklausančio OY ašiai, abscisė yra lygi nuliui. Todėl norint rasti susikirtimo tašką su OY ašimi, funkcijos lygtyje vietoj x reikia pakeisti nulį. Gauname y=b. Tai yra, susikirtimo taškas su OY ašimi turi koordinates (0;b).
Su x ašimi: bet kurio taško, priklausančio x ašiai, ordinatė yra lygi nuliui. Todėl norint rasti susikirtimo tašką su OX ašimi, funkcijos lygtyje reikia pakeisti nulį, o ne y. Gauname 0=kx+b. Taigi x=-b/k. Tai reiškia, kad susikirtimo taškas su OX ašimi turi koordinates (-b / k; 0):
Pirmiausia pabandykite rasti funkcijos apimtį:
Ar susitvarkei? Palyginkime atsakymus:
Gerai? Šauniai padirbėta!
Dabar pabandykime rasti funkcijos diapazoną:
Rasti? Palyginti:
Ar sutiko? Šauniai padirbėta!
Vėl dirbkime su grafikais, tik dabar šiek tiek sunkiau – rasti ir funkcijos sritį, ir funkcijos diapazoną.
Kaip rasti domeną ir funkcijos diapazoną (išplėstinė)
Štai kas atsitiko:
Su grafika, manau, jūs tai supratote. Dabar pabandykime rasti funkcijos domeną pagal formules (jei nežinote, kaip tai padaryti, skaitykite skyrių apie):
Ar susitvarkei? Tikrinama atsakymai:
- , nes šaknies išraiška turi būti didesnė arba lygi nuliui.
- , nes neįmanoma padalyti iš nulio, o radikali išraiška negali būti neigiama.
- , kadangi, atitinkamai, visiems.
- nes negalima dalyti iš nulio.
Tačiau turime dar vieną momentą, kuris dar neišspręstas...
Leiskite man pakartoti apibrėžimą ir sutelkti dėmesį į jį:
Pastebėjote? Žodis „tik“ yra labai, labai svarbus mūsų apibrėžimo elementas. Pabandysiu tau ant pirštų galų paaiškinti.
Tarkime, kad turime funkciją, kurią pateikia tiesia linija. . Kai mes pakeičiame šią reikšmę į savo „taisyklę“ ir gauname. Viena reikšmė atitinka vieną reikšmę. Mes netgi galime sudaryti įvairių reikšmių lentelę ir nubraižyti tam tikrą funkciją, kad tai patikrintume.
„Žiūrėk! - tu sakai, - "" susitinka du kartus!" Tai gal parabolė nėra funkcija? Ne, tai yra!
Tai, kad „“ pasitaiko du kartus, toli gražu nėra priežastis apkaltinti parabolę dviprasmiškumu!
Faktas yra tas, kad skaičiuodami gavome vieną žaidimą. O skaičiuojant su gavome vieną žaidimą. Taigi, parabolė yra funkcija. Pažiūrėkite į diagramą:
Supratau? Jei ne, štai gyvenimo pavyzdys toli nuo matematikos!
Tarkime, turime grupę pareiškėjų, kurie susitiko teikdami dokumentus, kurių kiekvienas pokalbio metu pasakojo, kur gyvena:
Sutikite, visai realu, kad tame pačiame mieste gyvena keli vaikinai, tačiau vienam žmogui keliuose miestuose vienu metu gyventi neįmanoma. Tai tarsi loginis mūsų „parabolės“ vaizdas – Keli skirtingi x atitinka tą patį y.
Dabar pateiksime pavyzdį, kai priklausomybė nėra funkcija. Tarkime, tie patys vaikinai papasakojo, į kokias specialybes pretendavo:
Čia yra visiškai kitokia situacija: vienas žmogus gali nesunkiai kreiptis į vieną ar kelias kryptis. Tai yra vienas elementas rinkiniai dedami į korespondenciją keli elementai rinkiniai. Atitinkamai, tai ne funkcija.
Išbandykime savo žinias praktiškai.
Iš paveikslėlių nustatykite, kas yra funkcija, o kas ne:
Supratau? Ir štai atsakymai:
- Funkcija yra - B,E.
- Ne funkcija – A, B, D, D.
Klausiate kodėl? Taip, štai kodėl:
Visuose paveiksluose, išskyrus AT) ir E) yra keli už vieną!
Esu tikras, kad dabar galite lengvai atskirti funkciją nuo nefunkcijos, pasakyti, kas yra argumentas ir kas yra priklausomas kintamasis, taip pat nustatyti argumento ir funkcijos apimtį. Pereikime prie kito skyriaus – kaip apibrėžti funkciją?
Funkcijos nustatymo būdai
Kaip manote, ką reiškia žodžiai "nustatyti funkciją"? Teisingai, tai reiškia, kad reikia visiems paaiškinti, kokia funkcija šiuo atveju klausime. Be to, paaiškink taip, kad visi tave teisingai suprastų ir žmonių nubraižyti funkcijų grafikai pagal tavo paaiškinimą būtų vienodi.
Kaip aš tai galėčiau padaryti? Kaip nustatyti funkciją? Paprasčiausias būdas, kuris šiame straipsnyje jau buvo naudojamas ne kartą - naudojant formulę. Rašome formulę, o pakeitę į ją reikšmę, apskaičiuojame reikšmę. Ir kaip pamenate, formulė yra dėsnis, taisyklė, pagal kurią mums ir kitam žmogui tampa aišku, kaip X virsta Y.
Paprastai jie daro būtent tai - užduotyse matome paruoštas funkcijas, apibrėžtas formulėmis, tačiau yra ir kitų būdų nustatyti funkciją, apie kurią visi pamiršta, todėl kyla klausimas „kaip kitaip galite nustatyti funkciją? painioja. Pažvelkime į viską iš eilės ir pradėkime nuo analizės metodo.
Analitinis funkcijos apibrėžimo būdas
Analitinis metodas yra funkcijos užduotis naudojant formulę. Tai yra universaliausias, išsamiausias ir nedviprasmiškas būdas. Jei turite formulę, tuomet apie funkciją žinote absoliučiai viską – galite joje sudaryti reikšmių lentelę, sudaryti grafiką, nustatyti, kur funkcija didėja, o kur mažėja, apskritai, tyrinėkite ją. pilnai.
Panagrinėkime funkciją. Ka tai reiskia?
"Ką tai reiškia?" - Jūs klausiate. Dabar paaiškinsiu.
Priminsiu, kad žymėjime skliausteliuose esanti išraiška vadinama argumentu. Ir šis argumentas gali būti bet kokia išraiška, nebūtinai paprasta. Atitinkamai, kad ir koks būtų argumentas (išraiška skliausteliuose), mes jį parašysime reiškinyje.
Mūsų pavyzdyje tai atrodys taip:
Apsvarstykite kitą užduotį, susijusią su analitiniu metodu, nurodant funkciją, kurią atliksite per egzaminą.
Raskite išraiškos reikšmę at.
Esu tikras, kad iš pradžių išsigandote, kai pamatėte tokią išraišką, bet tame nėra visiškai nieko baisaus!
Viskas yra taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje: kad ir koks būtų argumentas (išraiška skliausteliuose), mes jį parašysime reiškinyje. Pavyzdžiui, funkcijai.
Ką reikėtų daryti mūsų pavyzdyje? Vietoj to reikia rašyti, o vietoj -:
sutrumpinkite gautą išraišką:
Tai viskas!
Savarankiškas darbas
Dabar pabandykite patys surasti šių posakių reikšmę:
- , jei
- , jei
Ar susitvarkei? Palyginkime savo atsakymus: Esame įpratę, kad funkcija turi formą
Netgi savo pavyzdžiuose funkciją apibrėžiame tokiu būdu, tačiau analitiškai funkciją galima apibrėžti netiesiogiai, pvz.
Pabandykite sukurti šią funkciją patys.
Ar susitvarkei?
Štai kaip aš jį sukūriau.
Su kokia lygtimi mes atsidūrėme?
Teisingai! Tiesinis, tai reiškia, kad grafikas bus tiesi linija. Padarykime lentelę, kad nustatytų, kurie taškai priklauso mūsų linijai:
Kaip tik apie tai kalbėjome... Vienas atitinka kelis.
Pabandykime nupiešti, kas atsitiko:
Ar tai, ką turime, yra funkcija?
Teisingai, ne! Kodėl? Pabandykite atsakyti į šį klausimą paveikslėliu. Ką tu gavai?
„Kadangi viena reikšmė atitinka kelias reikšmes!
Kokią išvadą galime padaryti iš to?
Tiesa, funkcija ne visada gali būti aiškiai išreikšta, o tai, kas „užmaskuota“ kaip funkcija, ne visada yra funkcija!
Lentelinis funkcijos apibrėžimo būdas
Kaip rodo pavadinimas, šis metodas yra paprasta plokštė. Taip taip. Kaip ir tą, kurią jau padarėme. Pavyzdžiui:
Čia jūs iš karto pastebėjote modelį - Y yra tris kartus didesnis nei X. O dabar užduotis „pagalvok labai gerai“: ar manote, kad lentelės pavidalu pateikta funkcija yra lygiavertė funkcijai?
Ilgai nekalbėkime, o pieškime!
Taigi. Nubrėžiame funkciją, pateiktą abiem būdais:
Ar matote skirtumą? Tai ne apie pažymėtus taškus! Pažiūrėk atidžiau:
Ar dabar matėte? Kai nustatome funkciją lentelės būdu, grafike atspindime tik tuos taškus, kuriuos turime lentelėje, o linija (kaip ir mūsų atveju) eina tik per juos. Kai apibrėžiame funkciją analitiniu būdu, galime paimti bet kokius taškus, ir mūsų funkcija jais neapsiriboja. Štai tokia funkcija. Prisiminti!
Grafinis būdas sukurti funkciją
Ne mažiau patogus ir grafinis funkcijos konstravimo būdas. Nubraižome savo funkciją, ir kitas suinteresuotas asmuo gali rasti, kam y yra lygus tam tikrame x ir pan. Grafiniai ir analitiniai metodai yra vieni iš labiausiai paplitusių.
Tačiau čia reikia prisiminti, apie ką kalbėjome pačioje pradžioje - ne kiekvienas koordinačių sistemoje nubrėžtas „skraidymas“ yra funkcija! Prisiminė? Tik tuo atveju, nukopijuosiu čia funkcijos apibrėžimą:
Paprastai žmonės dažniausiai įvardija būtent tuos tris funkcijos nurodymo būdus, kuriuos mes analizavome – analitinį (naudojant formulę), lentelę ir grafinį, visiškai pamiršdami, kad funkciją galima apibūdinti žodžiu. Kaip šitas? Taip, labai lengva!
Žodinis funkcijos aprašymas
Kaip apibūdinti funkciją žodžiu? Paimkime naujausią pavyzdį – . Šią funkciją galima apibūdinti kaip „kiekviena tikroji x reikšmė atitinka jos trigubą reikšmę“. Tai viskas. Nieko sudėtingo. Žinoma, jūs prieštarausite - „yra tokių sudėtingų funkcijų, kurių tiesiog neįmanoma nustatyti žodžiu! Taip, yra keletas, bet yra funkcijų, kurias lengviau apibūdinti žodžiu, nei nustatyti formule. Pavyzdžiui: "kiekviena natūrali x reikšmė atitinka skirtumą tarp skaitmenų, iš kurių ji susideda, o didžiausias skaitmuo, esantis skaičiaus įvedime, laikomas mažuoju." Dabar apsvarstykite, kaip mūsų žodinis funkcijos aprašymas įgyvendinamas praktiškai:
Didžiausias skaičius duotas numeris- , atitinkamai, - sumažintas, tada:
Pagrindiniai funkcijų tipai
Dabar pereikime prie įdomiausių - apsvarstykite pagrindinius funkcijų tipus, su kuriais dirbote / dirbate ir dirbsite mokyklinėje ir instituto matematikoje, tai yra, mes, taip sakant, susipažinsime su jomis ir suteiksime jas. Trumpas aprašymas. Daugiau apie kiekvieną funkciją skaitykite atitinkamame skyriuje.
Linijinė funkcija
Formos funkcija kur, - realūs skaičiai.
Šios funkcijos grafikas yra tiesi linija, todėl tiesinės funkcijos konstrukcija sumažinama iki dviejų taškų koordinačių radimo.
Tiesės padėtis koordinačių plokštumoje priklauso nuo nuolydžio.
Funkcijos apimtis (dar žinoma kaip argumentų diapazonas) - .
Vertybių diapazonas yra.
kvadratinė funkcija
Formos funkcija, kur
Funkcijos grafikas yra parabolė, kai parabolės šakos nukreiptos žemyn, kai - aukštyn.
Daugelis kvadratinės funkcijos savybių priklauso nuo diskriminanto reikšmės. Diskriminantas apskaičiuojamas pagal formulę
Parabolės padėtis koordinačių plokštumoje vertės ir koeficiento atžvilgiu parodyta paveikslėlyje:
Domenas
Reikšmių diapazonas priklauso nuo nurodytos funkcijos ekstremumo (parabolės viršūnės) ir koeficiento (parabolės šakų krypties)
Atvirkštinis proporcingumas
Funkcija, pateikta formule, kur
Skaičius vadinamas atvirkštinio proporcingumo koeficientu. Priklausomai nuo reikšmės, hiperbolės šakos yra skirtinguose kvadratuose:
Domenas - .
Vertybių diapazonas yra.
SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ
1. Funkcija – tai taisyklė, pagal kurią kiekvienam aibės elementui priskiriamas unikalus aibės elementas.
- - tai formulė, žyminti funkciją, tai yra, vieno kintamojo priklausomybę nuo kito;
- - kintamasis, arba, argumentas;
- - priklausoma reikšmė - keičiasi pasikeitus argumentui, tai yra pagal kažkokią konkrečią formulę, kuri atspindi vienos reikšmės priklausomybę nuo kitos.
2. Galiojančios reikšmės argumentas, arba funkcijos apimtis, yra tai, kas yra susijusi su galimybe, pagal kurią funkcija turi prasmę.
3. Funkcijos reikšmių diapazonas- štai kokių verčių reikia su galiojančiomis vertėmis.
4. Yra 4 būdai nustatyti funkciją:
- analitinis (naudojant formules);
- lentelės;
- grafinis
- žodinis aprašymas.
5. Pagrindiniai funkcijų tipai:
- : , kur, yra realieji skaičiai;
- : , kur;
- :, kur.
Funkcijos ir jų grafikai yra viena patraukliausių mokyklinės matematikos temų. Tik gaila, kad ji praeina... pro pamokas ir pro mokinius. Vidurinėje mokykloje jai niekada neužtenka laiko. O tos funkcijos, kurios vyksta 7 klasėje – tiesinė funkcija ir parabolė – per daug paprastos ir nesudėtingos, kad parodytų visą įdomių užduočių įvairovę.
Gebėjimas sudaryti funkcijų grafikus yra būtinas sprendžiant matematikos egzamino uždavinius su parametrais. Tai viena pirmųjų matematikos analizės kurso temų universitete. Tai tokia svarbi tema, kad mes, Vieningo valstybinio egzamino studijoje, Maskvoje ir internetu vedame specialius intensyvius kursus aukštųjų mokyklų studentams ir mokytojams. Ir dažnai dalyviai sako: „Gaila, kad anksčiau to nežinojome“.
Bet tai dar ne viskas. Tikra, „suaugusiųjų“ matematika prasideda nuo funkcijos sampratos. Juk sudėjimas ir atėmimas, daugyba ir dalyba, trupmenos ir proporcijos – tai vis tiek yra aritmetika. Išraiškų transformacijos yra algebra. O matematika yra mokslas ne tik apie skaičius, bet ir apie dydžių ryšius. Funkcijų ir grafikų kalba suprantama fizikui, biologui ir ekonomistui. Ir kaip sakė Galilėjus Galilėjus, „Gamtos knyga parašyta matematikos kalba“.
Tiksliau, Galilėjus Galilėjus pasakė taip: „Matematika yra abėcėlė, pagal kurią Viešpats nubrėžė Visatą“.
Temos, kurias reikia peržiūrėti:
1. Nubraižykite funkciją
Pažįstamas iššūkis! Šie susitiko OGE parinktys matematika. Ten jie buvo laikomi sunkiais. Bet čia nėra nieko sudėtingo.
Supaprastinkime funkcijos formulę:
Funkcijų grafikas – tiesi linija su išmuštu tašku
2. Nubraižykite funkciją
Funkcijos formulėje pasirinkite sveikąjį skaičių:
Funkcijos grafikas yra hiperbolė, paslinkta 3 į dešinę x ir 2 aukštyn y ir ištempta 10 kartų, palyginti su funkcijos grafiku
Sveikųjų skaičių pasirinkimas yra naudingas metodas, naudojamas sprendžiant nelygybes, braižant grafikus ir įvertinant sveikuosius skaičius uždaviniuose dėl skaičių ir jų savybių. Jį sutiksite ir pirmaisiais metais, kai teks imti integralus.
3. Nubraižykite funkciją
Jis gaunamas iš funkcijos grafiko ištempus 2 kartus, apverčiant vertikaliai ir paslinkus 1 aukštyn vertikaliai
4. Nubraižykite funkciją
Svarbiausia yra teisinga veiksmų seka. Parašykime funkcijos formulę patogesne forma:
Mes veikiame eilės tvarka:
1) Funkcijos y=sinx grafiką perkelkite į kairę;
2) suspauskite 2 kartus horizontaliai,
3) ištempkite 3 kartus vertikaliai,
4) pakilti 1
Dabar sudarysime keletą trupmeninių racionalių funkcijų grafikų. Norėdami geriau suprasti, kaip tai darome, perskaitykite straipsnį „Funkcijų elgsena begalybėje. Asimptotės“.
5. Nubraižykite funkciją
Funkcijos apimtis:
Funkcijos nuliai: ir
Tiesi linija x = 0 (y ašis) yra vertikali funkcijos asimptotė. Asimptotė- tiesė, prie kurios funkcijos grafikas artėja be galo arti, bet jos nesikerta ir su ja nesusilieja (žr. temą "Funkcijos elgsena begalybėje. Asimptotės")
Ar yra kitų mūsų funkcijos asimptotų? Norėdami sužinoti, pažiūrėkime, kaip funkcija veikia, kai x eina į begalybę.
Atidarykime skliaustus funkcijos formulėje:
Jei x eina į begalybę, tada jis eina į nulį. Tiesi linija yra pasvirusi funkcijos grafiko asimptotė.
6. Nubraižykite funkciją
Tai trupmeninė racionali funkcija.
Funkcijos apimtis
Funkcijos nuliai: taškai - 3, 2, 6.
Funkcijos ženklų pastovumo intervalai bus nustatyti naudojant intervalų metodą.
Vertikalios asimptotės:
Jei x linkęs į begalybę, tai y linkęs į 1. Vadinasi, yra horizontali asimptotė.
Čia yra grafiko eskizas:
Kitas įdomus metodas yra grafikų pridėjimas.
7. Nubraižykite funkciją
Jei x linkęs į begalybę, tada funkcijos grafikas bus be galo arti įstriosios asimptotės
Jei x linkęs į nulį, tada funkcija elgiasi taip, kaip matome grafike:
Taigi mes sukūrėme funkcijų sumos grafiką. Dabar darbo grafikas!
8. Nubraižykite funkciją
Šios funkcijos apimtis yra teigiami skaičiai, nes apibrėžiamas tik teigiamas x
Funkcijos reikšmės yra lygios nuliui (kai logaritmas lygus nuliui), taip pat taškuose, kur, ty
Kai , reikšmė (cos x) yra lygi vienetui. Funkcijos reikšmė šiuose taškuose bus lygi
9. Nubraižykite funkciją
Funkcija apibrėžiama Tai lyginė, nes ji yra dviejų nelyginių funkcijų sandauga ir grafikas yra simetriškas y ašies atžvilgiu.
Funkcijos nuliai yra taškuose, kur, tai yra, ties
Jei x eina į begalybę, eina į nulį. Bet kas atsitiks, jei x linkęs į nulį? Juk ir x, ir sin x taps vis mažesni. Kaip elgsis eilinis?
Pasirodo, jei x linkęs į nulį, tai jis linkęs į vienetą. Matematikoje šis teiginys vadinamas „Pirmąja nuostabia riba“.
Bet kaip dėl išvestinės priemonės? Taip, mes pagaliau ten pasiekėme. Išvestinė padeda tiksliau nubraižyti funkcijas. Šiuose taškuose suraskite didžiausius ir mažiausius taškus, taip pat funkcijų reikšmes.
10. Nubraižykite funkciją
Funkcijos apimtis yra visi realieji skaičiai, nes
Funkcija keista. Jo grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.
Kai x=0, funkcijos reikšmė lygi nuliui. Funkcijos reikšmės yra teigiamos, už yra neigiamos.
Jei x eina į begalybę, tada jis eina į nulį.
Raskime funkcijos išvestinę
Pagal koeficiento išvestinės formulę,
Aš už
Taške išvestinė keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“, – funkcijos minimalų tašką.
Taške išvestinė pakeičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“, – maksimalų funkcijos tašką.
Raskime funkcijos reikšmes x=2 ir x=-2.
Funkcijų grafikus patogu kurti pagal tam tikrą algoritmą, arba schemą. Prisimeni, kad mokeisi to mokykloje?
Bendra funkcijos grafiko sudarymo schema:
1. Funkcijos apimtis
2. Funkcijos reikšmių diapazonas
3. Lyginis – nelyginis (jei yra)
4. Dažnis (jei yra)
5. Funkcijos nuliai (taškai, kuriuose grafikas kerta koordinačių ašis)
6. Funkcijos pastovumo intervalai (tai yra intervalai, kuriuose ji yra griežtai teigiama arba griežtai neigiama).
7. Asimptotės (jei yra).
8. Funkcijos elgsena begalybėje
9. Funkcijos išvestinė
10. Didėjimo ir mažėjimo intervalai. Aukšti ir žemi taškai bei vertės šiuose taškuose.
Sukurkite funkciją
Atkreipiame jūsų dėmesį į funkcijų grafikų braižymo internete paslaugą, į kurią visos teisės priklauso įmonei Desmos. Norėdami įvesti funkcijas, naudokite kairįjį stulpelį. Galite įvesti rankiniu būdu arba naudodami virtualią klaviatūrą lango apačioje. Norėdami padidinti diagramos langą, galite paslėpti ir kairįjį stulpelį, ir virtualiąją klaviatūrą.
Internetinio diagramų sudarymo pranašumai
- Vizualus pristatytų funkcijų rodymas
- Labai sudėtingų grafikų kūrimas
- Netiesiogiai apibrėžtų grafikų braižymas (pvz., elipsė x^2/9+y^2/16=1)
- Galimybė išsaugoti diagramas ir gauti nuorodą į jas, kuri tampa prieinama visiems internete
- Mastelio valdymas, linijos spalva
- Gebėjimas braižyti grafikus taškais, konstantų naudojimas
- Kelių funkcijų grafikų konstravimas vienu metu
- Braižymas polinėmis koordinatėmis (naudokite r ir θ(\theta))
Su mumis paprasta kurti įvairaus sudėtingumo grafikus internete. Statyba atliekama akimirksniu. Paslauga yra paklausi ieškant funkcijų susikirtimo taškų, atvaizduojant grafikus jų tolesniam perkėlimui į Word dokumentą kaip iliustracijas sprendžiant uždavinius, analizuojant funkcijų grafikų elgsenos ypatybes. Geriausia naršyklė darbui su diagramomis šiame svetainės puslapyje yra „Google Chrome“. Naudojant kitas naršykles teisingas veikimas negarantuojamas.